Lớp môđun xạ ảnh trên vành các ma trận chuẩn

MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU 2.1 Mục tiêu tổng quát: Luận văn tập trung nghiên cứu về môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn, và các khái niệm, tính chất liên quan đến lớp các môđun này.. 2.2 Mục t

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN HOÀNG QUỲNH THI

LỚP MÔĐUN XẠ ẢNH TRÊN VÀNH CÁC MA TRẬN CHUẨN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2019

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

Đà Nẵng - 2019

MỤC LỤC

Mở đầu 6

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9

1.1 MÔĐUN 9

1.1.1 ĐỊNH NGHĨA MÔĐUN 9

1.1.2 MÔĐUN CON 9

1.1.3 SONG MÔĐUN 11

1.1.4 ĐỒNG CẤU MÔĐUN 11

1.2 DÃY KHỚP 12

1.3 MÔĐUN XẠ ẢNH 12

1.4 TÍCH TENXƠ 13

1.4.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 13

1.4.2 TÍCH TENXƠ VÀ ĐỒNG CẤU 15

1.4.3 TÍCH TENXƠ CỦA CÁC DÃY KHỚP 16

1.5 VÀNH ARTIN VÀ NƠTE 16

1.6 CĂN JACOBSON 18

1.6.1 IĐÊAN NGUYÊN THỦY VÀ NỬA NGUYÊN THỦY 19

CHƯƠNG 2 VÀNH MA TRẬN CHUẨN 20

2.1 CẤU TRÚC VÀNH MA TRẬN CHUẨN 20

2.2 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ VÀNH MA TRẬN CHUẨN 25

2.3 MỘT SỐ IĐÊAN TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN 26

2.4 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH MA TRẬN CHUẨN 27

2.4.1 VÀNH MA TRẬN CHUẨN LÀ VÀNH ARTIN, NƠTE 27 2.4.2 CẤU TRÚC CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN

2.4.3 MÔĐUN CON VÀ MÔĐUN THƯƠNG CỦA K -MÔĐUN

TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN 33

2.5 CĂN VÀ ĐẾ CỦA VÀNH MA TRẬN CHUẨN 34

CHƯƠNG 3 MÔĐUN XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN DI TRUYỀN TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN 38

3.1 MÔĐUN XẠ ẢNH TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN 38

3.2 MÔĐUN DI TRUYỀN TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN 45

KẾT LUẬN 49

Tài liệu tham khảo 50

NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

A ⊆ B A là tập con của B

A ⊂ B A là tập con thực sự của B

A ≤ B A là môđun con của B

A ≤ e B A là môđun con cốt yếu (lớn) của B

A  B A là môđun con đối cốt yếu (bé) của B

A < B A là môđun con thực sự của B

A  B A không là môđun con của B

Ker(ϕ) Hạt nhân của đồng cấu ϕ

Im(ϕ) Ảnh của đồng cấu ϕ

R × S Tích trực tiếp của vành R và S

EndG vành tự đồng cấu của một nhóm aben G

HomR (A, B) nhóm các đồng cấu từ R-môđun A vào R-môđun B

MỞ ĐẦU

I HỌC VIÊN CAO HỌC:

1 Họ và tên: Nguyễn Hoàng Quỳnh Thi

2 Sinh ngày: 20/04/1993

3 Học viên lớp cao học: Khóa 35

4 Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

5 Mã ngành: 60.46.01.04

II THÔNG TIN VỀ NGƯỜI HƯỚNG DẪN:

1 Họ và tên: Trương Công Quỳnh

2 Học hàm, học vị: Phó giáo sư, Tiến sĩ

3 Chuyên ngành: Đại số, Hình học

4 Đơn vị công tác: Đại học sư phạm Đà Nẵng

III THÔNG TIN VỀ ĐỀ TÀI:

Tên đề tài: Lớp môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn

1 GIỚI THIỆU

1.1 Đặt vấn đề

Khái niệm ma trận và môđun đóng vai trò rất quan trọng trong toán họcthuần túy và ứng dụng Lý thuyết vành và môđun, lý thuyết về ma trận làmột trong những lý thuyết cơ bản, đóng vai trò chủ chốt trong lĩnh vực Đại

số Trước đây ta đã được tìm hiểu ma trận với các phần tử thuộc các tập hợp

số (vd: 1 42 3

!

), cùng các tính chất tương ứng của nó Ma trận với vành cũng

đã và đang được nghiên cứu và sử dụng rộng rãi trên thế giới, chẳng hạn nhưnhà toán học Brown với ma trận trên vành giao hoán, McDonal với Đại sốtuyến tính trên vành giao hoán, hay Golan với nửa vành và ứng dụng, VàKrylov-Tuganbaev với vành ma trận chuẩn, với các phần tử của ma trận thuộccác vành hoặc song môđun khác nhau

1.2 Tính cấp thiết của đề tài

Vậy vành ma trận chuẩn là gì? Tính chất của vành ma trận chuẩn như thếnào? Và môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn được định nghĩa như thế nào?

Để góp phần trả lời các câu hỏi và làm phong phú hơn về vành ma trận, cungcấp những kiến thức có liên quan đến việc nghiên cứu về vành ma trận chuẩn,tôi chọn “ Lớp môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn” làm đề tài luận văncủa mình.

2 MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

2.1 Mục tiêu tổng quát:

Luận văn tập trung nghiên cứu về môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn,

và các khái niệm, tính chất liên quan đến lớp các môđun này

2.2 Mục tiêu cụ thể:

- Nghiên cứu khái niệm vành ma trận chuẩn cấp 2

- Chỉ ra được một số iđêan, tính chất của vành ma trận chuẩn cấp 2

- Cung cấp một số khái niệm môđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn cấp

2, từ đó phát triển khái niệm môđun di truyền trên vành ma trận chuẩn cấp 2

3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Ma trận chuẩn cấp 2, môđun xạ ảnh, môđun di

truyền trên vành ma trận chuẩn cấp 2

3.2 Phạm vi nghiên cứu

+ Phạm vi không gian: Trường Đại học sư phạm Đà Nẵng, thư viện.+ Phạm vi thời gian: tháng 11/2018-10/2019

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp logic Toán

2 Phương pháp chứng minh khoa học

3 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

5 TỔNG QUAN TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bàytrong ba chương:

Chương 1 trình bày các khái niệm về môđun, dãy khớp, môđun xạ ảnh, cáckhái niệm về tích tenxơ, vành Artin, Nơte và căn Jacobson

Chương 2 trình bày về cấu trúc của vành ma trận chuẩn và cấu trúc của cácmôđun trên vành ma trận chuẩn cấp 2

Chương 3 trình bày nội dung chính của luận văn, bao gồm các khái niệm vềmôđun xạ ảnh trên vành ma trận chuẩn cấp 2, môđun di truyền trên vành ma

trận chuẩn cấp 2.

Luận văn có thể giúp các bạn sinh viên xem như tài liệu tham khảo nhữngkiến thức liên quan đến ma trận chuẩn cấp 2, môđun xạ ảnh và môđun ditruyền trên vành ma trận chuẩn

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ nhắc lại những kiến thức cơ bản về vành và môđun, môđun

xạ ảnh, dãy khớp, tích tenxơ của các môđun, vành Artin, Nơte, căn Jacobson

và vành nguyên thủy, nửa nguyên thủy

Nội dung chương được tham khảo từ [1], [2]

trong đó m, m1, m2 là các phần tử tùy ý của M, r1, r2 ∈ R.

Lúc đó R được gọi là vành cơ sở Nếu M là một R-môđun phải ta thường kí hiệu M = M R Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm R-môđun trái.

Mệnh đề 1.1.2 Cho M R Lúc đó ta có:

0M r = 0 M , m0 R = 0M , −(mr) = (−m)r = m(−r) với mọi m ∈ M, r ∈ R.

1.1.2 MÔĐUN CON

Định nghĩa 1.1.3 Cho M là R-môđun phải Tập con A của M được gọi

là môđun con của M (kí hiệu A≤M hay A R ≤ M R ), nếu A là R-môđun phải với phép toán cộng và nhân môđun hạn chế được trên A.

Định lý 1.1.4 Giả sử M là một R-môđun phải Nếu A là tập con khác

không của M thì các điều kiện sau là tương đương:

(1) A≤M.

(2) A là nhóm con của nhóm cộng của môđun M và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta

có ar ∈ A.

(3) ∀a1, a2 ∈ A ta có a1 + a2 ∈ A, và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A.

Lưu ý Vì vành được xét như là R-môđun phải (trái), nên ta chú ý rằng

iđêan phải (trái) của vành R chính là môđun con của R R (R R) Ví dụ (1) Mỗi

môđun M có hai môđun con tầm thường là {0} và M, trong đó {0} là môđun con chỉ có một phần tử là phần tử không của môđun M.

(2) Cho M R và m0 ∈ M Lúc đó ta có thể thấy

n

m0R := m0r|r ∈ Ro

là môđun con của M.

Bổ đề 1.1.5 Cho X là tập con của M R Khi đó:

là môđun con của M.

Định nghĩa 1.1.6 Môđun A được xác định như trên được gọi là môđun

con của M sinh ra bởi tập X.

Định nghĩa 1.1.7 (1) Môđun M R được gọi là đơn nếu M 6=0 và

∀A ≤ M [A = 0 hay A = M ], nghĩa là M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con là 0 và M.

(2) Vành R được gọi là đơn nếu R 6=0 và

∀A ≤ R R R [A = 0 hay A = R], nghĩa là R 6=0 và R chỉ có hai iđêan (hai phía) là 0 và R.

(3) Môđun con A 6=M được gọi là môđun con cực tiểu của môđun M nếu A 6=0

Định nghĩa 1.1.10 Đồng cấu α : A R → B R được gọi là đơn cấu nếu nó

là đơn ánh, toàn cấu nếu nó là toàn ánh, và được gọi là đẳng cấu nếu α là song

ánh, nghĩa là nó vừa toàn cấu vừa đơn cấu

Mệnh đề 1.1.11 (1) Nếu f : L R → M R và g : MR → N R là các đồng cấu môđun, thì hợp thành gf của chúng cũng là đồng cấu R-môđun.

(2) Nếu f,g đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) thì gf cũng vậy.

(3) Ánh xạ ngược f−1 của một đẳng cấu cũng là một đẳng cấu.

Định lý 1.1.12 Mỗi đồng cấu của các môđun phải α: A → B đều có thể

phân tích được α = α0ν, trong đó đồng cấu

ν : A → A/Ker(α)

là toàn cấu chính tắc, còn α0 là đơn cấu xác định bởi

α0 : A/Ker(α) 3 a + Ker(α) 7→ α(a) ∈ B

Đơn cấu α0 là đẳng cấu khi và chỉ khi α là toàn cấu.

Hệ quả 1.1.13 Cho α : A R → B R là đồng cấu R-môđun Lúc đó:

Cho U R là một môđun Nói chung các hàm tử Hom R (U, −) và Hom R (−, U )

là không khớp Tuy khiên trong một vài trường hợp đặc biệt, các hàm tử

Hom R (U, −) và Hom R (−, U ) là khớp Ta sẽ xét chúng như sau:

Định nghĩa 1.3.1 Cho U R là một môđun Nếu M R là một môđun, thì U được gọi là xạ ảnh theo M (U là M -xạ ảnh) trong trường hợp với mọi toàn cấu

g:M R → N R và mỗi đồng cấu ν : U R → N R , tồn tại một R-đồng cấu ν : U → M sao cho biểu đồ sau đây giao hoán; nghĩa là v ◦ v = g

Mệnh đề 1.3.2 Cho U và M là các R-môđun phải Lúc đó các điều kiện

sau là tương đương.

(1) U là M-xạ ảnh.

(2) Mọi dãy khớp ngắn trong Mod-R với M nằm giữa

0 → K −→ M f −→ N → 0 g

thì dãy sau cũng khớp

0 → Hom R (U, K) −→ Hom f ∗ R (U, M )−g∗ → Hom R (U, N ) → 0.

(3) Với mỗi môđun con K R ≤ M R , mỗi R-đồng cấu h : U → M/K, tồn tại

h : U → M sao cho ηK ν = ν trong đó ηK là toàn cấu tự nhiên từ M vào M/K.

Mệnh đề 1.3.3 Cho M là một R-môđun phải và (U α)α∈A là tập các môđun Lúc đó ⊕ AUα là M-xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi U α là M-xạ ảnh.

R-Định nghĩa 1.3.4 Cho P R là một môđun Lúc đó P được gọi là xạ ảnh nếu P là M -xạ ảnh với mọi R-môđun phải M Nghĩa là với mọi toàn cấu β:

B → C, với B,C là các R-môđun phải và mỗi đồng cấu ψ: P → C tồn tại một

đồng cấu λ: P → B sao cho ψ = βλ, nghĩa là biểu đồ sau đây giao hoán

(3) Mọi toàn cấu β: B → C thì ánh xạ

Hom R(1P , B) : Hom R (P, B) → Hom R (P, C)

Định lý 1.3.8 Một môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P đẳng cấu với

hạng tử trực tiếp của môđun tự do nào đó.

1.4 TÍCH TENXƠ

1.4.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT

Định nghĩa 1.4.1 Cho R-môđun phải M R , R-môđun trái R N và nhóm

aben A Ánh xạ β:M × N → A được gọi là song tuyến tính trong trường hợp với mọi m, m1, m2 ∈ M , n, n1, n2 ∈ N và r ∈ R, β thỏa mãn

(1) β(m1 + m2, n) = β(m1, n) + β(m2, n)

(2) β(m, n1 + n2) = β(m, n1) + β(m, n2).

(3) β(mr, n) = β(m, rn).

Định nghĩa 1.4.2 Cho M R và R N là các môđun Cặp (T, τ ) bao gồm

một nhóm aben T và một ánh xạ song tuyến tính τ : M × N → T được gọi là tích tenxơ của M và N nếu với mọi nhóm aben A và mọi ánh xạ song tuyến tính β: M × N → A tồn tại duy nhất Z-đồng cấu (nghĩa là đồng cấu nhóm f :

T → A) sao cho biểu đồ sau giao hoán:

M × N τ //

β $$

T f

A

Nhận xét 1.4.3 (1) Nếu (T, τ ) là tích tenxơ của M và N thì rõ ràng

f ◦ τ cũng là ánh xạ song tuyến tính với mọi đồng cấu nhóm f : T → A.

Vậy (T, τ ) là tích tenxơ của M và N khi và chỉ khi với mỗi nhóm aben A

HomZ (T, A) 3 f → f ◦ τ ∈ nβ|β : M × N → Ao, với β là ánh xạ song tuyến

tính, là một song ánh

(2) Nếu (T, τ ) là tích tenxơ của M và N thì τ (M × N ) sinh ra nhóm T.

Mệnh đề 1.4.4 Nếu (T, τ ) và (T’, τ ’) là hai tích tenxơ của M và N thì

lúc đó tồn tại một Z- đẳng cấu f: T → T’ sao cho biểu đồ sau giao hoán:

M × N τ //

τ0 $$

T f

T0nghĩa là τ0 = f ◦ τ

Mệnh đề 1.4.5 Với T và τ xác định ở trên, (T,τ ) là tích tenxơ của M R

và RN

Qua các mệnh đề vừa nêu ta nhận thấy

Nhận xét 1.4.6 Khi cho M R, R N và (T,τ ) là tích tenxơ vừa mới thiết

lập, thì

(1) (T,τ ) xác định duy nhất sai khác một phép đẳng cấu, ta viết T = M ⊗ R N

(2) Với mỗi (m, n) ∈ M × N , τ (m, n) = m ⊗ n (τ còn được gọi là ánh xạ tenxơ) (3) Tập sinh của M ⊗ R N là nm ⊗ n|m ∈ M, n ∈ No

Mệnh đề 1.4.7 Với mỗi ánh xạ song tuyến tính β: M × N → A tồn

tại duy nhất một đồng cấu nhóm aben f: M⊗ S N → A sao cho với mọi m ∈M,

n ∈N: f (m ⊗ n) = β(m, n).

Mệnh đề 1.4.8 Với mỗi phần tử của M ⊗ N có thể được biểu diễn

dưới dạng tổng hữu hạn i (m i ⊗ n i ), m i ∈ M, n i ∈ N Ngoài ra, ∀m1, m2 ∈

Cho A là nhóm aben hữu hạn, gọi a ∈A là một phần tử tùy ý sao cho na=

0 với n là số nguyên dương nào đó Khi đó với mọi r ∈ Q∗ ta có: r ⊗ a =

1.4.3 TÍCH TENXƠ CỦA CÁC DÃY KHỚP

Mệnh đề 1.4.14 Cho RM và dãy khớp các R-môđun phải

Định nghĩa 1.5.1 Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa

mãn điều kiện dãy tăng (ACC) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≤ L2 ≤ L3 ≤ ≤ L n ≤

trong L, tồn tại n ∈ N để cho L n+1 = L n (i=1,2, ).

Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa mãn điều kiện dãy giảm

(DCC) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≥ L2 ≥ L3 ≥ ≥ L n ≥

trong L, tồn tại n ∈ N để cho L n+1 = L n (i=1,2,3, ) Cho hai dãy hữu hạn các môđun con nào đó của một môđun A.

0 = B0 ≤ B1 ≤ B2 ≤ ≤ B k−1 ≤ B k = A

(ký hiệu là B), và

0 = C0 ≤ C1 ≤ C2 ≤ ≤ C l−1 ≤ C l = A (ký hiệu là C) Lúc đó ta định nghĩa độ dài của dãy B là k.

Dãy B được gọi là đẳng cấu với dãy C, ký hiệu B ' C, nếu tồn tại song

ánh ∂ giữa các tập các chỉ số I đối với B và tập các chỉ số J đối với C, mà

Bi/Bi−1 ' C ∂(i) /C∂ (i)−1 , i = 1, 2, , k.

*) Dãy B được gọi là dãy hợp thành đối với A nếu với mọi i=1,2,3, ,k, B i−1

cực đại trong B i Điều này tương đương với B i /B i−1 đơn

*) Môđun A được gọi là có độ dài hữu hạn nếu A=0 hay A có dãy hợp thành.

*) Môđun M R được gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng các môđun nào đó của

M đều có phần tử cực đại.

*) Môđun M R được gọi là Artin nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con nào đó

của M đều có phần tử cực tiểu.

*) Vành R được gọi là Nơte phải (Artin phải) nếu môđun R R là Nơte (Artin)

Định lý 1.5.2 (Định lý Jordan-Holder-Schreier) Bất kì hai dãy

hợp thành của một môđun có độ dài hữu hạn đã cho đều đẳng cấu với nhau.

Định lý 1.5.3 Cho M R và A ≤ M

(I) các điều kiện sau là tương đương:

(1) M là Artin.

(2) A và M/A là Artin.

(3) M thỏa mãn DCC đối với tập các môđun con.

(4) Mỗi môđun thương của môđun M hữu hạn đối sinh.

(5) Trong tập A i , i ∈ I6=0 các môđun con của môđun M tồn tại tập con hữu hạn A i , i ∈ I0 (nghĩa là I0 ⊆ I hữu hạn) sao cho

\

i∈I

Ai = \

i∈I0Ai.

(II) Các điều kiện sau là tương đương:

(1) M là Artin và Nơte.

(2) M là môđun có độ dài hữu hạn.

Hệ quả 1.5.4 Cho M là R-môđun phải

(1) Nếu M = Pn

i=1 Mi, Mi ≤ M, M i Nơte (Artin) thì M Nơte (Artin).

(2) Nếu R là vành Artin (Nơte) phải thì mọi môđun hữu hạn sinh MR là Artin (Nơte).

(3) Vành thương của vành Nơte (Artin) phải cũng là vành Nơte (Artin) phải.

Định nghĩa 1.6.2 (1) Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.6.1(1)

được gọi là căn (Radical) của M, ký hiệu là Rad(M).

(2) Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.6.1(2) được gọi là đế (Socle) của

M sao cho đế của nó trùng với nó.

Hệ quả 1.6.4 (1) Nếu C ≤ M thì Rad(C) ≤ Rad(M ) và Soc(C) ≤

Hệ quả 1.6.7 J(R) là iđêan hai phía của vành R, lớn nhất (theo quan

hệ bao hàm) trong số các iđêan I thỏa mãn 1 − a là khả nghịch hai phía, với mọi a ∈ I

Định nghĩa 1.6.8 Iđêan phải (trái) J của vành R được gọi là lũy linh

nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho J n =0 Iđêan J được gọi là linh nếu mọi phần tử của J là lũy linh.

Định nghĩa 1.6.9 Căn Jacobson của vành R chứa tất cả các iđêan phải

(trái) linh của vành R.

1.6.1 IĐÊAN NGUYÊN THỦY VÀ NỬA NGUYÊN THỦY

Định nghĩa 1.6.10 (1) Một iđêan P trong vành R được gọi là iđêan

nguyên thủy phải (trái) nếu P = ann R (A) với A là một R-môđun đơn phải

(trái) nào đó

(2) Một vành R được gọi là nguyên thủy phải (trái) nếu 0 là một iđêan nguyên thủy phải (trái) của R, tức là R có một môđun đơn phải (trái) trung thành.

Định nghĩa 1.6.11 Vành R được gọi là nửa nguyên thủy (nửa đơn

Ja-cobson) nếu J(R)=0 Iđêan I được gọi là iđêan nửa nguyên thủy (hay J -iđêan) trong vành R nếu J(R/I)=0

Định lý 1.6.12 Cho vành R, các điều kiện sau là tương đương:

(1) R là vành Artin phải và nửa nguyên thủy.

(2) R là vành Artin trái và nửa nguyên thủy.

(3) R là vành nửa đơn.

CHƯƠNG2 VÀNH MA TRẬN CHUẨN

Trong chương này tôi trình bày định nghĩa các vành ma trận chuẩn cấp 2,các tính chất chính của chúng, một số ví dụ, một số iđêan trên vành ma trậnchuẩn cấp 2 và mối quan hệ giữa các vành ma trận chuẩn cấp 2, vành tự đồngcấu của các môđun, cũng như mô tả căn Jacobson, căn nguyên tố của vành matrận chuẩn cáp 2 Đồng thời chương này cũng trình bày tính chất của vành matrận chuẩn cấp 2 khi là Artin hoặc Nơte, xem xét cấu trúc của các môđun vàmôđun con (căn và đế) trên vành ma trận chuẩn cấp 2

Nội dung chương này được tham khảo từ tài liệu [14]

2.1 CẤU TRÚC VÀNH MA TRẬN CHUẨN

Định nghĩa 2.1.1 Cho R, S là các vành, M là một R-S -song môđun và

N là một S-R-song môđun Ta định nghĩa K là tập tất cả các ma trận có dạng

Để kí hiệu đơn giản, ta có thể viết

Khi đó K là một vành với phép cộng và nhân Khi kiểm tra các tiên đề về vành,

ta thường đề cập đến tính chất chính của tích tenxơ và các điều kiện sao cho

ϕ và ψ là các đồng cấu song môđun Ngược lại, nếu K là một vành, khi đó (*)

thỏa mãn Vành K được gọi là vành ma trận chuẩn (cấp 2), được kí hiệu là

Để định nghĩa một vành ma trận chuẩn tam giác trên hoặc ma trận tam giác

dưới, ta cần sử dụng đồng cấu ϕ và ψ Ảnh I, J của phép đồng cấu ϕ và ψ

là các iđêan của vành R và S Chúng được gọi là iđêan vết của vành K Ta có thể nói K là một vành với iđêan vết bằng không hay vành tầm thường, trong trường hợp ϕ = 0 = ψ, ví dụ I = O = J Hiển nhiên vành ma trận tam giác là

vành iđêan vết bằng không

Ta định nghĩa MN (tương tự NM ) là tập tất cả tổng hữu hạn các phần tử của

mn (tương tự, nm) Khi đó, I=MN, J=NM, IM=MJ, NI=JN Sau đây ta tìm

hiểu các tính chất của vành N R M S

!

phụ thuộc vào tính chất của vành R,

S ; song môđun M, N và các phép đồng cấu ϕ và ψ như thế nào?

Đôi khi, sẽ tiện hơn nếu ta đồng nhất ma trận đã cho với các phần tử tươngứng Ví dụ ta có thể đồng nhất ma trận r 00 0

!

= r, với mọi r ∈ R Tương tự

đối với tập các ma trận Ví dụ, ma trận X Y0 0

!

= (X, Y ) hay đơn giản hơn

là X nếu Y=0 Ta dùng quy tắc này tương tự với ma trận với hàng trên bằng

0

Định nghĩa 2.1.2 Cho T là một vành Trong T, ta bảo toàn phép cộng

và định nghĩa phép nhân o với x oy = yx, x, y ∈ T

Từ đó ta thu được vành T o được gọi là vành ngược của T Ta có thể kiểm

Nếu M=0=N thì vành K có thể được đồng nhất với tích trực tiếp R × S Thông thường ta giả sử rằng tích R × S là một vành ma trận Cho K là một

tử lũy đẳng e khác 0 và không phải là phần tử đồng nhất Ta có thể hình thành

vành ma trận chuẩn như sau:

trong đó eLe và (1 − e)L(1 − e) là các iđêan tương ứng của vành R và S, vì

eL(1 − e) và (1 − e)Le là song môđun con của M và N Nhóm con xuất hiện ở

một trong bốn vị trí của L là tập các phần tử tương ứng trong L.

là một đẳng cấu vành, trong đó kí hiệu ngang biểu thị sự tương ứng của cáclớp thặng dư.

Một vành ma trận chuẩn được xác định bằng việc sử dụng hai đồng cấu

song môđun ϕ và ψ Một cách tổng quát, việc lựa chọn cặp các đồng cấu khác

nhau dẫn đến sự xuất hiện các vành khác nhau Dựa vào cặp đồng cấu songmôđun tương ứng, ta có thể phân loại các vành ma trận chuẩn Để giải quyếtvấn đề trên ta có thể xét bài toán sau:

Cho K và K1 là hai vành ma trận chuẩn với các đồng cấu song môđun

tương ứng là ϕ, ψ và ϕ1, ψ1 Làm cách nào các đồng cấu ϕ, ψ và ϕ1, ψ1 liên

kết với một đẳng cấu K ∼ = K1 để tồn tại?

Có bao nhiêu vành ma trận chuẩn? Theo chứng minh trên, các lớp matrận chuẩn đồng nhất với lớp các vành có các lũy đẳng không tầm thường (nếu

ta giả sử rằng tích trực tiếp của các vành là một vành ma trận)

Lớp các vành ma trận chuẩn cũng trùng với lớp các vành tự đồng cấu của

một tổng trực tiếp các môđun Thật vậy, cho G = A ⊕ B là một môđun phải trên vành T Vành tự đồng cấu của G đẳng cấu với vành ma trận

EndT (A) HomT (B, A)

HomT (A, B) EndT (B)

!

với các phép toán cộng và nhân thông thường của ma trận (với tích các đồng

cấu là một phép hợp thành) Ngược lại, với vành K = N R M S

Nhóm T là một vành khi phép nhân được xác định bởi hệ thức (r, m)(r1, m1) =

(rr1, rm1+ mr1) Vành T được gọi là một mở rộng tầm thường của vành R với việc sử dụng song môđun M.

Mọi vành ma trận chuẩn tam giác R M0 R là tầm thường.

Thật vậy, M có thể xem là một (R × M ) − (R × S)-song môđun nếu giả

Sau đây là cấu trúc tổng quát hơn của mở rộng vành Tiếp tục cho M là một

R-R-song môđun và φ : M ⊗R M → R là một đồng cấu R-R-song môđun Ta

định nghĩa một phép nhân trong R ⊕ M bởi hệ thức sau

(r, m)(r1, m1) = (rr1 + φ(m ⊗ m1), rm1+ mr1) (2.2)Phép nhân trên là kết hợp khi và chỉ khi

φ(m ⊗ m1)m2 = mφ(m1 ⊗ m2)

với mọi m, m1, m2 ∈ M Lúc này, R ⊕ M là một vành Vành này được kí hiệu

là R × φ M và được gọi là mở rộng nửa tầm thường của vành R với việc sử dụng

M và φ.

Mỗi vành ma trận chuẩn là sự mở rộng nửa tầm thường Cho N R M S

!

là vành ma trận chuẩn với đồng cấu song môđun ϕ và ψ Đặt T = R × S, V =

M × N và xem V là một T-T -song môđun tự nhiên Ta kí hiệu φ là một đồng

cấu T-T -song môđun

trận chuẩn phù hợp Thật vậy, cho T × φ V là một mở rộng nửa tầm thường.

Hệ thức (2.2) tương đương với tính chất rằng V T V T là một vành ma trận

chuẩn Đồng cấu song môđun của vành trùng với đồng cấu φ Ánh xạ

Ví dụ 2.2.1 ([14]) Cho S là một vành, M là một S -môđun phải, R =

EndSM , và M∗ = Hom S (M, S) Khi đó M là một R-S -song môđun và M∗ là

một S-R-song môđun, với

(sα)m = sα(m), (αr)m = α(r(m)),

α ∈ M∗, s ∈ S, r ∈ R, m ∈ M Tồn tại một đồng cấu R-R-song môđun ϕ: MN

S M∗ → R và một đồng cấu S-S -song môđun ψ:M∗ NR M → S, được định nghĩa theo công thức

!

,

vì hai hệ thức (*) ở phần 2.1 vẫn đúng đối với ϕ và ψ.

(2) Cho X và Y lần lượt là các iđêan trái và phải của vành R Ngoài ra, cho S

là vành con bất kì của vành R với YX ⊆ S ⊆ X ∩ Y Khi đó Y R X S

(3) Cho R là một vành, Y là một iđêan phải của R và S là một vành con bất

kì của R bao gồm Y là một iđêan Khi đó S được gọi là một iđêan con hóa của iđêan Y trong R và Y R R S

!

là một vành ma trận chuẩn

(4) Vành ma trận đầy đủ: Cho R là một vành Vành M(n,R) của các ma trận vuông cấp n có thể được biểu diễn theo dạng một vành ma trận chuẩn cấp 2

M (n, R) = R M (1 × (n − 1), R)

M ((n − 1) × 1, R) M (n − 1, R)

!

.

Vành này cung cấp một ví dụ cho vành gồm các ma trận khối

2.3 MỘT SỐ IĐÊAN TRÊN VÀNH MA TRẬN CHUẨN

Với mỗi vành ma trận chuẩn cấp 2, ta tìm căn Jacobson và căn nguyên tốcủa chúng

Giả sử ta có vành K = N R M S

!

, khi đó ta xác định được bốn song môđun

con của song môđun M và N Đặt

, với X, Y lần lượt là iđêan của R

và S B và C là song môđun con của M và N Khi đó ta có:

X = eJ (K)e = J (eKe) = J (K) với e = 1 00 0

!

Tương tự, ta có Y=J(S)

⇒ B ⊆ J l (M ) ∩ J r (M ), C ⊆ J l (N ) ∩ J r (N ) Suy ra J (K) ⊆ J l (K) ∩ J r (K).

Mặt khác, lấy một ma trận tùy ý n r m s

!

trong J r (K) và một ma trận đồng nhất E Ma trận E = r m0 0

!

và E = n s0 0

!

là một khả nghịch

phải trong K Ma trận khả nghịch phải của chúng lần lượt là x xm0 1 và

Ta xác định các iđêan P l (M ), P r (M ), P l (N ) và P r (N ) tương tự các iđêan J l (M ),

J r (M ), J l (N ) và J r (N ) Ta chứng minh tương tự với các iđêan trái.

là vành Artin (Nơte) trái khi và chỉ khi R, S là vành Artin (Nơte) trái và R M ,

S N là các môđun Artin (Nơte).

(2) Vành ma trận chuẩn N R M S

!

là vành Artin (Nơte) phải khi và chỉ khi

R, S là vành Artin (Nơte) phải và M R , N S là các môđun Artin (Nơte).