MỘT SỐ KIÊN THỨC CHUẨN BỊ
1.5 Bao nội xa tinh cua médun
Nhác lại rằng một dãy khớp ngắn của các #-môđun phải 0—>Mí > N—>L—>0
được gọi là dãy khớp ngắn tỉnh nếu với mỗi # - môđun trái A, ta có dãy khớp ngắn
0>Ä/@A—>N@A->”"@A—0
Diều kiện trên có thể hiểu là nếu Aƒ — N là một đơn cấu thì suy ra A14 A1 — N@A cũng là một đơn cấu. Khi đó, ta nói A/ là môđun con tỉnh của N, hay N 1a mé rộng tỉnh của A/, hay đồng cấu A/ -› X là tỉnh. Warfield đã định nghĩa môđun nội xạ tỉnh như sau:
Định nghĩa 1.5.1. Một N-môđun phái D được goi la ndi aa tinh néu sd dd sau giao hoán đối uới mỗi dãy khớp tình
0— N — M — L— 0
kế g P.
Tite IA, Hompy(M, P) > Homp(N, P) > 01a khép véi bat ky médun con tinh N cia M.
Ví dụ 1.5.2. (1) Mọi môđun nội sạ đều là nội wa tinh.
(2) Với bắt kỳ R - môdun trái N thì môđun N* = Homz(N,Q/2) là R - môđun phải
nội va tinh.
'Ta biết, mọi môđun đều có thể nhúng vào một môđun nội xạ, đối với môđun nội xạ, ta có kết quả sau
Chứng mình.
Xét dãy khdp tinh bat ky 0 > A > B —> Œ— 0. Khi đó theo định nghĩa của đấy khớp tỉnh thỡ 0>; A@ ý => BEN ơ>Œ@ N 501 khộp. Vi Q/Z la Z mụdun nội
xạ nên biểu đồ san giao hoán
0————>1@N BON CaN 0
a git
Q/Z
Hay
Homz(B @ N,Q/2) 3 Homz(N & N,Q/2) —š 0
Mặt khác,
Hơmz(B N,Q/2) 3 Homn(B, Homz(N,Q/2)).
Homz(A ® N,Q/Z) = Homr(A, Homz(N, Q/Z)) Nén
Homz(B ® N,Q/Z) = Homr(B, Homz(N, Q/Z)) 4 Homz(B ® N, Q/Z) = Homp(A, Homz(N, Q/Z))
Tức là biểu đồ sau cũng giao hoán đối với mọi dãy khớp tỉnh
0 A B C 0
i ce
Homz(N, Q/Z)
Nhu vay theo dinh nghia thi N* = Homz(N,Q/Z) la R médun phai nội xa tinh.
Ta biết mọi môđin đều có thể nhúng vào một môđin nội xa, đối với môđun nội xạ tỉnh, ta có kết quả sau.
Bổ đề 1.5.3. Mọi R-môdun phải M có thể được nhúng như là một môđun con tính vio mot médun ndi xa tinh.
Mệnh đề 1.5.4. Với N-môđun phải bất kỳ M, đồng cấu chuẩn chính tắc ơ : M —
13
M* = Homg(Homz(M, Q/Z), Q/Z) la tinh. Hon nita, M la noi va tinh néu va chỉ nếu AI là hạng tử trực tiếp của M”*.
Gọi PE là lớp tất cả các R-môđun phải nội œạ tỉnh. Khi đó, uới bất kỳ R phải M, một PE-bao tổng quát của M được ký hiệu là PE(M).
Dễ thấy rằng ¿ : Af — PE(A/) là đơn câu do mỗi môđun có thể nhúng được vào
môđun mọi nội xạ là nội xạ tỉnh. Do đó, từ biểu đồ giao hoán của P#£-tiền tổng
quát ở trên, suy ra ¿ là đơn cấu. Chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của bao nội xạ tỉnh qua các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.5.5. Mỗi H-mnôdun có tiền bao nội #ạ tính.
Chứng mình:
Dễ dàng kiểm tra dãy khớp ngắn cảm sinh tự nhiên 0> M— M D0
là một tiền bao của AM, với A!** = Homg(Homz(M, Q/Z), Q/Z).
Định lý 1.5.6. Mỗi R-médun M có bao nội xa tinh.
Định nghĩa 1.5.7. Cho P là mở rộng tính của R-médun phai M, ta noi P la md rộng tỉnh cốt yếu của M nếu không tồn tại môđun con 5 < P tới SnM = 0 va (S@M)/S(% M) là tính trong P/S.
Định nghĩa 1.5.8. Một mở rộng tỉnh P của NI được gọi là bao nội va tinh cia M nếu P là nội œạ tỉnh oà là mở rộng tính cốt yếu của M.
Mệnh đề 1.5.9. Mỗi R-môdun AI tồn tại bao nội xa tinh va sai khdc nhau một đẳng cấu.
Giống như môdmn nội xạ: mỗi mở rộng cốt yếu đều nhúng được vào mở rộng nội xạ. Dối với môđun nội xạ tỉnh ta có:
Mệnh đề 1.5.10. Nếu P là bao nội xa tình của AM tà ƒ: M —› Q là phép nhúng của AI như là trôằun con tink trong médun noi va tình Q, thà Ƒ mở rộng đến một
đồng cấu P > Q nhúng P như là médun con tinh ctia Q.
Kết quả sau cho thấy sự đồng nhất giữa hai cách tiếp cận khác nhau này.
Định lý 1.5.11. Đối 0ới R-môdun AI các điều kiện sau là tương đương:
(1): AI P là bao nội œạ tỉnh của M.
(3): M — P là PE(M)-nội xa tinh.
Chứng mãnh. (1) — (2). Xét biểu đồ giao hoán
M*
đồng cấu ƒ xác định vì A/** là nội xa tinh va P là bao nội xạ tỉnh của A/. Nhưng vio la tinh, o = fy kéo theo ¿ cũng tỉnh. Tiếp theo ta chứng minh mở rộng này
là tỉnh cốt yếu. Xột < P là mụdun con với ỉfnAƒ = 0 và (Ä â S)/S tinh trong P/S. Xét biểu đồ
P
Vi M = (M@S)/S nộn M > P/S la tinh va P ndi xa tinh, suy ra đồng cấu ứ
tồn tại. Dễ đàng thấy ¿ = (ứh)¿. Suy ra ứh là đẳng cấu, do đú h là đơn cấu điều này xảy ra khi 9 =0 (vì nếu h đơn cấu thì h là đẳng cấu).
(2) > (1). Vi P 1a ndi xa tinh va 0 > M > P la tỉnh, nên ¢ 1a tiền bao nội xạ tỉnh của A/. Theo định lý trên thì A/ có bao nội xạ tỉnh, gọi nó là M — P. Khi đó
tồn tại biểu đồ giao hoán.
Ss
4c---hg(---V oe SS ờ
Vỡ ƒ:A/ — P! là bao tổng quỏt, ứh là tự đẳng cấu của ?/. Do đú 8 = ker(ứ) là hạng tử trực tiếp của P tinh trong P. Vi MNS =0,S =0. Do đó g là tự đẳng cấu,
suy ra M/ © P là bao nội xạ tỉnh.