Điều khiển hệ đa tác tử

Trành Ho ng Minh, Nguy„n Minh Hi»u... Tł nay, ta khæng ph¥n bi»t giœa hai ç thà flng c§u... Mºt lŁi mÆn câ ¿nh ƒu v ¿nh cuŁi tròng nhau ÷æc gåi l mºt m⁄ch circuit... Vîi mØi ¿nh... SŁ ch

download by : skknchat@gmail.com

I UKHI NH AT CTÛ Trành Ho ng Minh, Nguy„n Minh Hi»u

Ng y 22 th¡ng 9 n«m 2021

Möc löc

1.1 Giîi thi»u, ành ngh¾a, v v‰ dö 19

1.2 i•u khi”n h» a t¡c tß 21

1.3 Ghi chó v tham kh£o 22

2 Lþ thuy‚t ç thà 25 2.1 ç thà 25

2.1.1 ç thà væ h÷îng 25

2.1.2 ç thà hœu h÷îng 28

2.1.3 ç thà câ trång sŁ 29

2.2 ⁄i sŁ ç thà 30

2.2.1 Mºt sŁ ma tr“n c§u tróc cıa ç thà 30

2.2.1.1 Ma tr“n b“c v ma tr“n k• 30

2.2.1.2 Ma tr“n li¶n thuºc 30

2.2.1.3 Ma tr“n Laplace cıa ç thà væ h÷îng 32

2.2.2 Ma tr“n Laplace cıa ç thà hœu h÷îng 36

2.3 Ghi chó v• t i li»u tham kh£o 39

2.4 B i t“p 39

II H» çng thu“n 43 3 Thu“t to¡n çng thu“n 45 3.1 çng thu“n vîi c¡c t¡c tß t‰ch ph¥n b“c nh§t 45

3.1.1 Ph¡t bi”u b i to¡n 45

3.1.2 Tr÷íng hæp tŒng qu¡t 47

3

4 MÖC LÖC

3.1.3 Mºt sŁ tr÷íng hæp ri¶ng 48

3.2 çng thu“n vîi c¡c t¡c tß t‰ch ph¥n b“c hai 51

3.3 H» çng thu“n tuy‚n t‰nh tŒng qu¡t 56

3.4 H» çng thu“n tuy‚n t‰nh khæng li¶n töc 59

3.4.1 Mæ h…nh v i•u ki»n çng thu“n 59

3.4.2 Li¶n h» vîi mæ h…nh çng thu“n li¶n töc 60

3.5 Ghi chó v tham kh£o 63

3.6 B i t“p 64

4 Ph¥n t‰ch h» çng thu“n theo lþ thuy‚t Œn ành Lyapunov 69 4.1 H m b§t çng thu“n 69

4.2 Ph¥n t‰ch qu¡ tr…nh çng thu“n 72

4.3 Ghi chó v t i li»u tham kh£o 74

4.4 B i t“p 75

5 çng thu“n c⁄nh v çng thu“n ƒu ra 79 5.1 Qu¡ tr…nh çng thu“n c⁄nh 79

5.2 çng bº hâa ƒu ra c¡c h» thö ºng 83

5.3 çng bº ƒu ra h» tuy‚n t‰nh düa tr¶n quan s¡t tr⁄ng th¡i 87

5.3.1 çng bº hâa düa tr¶n bº quan s¡t tr⁄ng th¡i Luenberger 87

5.3.2 Bº quan s¡t k‚t hæp çng bº hâa ƒu ra 90

5.4 Ghi chó v tham kh£o 95

5.5 B i t“p 95

III Mºt sŁ øng döng cıa h» a t¡c tß 101 6 i•u khi”n ºi h…nh 103 6.1 Giîi thi»u 103

6.2 i•u khi”n ºi h…nh düa tr¶n và tr‰ tuy»t Łi 106

6.3 i•u khi”n ºi h…nh düa tr¶n và tr‰ t÷ìng Łi 108

6.3.1 Tr÷íng hæp t¡c tß l kh¥u t‰ch ph¥n b“c nh§t 108

6.3.2 Tr÷íng hæp t¡c tß l kh¥u t‰ch ph¥n b“c hai 110

6.4 i•u khi”n ºi h…nh düa tr¶n kho£ng c¡ch 111

6.4.1 Lþ thuy‚t cøng kho£ng c¡ch 111

6.4.2 Lu“t i•u khi”n ºi h…nh 114

6.5 i•u khi”n ºi h…nh düa tr¶n vector h÷îng 118

6.5.1 Lþ thuy‚t cøng h÷îng tr¶n Rd 119

6.5.2 i•u khi”n ºi h…nh cøng h÷îng vi ph¥n 121

6.6 Ghi chó v t i li»u tham kh£o 129

6.7 B i t“p 129

MÖC LÖC 5

7.1 Giœ li¶n k‚t 135

7.2 Tr¡nh va ch⁄m 138

8 ành và m⁄ng c£m bi‚n 145 8.1 B i to¡n ành và m⁄ng c£m bi‚n 145

8.2 ành và m⁄ng düa tr¶n và tr‰ t÷ìng Łi 145

8.2.1 Tr÷íng hæp khæng câ nót tham chi‚u 145

8.2.2 Tr÷íng hæp câ nót tham chi‚u trong m⁄ng 146

8.2.3 Ph÷ìng ph¡p düa tr¶n vector h÷îng 148

8.2.3.1 Tr÷íng hæp khæng câ nót tham chi‚u 148

8.2.3.2 Tr÷íng hæp câ nót tham chi‚u 149

8.2.4 Ph÷ìng ph¡p düa tr¶n kho£ng c¡ch 150

9 Mºt sŁ mæ h…nh m⁄ng x¢ hºi 153 9.1 Mæ h…nh French - Degroot 153

9.2 Mæ h…nh Friendkin - Johnsen 154

9.3 Mæ h…nh Abelson v mæ h…nh Taylor 157

9.4 Mæ h…nh Friendkin - Johnsen a chi•u v mºt sŁ mð rºng 159

9.5 Mæ h…nh Hegselmann-Krause 166

9.6 Mæ h…nh Altafini 168

10 H» çng thu“n vîi trång sŁ ma tr“n 173 10.1 ç thà vîi trång sŁ ma tr“n 173

10.2 Thu“t to¡n çng thu“n trång sŁ ma tr“n 175

10.2.1 i•u ki»n çng thu“n 175

10.2.2 Hi»n t÷æng ph¥n cöm 177

10.3 çng thu“n trång sŁ ma tr“n vîi h» câ leader 180

10.3.1 Tr÷íng hæp leader øng y¶n 180

10.3.2 Tr÷íng hæp leader chuy”n ºng 183

10.4 ç thà trång sŁ ma tr“n hœu h÷îng 184

10.4.1 ç thà câ d⁄ng c¥y vîi mºt gŁc ra 184

10.4.2 ç thà trång sŁ ma tr“n c¥n b‹ng 185

10.5 Ghi chó v tham kh£o 187

Phö löc 191 Phö löc A Lþ thuy‚t i•u khi”n 191 A.1 H» tuy‚n t‰nh 191

A.2 Lþ thuy‚t Œn ành Lyapunov 192

6 MÖC LÖC

Danh s¡ch h…nh v‡

2.1 Mºt sŁ v‰ dö v• ç thà væ h÷îng 26

2.2 Mºt sŁ ç thà ành h÷îng kh¡c nhau cıa ç thà G tr¶n H…nh 2.1(a) 31 cıa L n‹m trong ¾a trÆn B t¥m + j0, b¡n k‰nh 2.3 C¡c trà ri¶ng + L n‹m trong = max i deg (v i ) (vòng m u ä) C¡c trà ri¶ng cıa ¾a trÆn B0 Łi xøng vîi B qua tröc £o (vòng m u x¡m) 38

2.4 Minh håa V‰ dö 2.6 39

2.5 ç thà væ h÷îng G1 v G2 40

2.6 ç thà væ h÷îng H1 v H2 40

3.1 Thu“t to¡n çng thu“n tł gâc nh…n cıa t¡c tß i 46

3.2 Mæ phäng thu“t to¡n çng thu“n vîi ba ç thà kh¡c nhau: G1 l ç thà •u gçm 16 ¿nh, mØi ¿nh câ 3 ¿nh k•, G2 l ç thà chu tr…nh gçm 20 ¿nh v G3 l ç thà Bucky (qu£ bâng ¡) gçm 60 ¿nh 50

3.3 Mæ phäng chuy”n ºng cıa c¡c t¡c tß vîi lu“t çng thu“n (3.18) 55

3.4 Mæ phäng h» çng thu“n ð V‰ dö 3.3 C¡c bi‚n tr⁄ng th¡i xi ! xj khi t ! 1 58

3.5 Mæ phäng Łi chi‚u thu“t to¡n çng thu“n li¶n töc v khæng li¶n töc 62 3.6 ç thà ð B i t“p 3.3 65

4.1 (a) ç thà G øng vîi> L (b) ç thà G0 øng vîi L > (c) ç thà G øng vîi L = L+L 72

4.2 Mæ phäng thu“t to¡n çng thu“n vîi ba ç thà hœu h÷îng kh¡c nhau 77 5.1 ç thà G câ ba chu tr…nh, trong â hai chu tr…nh l ºc l“p 81

5.2 Mæ phäng minh håa V‰ dö 5.2 Nhœng c⁄nh m u ä t⁄o th nh mºt c¥y bao tròm cıa ç thà C¡c bi‚n t÷ìng Łi (t) ! 0 khi t ! 1 82

5.3 H» gçm n h» con thö ºng vîi h m k‚t nŁi ( ) 84

5.4 Mæ phäng mæ h…nh Kuramoto ìn gi£n 86

5.5 Sì ç khŁi mæ t£ thu“t to¡n çng thu“n 88

5.6 Mæ phäng h» çng thu“n gçm 8 t¡c tß trong V‰ dö 5.4 C¡c bi‚n ƒu ra yi; i = 1; : : : ; 8; dƒn ⁄t tîi çng thu“n sau kho£ng 100 gi¥y 97

7

8 DANHS CHHNHV

5.7 Sì ç mæ t£ bº çng bº hâa (5.30) 98

5.8 Mæ phäng V‰ dö 5.5 99

5.9 C¡c ç thà trong B i t“p 5.5 99

6.1 H» qui chi‚u to n cöc (g ), h» qui chi‚u chung (c ), v c¡c h» qui chi‚u cöc bº (i v j ) 104

6.2 Mæ phäng thu“t to¡n i•u khi”n ºi h…nh düa tr¶n và tr‰ tuy»t Łi 107

6.3 Mæ phäng thu“t to¡n i•u khi”n ºi h…nh düa tr¶n và tr‰ t÷ìng Łi trong 2D v 3D 109

6.4 Mºt sŁ v‰ dö minh håa lþ thuy‚t º cøng (rigidity theory) 112

6.5 ºi h…nh gçm 5 t¡c tß: (a) ç thà G,(b) v (c) p ti‚n tîi mºt ‚n mºt c§u h…nh mong muŁn, (Ph£i) p ti‚n tîi mºt c§u h…nh khæng mong muŁn.117 6.6 V‰ dö v• t‰nh cøng h÷îng vi ph¥n: Trong R2, c¡cºi h…nh (a), (b), (c) l cøng h÷îng vi ph¥n, c¡c ºi h…nh (d), (e), (f) l khæng cøng h÷îng vi ph¥n Trong R3, c¡c ºi h…nh (g), (h), (i), (j) l cøng h÷îng vi ph¥n, c¡c ºi h…nh (k), (l) l khæng cøng h÷îng vi ph¥n 120

6.7 X¥y düng ç thà cøng h÷îng phŒ qu¡t trong R3 xu§t ph¡t tł mºt c⁄nh nŁi hai ¿nh 123

6.8 X¥y düng ç thà cøng h÷îng phŒ qu¡t trong R3 xu§t ph¡t tł chu tr…nh C 4 123

6.9 Minh håa ph¥n t‰ch Œn ành thu“t to¡n i•u khi”n ºi h…nh ch¿ düa tr¶n vector h÷îng: (a) V‰ dö v• hai i”m c¥n b‹ng Łi xøng t¥m v câ còng trång t¥m; (b) luæn n‹m trong t“p S 124

6.10 Mæ phäng ºi h…nh 4 t¡c tß d÷îi lu“t i•u khi”n (6.34) trong tr÷íng hæp 2D v 3D 126

6.11 C¡c ç thà G1 v G2 130

7.1 Minh håa b i to¡n giœ li¶n k‚t: mØi t¡c tß câ mºt mi•n trao Œi thæng tin mæ t£ bði mºt h…nh trÆn t¥m t⁄i và tr‰ t¡c tß N‚u hai t¡c tß n‹m trong mi•n thæng tin cıa nhau th… tçn t⁄i mºt c⁄nh mæ t£ sü t÷ìng t¡c giœa hai t¡c tß 136

7.2 H m trång sŁ aij(p) = !( dij(p(t))) t÷ìng øng vîi = 0:8 v c¡c tham sŁ !1 = 20, 1 = 0:4547, v !2 = 50, 2 = 0:6619 137

7.3 Minh håa vi»c tr¡nh va ch⁄m cıa c¡c t¡c tß 139

7.4 Bi”u di„n h m ij(kpi pjk) vîi d = 0:5 . 140

7.5 Mæ phäng lu“t giœ li¶n k‚t trong V‰ dö 7.1 143

8.1 Mæ t£ m⁄ng c£m bi‚n vîi c¡c nót tham chi‚u v c¡c nót m⁄ng th÷íng MØi c⁄nh cıa ç thà th” hi»n luçng thæng tin ( o ⁄c ho°c truy•n thæng) giœa c¡c nót m⁄ng.Nhi„u "ij câ th” xu§t hi»n trong tłng c⁄nh cıa ç thà 147

8.2 Minh håa ành và m⁄ng c£m bi‚n gçm 10 nót vîi lu“t ành và m⁄ng (8.9)150 8.3 ành và nót 4 düa v o 3 nót mŁc v 3 kho£ng c¡ch 151

DANHS CHHNHV 98.4 V‰ dö ç thà cøng 3-li¶n thæng câ 2 hi¶n thüc hâa trong 2D ç thà n y

9.8 Mæ h…nh Ye 1: Khi c¡c t¡c tß câ ành ki‚n v b£o thı, c¡c t¡c tß khæng

9.9 Mæ h…nh Ye 1: T«ng møc º li¶n k‚t giœa c¡c t¡c tß d¤n ‚n i•u ki»n

9.10 Mæ h…nh 2: T«ng møc º li¶n k‚t giœa c¡c t¡c tß 'y nhanh qu¡ tr…nh

9.12 çng thu“n vîi ma tr“n Laplace theo mæ h…nh Ahn: Tr¡i - Chı • 1

9.14 (a) ç thà d§u c¥n b‹ng c§u tróc; (b) ç thà d§u khæng c¥n b‹ng c§u

10.3 V‰ dö 10.1: Thay Œi cıa bi‚n tr⁄ng th¡i cıa h» vîi lu“t çng thu“n

10 DANHS CHHNHV

Danh s¡ch b£ng

11

12 DANH S CH B NG

tß cıa vector a

ch‰nh

cıa mºt t“p hæp

13

Líi nâi ƒu

Ph¥n t‰ch v i•u khi”n h» a t¡c tß l mºt h÷îng nghi¶n cøu ¢ v ang ÷æc quan t¥m tr¶nth‚ giîi tł kho£ng ƒu nhœng n«m 2000 Nºi dung nghi¶n cøu bao gçm c¡c h» a t¡c tßtrong tü nhi¶n (hi»n t÷æng tö bƒy ð chim, c¡), trong k¾ thu“t (h» c¡c robot tü h nh,m⁄ng c£m bi‚n, l÷îi i»n thæng minh), hay c¡c hi»n t÷æng x¢ hºi (m⁄ng x¢ hºi, m⁄nghåc thu“t)

M°c dò nghi¶n cøu v• c¡c h» a t¡c tß hi»n nay ¢ ph¥n chia th nh nhi•u h÷îngnghi¶n cøu nhä v chuy¶n s¥u, hi»n nay khæng câ nhi•u nhœng s¡ch tham kh£o, k”c£ b‹ng ti‚ng Anh, bao qu¡t c¡c ki‚n thøc cì b£n v• i•u khi”n h» a t¡c tß T i li»u

n y ÷æc bi¶n so⁄n vîi mong muŁn cung c§p mºt nguçn tham kh£o ng›n gån b‹ngti‚ng Vi»t cho håc vi¶n trong hai håc phƒn i•u khi”n nŁi m⁄ng v i•u khi”n h» a t¡c tß t⁄iTr÷íng ⁄i håc B¡ch Khoa H Nºi

T i li»u ÷æc chia th nh ba phƒn ch‰nh Phƒn I giîi thi»u v• h» a t¡c tß v cungc§p mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n v• lþ thuy‚t ç thà Phƒn II tr…nh b y v• h» çng thu“n tuy‚nt‰nh v mºt sŁ ph÷ìng ph¡p ph¥n t‰ch v thi‚t k‚ c¡c lu“t çng thu“n v çng bº hâa ƒu

ra Phƒn III giîi thi»u v• mºt sŁ øng döng cıa h» a t¡c tß bao gçm i•u khi”n ºi h…nh,giœ li¶n k‚t v tr¡nh va ch⁄m, ành và m⁄ng c£m bi‚n, v mºt sŁ mæ h…nh ºng håc quani”m trong nghi¶n cøu m⁄ng x¢ hºi ” sß döng t i li»u, ng÷íi åc cƒn câ ki‚n thøc cì b£nv• ⁄i sŁ tuy‚n t‰nh, Gi£i t‰ch, T‰n hi»u h» thŁng v Lþ thuy‚t i•u khi”n tuy‚n t‰nh.Mºt sŁ ki‚n thøc li¶n quan v• Lþ thuy‚t ç thà, Lþ thuy‚t cøng v Lþ thuy‚t i•u khi”n phituy‚n li¶n quan s‡ ÷æc cung c§p trong phƒn Phö löc cıa t i li»u

T i li»u n y v¤n ang trong qu¡ tr…nh ch¿nh sßa v bŒ sung, v… v“y s‡ khængtr¡nh ÷æc nhœng sai sât T¡c gi£ hi vång s‡ nh“n ÷æc nhœng þ ki‚n gâp þ v• nºidung cıa t i li»u tł ºc gi£

Trành Ho ng Minh, Nguy„n Minh Hi»u

16 DANH MÖC K HI U

Phƒn I

Cì sð

17

Ch֓ng 1

C¡c h» a t¡c tß (multi-agent systems) ang ng y c ng hi»n hœu trong íi sŁng hi»n naynhí v o nhœng ti‚n bº m⁄nh m‡ cıa k¾ thu“t i»n - i»n tß, truy•n thæng, v“t li»u, v cìkh‰ Mºt lo⁄t c¡c øng döng cıa h» a t¡c tß câ th” k” ‚n l c¡c ºi h…nh bay khæng ng÷íil¡i, c¡c m⁄ng c£m bi‚n, h» thŁng s£n xu§t v cung c§p i»n n«ng, công nh÷ c¡c h»thŁng i•u khi”n giao thæng Mºt h» a t¡c tß bao gçm nhi•u h» thŁng nhä, ÷æc gåichung l c¡c t¡c tß MØi t¡c tß trong h» câ th” ch¿ l phƒn m•m m¡y t‰nh ho°c l c¡c h»thŁng v“t lþ cö th” C¡c t¡c tß trong h» t÷ìng t¡c vîi nhau

v vîi mæi tr÷íng b¶n ngo i thæng qua m⁄ng truy•n thæng/c£m bi‚n Hìn nœa, c¡ch» a t¡c tß th÷íng ÷æc thi‚t k‚ ” hæp t¡c còng nhau thüc hi»n mºt nhi»m vö khâ ho°ckhæng th” thüc hi»n bði mºt v i t¡c tß ìn l·

Tuy kh¡i ni»m v• h» a t¡c tß mîi ÷æc ra íi trong v i th“p k¿ gƒn ¥y, c¡c h» thŁng at¡c tß (thi¶n t⁄o v nh¥n t⁄o) ¢ ÷æc quan s¡t, ph¥n t‰ch, nghi¶n cøu bði nhi•u ng nhkhoa håc v k¾ thu“t kh¡c nhau tł r§t l¥u

ƒu ti¶n câ th” k” ‚n c¡c hi»n t÷æng bƒy n trong tü nhi¶n ð chim s·, c¡, v cæn tròng Khi di c÷ l¶n ƒu nguçn ” sinh s£n, c¡ hçi bìi th nh n lîn h ng ngh…n con ” ti‚t ki»m n«ng l÷æng công nh÷ t«ng kh£ n«ng sŁng sât tr÷îc c¡c lo i thi¶n àch Mºt n ch¥u ch§u câ th” di chuy”n vîi sŁ l÷æng h ng tri»u con tł vòng n y sang vòng kh¡c, t⁄o th nh hi»n t÷æng m÷a ch¥u ch§u câ søc t n ph¡ lîn hìn r§t nhi•u so vîi v i tr«m c¡ th” ìn l· Mºt hi»n t÷æng thó và kh¡c l c¡c con om âm trong mºt di»n t‰ch rºng l⁄i

câ th” çng i»u chîp s¡ng còng vîi nhau Nghi¶n cøu cıa c¡c nh sinh v“t håc l⁄i ch¿ ra r‹ng, tuy c¡c hi»n t÷æng n y kh¡ phøc t⁄p, cì ch‚ n£y sinh chóng l⁄i kh¡ ìn gi£n, v hƒu nh÷ ch¿ düa tr¶n c¡c mŁi li¶n h» giœa c¡c c¡ th” l¥n c“n vîi nhau Mºt mæ h…nh ìn gi£n l§y c£m høng tł tü nhi¶n ¢ ÷æc • xu§t bði Reynolds [Reynolds, 1987] Trong

mæ h…nh n y, mØi t¡c tß ( ÷æc gåi l mºt boid trong b i b¡o) di chuy”n trong khæng gian ba chi•u tu¥n theo ba qui t›c ìn

19

20 CH×ÌNG 1 GI˛I THI U V H A T C TÛ

gi£n l chia t¡ch (separation), c«n ch¿nh (alignment), v g›n k‚t (cohesion) Vîi ba lu“t

ìn gi£n tr¶n, Renolds mæ phäng mºt lo⁄t c¡c hi»n t÷æng kh¡ thüc t‚, vîi c¡c chuy”nºng r§t phøc t⁄p n‚u thüc hi»n theo c¡ch kh¡c Mºt mæ h…nh kh¡c ÷æc • xu§t bðinhâm nghi¶n cøu cıa nh v“t lþ håc Vicsek [Vicsek et al., 1995] mæ t£ mºt h» trong âc¡c t¡c tß chuy”n ºng tr¶n m°t phflng vîi còng tŁc º nh÷ng vîi h÷îng kh¡c nhau MØit¡c tß c“p nh“t h÷îng i cıa m…nh düa tr¶n trung b…nh cºng v• gâc h÷îng cıa t¡c tß â

v c¡c t¡c tß l¥n c“n v mºt th nh phƒn nhi„u tł mæi tr÷íng Ph¥n t‰ch v mæ phängcho th§y, n‚u nh÷ nhi„u l khæng ¡ng k”, theo thíi gian, c¡c t¡c tß dƒn dƒn i theo còngmºt h÷îng Hi»n nay, nhœng hi»n t÷æng tü nhi¶n th÷íng ÷æc nghi¶n cøu tł quan s¡tthüc t‚, sau â l“p mæ h…nh gi£n l÷æc v ph¥n t‰ch ng÷æc l⁄i düa tr¶n to¡n håc Lþthuy‚t i•u khi”n l mºt trong nhœng cæng cö ÷æc sß döng rºng r¢i trong ph¥n t‰chc¡c h» a t¡c tß trong tü nhi¶n, gióp ÷a ra mºt sŁ qui lu“t tŒng qu¡t nh÷ t‰nh Œnành, t‰nh i•u khi”n ÷æc v t‰nh quan s¡t ÷æc Hìn th‚, nhœng lu“t tü i•u ch¿nhtrong tü nhi¶n l c£m høng ” thi‚t k‚ líi gi£i cho c¡c b i to¡n v• h» a t¡c tß nh¥n t⁄o.V‰ dö v• h» a t¡c tß nh¥n t⁄o câ th” k” ‚n h» thŁng s£n xu§t v ph¥n phŁi i»nn«ng Trong h» thŁng n y, mØi nh m¡y ph¡t i»n lîn hay mØi hº gia …nh câ m¡y ph¡tnhä •u câ th” coi l mºt t¡c tß, nh÷ng qui mæ v møc £nh ÷ðng cıa c¡c t¡c tß

l r§t kh¡c nhau L÷îi i»n ¢ ÷æc x¥y düng v khæng ngłng mð rºng tł khi i»n n«ngcÆn ch÷a ÷æc sß döng rºng r¢i Vi»c v“n h nh v x¥y düng l÷îi i»n phƒn lîn tü ph¡ttheo nhu cƒu i•u n y d¤n ‚n nhœng v§n • v• an to n v kh£ n«ng chŁng chàu, phöchçi cıa h» thŁng khi sü cŁ x£y ra Nhi•u sü ki»n x£y ra tr¶n th‚ giîi ¢ cho th§y, mºt sü

cŁ x£y ra t⁄i mºt nìi g¥y £nh h÷ðng s“p l÷îi tr¶n di»n rºng hay th“m ch‰ to n bº l÷îii»n Do £nh h÷ðng s¥u rºng cıa l÷îi i»n vîi íi sŁng con ng÷íi, nghi¶n cøu v• h» thŁngi»n tł gâc º mºt h» a t¡c tß l mºt h÷îng i ¢ v ang ÷æc nhi•u quan t¥m

v o ho⁄t ºng Khi l÷u thæng tr¶n ÷íng cao tŁc, c¡c xe cƒn li¶n l⁄c vîi nhau th nh mºt ºi

xe (platooning) vîi còng v“n tŁc v kho£ng c¡ch giœa c¡c xe ành tr÷îc Vi»c l“p ºi xengo i £m b£o t‰nh an to n v ti‚t ki»m nhi¶n li»u cÆn gióp t«ng l÷u l÷æng xe v h⁄nch‚ ¡ch t›c tr¶n ÷íng B i to¡n l“p ºi xe l mºt tr÷íng hæp ri¶ng trong b i to¡n lîn hìn l b ito¡n v• i•u khi”n ºi h…nh s‡ ÷æc ph¥n t‰ch ð ch÷ìng 6 Tł mºt gâc º kh¡c, ta câ th”coi mØi con ÷íng còng l÷u l÷æng xe l mºt t¡c tß,

v m⁄ng l÷îi giao thæng l mºt h» thŁng a t¡c tß khŒng lç Gi£ sß r‹ng h» thŁng –n t

‰n hi»u câ th” i•u khi”n l÷u l÷æng v sü lu¥n chuy”n xe giœa c¡c con ÷íng, b i to ni•u khi”n giao thæng câ th” qui v• b i to¡n s£n xu§t v ph¥n phŁi hay rºng hìn l b i to¡ntŁi ÷u ph¥n t¡n

Mºt h÷îng nghi¶n cøu ang ÷æc quan t¥m hi»n nay l v• c¡c hi»n t÷æng x¢ hºi håc, hay nghi¶n cøu v• c¡c m⁄ng x¢ hºi Nhœng mæ h…nh to¡n ph¥n t‰ch ºng håc cıa

þ ki‚n ÷æc ÷a ta tł nhœng n«m 70 (mæ h…nh Degroot, mæ h…nh Johnsen) t÷ìng çng vîi mæ h…nh h» çng thu“n trong i•u khi”n MŁi li¶n h» thó và n

Friedkin-y, còng vîi c¡c hi»n t÷æng x¢ hºi khâ dü o¡n x£y ra tr¶n c¡c m⁄ng x¢ hºi n£y sinh c¡c

Mºt mæ h…nh to¡n håc hœu ‰ch cƒn ph£i th” hi»n ÷æc ºng håc cıa tłng t¡c tß,mŁi li¶n h» giœa c¡c t¡c tß trong h» thŁng, v sü v“n ºng chung cıa t§t c£ t¡c tß nh÷mºt h» thŁng chung Tuy nhi¶n, mæ h…nh n y công cƒn ph£i ı ìn gi£n cho vi»cph¥n t‰ch, thi‚t k‚ lu“t i•u khi”n, v mæ phäng C¡c h» a t¡c tß, tł ành ngh¾a, luænmang trong m…nh t‰nh ph¥n t¡n v t‰nh phi t“p trung Trong nhi•u tr÷íng hæp,vi»c thi‚t k‚ mºt bº i•u khi”n trung t¥m ” i•u h nh måi t¡c tß ri¶ng r‡ l khæng thüc t‚.Bði v“y, nghi¶n cøu i•u khi”n h» a t¡c tß chı y‚u quan t¥m tîi vi»c thi‚t k‚ c¡c thu“tto¡n, s¡ch l÷æc i•u khi”n phi t“p trung v i•u khi”n ph¥n t¡n T‰nh phi t“p trung/ph¥nt¡n cıa c¡c s¡ch l÷æc i•u khi”n th” hi»n ð c¡c i”m sau:

÷æc l÷æng hâa bði c¡c bi‚n tr⁄ng th¡i chung, gåi l bi‚n to n cöc cıa h»

h» Cö th” hìn, mØi t¡c tß ch¿ câ th” o ⁄c mºt sŁ bi‚n t⁄i và tr‰ cıa b£n th¥n (gåi l bi‚n

àa ph÷ìng), ho°c câ th” trao Œi thæng tin vîi mºt sŁ l÷æng nhä c¡c t¡c tß l¥n c“nkh¡c Hìn th‚, ph⁄m vi i•u khi”n cıa mºt t¡c tß công l giîi h⁄n, mºt t¡c tß ch¿ câ th” t¡cºng tîi mºt sŁ t¡c tß l¥n c“n m…nh

b i to¡n nhä cıa m…nh ºng håc cıa c£ h» a t¡c tß düa tr¶n vi»c c¡c t¡c tß gi£i c¡c b ito¡n nhä mºt c¡ch çng thíi Hìn th‚ nœa, ºng håc chung h» a t¡c tß th÷íng r§t kh¡cbi»t v phøc t⁄p so vîi ºng håc cıa tłng t¡c tß ìn l·

Nh÷ v“y, ta câ th” nh…n nh“n mºt thu“t to¡n i•u khi”n ph¥n t¡n l mºt c¡ch ph¥n chiamºt b i to¡n lîn th nh nhi•u b i to¡n nhä, sao cho c¡c b i to¡n nhä câ th” gi£i quy‚t bðimØi t¡c tß nhí t i nguy¶n t⁄i àa ph÷ìng

So s¡nh vîi thi‚t k‚ i•u khi”n t“p trung, i•u khi”n phi t“p trung/ph¥n t¡n khæng Æihäi câ mºt bº i•u khi”n trung t¥m m ch¿ düa tr¶n t i nguy¶n trao Œi, o ⁄c, v t‰nh to¡nt⁄i àa ph÷ìng i•u n y gióp gi£m chi ph‰ hi»n thüc hâa c¡c h» a t¡c tß Mºt læi ‰chkh¡c cıa i•u khi”n phi t“p trung/ph¥n t¡n l kh£ n«ng

22 CH×ÌNG 1 GI˛I THI U V H A T C TÛ

mð rºng v ph¡t tri”n h» a t¡c tß vîi ‰t cæng søc Do c¡c t¡c tß ÷æc x†t t÷ìng tü nhau,c¡c lu“t i•u khi”n phi t“p trung/ph¥n t¡n cho mØi t¡c tß l t÷ìng tü nhau v khæng phöthuºc v o sŁ l÷æng t¡c tß i•u â câ ngh¾a l ta ch¿ cƒn thi‚t k‚ mºt lu“t i•u khi”n phŒqu¡t cho t¡c tß mºt lƒn, v khæng cƒn thay Œi lu“t n y khi t«ng sŁ l÷æng t¡c tß trongh» sau n y CuŁi còng, do ta chia nhä b i to¡n lîn th nh c¡c b i to¡n nhä cho c¡c t¡c tß,

£nh h÷ðng khi mºt t¡c tß khæng ho n th nh nhi»m vö tîi to n h» s‡ ÷æc h⁄n ch‚

i k–m vîi nhœng læi th‚ k” tr¶n, c¡c ph÷ìng ph¡p i•u khi”n phi t“p trung/ph¥n t¡ncông câ nhœng h⁄n ch‚, khâ kh«n cıa m…nh ƒu ti¶n l khâ kh«n trong thi‚t k‚ lu“t i•ukhi”n phi t“p trung/ph¥n t¡n Gi£ sß ta câ mºt h» thŁng v c¡c y¶u cƒu cƒn ⁄t Khi câ

ƒy ı thæng tin v• c¡c bi‚n tr⁄ng th¡i, ta câ th” ph¥n t‰ch v thi‚t k‚ bº i•u khi”n t“p trungmºt c¡ch d„ d ng düa tr¶n c¡c ph÷ìng ph¡p thi‚t k‚ i•u khi”n truy•n thŁng Tuy nhi¶n,khi thi‚t k‚ lu“t i•u khi”n phi t“p trung/ph¥n t¡n, mØi t¡c tß bà h⁄n ch‚ v• thæng tin, do ânhi•u khi m°c dò c¡c t¡c tß ho n th nh nhi»m vö ri¶ng cıa m…nh, h» a t¡c tß v¤nkhæng ⁄t ÷æc to n bº c¡c y¶u cƒu cıa b i to¡n thi‚t k‚ Nâi c¡ch kh¡c, l÷æng thæng tingi£m bît ÷æc ¡nh Œi bði ch§t l÷æng cıa h» thŁng v s‡ ÷æc minh håa trong b i to¡ni•u khi”n ºi h…nh ð ch÷ìng sau Thø hai, m°c dò c¡c lu“t i•u khi”n àa ph÷ìng th÷íng

ìn gi£n, ºng håc chung cıa c£ h» a t¡c tß th÷íng phøc t⁄p hìn r§t nhi•u C¡c h» a t¡c

tß trong thüc t‚ l c¡c h» phi tuy‚n v câ nhœng y‚u tŁ b§t ành trong mæ h…nh côngnh÷ bà £nh h÷ðng tł mæi tr÷íng b¶n ngo i Nh…n chung, c¡c h» a t¡c tß •u câ mºt cì

sð nghi¶n cøu chung v tòy øng döng cö th” m câ mºt sŁ cæng cö ph¥n t‰ch, thi‚t k‚

÷æc ph¡t tri”n ri¶ng Mºt v§n • kh¡c l an to n cıa c¡c h» a t¡c tß khi bà t§n cæng haykhi câ t¡c tß g°p sü cŁ Mºt t¡c ºng àa ph÷ìng câ th” bà nh¥n l¶n th nh mºt th£m håacho c£ h» thŁng n‚u nh÷ h» khæng ÷æc thi‚t k‚ vîi kh£ n«ng ph¡t hi»n v cæ l“p c¡c

sü cŁ mºt c¡ch ph¥n t¡n v theo thíi gian thüc

1.3 Ghi chó v tham kh£o

Mºt i”m °c bi»t cıa c¡c h» a t¡c tß nh¥n t⁄o (l÷îi i»n, h» giao thæng, m⁄ng x¢ hºi, ) lchóng ¢ ÷æc x¥y düng v ph¡t tri”n tr÷îc khi câ mºt lþ thuy‚t chung v• h» a t¡c tß Süph¡t tri”n cıa c¡c h» a t¡c tß s‡ n£y sinh nhu cƒu v• c¡c k¾ s÷

v chuy¶n gia v• h» a t¡c tß trong t÷ìng lai gƒn Nghi¶n cøu c¡c b i to¡n v• h» a t¡c tßs‡ cƒn câ ki‚n thøc cì sð v• lþ thuy‚t i•u khi”n [Antsaklis and Michel, 2007, Ogata,

2009, Khalil, 2002], lþ thuy‚t ç thà [West, 1996, Biggs, 1993] v tŁi ÷u hâa [Boyd andVandenberghe, 2004]

Trong phƒn I, cì sð v• lþ thuy‚t ç thà s‡ ÷æc tr…nh b y ð ch÷ìng 2 Ti‚p theo, ðphƒn II, mºt sŁ k‚t qu£ quan trång trong ph¥n t‰ch h» çng thu“n s‡ ÷æc tr…nh b y.Nhœng k‚t qu£ v• h» çng thu“n tuy‚n t‰nh ð ch÷ìng 3, m°c dò ìn gi£n nh÷ng l khðii”m cho c¡c nghi¶n cøu v• c¡c h» a t¡c tß trong hai th“p k¿ qua Nhœng øng döngcıa h» çng thu“n trong c¡c b i to¡n nh÷ i•u khi”n ºi h…nh, giœ li¶n k‚t, tr¡nh va ch⁄m,ành và m⁄ng c£m bi‚n v mºt sŁ mæ h…nh ºng håc quan i”m trong

1.3 GHI CHÓ V THAM KH O 23nghi¶n cøu m⁄ng x¢ hºi s‡ ÷æc giîi thi»u ð phƒn III, trong c¡c ch÷ìng 6 9 nh‹m cungc§p nhœng v‰ dö cö th” v• vi»c thi‚t k‚, ph¥n t‰ch c¡c h» a t¡c tß hi»n nay C¡c v‰

dö mæ phäng ÷æc cung c§p ” hØ træ ºc gi£ ti‚p c“n c¡c k‚t qu£ lþ thuy‚t trong t i

1 C¡c v‰ dö mæ phäng trong t i li»u n y câ th” sß döng vîi MATLAB/SIMULINK b£n R2018a trð l¶n.

24 CH×ÌNG 1 GI˛I THI U V H A T C TÛ

Ch֓ng 2

ç thà l mºt c§u tróc ríi r⁄c gçm c¡c ¿nh v c¡c c⁄nh nŁi c¡c ¿nh â T‰nh trłu t÷ænghâa cao cıa ç thà cho ph†p mæ t£ nhi•u b i to¡n trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau.Khæng qu¡ khi nh“n x†t r‹ng, gƒn nh÷ måi b i to¡n v• h» a t¡c tß •u ‰t nhi•u düatr¶n nhœng k‚t qu£ kh¡c nhau tł lþ thuy‚t ç thà V‰ dö, ng÷íi ta câ th” dòng ç thà ”bi”u di„n £nh h÷ðng x¢ hºi giœa c¡c th nh vi¶n trong mºt tŒ chøc, ” mæ t£ dÆngph÷ìng ti»n giœa c¡c nót giao thæng kh¡c nhau, hay ” bi”u di„n nhœng luçng thuth“p, trao Œi thæng tin trong mºt m⁄ng c£m bi‚n,

Möc ti¶u cıa ch÷ìng n y l tŒng k‚t nhœng k‚t qu£ cıa lþ thuy‚t ç thà th÷íng dòngtrong nghi¶n cøu v• h» a t¡c tß ƒu ti¶n, c¡c ành ngh¾a v k‚t qu£ cì b£n v• ç thàtheo lþ thuy‚t t“p hæp ÷æc giîi thi»u trong möc 2.1 Ti‚p theo, möc 2.2 tr…nh b y c¡cc§u tróc ⁄i sŁ ” mæ t£ ç thà, v‰ dö nh÷ ma tr“n li•n k•, ma tr“n li¶n thuºc, v ma tr“nLaplacian Hai möc 2.1 v 2.2 l n•n t£ng ” mæ t£ c¡c h» a t¡c tß v s‡ ÷æc dòng trongph¥n t‰ch h» çng thu“n ð Ch÷ìng 3

Mºt ç thà ìn, hœu h⁄n, væ h÷îng (hay gåi ng›n gån l mºt ç thà) G = (V; E), gçm mºt

cıa ç thà G bði V (G) v E(G) Trong mºt

1 Bði v“y, vîi ç thà væ h÷îng G, ta ch¿ cƒn li»t k¶ (v i ; v j ) l ı hi”u r‹ng c£ (v i ; v j ) v (v j ; v i ) •u thuºc E.

25

MØi ç thà G câ mºt bi”u di„n h…nh håc t÷ìng øng, gçm c¡c vÆng trÆn nhä bi”u

V‰ dö 2.1 Tr¶n h…nh 2.1: (a) G1 = (V1; E1) câ t“p ¿nh V1 = fv1; v2; v3; v4g, t“p c⁄nh

E1 = f(v1; v2); (v2; v3); (v3; v4); (v4; v1); (v1; v3)g (b): G2 = (V2; E2) câ t“p ¿nh V2 = fv1;

v2; v3; v4; v5g, t“p c⁄nh E2 = f(v1; v2); (v2; v3); (v3; v4); (v4; v5); (v5; v1)g (c): G3 = (V3; E3)

câ V3 = fv1; v2; v3; v4; v5g v E3 = f(v1; v3); (v3; v5); (v5; v2); (v2; v4); (v4; v1)g

l hai c⁄nh k• Hai ç thà l flng c§u n‚u tçn t⁄i mºt song ¡nh giœa hai t“p ¿nh m b£o to nquan h» li•n k• Tł nay, ta khæng ph¥n bi»t giœa hai ç thà flng c§u N‚u

xu§t cıa G n‚u H G v H = G[V (H)].

Ta công câ th” ành ngh¾a b“c cıa mºt ¿nh trong ç thà l sŁ c⁄nh li¶n thuºc vîi nâ

Khi câ nhi•u ç thà kh¡c nhau, ta th¶m k‰ hi»u ç thà nh÷ mºt ch¿ sŁ d÷îi V‰ dö n‚u

c¡c ¿nh cıa G ÷æc k‰ hi»u bði (G) v b“c tŁi a ÷æc k‰ hi»u bði (G) N‚u

th… c¡c c⁄nh k• vîi v công bà xâa i Nâi c¡ch kh¡c, n‚u G = (V; E) th…

x‚p c¡c ¿nh sau cho chuØi b“c l ìn i»u t«ng ho°c ìn i»u gi£m D„ th§y r‹ng

n

X

i=1

28 CH×ÌNG 2 LÞ THUY T ˙ THÀ

mºt sŁ chfin

i=1 deg(v i ) luæn luæn l

ành rª c¡c c⁄nh cıa W º d i cıa ÷íng mÆn W n y l l T“p

th” trł ¿nh ƒu v ¿nh cuŁi) gåi l mºt ÷íng i Mºt lŁi mÆn câ ¿nh ƒu v ¿nh cuŁi tròng nhau ÷æc gåi l mºt m⁄ch (circuit) Mºt ÷íng i câ ¿nh ƒu v ¿nh cuŁi tròng nhau vîi º d i

l 3 ÷æc gåi l mºt chu tr…nh

th÷íng çng nh§t ÷íng i ìn P v chu tr…nh ìn C vîi c¡c ç thà (V (P ); E(P ))

v (V (C); E(C)) Nh÷ v“y, v1v2 : : : vl+1 v vl+1vl : : : v1 k‰ hi»u còng mºt ÷íng i T÷ìng tü,

v1v2 : : : vl v v2v3 : : : vlv1 k‰ hi»u còng mºt chu tr…nh Ta k‰ hi»u Pl l mºt

Mºt ç thà l li¶n thæng n‚u tçn t⁄i ‰t nh§t mºt ÷íng i giœa hai ¿nh b§t k… cıa çthà Ng÷æc l⁄i, ta gåi ç thà l khæng li¶n thæng Mºt ç thà con li¶n thæng tŁi a cıa G lmºt ç thà con H = (V (H); E(G) \ V (H) V (H)) sao cho H l li¶n thæng v khæng câ

÷íng i n o trong E(G) nŁi H vîi c¡c ¿nh v 2 V (G) n V (H) Ta th÷íng gåi H l mºt th nhphƒn cıa ç thà G

Mºt ç thà li¶n thæng khæng chøa chu tr…nh n o gåi l mºt c¥y Mºt ç thà khængchøa chu tr…nh n o gåi l mºt rłng Mºt c¥y chøa t§t c£ c¡c ¿nh cıa ç thà gåi l mºtc¥y bao tròm Mºt c¥y câ n ¿nh th… luæn câ n 1 c⁄nh ÷íng i giœa hai ¿nh b§t k…trong mºt c¥y l duy nh§t Mºt rłng gçm n ¿nh v c th nh phƒn câ n c c⁄nh

Kho£ng c¡ch giœa hai ¿nh u, v, k‰ hi»u bði d(u; v) l º d i nhä nh§t cıa mºt ÷íng inŁi u vîi v N‚u nh÷ khæng tçn t⁄i mºt ÷íng i n o nŁi u v, hay nâi c¡ch kh¡c, u v v thuºcv• hai th nh phƒn kh¡c nhau, ta qui ÷îc d(u; v) = 1

Ghi chó 2.1 Trong c¡c ành ngh¾a ð tr¶n, ta khæng x†t ç thà câ chøa khuy¶n (mºtc⁄nh nŁi mºt ¿nh vîi ch‰nh nâ) v gi£ thuy‚t r‹ng giœa hai ¿nh b§t k… ch¿ ÷æc nŁibði mºt c⁄nh (khæng câ c¡c c⁄nh c⁄nh bºi) Mºt ç thà câ c⁄nh bºi gåi l mºt a ç thà Mºt a

ç thà câ chøa khuy¶n gåi l mºt gi£ ç thà

Mºt ç thà hœu h÷îng G ành ngh¾a bði mºt t“p ¿nh V = V (G) còng vîi mºt t“p c¡cc⁄nh hœu h÷îng E = E(G) 2 V V Mºt c⁄nh câ h÷îng (u; v) 2 E (vîi u 6= v) ÷æc bi”udi„n h…nh håc bði mºt cung câ h÷îng tł ¿nh u tîi ¿nh v Khi l m vi»c vîi ç thà hœuh÷îng, (u; v) v (v; u) l hai c⁄nh kh¡c nhau v câ th” còng tçn t⁄i Hìn nœa, n‚u (u; v) 2 E

th… khæng suy ra ÷æc r‹ng (v; u) 2 E Hƒu h‚t c¡c ành ngh¾a cho ç thà væ h÷îng

câ th” ÷æc mð rºng ngay cho ç thà câ h÷îng Vîi mØi ¿nh

u 2 V th… G gåi l mºt ç thà c¥n b‹ng.

G b‹ng c¡ch g¡n cho mØi c⁄nh cıa H mºt h÷îng nh§t ành ç thà G gåi l mºt ç thà ÷æcành h÷îng cıa H Ng÷æc l⁄i, vîi mºt ç thà hœu h÷îng G, ta câ th” lo⁄i bä h÷îng cıa t§t

th… G l mºt ç thà li¶n thæng y‚u N‚u vîi mØi c°p ¿nh u; v 2 V (G); u 6= v ta •u t…m

÷æc mºt ÷íng i hœu h÷îng u v, th… G gåi l mºt ç thà li¶n thæng m⁄nh Câ th” th§yr‹ng khi ç thà l væ h÷îng th… vi»c x†t hai kh¡i ni»m li¶n thæng y‚u v li¶n thængm⁄nh l t÷ìng ÷ìng

N‚u trong ç thà hœu h÷îng G = (V; E), tçn t⁄i mºt ¿nh u 2 V sao cho vîi måi v 2 E;

v 6= u, ta •u t…m ÷æc mºt ÷íng i hœu h÷îng tł u tîi v trong G, th… ¿nh u gåi l mºtgŁc-ra cıa G, v G gåi l mºt ç thà câ gŁc-ra t⁄i u Khi â, G chøa mºt c¥y bao tròm câh÷îng T sao cho tł gŁc-ra u câ th” i ‚n t§t c£ c¡c ¿nh kh¡c trong T T÷ìng tü, n‚utrong G tçn t⁄i mºt ¿nh u 2 V sao cho vîi måi v 2 E; v 6= u, ta •u t…m ÷æc mºt ÷íng ihœu h÷îng trong G tł v tîi u, th… ¿nh u gåi l mºt gŁc-v o cıa G, cÆn G ÷æc gåi lmºt ç thà câ gŁc-v o t⁄i u Khi â, G chøa mºt c¥y bao tròm câ h÷îng T sao cho gŁc-v

o u câ th” i tîi ÷æc tł t§t c£ c¡c ¿nh kh¡c trong T Vîi mºt ç thà li¶n thæng m⁄nh th…måi ¿nh cıa ç thà •u vła l mºt gŁc-v o công nh÷ l mºt gŁc-ra

Vîi mØi ¿nh u b§t k… cıa G, ta luæn câ th” t…m ÷æc mºt ç thà con, li¶n thængm⁄nh, tŁi a H cıa G sao cho u 2 V (H) — ¥y, thu“t ngœ tŁi a mang þ ngh¾a lkhæng tçn t⁄i mºt ç thà con li¶n thæng m⁄nh K n o cıa G sao cho H l mºt ç thà cond¤n xu§t cıa K Chó þ r‹ng ç thà H câ th” ch¿ chøa mºt ¿nh u Vîi måi ç thà G, taluæn câ th” ph¥n ho⁄ch G th nh c¡c ç thà con li¶n thæng m⁄nh, tŁi a MØi ç thà con

n y gåi l mºt th nh phƒn cıa G Do t‰nh tŁi a cıa mØi th nh phƒn, ph¥n ho⁄ch n ycıa G l duy nh§t

Ta câ th” ành ngh¾a mºt ç thà câ trång sŁ G bði mºt bº ba (V; E; A), trong â ngo i

¡nh gi¡ t÷ìng Łi v• møc º quan trång (hay m⁄nh y‚u) cıa c¡c c⁄nh (li¶n k‚t) trong ç thà

2 Chó þ r‹ng mºt sŁ t i li»u sß döng k‰ hi»u deg out (u) v N out (u) vîi còng þ ngh¾a.

3 N‚u tçn t⁄i hai c⁄nh (u; v) v (v; u) trong G th… ta coi chóng l mºt c⁄nh trong H.

v c¡c phƒn tß kh¡c •u khæng ¥m Hìn nœa, n‚u ç thà G l væ h÷îng th… ma tr“n k• l

2.2.1.2 Ma tr“n li¶n thuºc

Gi£ sß ç thà G = (V; E; A) câ jV j = n ¿nh v jEj = m c⁄nh X†t mºt ç thà ành h÷îng b§t

tr“n li¶n thuºc øng vîi mºt c⁄nh cıa E trong khi mØi cºt t÷ìng øng vîi mºt ¿nh trong V

Cö th”, c¡c phƒn tß cıa ma tr“n li¶n thuºc ÷æc x¡c ành bði

8

< 1; n‚u e k = (v i ; v j );

2.2.I S¨ ˙ THÀ 31

V‰ dö 2.4 Ma tr“n li¶n thuºc cıa ç thà tr¶n h…nh ç thà tr¶n h…nh 2.2(a) ÷æc cho

Ma tr“n li¶n thuºc cho ta thæng tin v• c§u tróc cıa ç thà G Cö th”, n‚u ç thà G

X†t mºt ç thà ành h÷îng H cıa G v gi£ sß r‹ng G l li¶n thæng Trong H, mºtvector ÷íng i ¡nh d§u z (signed path vector) t÷ìng øng vîi mºt ÷íng i hœu h÷îng P

Vîi mºt ÷íng i P vîi ¿nh ƒu v cuŁi kh¡c nhau trong ç thà H mæ t£ bði vector z, vector

sinh bði c¡c vector ÷íng i ¡nh d§u ºc l“p tuy‚n t‰nh t÷ìng øng vîi c¡c chu tr…nh ºc l“pcıa H Gåi l sŁ chu tr…nh ºc l“p trong H (công nh÷ cıa G)

li¶n thæng th… rank(H) = dim(im(H)) dim(ker(H)) = n 1 Tł

Rª r ng, T khæng chøa b§t ký chu tr…nh n o Vîi mØi c⁄nh e 2 E(G) n E(T ) ÷æcth¶m v o ç thà th… ta câ mºt chu tr…nh ºc l“p t÷ìng øng V… v“y, sŁ chu tr…nh ºcl“p trong G b‹ng jE(G) n E(T )j = m n + 1.

V‰ dö 2.5 X†t ma tr“n li¶n thuºc trong v‰ dö 2.4 ( ç thà tr¶n h…nh 2.2(a)) Khæng

>H:

Nh÷ v“y, vîi G l ç thà væ h÷îng th… ma tr“n Laplace L l Łi xøng v b¡n x¡c ành d÷ìng

Do â, c¡c trà ri¶ng cıa L l c¡c sŁ thüc v ta câ th” s›p x‚p chóng theo thø tü t«ng dƒnnh÷ sau:

1(G) 2(G) : : : n(G):

M°c dò câ th” ành ngh¾a tł ma tr“n H (xem ph÷ìng tr…nh (2.7)), ma tr“n L khængphö thuºc v o c¡ch ta chån ành h÷îng c¡c c⁄nh khi bi”u di„n ma tr“n H (ph÷ìng tr…nh(2.6))

2.2.I S¨ ˙ THÀ

ành lþ 2.1 (C¡c t‰nh ch§t cıa ma tr“n Laplace) X†t ç thà væ h÷îng G = (V; E)vîi ma tr“n Laplace L Ta câ:

m¢n:

Fiedler hay trà sŁ li¶n thæng cıa ç thà G

1; : : : ; c, l nhœng ma tr“n Laplace t÷ìng øng cıa mØi th nh phƒn li¶n thæng trong G SŁ chi•ucıa khæng gian rØng cıa L b‹ng vîi sŁ th nh phƒn li¶n thæng cıa ç thà (dim(ker(L)) = c)

= 1; : : : ; l, l 1, th… ma tr“n Laplace câ th” vi‚t d÷îi d⁄ng:

trong â L11 2 Rl l, L12 = L12> = L21 2 Rl (n l), v L

11 i»n trð hi»u döng rijeff giœa hai ¿nh i; j trong ç thà li¶n thæng G ÷æc cho bði

11 Chøng minh cıa khflng ành n y

Chøng minh 1-4 C¡c t‰nh ch§t n y ÷æc suy tł c¡ch ành ngh¾a ma tr“n Laplace

theo c¡c pt (2.6) (2.7)

0

H 2

. 0

30

jV c j

2.2 IS¨ ˙THÀ 35Nh÷ v“y, dim(ker(H)) = c Do

qu£ sau: X†t t“p S gçm n 1 c⁄nh b§t k… cıa ç thà G N‚u c¡c c⁄nh cıa S

thuºc S) Ng÷æc l⁄i, n‚u c¡c c⁄nh cıa S t⁄o th nh mºt c¥y bao tròm cıa G th…

det(H > [S]) = 1.

v 1

Th“t v“y, n‚u c¡c c⁄nh cıa S khæng t⁄o th nh mºt c¥y bao tròm cıa G th… mºt

trong G Chån vector ÷íng i ¡nh d§u z t÷ìng øng vîi chu tr…nh

n y th… H > [S]z = 0 i•u n y chøng tä c¡c cºt cıa H > [S] phö thuºc tuy‚n

t‰nh, tł â ta suy ra det(H > [S]) = 0.

v 1

Gi£ sß c¡c c⁄nh cıa S l“p th nh mºt c¥y bao tròm T cıa G Vîi e l mºt c⁄nh

cıa T li¶n thuºc vîi v 1 th… cºt t÷ìng øng cıa e trong ma tr“n H> [S] ch¿ chøa

duy nh§t mºt phƒn tß kh¡c 0 (nh“n gi¡ trà

v 1

v 1

1) Trong ma tr“n H> [S], sau khi

xâa i h ng v cºt t÷ìng øng vîi phƒn tß kh¡c 0 cıa e, ta thu ÷æc mºt ma tr“n

H0> (n 2) (n 2) Chó þ r‹ng det(H> [S]) = det(H 0 > [S]) Gåi T 0 = T

36 CH×ÌNG 2 LÞ THUY T ˙ THÀ

p döng k‚t qu£ vła chøng minh ð tr¶n, vîi mØi t“p S t⁄o th nh mºt c¥y bao

tròm cıa G th… det(H> [S]) = 1, trong khi ng÷æc l⁄i th… det(H> [S]) = 0 Do

â, tŒng ð v‚ ph£i cıa flng thøc tr¶n óng b‹ng sŁ c¥y bao tròm cıa ç thà G

tr…nh ÷æc cho bði:

Vîi ç thà hœu h÷îng, câ trång sŁ G = (V; E; A), ma tr“n k• (vîi trång sŁ) ÷æc ànhngh¾a bði