X†t ỗ thà vổ hữợng G = (V; E), trong õ V = f1; : : : ; ng gỗm n ¿nh v E V V gỗm m c⁄nh. Ùng vợi mỉi ¿nh i 2 V ta cõ tữỡng ứng mºt i”m pi 2 Rd (d 2). Mºt ºi h…nh (hay mºt m⁄ng (network)) ữổc ành nghắa bði (G; p), trong õ vector
112 CHìèNG 6. I U KHI N áI H NH
(a) ºi h…nh khổng cứng (b) ºi h…nh
cứng (c) ºi h…nh cứng
to n cửc
H…nh 6.4: Mºt sŁ v‰ dử minh hồa lỵ thuy‚t º cứng (rigidity theory).
p = vec(p1; : : : ; pn) 2 Rdn gồi l mºt cĐu h…nh cıa G trản Rd. Lữu ỵ r‹ng cĂc i”m
pi •u ữổc cho trản mºt hằ qui chi‚u to n cửc.
X†t mºt t“p khoÊng cĂch = fdij > 0j (i; j) 2 Eg. T“p gồi l khÊ thi n‚u tỗn t⁄i ‰t nhĐt mºt cĐu h…nh p sao cho kpj pik = dij; 8(i; j) 2 E. N‚u khổng tỗn t⁄i cĐu h…nh n o thọa mÂn tĐt cÊ cĂc khoÊng cĂch trong th… ta nõi l khổng khÊ thi.
CĐu h…nh p thọa mÂn mồi r ng buºc khoÊng cĂch trong ữổc gồi l mºt hiằn thỹc hõa cıa trản Rd. Ngữổc l⁄i, mỉi cĐu h…nh p cho ta mºt t“p khoÊng cĂch dÔn xuĐt
= fdij = kpj pi kg(i;j)2E.
X†t hai cĐu h…nh p v q cıa cũng mºt ỗ thà G trản Rd. Hai cĐu h…nh p v q l t÷ìng ÷ìng v• kho£ng c¡ch n‚u nh÷ kpi pjk = kqi qjk; 8(i; j) 2 E, v l t÷ìng ỗng v• khoÊng cĂch n‚u nhữ kpi pjk = kqi qjk; 8i; j 2 V; i 6= j.
Mºt cĐu h…nh p cıa G l cứng (rigid) n‚u nhữ tỗn t⁄i > 0 sao cho mồi cĐu h…nh q cıa G thọa mÂn 2 B , fq 2 Rdnjkq pk < g v q tữỡng ữỡng v• khoÊng cĂch vợi p th… q cụng tữỡng ỗng v• khoÊng cĂch vợi p. ºi h…nh (G; p) l cứng khoÊng cĂch to n cửc n‚u nhữ mồi cĐu h…nh q tữỡng ữỡng v• khoÊng cĂch vợi p th… cụng tữỡng ỗng v• khoÊng cĂch vợi p.
Viằc x†t trỹc ti‚p liằu mºt cĐu h…nh p cõ l rigid hay khổng dỹa trản ành nghắa
l khổng ỡn giÊn khi sŁ ¿nh n lợn. ” ỡn giÊn hõa viằc xĂc ành t‰nh cứng cıa ỗ thà, ta cõ khĂi niằm cứng khoÊng cĂch vi phƠn - mºt xĐp x¿ b“c nhĐt v• t‰nh cứng cıa p.
Ănh sŁ cĂc c⁄nh cıa ỗ thà tł 1 tợi m, vợi k‰ hiằu ek ekij (i; j), ta cõ
cĂc vector sai lằch và tr‰ tữỡng ứng zk zij = pj pi, k = 1; : : : ; m. Ta ành nghắa h m (b…nh ph÷ìng c¡c) kho£ng c¡ch:
fG(p) , kz1k2; : : : ; kzmk> = [: : : ; kzijk2; : : :]> 2 Rm: (6.17) Ma tr“n cứng (rigidity matrix) cıa ºi h…nh (G; p) ữổc ành nghắa l :
R(p) = 1 @fG(p)
: (6.18)
2 @p
Vợi k‰ hiằu z = vec(z1; : : : ; zm) = (H Id)Hp v Z = diag(z1; : : : ; zm), ta cõ th”
6.4. I UKHI N áIHNHDĩATR NKHO NGC CH 113 vi‚t l⁄i fG(p) = Z>Z1m = Z>z. Tł õ, ta vi‚t ữổc:
R(p) = Z H> (6.19)
Chú ỵ r‹ng ma tr“n cứng luổn cõ ‰t nhĐt d(d + 1)=2 vector riảng tữỡng ứng vợi trà riảng 0. CĂc vector riảng n y tữỡng ứng vợi cĂc chuy”n ºng bÊo to n t‰nh cứng cıa ºi h…nh, cử th” l ph†p tành ti‚n v ph†p quay theo cĂc trửc tồa º cıa g .
V‰ dử 6.3. Ma tr“n cứng cıa ỗ thà trản h…nh 6.4(b) ữổc cho nhữ sau:
2(p1 p2)> (p2 p1)> 0> 0>
(p1 p3)> 0> (p3 p1)> 0>
R (p) = 6 (p1 p4)>
(p2
0>
(p3
0> (p4 p1)>
6 0> p3)> p2)> 0>
6
66 0> 0> (p3 p4) > (p4 p3) >
Cõ th” nh“n x†t r‹ng, ma tr“n cứng cõ cĐu trúc khĂ tữỡng tỹ nhữ ma tr“n liản thuºc.4 Tuy nhiản, ð h ng thứ k tữỡng ứng vợi c⁄nh (i; j) th… (pi pj)> ữổc thay cho 1, (pi pj)>
ữổc thay cho 1, v 0> ữổc thay cho 0.
ỗ thà G l cứng phŒ quĂt trong Rd n‚u nhữ hƒu h‚t mồi cĐu h…nh cıa G trong Rd •u l cứng, ngo⁄i trł mºt t“p con cıa Rd vợi º o Lebesgue b‹ng 0. ” ỡn giÊn, ngữới ta cụng gồi t›t G l ỗ thà cứng vợi ỵ r‹ng G l cứng phŒ quĂt.
Dỹa v o ma tr“n cứng, n‚u tỗn t⁄i mºt cĐu h…nh p cıa G sao cho rank(RG(p)) =
dn d(d+1) th… G l ỗ thà cứng. CĐu h…nh p cıa G thọa mÂn rank(RG(p)) =
2
dn d(d+1) gồi l mºt cĐu h…nh vợi cĂc tồa º ð và tr‰ tŒng quĂt, hay gồi t›t l mºt
2
cĐu h…nh tŒng quĂt. Ngữổc l⁄i, cĐu h…nh p cıa G m ð õ rank(RG(p)) < dn d(d+1) gồi l mºt cĐu h…nh suy bi‚n. 2
N‚u ỗ thà G l cứng v cõ sŁ c⁄nh úng b‹ng dn d(d + 1)=2 th… G ữổc gồi l cứng tŁi thi”u. D„ thĐy, khi d = 2, ỗ thà cứng tŁi thi”u cõ 2n 3 c⁄nh. Hỡn nœa, trong trữớng hổp d = 2, mồi ỗ thà cứng tŁi thi”u •u l ỗ thà Laman.
ành nghắa 6.2 ( ỗ thà Laman). Mºt ỗ thà G = (V; E) l Laman khi v ch¿ khi:
• G câ 2n 3 c⁄nh,
• Vợi mỉi t“p con gỗm k ¿nh cıa V th… ỗ thà con dÔn xuĐt cıa G tł k ¿nh õ cõ khổng quĂ 2k 3 c⁄nh.
Trản khổng gian hai chi•u, mồi ỗ thà Laman •u l ỗ thà cứng tŒng quĂt. Chứng minh cử th” cıa phĂt bi”u n y cõ th” tham khÊo tł b i bĂo cıa Laman [Laman, 1970]
v s‡ khổng ữổc tr…nh b y trong t i liằu n y. Henneberg • xuĐt phữỡng phĂp xƠy dỹng cĂc ỗ thà Laman trong hai chi•u nhữ sau: b›t ƒu tł mºt ỗ thà gỗm hai ¿nh (1 v 2) v mºt c⁄nh (1; 2). Vợi mỉi bữợc, ta mð rºng ỗ thà nhớ mºt trong hai toĂn tò sau Ơy:
114 CHìèNG 6. I U KHI N áI H NH 1. Cºng ¿nh: Thảm mºt ¿nh k v hai c⁄nh nŁi k vợi hai ¿nh i; j hiằn cõ trong ỗ thà.
2. Chia c⁄nh: Xõa mºt c⁄nh (i; j) hiằn cõ trong ỗ thà v thảm v o mºt ¿nh k cũng ba c⁄nh (k; i); (k; j); (k; l), trong õ l l mºt ¿nh trong ỗ thà hiằn t⁄i khĂc i, j.
ỗ thà thu ữổc tł xƠy dỹng Henneberg l mºt ỗ thà Laman. Ngữổc l⁄i, ngữới ta cụng chứng minh ữổc r‹ng mồi ỗ thà Laman trong khổng gian hai chi•u •u cõ th” thu
ữổc nhớ xƠy dỹng Henneberg.
ành nghắa 6.2 cho ta mºt phữỡng Ăn ” ki”m tra cĂc ỗ thà l cứng phŒ quĂt vợi sŁ c⁄nh tŁi thi”u. Tuy nhiản, cĂch ki”m tra n y ặi họi phÊi x†t mồi t“p con cıa ỗ thà,do õ viằc ki”m tra s‡ yảu cƒu khŁi lữổng t‰nh toĂn cao. Mºt sŁ i•u kiằn tữỡng ữỡng khĂc ” ki”m tra mºt ỗ thà cứng tŁi thi”u vợi º phức t⁄p thĐp hỡn l dỹa trản ành lỵ Crapo v ành lþ R†cski [Crapo, 1990, Bereg, 2005].