Các Môđun Thỏa Mãn Tính Chất Schrôder - Bernstein

Nghiên cứu các môđun bất biến dưới các tự đồng cấu của bao nội xạ được nghiên cứu đầu tiên bởi Iohnson và Wong.. Để chứng minh tinh chat Schréder — Bernstein có lời giải đúng cho môđun

DAI HOC DA NANG TRUONG DAI HOC SU PHAM

NGUYEN THI THU THUY

CAC MODUN THOA MAN TINH CHAT

SCHRODER - BERNSTEIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2021

DẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM

NGUYÊN THỊ THU THUỶ

CAC MODUN THOA MÃN TÍNH CHẤT

LOI CAM DOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất

kì công trình nào khác

NGUYÊN THỊ THU THUỶ

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy hướng dẫn là

PGS.TS Trương Công Quỳnh, Dại học Su Phạm - Dại học Dà Nẵng, người thầy rất nghiêm khắc nhưng mẫu mực, người luôn tận tình dạy bảo, hướng dẫn, cổ vũ

và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình

Toi xin tran trong cam ơn Khoa Toán và Phòng Đào tạo sau đại học của trường Dại hoc Sư phạm - Dại học Đà Nẵng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập nghiên cứu va hoàn thành chương trình học tập của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả bạn bè luôn động viên, cổ vũ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng tôi xin bày tổ lòng biết ơn vô hạn đến gia đình của tôi đã đồng cảm

va chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian tôi học tập, nghiên cứu và hoàn

thành luận văn

Dà Nẵng, tháng 9 năm 2021

Tên đề tài: CÁC MÔĐUN THỎA MÃN TÍNH CHÁT SCHRÖDER - BERNSTEIN Ngành: Đại số và lý thuyết số

Họ và tên học viên: NGUYÊN THỊ THU THỦY

Người hướng dẫn khoa học: 1 PGS TS TRUONG CONG QUYNH

2

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học sư phạm — Đại học Da Nẵng

Tóm tắt: Tính chất Schröder — Bernstein là kết quả cỗ điển trong toán học Nó chỉ ra

rằng nếu A và B là hai tập mà có don anh A — B và đơn ánh B ¬ A thì tồn tại song ánh

AB Câu hỏi đặt ra là nếu hai vật A và B cùng trong một phạm trù nào đó thì tính chất Schréder — Bernstein con đúng hay không và tính chất dé goi 1a tinh chat Schroder

— Bernstein Nghiên cứu các môđun bất biến dưới các tự đồng cấu của bao nội xạ được

nghiên cứu đầu tiên bởi Iohnson và Wong Để chứng minh tinh chat Schréder —

Bernstein có lời giải đúng cho môđun là bất biến dưới tự đồng cấu của bao nội xạ, Bumby đã chứng tỏ rằng nếu Ä⁄ và N là hai môđun và có các đơn cấu từ môđun này đến môđun kia thì bao nội xạ của chúng là đẳng cấu với nhau Từ kết quả đó cho ta thấy rằng nếu M và N là hai môđun bắt biến dưới tự đồng cấu của bao nội xạ của nó và có một đơn cấu từ môđun này vào médun kia thì chúng đẳng cấu với nhau Trong luận văn này chúng tôi tổng quan các kết quả của Bumby cho môđun có bao nội xạ tổng quát Với mong muốn tìm hiểu thêm về bài toán Schröder -Bernstein và các vấn đề về môđun

ở trên, cùng sự góp ý của PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH tôi đã chọn đề tài: “Các

môđun thỏa mãn tính chất Schröder — Bernstein” cho luận văn thạc sĩ của mình

Đề tài: “Các môđun thỏa mãn tính chất Schröder — Bernstein” đã tiến hành nghiên cứu

và đạt được một số kết quả cụ thể như sau:

- Nhắc lại các kiến thức liên quan đến môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, vành chính quy von Neumann

- Hé théng lai lý thuyết liên quan đến bao tổng quát, bao nội xạ, bao nội

xạ tỉnh của môđun

- Hệ thống lại lý thuyết liên quan đến môđun y- bat biến đẳng cấu

- _ Nghiên cứu tổng quan về các môđun thỏa mãn tính chất Schröder — Bernstein Đặc biệt là các môđun bắt biến đồng cấu và đẳng cấu thỏa mãn tính chất này

Từ khóa: BAO NỘI XẠ , MÔĐUN NOI XA, MO DUN XA ANH, BAT BIEN

DONG CAU, BAT BIEN DANG CAU.,

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài

= par he The this,

PQs TS Trasrs Cons (unk My d

INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: THE SCHRODER — BERNSTEIN PROBLEM FOR MODULES Marjor: Algebra and Number theory

Full name of Master student: NGUYEN THI THU THUY

Supervisors: Assoc Prof TRUONG CONG QUYNH

Training institution: University of Education - University of Danang

Summary: The Schréder — Bernstein theorem is a classical result in basic set theory It states that if A and B are two sets such that there are a one — to — one function from A into B and a one — to — one function from B into A, then there exists bijective map between two sets A and B This type of problem where one asks if two mathematical objects A and B which are similar themselves is usually called the Schréder — Bernstein problem and it has been studied in various branches of Mathematics The study of modules which are invariant under endomorphisms of their injective envelope goes back to the pioneering work of Johnson and Wong In order to prove that the Schréder — Bernstein problem has a positive solution for modules are invariant under endomorphisms of their injective envelopes Bumby first showed that

if M and N are two modules such that there are a monomorphisms from N to M and a monomorphism from M to N, then their injective envelope are isomorphic Thesis shows that review Bumby's results for modules that are invariant only under automorphisms of their injective envelopes or pure injective envelopes At the suggestion of the Assoc Prof Dr Truong Cong Quynh I chose the topic: “the dual Schréder — Bernstein problem for modules” for my master thesis

The topic “The Schroder — Bernstein problem for modules” has conducted research and achieved some specific results as follows:

- Recalling the knowledge related to the injective modules, the projective modules, the regular von Neumann ring

- Systematize the theory related to the injective envelopes

- Systematize the theory related to the isomorphic of y-automorphism-invanriant modules

- An overview study of the modules satisfying the property Schréder — Bernstein

Keywords: ENVELOPE , INJECTIVE MODULES, PROJECTIVE MODULES, AUTOMORPHISM — INVARIANT MODULES, ENDOMORPHISM —

INVARIANT MODULES

Confirmation of instructor = Who made the topic

LAr BAOMIOl KA; CUA INOGUINS sao ee a aa GR lee ee ee es it

Lb 151219731119E5/421A0°1111MGYI-VT(STSEIIIXAS SE NET 2188/8010 nan 1i pWd an 11 1.6 Môđun #-bất biến đẳng cấu và một số kết quả liên quan 15 2_ Các môđun thoả mãn tính chất Schröder-Bernstein 20

2.1 Các môđun #-bất biến đồng cấu thoả mãn tính chất Schröder-

1361771516101 c215210/11/0Ì88i961) M78801ã1 ni 01T T0T0ìTi71112151số sả 12ai hs set lế 20 2.2 Các môđun #-bất biến đẳng cấu thoả mãn tính chất Schréder- Bernstein eee eet ee et ee ee ee ees 27

MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT

Ñ: Tập hợp các số tự nhiên

Z: Vành các số nguyên

Q,R: Trường các số hữu tý, số thực

E(M): Bao nội xạ của môđun A

Endg(M): Vành các tự đông cau của # - môđun Af

Mrpr(rM): M la mot R - môđun phải hoặc trái (tương ứng) flz]: Vành đa thức trên vành R

N@Á/: Tổng trực tiếp của môđun W và môdun A1

NI: Tích trực tiếp của môđun W và môđun A1

Im(f); Ker(ƒ): Ảnh, hạt nhân của đồng cấu ƒ (ương ứng) N<M:N là môđun con của môđun À7,

N <M: N JA médun con thuc su cha médun M

N <° M: N 1a médwn con cốt yếu (hay lớn) của môđun M NM: N dang cau với AI.

MO DAU

1 Ly do chon dé tai

Tinh chAt Schréder-Bernstein là kết quả cổ điển trong toán học Nó chỉ rằng nếu

A va là hai tập mà có đơn ánh từ A4 vào ? và một đơn ánh từ ÿ vào 4 thì tồn

tại một ánh xạ song ánh giữa hai tập A và Câu hỏi đặt ra là nếu hai vật A và

B cùng trong một phạm trù nào đó thì tính chất Sehröder-Bernstein còn đúng hay không và tính chất đó được gọi là tính chất Schröder-Bernsteim Tác gia Gowers ([1]) đã xây dựng một ví dụ về hai không gian Banach không đẳng cấu với nhau, tuy nhiên tồn tại các đơn ánh từ mỗi không gian này vào mỗi không gian kia Vì

vậy điều này cho thấy rằng tính chất Schröder-Bernstein có lời giải phủ định cho các không gian Banach Trong phạm trù môđun Bumby ({2]) nghiên cứu và chứng mình tính chất Schröder-Bernstein đúng cho môđun bất biến dưới các tự đồng cấu

của bao nội xạ

Nghiên cứu các môđun bất biến dưới các tự đồng cấu của bao nội xạ được nghiên cứu đầu tiên bởi Johnson và Wong Để chứng mình tính chất Schröder-Bernstein

có lời giải đúng cho môđmm là bất biến dưới tự đồng cầu của bao nội xạ, Bumby

đã chứng tỏ rằng nếu A/ và W là hai môđun và có các đơn cấu từ môđun này đến môđun kia thì bao nội xạ của chúng là đẳng cấu với nhau Từ kết quả đó cho ta thấy rằng nếu A/ và XW là hai môđun bất biến dưới tự đồng cấu của bao nội xạ của

nó và có một đơn cấu từ môđun này vào môđun kia thì chúng đẳng cấu với nhau

Dickson và Puller đã nghiên cứu các môđun bất biến dưới tự đẳng cấu của bao

nội xạ của nó Xuất phát từ đây, môđun bất biến dưới tự đồng cấu và tự đẳng cấu của bao tổng quát đã được giới thiệu và nghiên cứu trong những năm gần đây Trong luận văn này chúng tôi tổng quan các kết quả của Bumby cho môđun có

bao nội xạ tổng quát.

Nếu # là lớp -môđun phải đóng dưới đẳng cấu và hạng tử trực tiếp Tiền bao tổng quát đối với # của môđun phải A7 là một đồng cấu u: A/ X với X € + sao cho bất kì đồng cấu ø: AM > X' với X’ € # đều nâng được đến w Một tiền bao tong quaét vw: Af + X được gọi là bao tổng quát đối với # nếu bất kì đồng cấu h: X — X sao cho ho = ứ thì h phải là một tự đẳng cấu của X Một tiền bao tổng quát hoặc bao tổng quát wu: MW + X đối với 4# gọi là đơn câu nếu œ là đơn cấu Một lớp # của môđun phải trên vành # đóng dưới đẳng cấu và hạng tử trực tiếp được gọi là một bao tổng quát nếu bất kì ï-môdun phải của 4 là bao tổng quát đối với # Cho w: A# — X(M) là bao tổng quát và đơn cấu, A được gọi

là #-bất biến đẳng cấu nếu tự đẳng cấu bất kì ¿: X(A/) —› X(M) tồn tại một tự đồng cấu ƒ : A! —› A/ sao cho uo ƒ/ =¿ou Lớp các môđun bất biến đẳng cấu đã

được nghiên cứu trong những năm gần đây Một số tính chất và cấu trúc của các vành thông qua lớp môđun này đã được nghiên cứu

Với mong muốn tìm hiểu thêm về bài toán Schröder-Bernstein và các vấn đề

về môđun ở trên, cùng với sự gợi ý của PDGS TS Trương Công Quỳnh, chúng tôi

đã chọn đề tài "Các môđun thoả mãn tính chất Sehröder-Bernstein" làm đề tài

nghiên cứu cho luận văn của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Mục đích của đề tài là nghiên cứu về các môđun thỏa mãn tính chat Schréder- Bernstein Dặc biệt là các môdun bất biến đồng cấu và bất biến đẳng cấu thỏa mãn tính chất này

- Nhiệm vụ nghiên cứu:

+) Các kiến thức về bao tổng quát

+) Các môđun bất biến đồng cấu

+) Các môđun bất biến đẳng cấu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Dối tượng nghiên cứu: Các môđun thỏa mãn tính chất Sehröder-Bernstein

cấu thỏa mãn tính chất Schröder-Bernstein và các môđun #-bất biến đẳng cấu thỏa mãn tính chất Schröder-Bernstein

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu kinh điển

và các bài báo liên quan, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan

- Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn

- Tham khảo một số bài báo đã đăng trên các tạp chí khoa học

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn và của các đồng nghiệp

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Đề tài góp phần làm rõ tính chất Schröder-Bernstein và các bài toán liên quan

- Dề tài này mong muốn có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về các môđun thỏa man tinh chat Schréder-Bernstein

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn được chia thành hai chương Chương 1 trình bày về các khái niệm và các kết quả liên quan

Chương 2 trình bày các môđun thỏa mãn tính chất Sehröder-Bernstein

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIÊN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận văn này nếu không nói gì thêm, # đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị 1 # 0 và mọi ï-môđun được xét là môdun unita phải hoặc trái Các khái niệm và một số kết quả liên quan chúng tôi tham khảo tài liệu [6],

[15], [17], [20], [21]

Định nghĩa 1.1.1.(1) Cho R la mét vanh va M,X 1a hai R-médun phat Médun

M duoc goi la noi xa doi vdi X hodc X-noi xa néu vdt moi médun con X1 trong

X, mỗi đồng cấu Xì — M1 có thể mở rộng thành đồng cấu X — M

(2) Một R-môđun phải M được gọi là nội sạ nếu M là X -nội xa uới mọi médun phải X

(3) Médun M duoc goi la tua noi xa néu M la M-ndéi ca

Dinh nghia 1.1.2 (1) Médun M duoc got la xa ảnh đối uới X hodc X-xa anh nếu

ới mợi toàn cấu h: X — ÄX tà bắt kỳ đồng cấu ƒ : M —> X thà tồn tại đồng cấu f:M—>X sao cho f=hf

(2) Một R-môđun M được gọi là médun ca anh néu M la xa anh đối vdi mdi médun

Ri

(3) Mot médun M la sạ ảnh đối voi chinh né néu M la X-ca anh vdi moi médun phải X

Rõ ràng tất cả các môđun xạ ảnh là tựa xạ ảnh và một nhóm xyclic cấp nguyên

tố là một Z môđun đơn tựa xạ ảnh không xạ ảnh.

là X -nội xa 0à X-zq anh

Dinh lý 1.1.4 Lớp # là lớp tất cả các môđun X sao cho AI là X -nội zạ 0à chúa tắt cá các mmôđun con thà ảnh đồng cấu tà tổng trực tiếp của các môđun thuộc 3 Lớp 3 của tất cả môđun Y sao cho AT là Y -#@ ảnh uà chứa tắt cả các ảnh đồng cấu thì các môđun con 0à tổng trực tiếp hữu hựn của môđun thuộc 3

Định lý 1.1.5 Cho AT là một môđun Khi đó:

(1) Tát cả hạng tử trực tiếp nà tích trực tiếp của các môđun mà là \I-nội zạ là M-néi va Dặc biệt, tất cả hạng tử trực tiếp oà tích trực tiếp của các môđun nội

va la ndi xa

(2) Tat ca hang tit truc tiếp uà tổng trực tiếp mà là M-+q ảnh M là M-+q ảnh Dặc biệt tất cả các hạng tử trực tiếp tà tổng trực tiếp của các médun xa anh la va anh Chứng mình

Chúng ta chỉ cần chứng minh khẳng định thứ nhất, vì khẳng định thứ hai cũng được chứng minh tương tự Gọi X là một R-môđun phải, và cho V = ]J;¿¡ M Rõ ràng A7 nội xạ của của môđun kéo theo Ä/ nội xạ của tất cả các môđun N; Bây giờ ta giả sử rằng tẤt cả các môđun Nj là A/-nội xạ Gọi X là môđun con trong

M, f € Hom(X, N) và cho mị : N — N; là các phép chiếu chính tac Tat cả đồng cấu miƒ: X — N¿ có thể được mở rộng thành đồng cấu gi: M — N; xác định một phần

mở rộng chính tắc của g: M — Ä

Định lý 1.1.6 Nếu môdun AI là X-nội xa tà lồn lại đơn cấu J : AI —> X, thà

ƒ(M) là tổng trực tiếp của X, AI là tựa nội xa va M là đẳng cấu uới lổng trực tiếp

của mmôđun X Đặc biệt, nếu mmôdun X là không phân tích được hoặc ƒ(M) là một

môun cơn cốt yếu của X, thà ƒ: M — X là một đẳng cấu

Chitng minh

Af là một X-nội xạ Vì ƒ(ÄM) & MV, ta có A/ là tựa nội xạ Vì /(A/) là X-nội xạ.

3

Khi đó ánh xạ đồng nhất ¿đ: ƒ(A/) — A/ thì tồn tại một đồng cấu ø: X — /(M) sao cho goi = id voi i: f(M) 3 X là đơn cấu chính tắc Từ đó suy ra ¡ là đồng cấu chẻ ra Vậy ƒ(A/) là một hạng tử trực tiếp của X

Định lý 1.1.7 Nếu môđun AI là X-sạ ảnh uà lồn tại toàn cấu h : X — AI, thì

Kerh là hạng tử trực tiép ctia X vd M la médun tua wa ảnh sao cho nó đẳng cấu đối uới hạng tử trực tiếp của X Đặc biệt nếu X là không phân tích được tà h: X — M

là một đăng cấu

Định lý 1.1.8 Nếu Y là một médun cơn của mmôđun X va modun X/Y la X-va

ảnh, thà Y là hạng trực tiếp trong X Ngoài ta, mỗi môđun œ0clic &R là mạ ảnh nếu

oà chỉ nếu r(œ) là một hạng tử trực tiếp trong Rr néu va chi néu r(x) = eR cho mét phan té luyj dang e € R nao dé

Định lý 1.1.9 Các điều kiện sưu là tương đương doi vdi R modun phdai M

1 M là một mmôđun œq ảnh

9 Tồn tại một tap con {mi}ier C M vd tap {fi}ier ctia dong cau fi: M — Rp sao cho m = Doie, mifi(m) vdt moi m € M, trong đó ƒ;(m) = 0 hầu khắp ¡

3 Tồn tại một hệ sinh {mi}iei của môđưn M tà tập {f;iei của đồng cau fi: Ma

Rp sao chom = Dye, mifi(m) vdi moim € M, trong dé Ji(m) =0 hầu khắp ¡

1.2 Vành chính quy von Neumann

Dinh nghĩa 1.2.1 Một oờnh R được gợi là vanh chinh quy von Neumann nếu uới mỗi a € R, tồn tại một phần tử b€ R sao cho aba = a

Định lý 1.2.2 Đối uới một uành R, các phát biểu sau là tương đương

(1) R la vanh chinh quy von Neumann

(2) Mỗi iđêan phải (trái) chính của R được sinh bởi một phan tu lug dang (3) Méi idéan phdi (trai) httu han sinh ctia R duge sinh bot mét phần tử lug dang

4 1.3 Bao tổng quát của môđun

Cho vành # và # là lớp các R-môđun phải đóng dưới các phép đẳng cấu, tổng trực tiếp hữu hạn và hạng tử trực tiếp, tức là nếu A/ € # và W % A! thì ý € 4;

nếu Äị, „6 # thì 8 @ @ Âf„ #; nếu '=W@P€ # thì M,Me€Z

Định nghĩa 1.3.1 Cho M la mot R-môđưn phải Một đồng cấu u: M —y Ä tới

X €4 được gọi là X-liền bao tổng quát của AI nếu bất kì đồng cấu tử : AI > X',X' EX thì tồn tại đồng cấu ƒ: X — X' sao chow = fou

Ay ——_*—_> X

Khi đó ta có thể nói u là &- tién bao téng quat cia M

Mot X-tién bao tong quat ctia M dudc goi la ¥-bao tổng quát của MI nếu mọi đồng cấu h: X — X thoả mãn hou =u thà h là một đẳng cấu

Nhận xét 1.3.2 Nếu AM! — X là một 3-tiền bao tổng quát của M uà S < AI là một hạng tử trực tiếp của AI thi S > M > X là một #-tiền bao tổng quát của ®S Định lý 1.3.3 Giá sử môđun M có hai X-bao tổng quát u : M —y X 0ầu": M —y X', Khi đó X'% X

Chứng mình

Vì u,ứ là các #-bao tổng quát của M, tồn tại các đồng cấu ƒ : X -» X’ sao cho w= fu va f’:X’—> X sao cho u= flu Do d6, w= flu’ = f/fuvaw = fus= ffl Theo định nghĩa về A-bao tổng quát của A/, suy ra f/f va ff’ la các đẳng cấu Do

đó ƒ,/' cũng là các đẳng cấu Hay X'> X

Mệnh đề 1.3.4 Gid sit M la X-bao tong quat va py: M > X la X-tién bao tong quát của M Khi dé X = X* OK vdi X*,K la céc médun con nào đó của Ä sao cho phép hợp thành @: M —> X > X* là mot X-bao tong quat cia M

Chứng mình

5 Dat J: M — Xọ là #-bao tổng quát của A7 Khi đó biểu đồ sau giao hoán:

sao cho y= Jw va w = gy Do dé, ý = gfw Suy ra gf la dt tự dang cấn của Xo

và X = Im(ƒ) ® Xọ là một #-bao tổng quát của A/

Hệ quả 1.3.5 Giả sử ME có Y-bao tổng quái Xét: M > X la X-tién bao tổng quát của \ Khi đó, ¿ là A-bao tổng quát của A1 nếu 0à chỉ nếu không có sự phân tích tổng trực tiếp X = XỊ ©K tới K #0 tà Im(@) < Ấn

Chứng mình

(©) theo mệnh đề trên

(=>) Xét @: A/ —› X là bao tổng quát của A/ và tồn tại sự phân tích tổng trực tiếp

X =XiO©K với K #0 và Im(¿) < Xị Ta xây dựng đồng cấu ƒ: Xi@® K X và thu được toàn cấu đến Xị Khi đó, @ = ƒ¿, suy ra ƒ là một tự đẳng cấu Do đó

Ñ#=.Ú:

Mệnh đề 1.3.6 Giá sử lớp môdun Ä cũng đóng đưới tổng trực tiếp bất kỳ Nếu mỗi ¡,¿¡ : Mi > X; la X-tién bao tong quat ctia M; thi đụ, : OM; — @X; là +-tiền bao tong quat @M

A\, Mạ có A-bao tổng quát lần lượt uị : Mì —> X(ÂH), uạ : Alạ —> X(Ma), Khi đó,

tì ©uas:ÁI > X(AI) @ X(Mạ) là một Ý-bao tổng quát của M

Chitng minh

Lấy ws MX’ Viw : My > X(Aq) là #Z-bao tổng quát của A/¡ nên tồn tại

ầ: X(MI) — ÄT sao cho ty = fius,

À —¬ ES M = x’

|»

xạ")

Tương tự, tồn tại /¿ : X(Alạ) —y X” sao cho ua;, = /sua Theo tính chất

phổ dụng của tổng trực tiếp, tồn tại ƒ : X(A)@ X(M¿) — X" với ƒ|x\n,) = fi fÌx(qu,) = ƒs Và kiểm tra được ƒ(i @ ug) =

Suy ra wy = 0@1101;012ua = Ú;ua = ÿ222;2iui = 0 Vì uị là y-bao tổng quát của

M, nén yy IA tut dang cấn của X(Añ) Xét tích ma trận

,

—yayy L Nai ye2 Ú —/212ij/012 + ¥22

VÌ ¿1aua = Ú, tua = 222ua, ta có

(—ý21211212 + 933)0a = tạ

Vì u¿ là x-bao tổng quát của A⁄¿ nên "n + yoo là tự đẳng cấu của X(M)

Như vậy, từ tích ma trận được xét ở trên, suy ra ma trận biểu diễn của ø có nghịch

đảo, hay ø là tự đẳng cấu

1.4 Bao nội xạ của môđun

Dinh nghia 1.4.1 Mot médun phai AI < EF duoc gọi là mở rộng cok yeu cua

M néu moi médun con N £0 ctia B thod NOM 40 Mot mé rong cot yéu M < E được gọi là tối dai néu khong cé médun thuc su chita E ma la md rong cét yéu ctia

Nếu A/ < E là một mở rộng cốt yếu của A/, thì ta nói A⁄ là một môđun con cốt yếu của #, và kí hiệu Ä/ <° ÿ

Bổ đề 1.4.2 Một môđun Mp là nội zạ nếu 0à chỉ nếu Mp không có các mỏ rộng cốt tuếu thực sự

Chứng mình

(=>) Giả sử A/ là ï-nôdun phải nội xạ Xét bất kì mớ rộng thực sự A/ < # Vì A/

là nội xạ nên A7 là hạng tử trực tiếp của F, do dé EF = M @ N véi médun con nao

dé N 40 cla FE Ta c6 NOM =0, suy ra # không phải một mở rộng cốt yếu của

Hay ! = M @ S, nên Ä/ là một môdun nội xạ

Bổ đề 1.4.3 Mọi môdun My đều có mở rộng cốt yếu tối đại

Dinh ly 1.4.4 (Eckmann-Schopf) Cho M < I khi dé cdc diéu kiện sau tương duong:

(1) I la mé rong cét yéu toi dai cia M

(2) 1 là nội xa, va mé rong cot yéu ctia M

(3) 1 là nội aa tối tiểu chứa M

Chứng minh (1) = (2) Giả sử 1 là cốt yếu tối đại chứa A/, suy ra 7 không có mở rộng cốt yếu Do đó, 7 là nội xạ

(2) = (3) Lay Ƒ là một môđun nội xạ sao cho ă < J“ < J Suy ra, J = I'@ N véi

môđun con nào đó Ý < 17 Khi đó NA? =0 mà Aƒ <° 7ƒ nên Ñ =0, do đó I0 =1

(3) = (1) Giả sử 7 là nội xạ tối tiểu chứa A/ Khi đó, một môđun con FE < J 1a cốt yếu tối đại trên A/ Dùng (1) = (2), ta được # là nội xạ, và do đó B= I

Định nghĩa 1.4.5 Nếu môđun 1 > AI thoả một trong ba điều kiện (1),(2),(3) trong dinh ly Eckmann-Schopf, thi ta noi I là bao nội œạ của M Như uậu, một

médun noi xa E dude goi là bao nội xa ctia M néu M có thé nhiing cot yéu vao EB,

ký hiệu là E(M), tức là tồn tại phép nhúng @: M — E sao cho véi bắt kỳ K < E

ma Im(y) OK =0 thi kK =0

Từ định lý và các bổ đề trên, suy ra bất kì một môđun M nao đều có bao nội xạ

Kí hiệu e là lớp các R-môdun phải nội xạ

Định ly 1.4.6 Cho M la R-médun va E € 2 Các khẳng định sau là tương đương: (1) ¢: M > E la mét e-bao tong quat

(2) p:M = E là bao nội #a

œ(Ä7) không cốt yếu trong # Khi đó, tồn tai môđun con khác không K < # với g(M)nE=0 Vì K +ự(M) = K @¿(M), ta xác định đồng cấu p: K @w(M) — E với p( + y(m)) = @(m),k,m € M Mở rộng p đến g: E — E, ta có biểu đồ sau giao

y= lm) = fem) € ƒP)ñK =0

Điều này mâu thuẫn, suy ra f lA toan cAu Hay f 1A dang cau

"Từ Định lý trên và các tính chất của ¥-bao tong quat, ta suy ra cdc két qua sau:

Hệ quả 1.4.7 Cho 1,1! là hai bao nội ta của M Khi đó I %1

11

1.5 Bao nội xa tinh cua médun

Nhác lại rằng một dãy khớp ngắn của các #-môđun phải

0—>Mí > N—>L—>0

được gọi là dãy khớp ngắn tỉnh nếu với mỗi # - môđun trái A, ta có dãy khớp ngắn

0>Ä/@A—>N@A->”"@A—0 Diều kiện trên có thể hiểu là nếu Aƒ — N là một đơn cấu thì suy ra A14 A1 — N@A cũng là một đơn cấu Khi đó, ta nói A/ là môđun con tỉnh của N, hay N 1a mé rộng tỉnh của A/, hay đồng cấu A/ -› X là tỉnh Warfield đã định nghĩa môđun nội

xạ tỉnh như sau:

Định nghĩa 1.5.1 Một N-môđun phái D được goi la ndi aa tinh néu sd dd sau

giao hoán đối uới mỗi dãy khớp tình

Ví dụ 1.5.2 (1) Mọi môđun nội sạ đều là nội wa tinh

(2) Với bắt kỳ R - môdun trái N thì môđun N* = Homz(N,Q/2) là R - môđun phải

xạ nên biểu đồ san giao hoán

Hơmz(B N,Q/2) 3 Homn(B, Homz(N,Q/2))

Homz(A ® N,Q/Z) = Homr(A, Homz(N, Q/Z)) Nén

Homz(B ® N,Q/Z) = Homr(B, Homz(N, Q/Z)) 4 Homz(B ® N, Q/Z) =

Homp(A, Homz(N, Q/Z)) Tức là biểu đồ sau cũng giao hoán đối với mọi dãy khớp tỉnh

Homz(N, Q/Z)

Nhu vay theo dinh nghia thi N* = Homz(N,Q/Z) la R médun phai nội xa tinh

Ta biết mọi môđin đều có thể nhúng vào một môđin nội xa, đối với môđun nội

xạ tỉnh, ta có kết quả sau

Bổ đề 1.5.3 Mọi R-môdun phải M có thể được nhúng như là một môđun con tính

vio mot médun ndi xa tinh

Mệnh đề 1.5.4 Với N-môđun phải bất kỳ M, đồng cấu chuẩn chính tắc ơ : M —

13

M* = Homg(Homz(M, Q/Z), Q/Z) la tinh Hon nita, M la noi va tinh néu va chỉ nếu AI là hạng tử trực tiếp của M”*

Gọi PE là lớp tất cả các R-môđun phải nội œạ tỉnh Khi đó, uới bất kỳ R phải

M, một PE-bao tổng quát của M được ký hiệu là PE(M)

Dễ thấy rằng ¿ : Af — PE(A/) là đơn câu do mỗi môđun có thể nhúng được vào

môđun mọi nội xạ là nội xạ tỉnh Do đó, từ biểu đồ giao hoán của P#£-tiền tổng

quát ở trên, suy ra ¿ là đơn cấu Chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của bao nội xạ tỉnh qua các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.5.5 Mỗi H-mnôdun có tiền bao nội #ạ tính

Chứng mình:

Dễ dàng kiểm tra dãy khớp ngắn cảm sinh tự nhiên

0> M— M D0

là một tiền bao của AM, với A!** = Homg(Homz(M, Q/Z), Q/Z)

Định lý 1.5.6 Mỗi R-médun M có bao nội xa tinh

Định nghĩa 1.5.7 Cho P là mở rộng tính của R-médun phai M, ta noi P la md rộng tỉnh cốt yếu của M nếu không tồn tại môđun con 5 < P tới SnM = 0 va (S@M)/S(% M) là tính trong P/S

Định nghĩa 1.5.8 Một mở rộng tỉnh P của NI được gọi là bao nội va tinh cia M

nếu P là nội œạ tỉnh oà là mở rộng tính cốt yếu của M

Mệnh đề 1.5.9 Mỗi R-môdun AI tồn tại bao nội xa tinh va sai khdc nhau một đẳng cấu

Giống như môdmn nội xạ: mỗi mở rộng cốt yếu đều nhúng được vào mở rộng nội

xạ Dối với môđun nội xạ tỉnh ta có:

Mệnh đề 1.5.10 Nếu P là bao nội xa tình của AM tà ƒ: M —› Q là phép nhúng của AI như là trôằun con tink trong médun noi va tình Q, thà Ƒ mở rộng đến một

đồng cấu P > Q nhúng P như là médun con tinh ctia Q

Kết quả sau cho thấy sự đồng nhất giữa hai cách tiếp cận khác nhau này

Định lý 1.5.11 Đối 0ới R-môdun AI các điều kiện sau là tương đương:

(1): AI P là bao nội œạ tỉnh của M

Vi M = (M@S)/S nén M > P/S la tinh va P ndi xa tinh, suy ra đồng cấu ø

tồn tại Dễ đàng thấy ¿ = (øh)¿ Suy ra øh là đẳng cấu, do đó h là đơn cấu điều này xảy ra khi 9 =0 (vì nếu h đơn cấu thì h là đẳng cấu)

(2) > (1) Vi P 1a ndi xa tinh va 0 > M > P la tỉnh, nên ¢ 1a tiền bao nội xạ tỉnh của A/ Theo định lý trên thì A/ có bao nội xạ tỉnh, gọi nó là M — P Khi đó

tồn tại biểu đồ giao hoán

suy ra M/ © P là bao nội xạ tỉnh

1.6 Môdun #-bất biến đẳng cấu và một số kết quả

liên quan

Định nghĩa 1.6.1 Cho môđun M uà # là lớp môdun đóng dưới các đẳng cấu

AI được gợi là #-bất biến đẳng cấu nếu tồn tại một X-bao tong quét u: M > X sao cho uới bat ki tự đồng cấu g: X —y X ton tại tự đẳng cấu J : MI — AI sao cho

tro ƒ =got

Nhận xét 1.6.2 (1) Thêm giả thuyết wu: M — X trong định nghĩa trên là đơn cấu

Ta có, vì ø—! cñng là tự đẳng cấu của X nên tồn tại tự déng cau f’: M > M sao cho

1

1 ou Suy rauofof! = g7 A 1 ogou va uo fof’ = gouo |’ = gog tou = u uo! = g7 ouo = g~

Do w la don cAu, nén f 1A dang cAu

(2) Cho # là lớp médun ndi xa, E(M) 1a bao ndi xa cita M Khi đó, phép đồng nhất ¿: A7 — E(M) lA mot ¥-bao tong quat cia M Môđun M là #-bất biến đẳng cấu khi và chỉ khi với mọi ø: £(M) — E(M) tồn tại tự đẳng cấu ƒ: M > M sao cho ¿o ƒ = goi, hay g(M) CAI Vậy trong trường hợp này, môđun #-bất biến đẳng

cấu chính là môđun bất biến đẳng cấu như đã biết

Bổ đề 1.6.3.Cho môđun AI tới u: M —y X là X-bao tổng quát của M Với mọi

f € End(M), gợi g,g € End(X) thoả mãn gou = to J,gou =uoƒ Khi đó, g—g € J(End(X))

Theo định nghĩa của wu suy ra 1 — t(g — ø) là đẳng cấu, hay là phần tử khả nghịch

Nhận xét 1.6.4 Từ bổ đề trên, với môđun Ä có u: M — X là #-bao tổng quát, chúng ta có thể xác định một đồng cấu vành

yg: End(M) EndX)/J(End(X)) với @(ƒ) = g+ J(End(X)) và ø thoả uo ƒ = go Lúc này, ¿ Xác định một đơn cấu vành ®: End(M)/ker(e) => End(X)/J(End(X)) hay End(M)/ker(y) = Im(®)

là một vành con của EZnd(X)/2(End(X))

Bổ đề 1.6.5 Cho môđưn AT có '-bao tổng quát của u: M — X, giả sử M là X-bat bién ding chu Khi dé udi j € J(Pnd(X)), tồn tai k € ker(y) sao cho ok =jou, Chứng mình

Do j € J(End(X)) nên 1— 7 là tự đẳng cầu của X Vì A/ là #-bất biến đẳng câu

nén ton tai f € End(M) sao cho uf = (1—j)u Do dé

ju=(1-(1-j)u=u-(1-jjusu-uf =u(l— f)

Lấy k =(1— /), ta có uk = ju và ¿(k) = j + J(End(X)) = 0 hay k € Ker(y).

17

Bổ đề 1.6.6 Giả sử 9 = T¡ị x T; uới Tị là oành chính quy abel tự nội œạ 0à mọi phần tử của T› là tổng của hai phần tử khả nghịch Nếu R là một uành con của 5

mà bất biến dưới phép nhân trái bởi các phần tử khả nghịch của S thà R là uành

chinh quy von Neumann

Chitng minh

Vì ƒ là vành con cia S, nén c6 thé viét R = R; x Ro vai R, 1A vanh con ctia Ti, Re

là vành con của 7› Giả sử tất cả các phần tử khả nghịch của S déu nam trong

h Lấy bất kì phần tử ¿ € 7;¿ Khi đó tạ = a+8 với a,đ khả nghịch trong T›

Do dé, 17, x a, 1p, x Ø là các phần tử khả nghịch trong ® Theo giả thiết ta được (l› xa)(1n, x 1n,) € R và (1r, x Ø)(1n, x 1n,) € f, suy ra œ1p, € lạ và đln, € ñ Nhu vay, to = tele, = (œ1n,) + (01n,) € la hay 7; C lạ Vay To = Ro, suy ra To C R

và là iđêan chính quy von Neumamn của R Vi moi vanh chính quy abel là chính quy khả nghịch, nên với z 7¡ tồn tại phần tử khả nghịch ¡ € 7; sao cho x = rua Hơn nữa 0 + lự;, là khả nghịch trong 9 nên khả nghịch trong F Vậy R/7; là vành chính quy von Neumann Theo bé đề trên ta có # là vành chính quy von Neumann Với A/ là môđun bất biến đẳng câu thi J(End(M)) gồm tất cả các tự đồng cấu của A/ có nhân cốt yếu End(M)/J(End(M)) là vành chính quy von Neumann và các luỹ đẳng nâng modulo J(End(M)) Với trường hợp A⁄ là #-bất biến đẳng cấu,

ta cd:

Định lý 1.6.7 Giả sử AI là Ý-bất biến đẳng cấu uới đơn cấu u: M — X là Ä-bao tổng quát của AI Giả sử uành 9 = End(X)/J(End(X)) = Tì x Tà trong đó T\ là vanh chinh quy abel tu ni xa va moi phan tt Ty la tổng của hai phần tử khả nghịch Khi dó nếu luỹ đẳng trong S néng médun cén Jacobson thi End(M)/J(End(M)) la vanh chinh quy von Neumann va céc luỹ đăng nâng môđun J(End(M))

Chứng mình

Lấy g + J(End(X)) là phần tử khả nghịch của End(M)/J(nd(M)) Khi đó, ø là

tự đẳng cấu của X Do đó A/ là môđun # bất biến đẳng cấu nên nên tồn tại một đồng cấu ƒ của M sao cho uf = gu Theo nhận xét trên ta được

o(f + Ker(y)) = 9+ J(End(X)) € Im(4)

Lấy ó(ƒ + Ker(e)) là phần tử bất kì thuộc /n(ó) Ta có

(+ J(Z2nd(X)))2Π+ ker(g))

= o(f + ker(y))(f' + ker(¢))

= (ff + ker(y)) €€ Im(d)

Vậy Tm(ø) bất biến dưới phép nhân trái bởi phần tử khả nghịch của End(M)/J(End(M))

'Theo bổ đề trên ta được /m(ø) là vành chính quy von Neumamn nên End(M)/Ker(y) cũng vậy Do đó, J(End(M))/Ker(e) = 0 hay J(End(M)) C Ker(y)

Bãy giờ với mọi ƒ e Ker(¿) ta có ¿(f) = øg+ J(End(X)) = 0 với g € End(X) thoả

uf = gu Suy ra g€ J(End(X)), do đó 1— ø khả nghịch trong J(End(X)) Do M

là môđun x bất biến đẳng cấu, (1 — ø)~! là một tự đẳng cấu của X nên tồn tại

h € End(M) sao cho (1 — g)~!u = uh Khi d6

w= (1-9) 1(1-g)u = (1-g)'(u—gu) = (1-9) (u-uf) = (l-g)""u(1— f) = uh—f)

đồng thời

ứ =(1— ø)}{(1— g)u = (1— g)uh = (w— gu)h = (6— uƒ)h = u(L— J)h

Do œ là đơn cấu, như nhận xét trên ta được 1— ƒ là khả nghịch hay ƒ € J(End(M)) Vậy J(End(M)) = Ker(e) Do đó, End(M)/J(End(M)) vành chính quy von Neumann

Cuối cùng, lấy ƒ+J(End(M)) là phan ttt ny dang cla Bnd(M1)/J(End(M)) Khi

đó, tồn tại ø € /nd(X) thoả wf = gu hay g+J(End(X)) = 6(f+J(End(M))) Vi f+ J(End(M)) là luỹ đẳng nên g+J(End(X)) là phần tử luỹ đẳng của End(X)/J(End(X))

Do g + J(End(X)) nang médun J(End(X)), nên tồn tại phần tử luỹ đẳng e của

19 End(X) sao cho g + J(End(X)) = e+ (End(X)) hay g — e € J(End(X)) Theo bổ

đề trên, tồn tại k € J(Ƒnd(A/)) sao cho (g — e}u = uk Suy ra, gu — u = eu hay u(ƒ — k) =cu Vậy @(ƒ — k) =e + J(End(X)) Như vậy

u(ƒ — k)? = eu(J — k) = cŸu = eu = t(ƒ — k)

Do wv đơn câu nên (ƒ — k)? = (ƒ— k) Vậy (ƒ — È) là phần tử luỹ đẳng của End(M) và thoả ƒ + J(end(M)) = (Ƒ — R) + J(End(M)) Hay các luỹ đẳng của End(M)/J(End(M)) nang modulo J(End(M))

CHƯƠNG 2 CAC MODUN THOA MAN TINH CHẤT

SCHRODER-BERNSTEIN

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu các môdun bất biến dưới các đồng

cấu của 4-bao tổng quát thoả mãn tính chất Schröder-Bernstein Các kết của của chương này chúng tôi tham khảo trong tài liệu ([13|)

Theo định lý Sehröder-Bernstein chúng ta có nếu tồn tại đơn cấu ƒ: 4> B và

đơn cấu ø: 8 — A thì tồn tại một song ánh Ð : A4 —> Ö

sao cho gou = ƒ

"Theo định nghĩa của #-đơn câu tỉnh mạnh +: A7 —> W thì chúng ta kiểm tra wu

là đơn cấu

Bổ đề 2.1 Cho w: N — AI là một đồng cấu Tụ có các mệnh đề tương đương sau: (1) ula X don céu tinh manh

(2) ww: N + X(N) duge nang bdiu

(3) Hop thank vy ow: N + X(M) la &-tién bao tong quat

Một môđun con W của A/ được gọi là môđun con tỉnh mạnh nếu ánh xạ bao hàm ¡: W — A/ là #-đơn cấu tỉnh mạnh.

21 Cho M 1A R médun phải, ta kí hiệu add[A/| là lớp của tất cả các hạng tử trực tiếp của các tổng trực tiếp hữu hạn của các bản sao của A/ Và ta nói rằng môdun

M la #-đóng tỉnh mạnh nếu bất kì giới hạn trực tiếp của các đơn cấu chẻ ra trong add[A⁄] là một #-đơn cấu tỉnh mạnh

Ví dụ 2.2 Mot vai vi du uề môđun đóng tỉnh mạnh ta sẽ quan tâm trong bài này (1) Cho 4# là lớp tất cả các môđun nội xạ Khi đó mọi môđun là #-đóng tỉnh

và Ø = End(MIp), hơn nữa 5/J(5) là một vành chính quy von Neumann phai tu nội xạ và môđun nâng không đổi J(S)

Mệnh dé 2.3 Cho # là lớp của môdun đóng dưới đẳng cấu tà giả sử bất hà môđưn

có một đơn cấu -bao tổng quát Khi đó cho bất kà Ý-đóng tỉnh mạnh môđun X,

End(X) là tành đối xoắn phải

Đặc biệt, End(X)/J(End(X)) là một uành chính quụ von Neumann phai tu noi

xa va médun nang không đổi J(Ead(X))

Chứng mình

Ta đặt 9 = End(X) Lay bat ki day khdp ngén 0 > Sg 4 L > F > 0 véi F 1a mot S-m6odun phai phang Vi S phang, nén day trén 1A tinh va day nhu vay tao ra day 0—› 9% Xp —> Lớ Xp — Pớ Xp — 0 cũng tỉnh trong # - môdun Ta biết rằng Ƒ

là giới hạn trực tiếp của một họ của hữu hạn tạo ra môdun xạ ảnh Ta nói rằng

F= lim P; Ta kí hiệu bởi ð; : P; 3 F déng cau chinh tac tit P; vao gidi han truc tiếp Ta có sơ đồ giao hoán sau:

0——>#@——> l¡—— P;——›0

| |p [a

0——›8——›L——>Ƒ——0 Trong đĩ hàng trên là tách được, từ 7; là xạ ảnh Hơn nữa, L = lim l¿ Ứng dụng > này của hàm tử — @s X, ta nhận được sơ đồ giao hốn trong R- mơđun như sau:

Tacd L@X = lim L,@X valL@x = lim P,@ X, tt! - %„ X giao hốn với giới

hạn trực tiếp Chú ý rằng S@g X =X va P;& X 1a dang cau với hạng tử trực tiếp của tổng trực tiếp hữu hạn của ảnh X Diều này chứng tỏ rằng w @ X là giới hạn trực tiếp của đơn cấu tách được trong số các mơđun của add[X] và hơn nữa

ta giả sử rằng X là #-mơđun đĩng tỉnh mạnh, điều này cĩ nghĩa rằng ¡ @ X là

#-đơn cấu tỉnh mạnh Vì thế nĩ tồn tại một ánh xạ h: Le X —- S3 X sao cho

ho(wu@ X) = 1sex Ứng dung ham ttt Homp(X,—), ta cĩ sơ đồ trong 6-mơđun như

sau:

Hom(X,S ® X) ——+> Hom(X,L® X) trong đĩ ðs là một đẳng cấu, ơ, ou = Hom(X,u® X)oơg, Hom(X,1sax) 90g = ơs

và Hơm(X,h)o Hom(X,u@ X) = Hom(X, 1sax) Vì vậy og! oHøm(X,h)òơpou = 1s

và điều này chứng tỏ rằng u ché ra Nhu vay, day khdp ngin 0 > Ss 3 L > F > 0

ché ra va do d6 End(X) 1A mot vanh déi xoan phai Kết luận, Znd(X)/J(End(X)) là vanh chinh quy von Neumann phải tự nội xạ và luỹ đẳng năng modulo J(End(X)) Dinh ly 2.4 Cho X € # là một ÄZ-mơđun tỉnh mạnh ồ Y € + là một Ä-mơđun con tỉnh mạnh của X Nếu tồn tại một Ä⁄-đơn cấu tỉnh taạnh u: X Y, thà X =Y

23 Chứng mình

Vì Y e€#, nên Y phải là hạng tử trực tiếp của X Khi đĩ, tồn tại một mơđun con

HH của X sao cho X = H@Y Lúc này

X=HẠY 3H@u(X)=H@u(H)@u(Y)ÐĐ

và hơn nữa, gọi P = @ƒ£Sg#!(H), ta được X 2 P Theo cách xây dựng của P chúng

ta cĩ PnY =@#¡uf(H) = u(P)

Gọi spay : PhY — X(PnY) là #-bao tổng quát của PnY và gọi ø: PhY —> Y

là ánh xạ bao hàm Chú ý rằng Y là #-mơđun đĩng tỉnh mạnh, từ đĩ nĩ là hạng

tử trực tiếp của X Và hơn nữa œ là hợp trực tiếp bao hàm của các ánh xạ bao hàm của các hạng tử trực tiếp Y, nên nĩ là một #-đơn cấu tỉnh mạnh Điều này cĩ nghĩa rằng tồn tại g: Y => X(PY) sao cho go = 0pay, từ đĩ X(PnY) e # Tương

tự, với Y e# và X(PnY) là một #-bao tổng quát thì tồn tại h: X(PnY)->Y sao cho ho pny =0

Dặc biệt, gohòpny = 0pay Vì opay là bao tổng quát, ta kết luận rằng go h là đẳng cấu Vì vậy, h là đơn cấu chẻ ra và Q = /m(h) là một hạng tử trực tiếp của

Y Vì thế, tồn tại một mơđun con kK sao cho Y =Q@K

Lic nay, X =H@O@Y =HO(QEK)=(HOQ)OK Nhu vay, H@Q eX Hon nữa, đồng cấu bao hàm ¿: P — H @@Q cĩ thể được xem nhu i = (177 @ vpnay) : P= TO(PAY) 91 OX(PNY) = 17 OQ Vi thé la một Z-đơn câu tỉnh mạnh Lúc nay, vdi Q € ¥, ta két ludn rang t6n tai»: HQ —> Q sao cho poi =hovpny ou Hơn nữa, h~Ìo oi = 0pay ou Chú ý rằng wu: P + PnY vành: X(PnY)> Q

là đẳng cấu Giống như cách trên, với !ƒ © Q € #, tồn tại ¿: Q — II @@Q sao cho

pohoupny ou=i Diéu nay cho thay yowot=i va poyohoupay =upny Mat

khác, với øpay : PAY X(PnY) là &-bao tong quat va H € #, nên ta cĩ được

¡=(In@0pny):P= H®(PnY) > HœQ là #-bao tổng quát Cả hai ? và epay là bao tổng quát, ta nhận được @o và jo@oh (và hơn nữa o¿) là tự đẳng cấu Vì vậy, cả hai ¿ và ø là đẳng cấu Kết luận, Jo1y:X =(@@Q)@K>(Q@MK=Y

là đẳng cấu Vì vậy, X Y

Ứng dụng định lý trên đến trường hợp của bao nội xạ, bao nội xạ tỉnh và bao đối xoắn, ta nhận được như sau:

Hệ quả 2.5 Cho 12 la mét médun

(1) Néu EF la médun noi xa va E' la médun con ndi œ@ của P` sao cho ton tai mot đơn cấu u: ÐÖ + E! thì E E',

(2) Nếu E la médun noi xa tinh va E' la médun con nội œq tỉnh của E sao cho ton tại một môđun tỉnh đơn cấu u: B — E! thà B % F'

(3) Nếu E là môdun đối soắn phẳng va B! la médun con tinh cia E sao cho E cũng là đối xoắn phẳng tà tồn tại một đơn cấu tính u: Ð — E' thà P % PL

#x(w): X(M) —¬ X(N) là phép chiếu chính tắc Ta có 0y ow = Zx(A) 9 0ạ/ VÀ

ĐẠI OEN =tX(N)O0N VỚI ty :N — M là ánh xa bao ham va my : M W là phép

chiếu chính tắc Vì A/ là &-bat bién đồng cấu, nén tén tai h : M — M sao cho

vy oh = tx~yy eo fo myn) ova Ta kết luận rang g =myohouy: N +N 1a mot déng cAu N sao cho vy og = fovy Vi thé N 1A mot modun bat bién dong cấu Dinh ly 2.7 Cho M,N la hai X&- modun bat biến dong cau, X-bao tong quat

25 vy: M > X(M) vay : N > X(N) Gia st rang N la X&-dong tink manh va M

là một A' môđun con tỉnh mạnh của N Nếu tồn tại một A-đơn cấu tinh mạnh w:N ÁI, th M %N

g:X(M) — X(M) sao cho go (fo fi) = 1x(¡)- Ngoài ra, vì A/ là Z-bất biến đồng cấu, nên tồn tại một đồng cấu ổ : Aƒ —› M sao cho vyyod = gouy Diều này dẫn đến, vypodouow! = gouyouow’ = go foovyouw! = go foo fiovns = UM Ti dé va, 1A mot đơn

cầu và douow" JA dang cAu Vi vay, w’ Id don cu ché ra va điều này dẫn đến rằng 4í là

hạng tử trực tiếp của NM Vì thế, tồn tại một môđumn con H của sao cho ý = H@MM

Lúc này, N = H@À Ð 1 @u(N) = H @u(H) Gu(M) 2 2 GP, gu'(H)@u°(M) Đ

Gọi P= ©#9g#(H) = H®(©#1w'(H)) = HO(PAM) CN Bằng cách xây dựng của P ta có u(P) = PAM Goi vpaw : PAM > X(POM) la &-bao tổng quát của

PhM và ø: PRAI — M là ánh xạ bao hàm Vì œ một hợp trực tiếp của các đơn

cấu bao hàm của các hạng tử trực tiếp của A/, nên nó là #-đơn cấu tỉnh mạnh Vì

tpn là 4-bao tổng quát nên tồn tại một đồng cấu h : X(PAf) + X(M) sao cho

hovpam = vu ow Va vì ¿ là một V-don cấu tỉnh mạnh nên tồn tại một đồng cấu p: X(M) > X(PnM) sao cho po Đạy 000 = ĐPnM: Dặc biệt, po ho 0pnAt = UPnAM

và từ ppaa¿ là #-bao tổng quát, poh = Ix(nai,- Mặt khác, hop là đồng cấu của

X(M) Vi M là #-bất biến đồng cầu nên chúng ta có (ho p)(M) € AI, Điều này có nghĩa h|„/a„j là đồng cấu từ p(M) đến AI

Bây giờ ta chứng minh rằng, Upc) PCM) > X(PnM) là một #-bao tổng quát và

p(M) 1A &-bat biến đồng cấu Cho X” € Ä và ƒ : p(M) —› X” là một đồng cấu Vì ạ¡

là một #-bao tổng quát và X” e # nên tồn tại một đồng cấu aœ : X(A/) — X” sao cho

aovuy = fop|y Luu ý rằng, vm ohm) = hovpca) Va poum = vp(aroPlM, theo dinh

nghĩa của đồng cấu Vì thế, ta có aoh : X(PAM) —> X” với (œoh)oop(x„y = ƒ Ta suy

ra rằng 0a): p(M) + X(PM) là Z-tiền bao tổng quát Hơn nữa, có thể chỉ ra rang vary | PUM) > X(PAM) la &-bao tổng quát Giả sử ¿: X(PAM) > X(PNM)

là một đồng cấu Vì ho¿op là đồng cấu của X(M) và A/ là 4-bất biến đồng cấu, (hoyop)(M) C M Do dé ta có ¿(p(M)) € p(M) Vậy p(M) là 4-bất biến đồng cấu

Hơn nữa, ta có 0y =po9h 9 tp) =9 0M 9 hạ(Ap) = Đp() 9 Pla © hlpcary Va vì p(w) là một đơn cấu, suy ra p|a 9| sa) = 1p(u)- Vì vậy, h|g„y : p(M) — M là đơn cầu chẻ ra và @ = Im(h|s¿w)) = hop(M) là tổng trực tiếp của M Vì vậy tồn tại một

môđun sao cho A! = Q@® 7€ Hơn nữa, N = ƒ@Ä! = H@(Q@K) =(H®(Q)@K

và do đó H @ Q là #-môđmn bất biến đồng cấu

Ngoài ra, phép nhúng chính tắc ¿ : P — H@Q có thể xem như ¡ := (1©(p|u©2)) :

P = H@(PNM) > H@p(M) ~ Neg Vi vay ila một Z-đơn cấu tỉnh mạnh Vì @@

là +-bất biến đồng cấu, tồn tai : H @(@Q — Q sao cho Pot = Alp) o plas ow o up, trong đó ñ[ap : p(M) Q và uy: P + PA là đẳng cấu Mặt khác, vì ¿ là

Z-đơn cấu tỉnh mạnh và # @@Q là &-mddun bat biến đồng cấu, ta nhận được

¿:P=HG(PnM) I@œ(Q là Ä-bao tổng quát Tương tự, tồn tại một đồng

cấu ¿: Q— H@Q sao cho ¿ö hy) 9 p[ạ o0 o up = ý Điều này có nghĩa là popot=iva h| ăn 000 0 hay) ° UPnat) = 0PnM- Và vì cả ¿ và 0pnar là bao tổng quát, ta suy ra rằng ¿o và h| vân ojo¿ehl,a„y là tự đẳng cấu Do đó, theo đó ¿o cũng là một đẳng cấu Vì vậy, cả ¿ và ø đều là đẳng cấu Cuối cùng, VOlgk:N=(1OQ) OK >Q@1#Ý = M là đẳng cấu

Hé qua 2.8 Cho M va N la hai médun

(1) Néu M va N la céc médun tua noi xa sao cho tén tai mot đơn cấu từ M vao

N va mét don cau ttt N uào M thì M = N

(2) Nếu AI bà N là các trôđun Lựa nội #ạ tỉnh sao cho tồn tại một đơn cấu tình tờ