Phương pháp giải phương trình lượng giác trần mạnh hân file word

 Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x m= và cos x m= là: 1− ≤ ≤m 1 Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau vềphương trình

Trang 1

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

sin cos 1 2sin cos

sin cos 1 3sin cos

sin cos sin cos 1 sin cos

III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT

 Hai cung đối nhau

( )

 Hai cung bù nhau

 Hai cung phụ nhau

Trang 2

 Hai cung hơn nhau

2π

tan tantan

1 tan

x x

V CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG

21

Trang 3

 Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x m= và cos x m= là: 1− ≤ ≤m 1

 Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau vềphương trình cơ bản:

sin cos sin sin

sinu= −sinv⇔sinu=sin −v cosu= −cosv⇔cosu=cos(π−v)

 Đối với phương trình

 không nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4 phương trình

cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn Ta nên dựa vào công thức 2 2

sin x+cos x=1 đểbiến đổi như sau:

2

sin 2 0cos 0

x x

Trang 5

Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác thu được nghiệm của PT: ,( )

Trang 6

Bài 5 Giải các phương trình sau

 sin4 x+cos4x+sin cosx x=0  2 sin( 6 cos6 ) sin cos ( )

24

34

Trang 7

 Điều kiện: 2cos 1 2

 sin 3x+cos 2x−sinx=0 (D-2013)  sin 5x+2cos2x=1 (B-2013)

 sinx+4 cosx= +2 sin 2x (A-2014)  cos 3x+cos 2x−cosx− =1 0 (D-2006)

6sin

26

 PT ⇔sinx+4cosx= +2 2sin cosx x⇔sin 1 2cosx( − x) (+2 2cosx− =1) 0

(sin 2 1 2 cos) ( ) 0 sin 21( ) 2

3cos

 Dạng phương trình: sina x b+ cosx c=

 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a2+b2

Trang 8

 Điều kiện có nghiệm của phương trình: a2+ ≥b2 c2

 Chú ý: Khi phương trình có a = c hoặc b = c thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng phép nhómnhân tử chung

 cosx+ 3 sinx= 2  2sinx+2 cosx= 6

 3 cos3x−sin 3x= 2  sinx+cosx= 2 sin 5x

Hướng dẫn giải:

 Nhận xét: Trong PT này ta xác định các hệ số a=1,b= 3,c= 2 thỏa mãn điều kiện 2 2 2

a + ≥b c do đó phương trình này có nghiệm Để giải PT ta cần chia cả hai vế cho ( )2

Trang 9

 3 sin 2 cos 2 1 3sin 2 1cos 2 1 sin 2 1

ngay lập tức hay chưa? Câu trả

lời là chưa Bởi vì kết quả 5

Trang 10

KL: Vậy phương trình có các nghiệm thỏa mãn điều kiện là: 53 , 5

Ngoài ra, ta có thể không cần giải các BPT nghiệm nguyên ở trên bằng cách sử dụng 570ES PLUS như sau:

- Trước tiên ta tìm khoảng gần đúng của 2 6;

 cos 7x−sin 5x= 3 cos5( x−sin 7x)  tanx−3cotx=4 sin( x+ 3 cosx)

 3 1 cos 2( )

cos2sin

x

x x

3cos cos 2

và cos, ta thử chia mỗi vế cho a2+b2 , rất may a2+b2 = c2+d2 Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế sao cho mỗi vế có cùng một cung Từ đó ta có lời giải như sau:

Trang 11

Giải và kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được: ; 2

Trang 12

( ) ( ) tan 1

2

x x

DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX

 Dạng phương trình: asin2 x b+ sin cosx x c+ cos2 x d+ =0

 Cách giải:

Cách 1: + Xét cosx=0 có là nghiệm phương trình không?

+ Xét cosx≠0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được:2

a x b+ x c d+ + + x = ⇒ x⇒x

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1)

 2sin2x+sin cosx x−3cos2 x=0  2sin2x−3sin cosx x+cos2x=0

 sin2 x−10sin cosx x+21cos2x=0  2sin2x−5sin cosx x+3cos2x=0

 2sin2 x+sin cosx x−3cos2x=0

+ Xét cosx=0 (tức sin2 x=1): Khi đó PT trở thành 2 0= nên cosx=0 không thỏa mãn.+ Xét cosx≠0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được:2

Trang 13

Cách 2: PT ⇔2 1 cos 2( − x)+sin 2x−3 1 cos 2( + x) = ⇔0 sin 2x−5cos 2x=1

Đặt t=tanx khi đó sin 2 2 2

1

t x t

=+ ;

2

1cos 2

1

t x t

−

=+ Phương trình trở thành

 = −



 2sin2x−3sin cosx x+cos2x=0

+ Xét cos 0= (tức sin2 x=1): Khi đó PT trở thành 2 0= nên cosx=0 không thỏa mãn

sin x=1): Khi đó phương trình trở thành 1 0= nên cosx=0 không t/m

+ Xét cosx≠0, chia hai vế phương trình cho 2

 2sin2x−5sin cosx x+3cos2x=0

+ Xét cosx=0 (tức sin2 x=1): Khi đó phương trình trở thành 2 0= nên cosx=0 không t/m

 sin2 x+ −(1 3 sin cos) x x− 3 cos2 x=0  3sin2x+4sin 2x+4cos2 x=0

 3sin2x−4sin cosx x+5cos2x=2  3sin2x+4sin 2x−(8 3 3 cos− ) 2x=3

sin x+ −1 3 sin cosx x− 3 cos x=0

Trang 14

+ Xét cosx=0 (tức sin2 x=1): Khi đó phương trình trở thành 3 0= nên cosx=0 không t/m.

 3sin2x−4sin cosx x+5cos2 x=2

là nghiệm của phương trình

+ Xét cosx=0 có là nghiệm phương trình không?

+ Xét cosx≠0, chia hai vế phương trình cho cos x với chú ý: 3 12 1 tan2

cos x= + x

 sinx−4sin3x+cosx=0  2sin3x=cosx

 2cos3x=sin 3x  4cos3x+2sin3x−3sinx=0

 sinx−4sin3 x+cosx=0

+ Xét cosx=0 (tức sinx= ±1): Khi đó PT trở thành 3 0m= nên cosx=0 không thỏa mãn

cos x ta được:

tan 1 tanx + x −4 tan x+ +1 tan x = ⇔0 3 tan x−tan x−tanx− =1 0

(tan 1 3 tan) ( 2 2 tan 1) 0 tan 1 ( )

Trang 15

hề học công thức nghiệm phương trình bậc 3 Các em cần phải phân tích thành nhân tử trước khi đưa ra nghiệm ậy làm thế nào để phân tích nhanh nhất?

Bước 1: Dùng máy tính 570ES PLUS thu được nghiệm như sau 1, 1 0, 47

Bước 2: Viết nhân tử: do PT có nghiệm t=1 nên có một nhân tử (t−1), vậy nhân tử còn lại là gì? Dựa vào hệ

số đầu tiên và cuối cùng trong phương trình bậc 3 ta thu được hệ số đầu tiên và cuối cùng của nhân tử còn lại,

tức là có nhân tử nữa (3t2+Bt+1) Để tìm B ta dựa vào phần thực của nghiệm phức còn lại 1

B A

− = − từ đó suy ra B=2 Vậy ta lập tức phân tích phương trình thành (t−1 3) ( t2+ + ⇔ =2t 1) t 1.

2sin x=cosx

+ Xét cosx=0 (tức sinx= ±1): Khi đó PT trở thành ± =2 0 nên cosx=0 không thỏa mãn

2 tan x= +1 tan x⇔2 tan x−tan x− =1 0

4

2cos x=sin 3x⇔2cos x=3sinx−4sin x

+ Xét cosx=0 (tức sinx= ±1): Khi đó PT trở thành 0= ±1 nên cosx=0 không thỏa mãn

vế để tự đưa ra câu trả lời nhé Như vậy là đa thức này còn có 1 nhân tử nữa, theo các em nhân tử này là t−1

hay t+2 Câu trả lời là t−1, vì sao lại như vậy? Rất dễ dàng thôi nhân tử thứ ba này là t+2 thì số hạng tự

do của đa thức ban đầu phải là 4− , không ổn rồi Vậy kết quả là 3 ( ) ( ) ( ) ( ) (2 )

t − + = −t t t+ t− = −t t+

4cos x+2sin x−3sinx=0

+ Xét cosx=0 (tức sinx= ±1): Khi đó PT trở thành 1 0± = nên cosx=0 không thỏa mãn

4 2 tan+ x−3 tan 1 tanx + x = ⇔0 tan x+3tanx− =4 0

4

 sin sin 2x x+sin 3x=6 cos3x  cos3x−sin3x=sinx+cosx

cos x+sinx−3sin xcosx=0

 sin sin 2x x+sin 3x=6 cos3x⇔2sin2 xcosx+3sinx−4sin3x=6cos3x

Trang 16

+ Xét cosx=0 (tức sinx= ±1): Khi đó PT trở thành 1 0± = nên cosx=0 không thỏa mãn.

 PT ⇔cos3x−sin3x−sinx−cosx=0

6sinx−2cos x=5sin 2 cosx x⇔6sinx−2cos x=10sin cosx x

6 tan 1 tanx + x − =2 10 tanx⇔6 tan x−4 tanx− =2 0

(tan 1 6 tan) ( 2 6 tan 2) 0 tan 1 ( )

4

cos x+sinx−3sin xcosx=0

+ Xét cosx=0 (tức sinx= ±1): Khi đó PT trở thành 1 0± = nên cosx=0 không thỏa mãn

1 tan 1 tan+ x + x −3tan x= ⇔0 2 tan x−tanx− =1 0

(tan 1 2 tan) ( 2 2 tan 1) 0 tan 1 ( )

4

 cos3x−4sin3x−3cos sinx 2 x+sinx=0  1 3 tan+ x+2sin 2x

 cos3x−4sin3x−3cos sinx 2x+sinx=0

1 4 tan− x−3tan x+tan 1 tanx + x = ⇔0 3tan x+3tan x−tanx− =1 0

Trang 17

 Điều kiện: cosx≠0 Khi đó phương trình trở thành: cosx+3sinx=4sin cosx 2x

Chia hai vế phương trình cho cos x ta được:3

1 3tan+ x 1 tan+ x =4 tanx⇔3 tan x+tan x−tanx+ =1 0

(tan 1 3tan) ( 2 2 tan 1) 0 tan 1 ( / ) (, )

4

 Điều kiện: cosx≠0 PT trở thành: 2sin2 xcosx+2 3 cos2xsinx= 3 sinx+cosx

43

 Điều kiện: cosx≠0 PT trở thành: sin3x−2sin2xcosx=3 2cos( 3x+sin cosx 2 x−cosx)

3

cos x+sin x=cos 2x

Trang 18

Giải (1): cos cos

 PT ⇔(cosx+sinx) (1 sin cos− x x) =cos2x−sin2x

(cosx sinx) (1 sin cosx x sinx cosx) 0

Trang 19

 2 sin( x+cosx)+sin 2x+ =1 0  sin cosx x=6 sin( x−cosx−1)

Vậy phương trình có nghiệm

 sin cosx x=6 sin( x−cosx−1)

Trang 20

sin cos 1 sin

Trang 21

Vậy phương trình có nghiệm: ; 2 ; 2 ( )

 Điều kiện: sin 0

x x

2sin cos 4sin cos sin

sin 2sin 1 cos 4sin 1

26

Trang 22

x= π α− +k π k∈¢

sin x+cos x=2sin cosx x+sinx+cosx  3 3

1 sin− x+cos x=sin 2x

 2 sin( x+cosx) =tanx+cotx  (1 sin+ x) (1 cos+ x) =2

sin cos 1 sin

Trang 23

 sin cos 1 sin 1 2 2

sin cos 1 sin

2

x k= π x= + 2π k π k∈¢

1 sin+ x cosx+ +1 cos x sinx= +1 sin 2x

 2 sin 2 sinx( x+cosx) =2  sinx−cosx +4sin 2x=1

 2sin 2x−3 6 sinx+cosx + =8 0

Trang 24



21

sin cos 1 sin

Trang 25



21

hoặc A a( 2tan2 x b+ 2cot2x)+B a( tanx b+ cotx)+ =C 0 (2)

f x

 Đối với phương trình (2): Đặt t a= tanx b+ cotx

Trang 26

 Điều kiện: sin 0

x x

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm: x= − +π4 kπ(k∈¢)

Nhận xét: Dùng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương nghịch đảo, ta có thể đánh giá t như sau:

t = x+ x = x + x ≥ x x = để đưa ra điều kiện t ≥2.

 Điều kiện: sin 0

x x

4

x+ x= − ⇔ x+ x+ = ⇔ x= − ⇔ = − +x π kπ

.Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm: x= − +π4 kπ(k∈¢ )

Trang 27

MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PT LƯỢNG GIÁC

KĨ THUẬT 1: LỰA CHỌN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác

Khi việc giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác để đưa về dạng góc cơ bản là một vấn đề rất then chốt trong việc giải phương trình lượng giác…



4sin3

Điều kiện: sin 0,cos 0 sin 2 0 ,

x x

Trang 28

Vậy phương trình có nghiệm

2

x k= π

.Chú ý:

 Chắc hẳn các em sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét về tổng hai cung mà

quy đồng và biến rồi thì … ra không?

 Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trình có dạng phân thức như trên nếu

không khôn khéo thì rất … phức tạp.

2 Sử dụng công thức biến đổi tổng sang tích và ngược lại

Khi giải pt mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của sin (hoặc cos) với nhiều cung khác nhau ta cần để ý đến các cung có tổng (hiệu) các góc bằng nhau để áp dụng công thức tổng sang tích.

 sinx+sin 2x+sin 3x+sin 4x+sin 5x+sin 6x=0

 Nhận xét: Bài toán có các cung khác nhau biểu diễn dưới dạng tổng (hiệu) của các hàm số sin (hàm số cos)

ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho tổng (hiệu) các cung của chúng bằng nhau, cụ thể trong trường hợp này ta để ý x+6x=2x+5x=3x+4x Tại sao lại cần phải ghép như vậy? Lý do là chúng ta cần xuất hiện thừa số chung để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng tích.

(sin 6 sin ) (sin 5 sin 2 ) (sin 4 sin 3 ) 0

 Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn Chính vì thế

mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích sang tổng.

2sin sin 2sin cos 2sin 2 sin 0

sin 2sin 2 cos 2sin 2 1 0

Trang 29

 sin 2 sin 5x x=sin 3 sin 4x x

Trang 30

 sin2 tan2 cos2 0

cos12 cos10 cos8 cos 6 0 2cos11 cos 2cos 7 cos 0

cos cos11 cos 7 0 cos sin 9 sin 2 0

2

 2sin 22 x+sin 7x− =1 sinx (B07)  cos4 sin4 1

Trang 31

 (DB03) 3 cos sin 0 1sin 3cos 0 sin 0

x= ± ⇔ = ± +x π k kπ ∈

¢ TH2: 1 sin+ x+tanx= ⇔0 sinx+cosx+sin cosx x=0 (pt đối xứng với sin và cos)

Giải phương trình này được arccos 2 1 2 ,

4 Sử dụng các đẳng thức lượng giác quan trọng (hằng đẳng thức)

− = = Từ đó ta định hướng giải cho bài toán như sau:

Điều kiện: sin 2 0

− đưa phương trình về ẩn t để giải.

2

x≠ ⇔ ≠x kπ

Trang 32

PT sin cos 2 sin 2( cos 2 ) 2 2 sin 2( cos 2 )

x

k x

2 6sin cos sin cos 0

3sin 2 sin 2 4 0 sin 2 1

Trang 33

 (1 tan− x) (1 sin 2+ x) = +1 tanx  cot sin 1 tan tan 4

+ để đưa phương trình về dạng đại số ẩn t.

 Điều kiện: sin 0, cos 0,cos 0 ,

Trang 34

( 2 )cosx 3 sinx sin 2x 3 1 2sin x

KĨ THUẬT 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Xu hướng trong đề thi đại học những năm gần đây việc giải phương trình lượng giác thường đưa về phương trình tích bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách, nhóm các số hạng hợp lý để tạo ra nhân tử chung…

 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0  (2cosx−1 2sin) ( x+cosx) =sin 2x−sinx

 cos 2x+3sin 2x+5sinx−3cosx=3  2sin 1 cos 2x( + x)+sin 2x= +1 2 cosx

 sin 2x−cos 2x+3sinx−cosx− =1 0  (sin 2x+cos 2 cosx) x+2cos 2x−sinx=0

Hướng dẫn giải

 (B-2005) ⇔sinx+cosx+2sin cosx x+2cos2 x= ⇔0 (sinx+cosx) (1 2 cos+ x)=0

(2cosx 1 sin) ( x cosx) 0

2

cos 2 sin cos 2 0

Trang 35

 Điều kiện: cos 2x≠0,sinx≠0

Trang 36

 (A2003) Điều kiện: cosx≠0,sinx≠0, tanx≠ −1

( 2 2 )

2cos cos sin

cos sin

sin sin cos

 sin3x+cos3x=2 sin( 5x+cos5x)  sin6 x+cos6x=2 sin( 8x+cos8x)

 3 tan− x(tanx+2sinx)+6cosx=0 (DB2003)

 3tan 3 cot 2 2 tan 2

sin 2 cosx x+ −3 2 3 cos x−3 3 cos 2x+8 3 cosx−sinx −3 3 0=

 8 2 cos6x+2 2 sin3xsin 3x−6 2 cos4x− =1 0

 3 cot( x−cosx) (−5 tanx−sinx) =2

Hướng dẫn giải

Trang 37

x x

cos3 cos cos3 sin 2 sin 4

4sin 4 sin 2cos 2 cos 2cos3 4sin 4 sin cos3 cos 2 cos 3

cos3 cos cos3 cos 2

2cos 2cos cos3 2sin 2sin sin 3 2

1 cos 2 cos 2 cos 4 1 cos 2 cos 2 cos 4 2

Trang 38

 Điều kiện: sinx≠0,cosx≠0.

PT ⇔3 cot( x−cosx+ −1) (5 tanx−sinx+ =1) 0

cos sin cos sin sin sin cos cos

 Nhận xét: Nhìn vào phương trình này ta nghĩ dùng công thức biến đổi sin của một tổng … nhưng đừng vội

làm như thế khó ra lắm, ta xem mối quan hệ giữa hai cung 3

Trang 39

    rồi áp dụng công thức tổng sang tích cho vế trái.

 Đặt t= sinx+ 3 cos ,x t( ≥0) Từ phương trình ta có t=1,t= −2 (loại)

Trang 40

Chú ý: Có thể đưa phương trình về dạng tích (sin2 x−cosx) (3cosx−2 2 sin2 x) =0.

KĨ THUẬT 4: NHÓM BÌNH THƯỜNG

1 Biến đổi phương trình về dạng A 2 + B 2 = 0

 4cos2 x+3 tan2x−4 3 cosx+2 3 tanx+ =4 0

 Nhận xét: Vì xuất hiện sin 2x và 2 2sin 2x ta nghĩ đến việc đưa về ( )2

sin 2x−1 do đó ta biến đổi như sau:

 Nhận xét: Vì xuất hiện 4cos 2x và 2 cos 2x ta nghĩ đến việc đưa về ( )2

2cos 2x±1 , phần còn lại ta biến đổi

23

cos 2

32

2 Biến đổi phương trình về dạng A 2 = B 2

 sin 2x=2 tanx+tan2 x  tan2x+sin 22 x=4cos2 x

 sin 22 x=cos 2x+cos3x−cosx  cos 32 x+cos2 x+3cos 22 x+cos 2x=2

 32cos6 sin 3 3sin

Định dạng
Số trang	49
Dung lượng	3,18 MB