GiÊ sò cĂc tĂc tò o ữổc sai lằch ƒu ra tữỡng Łi, gºp chung l⁄i th nh vector X
i= (yi yj); i = 1; : : : ; n:
j2Ni
Do thi‚u thổng tin v• cĂc bi‚n tr⁄ng thĂi, ta thi‚t k‚ thảm mºt bº quan sĂt tr⁄ng thĂi cho tłng tĂc tò v thi‚t k‚ lu“t ỗng thu“n dỹa trản bi‚n quan sĂt ữổc nhữ sau [Li et al., 2009]:
vi = (A + BK)vi + F j2NiC(v
i vj) i
ui = Kvi
X
— Ơy, vi 2 Rd; i = 1; : : : ; n; l bi‚n tr⁄ng thĂi phử, F 2 Rp n v K 2 Rm n l cĂc ma tr“n s‡
ữổc thi‚t k‚. Sỡ ỗ mổ tÊ cĐu trúc ỗng bº hõa (5.30) ữổc cho trản H…nh 5.7.
Vợi lu“t ỗng thu“n (5.30), hằ (5.20) cõ th” ữổc vi‚t l⁄i dữợi d⁄ng:
n
Xj
LijH j; _i = A +
=1
5.3. ˙NG Bá U RA H TUY N T NH DĩA TR N QUAN S T TR NG TH I91 trong â
j= vi ; A = 0 A+BK ; H = FC FC
xi A BK 00
Lij l cĂc phƒn tò cıa ma tr“n Laplacian cıa G. Ta nõi r‹ng hằ (5.31) giÊi b i toĂn ỗng thu“n n‚u
i(t) ! j(t) 8i; j = 1; : : : ; n; khi t ! 1:
Vợi = [ 1; : : : ; n]> 2 Rn l vector riảng bản phÊi ứng vợi trà riảng 0 cıa L, ữổc chu'n hõa ” >1n = 1, ta thỹc hiằn ph†p Œi bi‚n:
(t) = (t) (1n >) I2d (t);
vợi = vec( 1; : : : ; n), = vec( 1; : : : ; n) 2 R2dn. GiŁng nhữ cĂc chữỡng trữợc, ữổc gồi l vector bĐt ỗng thu“n, thọa mÂn ( > I2d) = 02d. Phữỡng tr…nh ºng hồc cıa vector bĐt ỗng thu“n ữổc cho bði:
_ = (In A + L H) :
ành lỵ 5.2. i•u kiằn cƒn v ı ” hằ (5.30) ⁄t ữổc ỗng thu“n l cĂc ma tr“n A + BK, A + iF C; i = 2; : : : ; n; l Hurwitz, trong õ i l cĂc trà riảng khĂc 0 cıa ma tr“n Laplace L. Khi â, ta câ:
xi(t) ( > e )2 .. 3;
x1(0)
! At 6 .
7
xn(0)
4 5
vi(t) !0; i = 1; : : : ; n; khi t ! 1:
Chứng minh. ƒu tiản, ta chứng minh r‹ng hằ ⁄t ỗng thu“n khi v ch¿ khi hằ (5.34) l Œn ành tiằm c“n. Vi‚t l⁄i phữỡng tr…nh (5.33) dữợi d⁄ng
= (M I2d) ; (5.36)
trong õ M = In 1n >. Ma tr“n M cõ mºt giĂ trà riảng ỡn b‹ng 0, vợi vector riảng bản phÊi tữỡng ứng l 1n, v giĂ trà riảng b‹ng 1 bºi (n 1). Tł (5.36), = 0 khi v ch¿ khi 1 = : : : = n, tức l hằ ⁄t ữổc ỗng thu“n.
X†t Y 2 Rn (n 1), W2 R(n 1) n, P 2Rn n, v 2 R(n 1) (n 1) l ma tr“n tam giĂc trản (cõ cĂc phƒn tò trản ữớng ch†o ch‰nh l cĂc trà riảng cıa L) thọa mÂn:
=
> 0 0
P = [1n Y ]; P 1 W ;P 1LP=J= 0 ; (5.37)
ta thỹc hiằn ph†p Œi bi‚n " = (P 1 I2d) , vợi " = vec("1; : : : ; "). Khi õ, phữỡng tr…nh (5.34) cõ th” bi”u di„n thổng qua " nhữ sau:
" = In A+J H ": (5.38)
92 CH×ÌNG 5. ˙NG THU N C NH V ˙NG THU N U RA M°t kh¡c, tł ph÷ìng tr…nh (5.33) th…
"1 = ( > I2d) 02d:
Chú ỵ r‹ng cĂc phƒn tò cıa ma tr“n hằ thŁng cıa phữỡng tr…nh (5.38) l ma tr“n ữớng ch†o khŁi ho°c ma tr“n khŁi tam giĂc trản. Bði v“y, i; i = 2; : : : ; n hºi tử tiằm c“n tợi 02d khi v ch¿ khi (n 1) hằ con dồc theo ữớng ch†o ch‰nh
"i = A + iH "i; i = 2; : : : ; n; (5.40)
•u Œn ành tiằm c“n. Do ma tr“n A + iH l ỗng d⁄ng vợi
A + iF C 0
; i = 2; : : : ; n:
iF C A+BK
Nhữ v“y, hºi tử tiằm c“n tợi 0 (hay hằ ⁄t ữổc ỗng thu“n) khi v ch¿ khi cĂc ma tr“n A + BK, A + iF C; i = 2; : : : ; n l Hurwitz.
” chứng m…nh k‚t lu“n v• giĂ trà ỗng thu“n, ta cõ th” vi‚t l⁄i (5.30) dữợi d⁄ng ma tr“n nh÷ sau:
_ = (In A + L H) : Nghiằm cıa phữỡng tr…nh (5.42) ữổc cho bði
(t)= e(In A+L H)t (0)
= (P I2d)e(In A+J H)t(P 1 I2d) (0)
eA 0
= (P I2d) 0 e(InA+ H)t (P 1 I2d) (0) (5.43)
V… ma tr“n (In A + c H) l Hurwitz, ta câ
e(In A+cL H)t ! (1n I2d)eAt( > I2d) = (1n >) eAt; t ! 1: (5.44) Thay (5.44) v o ph÷ìng tr…nh (5.43), ta câ
(t) ! (1n >) eAt; t ! 1; (5.45) i•u n y dÔn tợi viằc
i(t) ! (> eAt); t ! 1; i = 1; : : : ; n: (5.46) Do A + BK l Hurwitz, tł (5.46), ta thu ữổc ngay k‚t lu“n (5.35).
Vợi ành lỵ 5.2, ta thĐy r‹ng b i toĂn ỗng thu“n trong hằ a tĂc tò vợi lu“t (5.30) ữổc chuy”n th nh viằc x†t t‰nh Œn ành mºt t“p cĂc ma tr“n cõ cũng sŁ chi•u vợi sŁ bi‚n tr⁄ng thĂi cıa mºt tĂc tò, nhớ õ m khŁi lữổng t‰nh toĂn ữổc giÊm i Ăng
5.3. ˙NG Bá U RA H TUY N T NH DĩA TR N QUAN S T TR NG TH I93 k”. Lu“t ỗng thu“n (5.30) l mð rºng cıa bº i•u khi”n k‚t hổp bº quan sĂt tr⁄ng thĂi cho mºt Łi tữổng cho hằ a tĂc tò. Nguyản lỵ tĂch cıa bº i•u khi”n dỹa trản
quan sĂt tr⁄ng thĂi vÔn úng trong trữớng hổp hằ a tĂc tò. nh hữðng cıa ỗ thà thổng tin G, hay tữỡng tĂc giœa cĂc tĂc tò th” hiằn qua cĂc trà riảng (phức) cıa ma tr“n Laplace trong ph÷ìng tr…nh (5.41).
V‰ dử 5.5. Trong v‰ dử sau n y, ta mổ phọng hằ ỗng thu“n gỗm 8 tĂc tò dỹa trản bº quan sĂt ỗng thu“n. CĂc ma tr“n sò dửng trong mổ phọng ữổc cho bði
2 3
110
0 5:5625 1:25
F = 0:0730 0:5255 7:5474 ; K = 1 3:25 5 :
CĂc giĂ trà ƒu xi(0); vi(0) ữổc lĐy ngÔu nhiản trong khoÊng [ 1; 1]. H…nh 5.5 th”
hiằn ỗ thà G v k‚t quÊ mổ phọng. CĂc bi‚n ƒu ra yi(t) dƒn ⁄t tợi ỗng thu“n sau khoÊng 15 giƠy. CĂc bi‚n tr⁄ng thĂi xi(t) dƒn ⁄t tợi ỗng thu“n cặn vi ! 0 khi t ! 1.
Code MATLAB mổ phọng hằ ỗng thu“n sò dửng bº quan sĂt tr⁄ng thĂi tữỡng Łi.
1 % Mo phong he dong thuan voi bo quan sat trang thai tuong doi
2 global A B C K F L
3 % Do thi G
4 A1=[00100000;
510100000;
600001010;
701000001;
800010100;
900010000;
10 00001000;
11 01000000];
12 L = diag(A1*ones(8,1))-A1;
13
14 % Cac ma tran cua moi tac tu
15 F = -[-0.0730;0.5255;7.5474];
16 C= [111];
17 K = -[1 -3.25 5];
18 A = [-1.0 1.00 0.0;
19 0.0 -1.25 1.0;
20 0.0 -5.5625 1.25];
21 B = [0; 0; 1];
22
23 % Giai pt vi phan
24 xi0 = 2*(rand(48,1)-0.5);
25 [t,xi] = ode45(@control_law,[0,50],xi0);
26 xi = xi';
94 CH×ÌNG 5. ˙NG THU N C NH V ˙NG THU N U RA
27
28 % Bieu dien cac bien x_i
29 figure(1); hold on;
30 for i=1:8
31 plot(t,xi(6*(i-1)+1,:),'r-','LineWidth',1);
32 plot(t,xi(6*(i-1)+2,:),'b-','LineWidth',1);
33 plot(t,xi(6*(i-1)+3,:),'m-','LineWidth',1);
34 end
35 title('Dong bo hoa he 8 tac tu')
36 legend({'x_{1i}','x_{2i}','x_{3i}'},'Fontsize',13)
37 xlabel('Thoi gian [s]','Fontsize',13);
38 ylabel('Bien trang thai','Fontsize',13);
39 box on;
40
41 % Bieu dien cac bien v_i
42 figure(2); hold on;
43 for i=1:8
44 plot(t,xi(6*(i-1)+4,:),'r-','LineWidth',1);
45 plot(t,xi(6*(i-1)+5,:),'b-','LineWidth',1);
46 plot(t,xi(6*(i-1)+6,:),'m-','LineWidth',1);
47 end
48 title('Dong bo hoa he 8 tac tu')
49 legend({'v_{1i}','v_{2i}','v_{3i}'},'Fontsize',13)
50 xlabel('Thoi gian [s]','Fontsize',13);
51 ylabel('Bien trang thai','Fontsize',13);
52 box on;
53
54 % Bieu dien cac bien y_i
55 figure(3); hold on;
56 for i=1:8
57 plot(t,xi(6*(i-1)+1,:)+xi(6*(i-1)+2,:)+xi(6*(i-1)+3,:),'LineWidth',1);
58 end
59 title('Dong bo hoa he 8 tac tu')
60 legend({'y_{i}, i = 1,\ldots, 8'},'Fontsize',13,'Location','southeast')
61 xlabel('Thoi gian [s]','Fontsize',13);
62 ylabel('Bien dau ra','Fontsize',13);
63 box on;
64
65 %% Ham tinh dao ham
66 function dpdt = control_law(t,y)
67 global A B C F K L
68
69 Abar = [ A, B*K;
70 zeros(3), A+B*K];
71
72 Hbar = [zeros(3), zeros(3);
73 -F*C, F*C];
74
75 dpdt = (kron(eye(8),Abar) + kron(L,Hbar))*y;
76
77 end