Mặc dù ta không biết liệu các kết quả của các phần trước có thể mở rộng cho các môdun bất biến dưới các đồng cầu của bao tổng quát của chúng trong các trường hợp chung hay không, ta sẽ nghiên cứu câu hỏi này trong các trường hợp cụ thể bao nội xạ và bao nội xạ tỉnh trong phần này. Gần đây, nó được chỉ ra rằng nếu Ä/ và N là môđun bất biến đẳng cấu có chiều Goldie hữu hạn sao cho có một
đơn cấu từ A⁄/ vào W và một đơn cấu từ N vào A/, thì AM N. Ta sẽ mở rộng kết
quả này và cho thấy rằng bài toỏn Schrửder-Bernstein cú một giải phỏp khả quan cho bất kì môđun bất biến đẳng cấu nào.
Ta sẽ biểu thị bao nội xạ của môdun Ä⁄ bởi (AM) và A <° B sẽ có nghĩa rằng
A là môđun con cốt yếu của B. Bay gid ta có thể chứng minh kết quả chính của
phần này.
Định lý 3.1. Gọi M, N là các môđun bất biến đẳng cấu. Nếu tồn tại các đơn cấu
ƒ:M-+>Nbuầàg:N-›M thì M%N.
Chúng mình.
Theo Hệ quả 2.5, ta biết rằng (A7) Z(N). Mặt khác, ta có một sơ đồ
M —s> sm) 5 N 25M
|ằ
AM
trong đó ¡ : /(A/) + N là một đơn cấu chính tắc. Vì A/ bất biến đẳng cấu va gouo f 1A đơn cấu, nên tồn tại ¿ : Ä/ > Ä/ sao cho @ogoo = lạ. Và vì
ƒ: AM —y ƒ(M) là đẳng cấu, điều này có nghĩa là œ : /(A/) —> N chẻ ra và do đó ƒ(M) là tổng trực tiếp của N. Tương tự, ứ(N) là hạng tử trực tiếp của M.
V/Ƒ: AM — ƒ(M) và g: N — g(N) là các đẳng cấu, ta biết rằng F(/(A1)) = F(ứ(N)). Ta tiễn hành chứng minh rằng f(A1) & g(N). Goi h: E(g(N)) 3 E((M)) là một đẳng cấu. Đặt Ä/ = ủ~!{ƒ(W)) ng(N) và N? = h(ứ(N))n f(AL). Theo cach xõy dựng ha, : Af' —y N? là một đẳng cấu. Hơn nữa, vỡ ứ(V) <° ⁄(ứg(N)), nờn ta suy ra h(g(N)) <° E((M)). Tương tự, h~!(ƒ(M)) <° E(g(N)). Vỡ thế, A1 <° (ứ(N)) và
N' <* E(J(M)). Đặc biét, M’ <¢ g(N) va N’ <é f(A). Ta có
MỸ. els yh BN FM)
|
g(N)
6 day way va uy’ la cdc đơn cõu chớnh tỏc. Hơn nữa, ứ(W) là mụđun con của
Af và /(M) là đẳng cấu đến A/. Do đó, ƒ(A/) là bất biến đẳng cấu và vì ua¿ o h[a/:
là đơn cấu nên tồn tại : g(N) > f(M) sao cho o uy, = uy: hịn;. Tương tự, tồn tại ¿: /(M) — g(N) sao cho @ou, = ứaz©h—![yy;. Hợp hành ta nhận được sơ đồ
holly
M! Noo s2" canal
| |ằ |
g(N) — “+ g(M) —“> g(N)
Nag
Vì vậy poyousp = youn oh|yy = uyroh||yroh|an = ugar. Va diéu nay cé nghia
ring (1yv) vow) oun =0. Vì ua là đơn cầu nên ta suy ra rang Ker(1y(n)— pov) là mụđun con cốt yếu của ứg(N) và đo đú (ly) —@â0) € J(End(g(N)) vỡ g(N) là bất biến tự đẳng cấu. Do đó, pow là một đẳng cấu. Tương tự, ở ¿ là một đẳng cấu và do dé ¿: ƒ(M) — g(N) là dang cau. Vi M & f(M) va N % g(N), ta suy ra tằng Aƒ % N.
Hệ quả 3.2. Gọi A1, N là hai môđun bất biến đưới tự đẳng cấu của bao nội œạ lành
của chúng. Nếu tồn tại Ƒ: M —y N tà g: N — AI là các đơn cấu tỉnh thì AI N.
29
Nhận xét 3.3. Các kết quả trên gợi ý rằng có thể mỏ rộng Dinh ly 2.7 trong phần trước thành môđun #-bắt biến đẳng cấu cho uành đồng cấu của bao tổng quát A là đối xoắn phải; uí dụ đối uới các môdun phẳng bắt biến dưới các tự đồng cấu của bao đối soắn của chúng. Tuy nhiên, các phương pháp của chúng đường như thông hoạt động trong thiết lập chung này.
Ví dụ tiếp theo của chúng tôi cho thấy rằng ta không thể suy ra kết quả này từ Dịnh lý 3.1, Hệ quả 3.2 hoặc các kết quả trong phần 2.1. Ví dụ của chúng tôi cho thấy rằng tồn tại các môđun phẳng luôn bất biến dưới các tự đẳng cấu của các bao đối xoắn của chúng nhưng chúng không bất biến dưới tự đồng cấu của các bao đối xoắn của chúng, cũng không phải dưới dạng đẳng cấu của chúng trong bao nội
xạ hoặc bao nội xạ tỉnh và do đó kết quá của chúng tôi không thể được áp dụng cho các môđun này.
Vi dụ 3.4. Gọi K là một trường của đặc trưng không và 5, K - đại số có cấu trúc trong phần 2.1. Khi đó # là vành artin phải không phải là một vành nội xạ tỉnh phải. Vì %s là artin, nên bất kì môđun # là đối xoắn và do đó là bất biến dưới các tự đẳng cấu của bao đối xoắn. Giả sử rằng bất kì tổng trực tiếp của các bản sao của 5% là bất biến dưới đẳng cấu của bao nội xạ tỉnh của nó. Với char(K) = 0, điều này có nghĩa rằng bất kì tổng trực tiếp nào của các bản sao 5s cũng là bất biến dưới đẳng cấu của bao nội xạ tỉnh của nó và do đó H(Sg) la Đ-tựa nội xạ trong phạm tri: D. Nhung sau dé, E(H(Ss)) la &-ndi xa va điều này có nghĩa rằng bao nội xạ tỉnh của % là nội xạ tỉnh. Do đó, S„ cũng là 5-nội xạ tỉnh như nó là môđumn con tỉnh của bao nội xạ tỉnh của nó, mâu thuẫn. Do đó, ta kết luận rằng
tồn tại một tập hệ số 7 sao cho a không phải là bất biến dưới đẳng cấu của bao noi xa tinh cia nd. Goi Mg = Sh.
Bay gid R 1A vanh cia tat cd cac day khong déi cuéi cing trén Fh trudng ctia hai nguyên tố. Ta biết rằng R là vành chính quy von Neumamn, va Ry la modun bất biến đẳng cầu mà không phải là tựa nội xa. Vì thế, nó không thể bất biến dưới
đồng cấu của bao đối xoắn của nó, cũng như bao nội xạ tỉnh của nó.
Chúng ta hãy xem xét vành #x § và Rx 5-môdun phải Rx M. Khi đó:
(1) ủx M là phẳng và nú bất biến dưới đẳng cấu của bao đối xoắn của nú, vỡ lu va Mp cing vay.
(2) ủx A/ là khụng bất biến dưới đồng cấu của bao đối xoắn của nú, vỡ nếu khụng
thì #„ cũng vậy.
(3) R.x A/ là không bất biến đẳng cấu của bao nội xạ tỉnh của nó, vì nếu không thi Mp cing vay.
31