Trong toàn bộ chương này, chúng tôi luôn luôn giả sử mọi #-môđun phải Af đều có #-bao tổng quát œ„; : M => X(M) và là đơn cấu.
Ta nói rằng đồng cấu u : N 3 M cla R-modun phai ld ¥-don cấu tỉnh mạnh nếu bất kì đồng cấu ƒ: W > X, voi X e #. Dều mở rộng cho đồng cấu g: AM — X
sao cho gou = ƒ.
"Theo định nghĩa của #-đơn câu tỉnh mạnh +: A7 —> W thì chúng ta kiểm tra wu là đơn cấu.
Bổ đề 2.1. Cho w: N — AI là một đồng cấu. Tụ có các mệnh đề tương đương sau:
(1) ula X don céu tinh manh.
(2) ww: N + X(N) duge nang bdiu.
(3) Hop thank vy ow: N + X(M) la &-tién bao tong quat.
Một môđun con W của A/ được gọi là môđun con tỉnh mạnh nếu ánh xạ bao hàm ¡: W — A/ là #-đơn cấu tỉnh mạnh.
21
Cho M 1A R médun phải, ta kí hiệu add[A/| là lớp của tất cả các hạng tử trực tiếp của các tổng trực tiếp hữu hạn của các bản sao của A/. Và ta nói rằng môdun M la #-đóng tỉnh mạnh nếu bất kì giới hạn trực tiếp của các đơn cấu chẻ ra trong add[A⁄] là một #-đơn cấu tỉnh mạnh.
Ví dụ 2.2. Mot vai vi du uề môđun đóng tỉnh mạnh ta sẽ quan tâm trong bài này.
(1) Cho 4# là lớp tất cả các môđun nội xạ. Khi đó mọi môđun là #-đóng tỉnh mạnh.
(2) Cho # là lớp tất cả các môđun tỉnh nội xạ. Khi đó mọi môđun là #-đóng tỉnh mạnh.
Trong mệnh đề dưới đây ta sẽ mô tả vành đồng cấu của môđun #-đóng tỉnh mạnh. Nhắc lại rằng môđun A/ được gọi là đối xoắn nếu z+/!{(F A7) = 0 cho mọi môđun phẳng Ƒ. Chứng tỏ rằng nếu A/ là một đối xoắn phẳng của A/ môđun phải
và ỉ = End(MIp), hơn nữa 5/J(5) là một vành chớnh quy von Neumann phai tu nội xạ và môđun nâng không đổi J(S) .
Mệnh dé 2.3. Cho # là lớp của môdun đóng dưới đẳng cấu tà giả sử bất hà môđưn
có một đơn cấu -bao tổng quát. Khi đó cho bất kà Ý-đóng tỉnh mạnh môđun X,
End(X) là tành đối xoắn phải.
Đặc biệt, End(X)/J(End(X)) là một uành chính quụ von Neumann phai tu noi xa va médun nang không đổi J(Ead(X)).
Chứng mình.
Ta đặt 9 = End(X). Lay bat ki day khdp ngén 0 > Sg 4 L > F > 0 véi F 1a mot S-m6odun phai phang. Vi S phang, nén day trén 1A tinh va day nhu vay tao ra day 0—› 9% Xp —> Lớ Xp — Pớ Xp — 0 cũng tỉnh trong # - môdun. Ta biết rằng Ƒ là giới hạn trực tiếp của một họ của hữu hạn tạo ra môdun xạ ảnh. Ta nói rằng
F= lim P;. Ta kí hiệu bởi ð; : P; 3 F déng cau chinh tac tit P; vao gidi han truc tiếp. Ta có sơ đồ giao hoán sau:
0——>#@——> l¡—— P;——›0
| |p [a
0——›8——›L——>Ƒ——0
Trong đó hàng trên là tách được, từ 7; là xạ ảnh. Hơn nữa, L = lim l¿. Ứng dụng >
này của hàm tử — @s X, ta nhận được sơ đồ giao hoán trong R- môđun như sau:
1ỉ X
0 S@gX L;@X P.@X 0
[sex ax Joes
0 Sax 225 Lax FQX 0
Tacd L@X = lim L,@X valL@x = lim P,@ X, tt! - %„ X giao hoán với giới
hạn trực tiếp. Chú ý rằng S@g X =X va P;& X 1a dang cau với hạng tử trực tiếp của tổng trực tiếp hữu hạn của ảnh X. Diều này chứng tỏ rằng w @ X là giới hạn trực tiếp của đơn cấu tách được trong số các môđun của add[X] và hơn nữa ta giả sử rằng X là #-môđun đóng tỉnh mạnh, điều này có nghĩa rằng ¡ @ X là
#-đơn cấu tỉnh mạnh. Vì thế nó tồn tại một ánh xạ h: Le X —- S3 X sao cho
ho(wu@ X) = 1sex. Ứng dung ham ttt Homp(X,—), ta có sơ đồ trong 6-môđun như
sau:
8 — L
|ằ |e
Hom(X,S ® X) ——+> Hom(X,L® X)
trong đó ðs là một đẳng cấu, ơ, ou = Hom(X,u® X)oơg, Hom(X,1sax) 90g = ơs và Hơm(X,h)o Hom(X,u@ X) = Hom(X, 1sax). Vỡ vậy og! oHứm(X,h)ũơpou = 1s
và điều này chứng tỏ rằng u ché ra. Nhu vay, day khdp ngin 0 > Ss 3 L > F > 0
ché ra va do d6 End(X) 1A mot vanh déi xoan phai. Kết luận, Znd(X)/J(End(X)) là vanh chinh quy von Neumann phải tự nội xạ và luỹ đẳng năng modulo J(End(X)).
Dinh ly 2.4. Cho X € # là một ÄZ-môđun tỉnh mạnh oà Y € + là một Ä-môđun con tỉnh mạnh của X. Nếu tồn tại một Ä⁄-đơn cấu tỉnh taạnh u: X Y, thà X =Y.
23 Chứng mình.
Vì Y e€#, nên Y phải là hạng tử trực tiếp của X. Khi đó, tồn tại một môđun con HH của X sao cho X = H@Y. Lúc này
X=HẠY 3H@u(X)=H@u(H)@u(Y)ÐĐ...
và hơn nữa, gọi P = @ƒ£Sg#!(H), ta được X 2 P. Theo cách xây dựng của P chúng ta có PnY =@#¡uf(H) = u(P).
Gọi spay : PhY — X(PnY) là #-bao tổng quỏt của PnY và gọi ứ: PhY —> Y là ánh xạ bao hàm. Chú ý rằng Y là #-môđun đóng tỉnh mạnh, từ đó nó là hạng tử trực tiếp của X. Và hơn nữa œ là hợp trực tiếp bao hàm của các ánh xạ bao hàm của các hạng tử trực tiếp Y, nên nó là một #-đơn cấu tỉnh mạnh. Điều này có nghĩa rằng tồn tại g: Y => X(PY) sao cho go = 0pay, từ đó X(PnY) e #. Tương tự, với Y e# và X(PnY) là một #-bao tổng quát thì tồn tại h: X(PnY)->Y sao cho ho pny =0.
Dặc biệt, gohòpny = 0pay. Vì opay là bao tổng quát, ta kết luận rằng go h là đẳng cấu. Vì vậy, h là đơn cấu chẻ ra và Q = /m(h) là một hạng tử trực tiếp của
Y. Vì thế, tồn tại một môđun con kK sao cho Y =Q@K.
Lic nay, X =H@O@Y =HO(QEK)=(HOQ)OK. Nhu vay, H@Q eX. Hon nữa, đồng cấu bao hàm ¿: P — H @@Q có thể được xem nhu i = (177 @ vpnay) : P=
TO(PAY) 91 OX(PNY) = 17 OQ. Vi thé la một Z-đơn câu tỉnh mạnh. Lúc nay, vdi Q € Ơ, ta kột ludn rang t6n taiằ: HQ —> Q sao cho poi =hovpny ou.
Hơn nữa, h~Ìo oi = 0pay ou. Chú ý rằng wu: P + PnY vành: X(PnY)> Q là đẳng cấu. Giống như cách trên, với !ƒ © Q € #, tồn tại ¿: Q — II @@Q sao cho
pohoupny ou=i. Diéu nay cho thay yowot=i va poyohoupay =upny. Mat khỏc, với ứpay : PAY X(PnY) là &-bao tong quat va H € #, nờn ta cú được
¡=(In@0pny):P= H®(PnY) > HœQ là #-bao tổng quát. Cả hai ? và epay là bao tổng quát, ta nhận được @o và jo@oh (và hơn nữa o¿) là tự đẳng cấu. Vì vậy, cả hai ¿ và ứ là đẳng cấu. Kết luận, Jo1y:X =(@@Q)@K>(Q@MK=Y
là đẳng cấu. Vì vậy, X Y.
Ứng dụng định lý trên đến trường hợp của bao nội xạ, bao nội xạ tỉnh và bao đối xoắn, ta nhận được như sau:
Hệ quả 2.5. Cho 12 la mét médun.
(1) Néu EF la médun noi xa va E' la médun con ndi œ@ của P` sao cho ton tai mot đơn cấu u: éệ + E! thỡ E E',
(2) Nếu E la médun noi xa tinh va E' la médun con nội œq tỉnh của E sao cho ton tại một môđun tỉnh đơn cấu u: B — E! thà B % F'.
(3) Nếu E là môdun đối soắn phẳng va B! la médun con tinh cia E sao cho E cũng là đối xoắn phẳng tà tồn tại một đơn cấu tính u: Ð — E' thà P % PL
Chứng mình.
Ứng đụng định lý trên cho trường hợp của nội xạ, nội xạ tỉnh và môdun đối xoắn phẳng trong Ví dụ 2.2
Bổ đề 2.6. Một hạng tử trực tiếp của A-bất biến tự đồng cấu cững là 4-bất biến tự đồng cấu.
Chứng mình.
Cho A/ là một #Z-môđun bất biến đồng cấu và wW là hạng tử trực tiếp của A/. Vì vậy, tồn tại một môđun K sao cho M = W@K. Vì thế, X(M) = X(N) @ X(W).
Cho f : X(N) > X(N) 1A mot dong céu cha X(N). Vi vay, xiv) e ƒ 9 zx(x) là một đồng cấu của X(A/), ở đây ¿x(„) : X(M) > X(Af) 1a anh xa bao hàm và
#x(w): X(M) —ơ X(N) là phộp chiếu chớnh tắc. Ta cú 0y ow = Zx(A) 9 0ạ/ VÀ
ĐẠI OEN =tX(N)O0N VỚI ty :N — M là ánh xa bao ham va my : M W là phép
chiếu chính tắc. Vì A/ là &-bat bién đồng cấu, nén tén tai h : M — M sao cho vy oh = tx~yy eo fo myn) ova. Ta kết luận rang g =myohouy: N +N 1a mot déng cAu N sao cho vy og = fovy. Vi thé N 1A mot modun bat bién dong cấu.
Dinh ly 2.7. Cho M,N la hai X&- modun bat biến dong cau, X-bao tong quat
25
vy: M > X(M) vay : N > X(N). Gia st rang N la X&-dong tink manh va M là một A' môđun con tỉnh mạnh của N. Nếu tồn tại một A-đơn cấu tinh mạnh w:N ÁI, th M %N.
Chứng mình.
Cho ¿' là #-đơn cấu tỉnh mạnh từ Aƒ và W. Vì uạ; : M > X(M) la &-bao tổng quất và ứy o“: A => X(N) là Z-tiền bao tổng quất, nờn tồn tại một đơn cấu chế ra fy: X(M) + X(N) sao cho frougs = vy ow’. Tuong tut ta ching tỏ được rằng tồn tai mot don cAu ché ra fo: X(N) => X(A/) sao cho ƒ2o 0y = vas ot. Vi hep thanh foofi: X(M) > X(M) cing 1a một đơn cấu chẻ ra, khi đó tồn tại một đồng cau
g:X(M) — X(M) sao cho go (fo fi) = 1x(¡)- Ngoài ra, vì A/ là Z-bất biến đồng cấu, nên tồn tại một đồng cấu ổ : Aƒ —› M sao cho vyyod = gouy. Diều này dẫn đến, vypodouow! = gouyouow’ = go foovyouw! = go foo fiovns = UM. Ti dé va, 1A mot đơn
cầu và douow" JA dang cAu. Vi vay, w’ Id don cu ché ra va điều này dẫn đến rằng 4í là
hạng tử trực tiếp của NM. Vì thế, tồn tại một môđumn con H của sao cho ý = H@MM.
Lúc này, N = H@À Ð 1 @u(N) = H @u(H) Gu(M) 2... 2 GP, gu'(H)@u°(M) Đ...
Gọi P= ©#9g#(H) = H®(©#1w'(H)) = HO(PAM) CN. Bằng cách xây dựng của P ta có u(P) = PAM. Goi vpaw : PAM > X(POM) la &-bao tổng quát của
PhM và ứ: PRAI — M là ỏnh xạ bao hàm. Vỡ œ một hợp trực tiếp của cỏc đơn cấu bao hàm của các hạng tử trực tiếp của A/, nên nó là #-đơn cấu tỉnh mạnh. Vì
tpn là 4-bao tổng quát nên tồn tại một đồng cấu h : X(PAf) + X(M) sao cho
hovpam = vu ow. Va vì ¿ là một V-don cấu tỉnh mạnh nên tồn tại một đồng cấu p: X(M) > X(PnM) sao cho po Đạy 000 = ĐPnM: Dặc biệt, po ho 0pnAt = UPnAM và từ ppaa¿ là #-bao tổng quát, poh = Ix(nai,- Mặt khác, hop là đồng cấu của
X(M). Vi M là #-bất biến đồng cầu nên chúng ta có (ho p)(M) € AI, Điều này có nghĩa h|„/a„j là đồng cấu từ p(M) đến AI.
Bây giờ ta chứng minh rằng, Upc) PCM) > X(PnM) là một #-bao tổng quát và p(M) 1A &-bat biến đồng cấu. Cho X” € Ä và ƒ : p(M) —› X” là một đồng cấu. Vì ạ¡
là một #-bao tổng quát và X” e # nên tồn tại một đồng cấu aœ : X(A/) — X” sao cho
aovuy = fop|y. Luu ý rằng, vm ohm) = hovpca) Va poum = vp(aroPlM, theo dinh
nghĩa của đồng cấu. Vì thế, ta có aoh : X(PAM) —> X” với (œoh)oop(x„y = ƒ. Ta suy ra rằng 0a): p(M) + X(PM) là Z-tiền bao tổng quát. Hơn nữa, có thể chỉ ra rang vary | PUM) > X(PAM) la &-bao tổng quát. Giả sử ¿: X(PAM) > X(PNM) là một đồng cấu. Vì ho¿op là đồng cấu của X(M) và A/ là 4-bất biến đồng cấu, (hoyop)(M) C M. Do dé ta có ¿(p(M)) € p(M). Vậy p(M) là 4-bất biến đồng cấu.
Hơn nữa, ta có 0y =po9h 9 tp) =9 0M 9 hạ(Ap) = Đp() 9 Pla © hlpcary Va vì p(w) là một đơn cấu, suy ra p|a 9| sa) = 1p(u)- Vì vậy, h|g„y : p(M) — M là đơn cầu chẻ ra và @ = Im(h|s¿w)) = hop(M) là tổng trực tiếp của M. Vì vậy tồn tại một
môđun sao cho A! = Q@® 7€. Hơn nữa, N = ƒ@Ä! = H@(Q@K) =(H®(Q)@K và do đó H @ Q là #-môđmn bất biến đồng cấu.
Ngoài ra, phép nhúng chính tắc ¿ : P — H@Q có thể xem như ¡ := (1©(p|u©2)) : P = H@(PNM) > H@p(M) ~ Neg. Vi vay ila một Z-đơn cấu tỉnh mạnh. Vì @@
là +-bất biến đồng cấu, tồn tai : H @(@Q — Q sao cho Pot = Alp) o plas ow o up, trong đú ủ[ap : p(M) Q và uy: P + PA là đẳng cấu. Mặt khỏc, vỡ ¿ là
Z-đơn cấu tỉnh mạnh và # @@Q là &-mddun bat biến đồng cấu, ta nhận được
¿:P=HG(PnM) I@œ(Q là Ä-bao tổng quát. Tương tự, tồn tại một đồng
cấu ¿: Q— H@Q sao cho ¿ử hy) 9 p[ạ o0 o up = ý. Điều này cú nghĩa là popot=iva h| ăn 000 0 hay) ° UPnat) = 0PnM- Và vì cả ¿ và 0pnar là bao tổng quát, ta suy ra rằng ¿o và h| vân ojo¿ehl,a„y là tự đẳng cấu. Do đó, theo đú ¿o cũng là một đẳng cấu. Vỡ vậy, cả ¿ và ứ đều là đẳng cấu. Cuối cựng, VOlgk:N=(1OQ) OK >Q@1#Ý = M là đẳng cấu.
Hé qua 2.8. Cho M va N la hai médun
(1) Néu M va N la céc médun tua noi xa sao cho tén tai mot đơn cấu từ M vao
N va mét don cau ttt N uào M thì M = N.
(2) Nếu AI bà N là các trôđun Lựa nội #ạ tỉnh sao cho tồn tại một đơn cấu tình tờ
27
M vao N va mot don céu tinh tt N vao M thà NI N.
(3) Nếu M uà N là các môđun phẳng bất biến dưới tự đồng cấu của bao đối xoắn sao cho tồn tại một don cấu tỉnh từ M ào N 0à một đơn cấu tính từ N uào M, th MS%N.