Dạng 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.. Chỉ ra một nghiệm của phương trình là x  x0 thường là nhẩm nghiệm.[r]

Dạng 5 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Biến đổi phương trình về dạng f x m (hoặc f x g x )

2 Xét tính đơn điệu của hàm số f (hoặc f và g)

3 Chỉ ra một nghiệm của phương trình là x x 0 (thường là nhẩm nghiệm)

4 Dựa vào tính duy nhất, kết luận x x 0là nghiệm duy nhất của phương trình

 Ghi nhớ:

a) Phương trình có dạng f x m x

Nếu f x  là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên và phương trình  f x m có nghiệm x x 0 thì

là nghiệm duy nhất của phương trình trên

0

b) Phương trình có dạng f x g x  x

Nếu f x  là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên ,  g x  là hàm số nghịch biến (hoặc đồng biến) trên và phương trình  f x g x  có nghiệm x x 0 thì x x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

trên

   

f x g x 

VD1 Giải phương trình

a) x215 3 x 2 x28 b) x5x3 4 1 3 x

HDG a)

+ Viết lại: x215 3 x 2 x2 8 f x 3x 2 x2 8 x215 0 (1)

+ Nếu 2 thì: Do đó phương trình vô nghiệm

3

x

3 2 0

x

 





3

3



 f x  đồng biến trên 2;

3



+ Ta lại có f  1 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x1

HDG b)

+ Viết lại: x5x3 4 1 3 x  f x x5x3 4 1 3 x 0

3

2 1 3

x



1 3

x

3

đồng biến trên

3

+ Ta lại có: f   1 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

VD2 Giải hệ phương trình

cot cot

0 ,

x y







  





3 2

3 2

3 2





    



HDG a).

+ Xét f u( ) cot u u 0 u  Ta có:   12 1 0

sin

f u

u

Lop12.net

nghịch biến trên Do đó:

 f u  0; f x  f y  x y

+ Vậy (1) suy ra

6

x y 

 

HDG b).

3 2

3 2

3 2



+ Xét f t( )  t3 t2 t t Ta có: f t 3t2    2t 1 0, t   f t  đồng biến trên  + CHỨNG MINH: Nếu hệ (I) có nghiệm x y z0; ;0 0 thì x0  y0 z0

Giả sử x0  y0 (1) Ta có: f x 0  f y 0 , vì f là hàm số đồng biến trên 

Khi đó: 2z0 1 2x0 1 z0 x0 (2)

Suy ra f z 0  f x 0 2y0 1 2z0 1 y0 z0 (3)

Từ (1), (2), (3) x0  y0 z0 x0 (vô lý)

+ Do đó: (I)  2x 1 x3 x2 x x3 x2 x 1 0



1 1

x x

x y z

  

 



  



1

x y z

x y z

   



   

 +Vậy: Hệ phương trình có hai nghiệm x   y z 1, x  y z 1

VD3 Giải phương trình (x2)(2x 1) 3 x  6 4 (x6)(2x 1) 3 x2

HDG.

+ ĐK: 1

2

x

+ Viết lại: f x  x 6 x2 2x  1 3 4 (1)

+ Ta có 2x    1 3 0 x 5 Do đó ta chỉ xét (1) với x5

+ Với x5 Ta lại có: g x  x 6 x 2 0 và   1 1 0

g x

 g x  đồng biến trên 5;

( ) 2 1 3 0

h x

x

+ Khi đó f x  đồng biến trên 5; ( f x g x h x    và g x 0,h x 0)

+ Mặt khác: f  7  13 3  13 3  4 Vậy x7 là nghiệm duy nhất của (1)

BÀI TẬP ÔN LUYỆN

1 Giải các phương trình sau:

x

c) 3.25x2(3x10).5x2  3 x 0 d) x2.3x3 (12 7 )x  x   x3 8x219x12

2 Giải các phương trình sau:

a) log 12  xlog3x b)  log 6 

c) xlog 9 2 x2.3log 2xxlog 3 2 d) 4x2 log 2x 3 log3x215x1

Lop12.net