Phần 1 của giáo trình Điều khiển hệ đa tác tử trình bày những nội dung về: giới thiệu hệ đa tác tử; lý thuyết đồ thị; hệ đồng thuận; thuật toán đồng thuận; phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov và quá trình đồng thuận cạnh;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Trang 1Initial formation Desired formation
jig
Initial position
Desired position
ĐIỀU KHIỂN HỆ ĐA TÁC TỬ
Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu
Trang 3Điều khiển hệ đa tác tử
Điều khiển hệ đa tác tử
Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu
Ngày 30 tháng 11 năm 2022
Trang 4Bản quyền
Giáo trình này được chia sẻ qua website cá nhân của TS Trịnh Hoàng Minh (https://sites.google.com/view/minhhoangtrinh) Việc sử dụng nội dung trong tài liệu này với mục đích tham khảo, học tập, giảngdạy là miễn phí Tuy nhiên, người đọc không được sao chép các nội dung của giáo trình khi chưa có đồng
ý từ các tác giả
Ghi chú
Giáo trình này được viết bằng LATEX, dựa trên template kaobook Template kaobook được phân phốimiễn phí qua Overleaf Người đọc có thể sử dụng template này tại: KOMA - Script,LATEX,kaobook.Ngày xuất bản
Phiên bản 10/2022
Trang 5Lời nói đầu
Phân tích và điều khiển hệ đa tác tử là một hướng nghiên cứu đã và đang được quan tâm trên thế giới từkhoảng đầu những năm 2000 Nội dung nghiên cứu bao gồm các hệ đa tác tử trong tự nhiên (hiện tượng
tụ bầy ở chim, cá), trong kĩ thuật (hệ các robot tự hành, mạng cảm biến, lưới điện thông minh), hay cáchiện tượng xã hội (mạng xã hội, mạng học thuật)
Mặc dù nghiên cứu về các hệ đa tác tử hiện nay đã phân chia thành nhiều hướng nghiên cứu nhỏ vàchuyên sâu, hiện nay không có nhiều những sách tham khảo, kể cả bằng tiếng Anh, bao quát các kiếnthức cơ bản về điều khiển hệ đa tác tử Tài liệu này được biên soạn với mong muốn cung cấp một nguồntham khảo ngắn gọn bằng tiếng Việt cho học viên trong hai học phần Điều khiển nối mạng và Điều khiển
hệ đa tác tử tại Đại học Bách Khoa Hà Nội
Tài liệu được chia thành ba phần chính Phần I giới thiệu về hệ đa tác tử và cung cấp một số kiến thức cơbản về lý thuyết đồ thị Phần II trình bày về hệ đồng thuận tuyến tính và một số phương pháp phân tích
và thiết kế các luật đồng thuận và đồng bộ hóa đầu ra Phần III giới thiệu về một số ứng dụng của hệ đatác tử bao gồm điều khiển đội hình, giữ liên kết và tránh va chạm, định vị mạng cảm biến, và một số môhình động học quan điểm trong nghiên cứu mạng xã hội Để sử dụng tài liệu, người đọc cần có kiến thức
cơ bản về Đại số tuyến tính, Giải tích, Tín hiệu hệ thống và Lý thuyết điều khiển tuyến tính Một số kiếnthức liên quan về Đại số tuyến tính, Lý thuyết điều khiển liên quan cũng được cung cấp trong phần Phụlục của tài liệu
Tài liệu tiếng Việt này sẽ không tránh được những sai sót Tác giả hi vọng sẽ nhận được những ý kiếngóp ý về nội dung của tài liệu từ độc giả Cuối cùng, tác giả muốn gửi lời cảm ơn tới những thầy cô,bạn bè, và sinh viên trong và ngoài nước đã hướng dẫn, thảo luận và góp ý về các nội dung trong tài liệu này
Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu
Khoa tự động hóaTrường Điện - Điện tửĐại học Bách Khoa Hà NộiEmail: trinhhoangminhbk@gmail.com
Trang 6Lời nói đầu iii
Mục lục iv
Danh mục kí hiệu x
I Cơ sở 1 1 Giới thiệu về hệ đa tác tử 2
1.1 Giới thiệu, định nghĩa, và ví dụ 2
1.2 Điều khiển hệ đa tác tử 3
1.3 Ghi chú và tài liệu tham khảo 5
2 Lý thuyết đồ thị 7
2.1 Đồ thị 7
2.1.1 Đồ thị vô hướng 7
2.1.2 Đồ thị hữu hướng 10
2.1.3 Đồ thị có trọng số 11
2.2 Đại số đồ thị 11
2.2.1 Một số ma trận của đồ thị 11
2.2.1.1 Ma trận bậc và ma trận kề 11
2.2.1.2 Ma trận liên thuộc 12
2.2.1.3 Ma trận Laplace của đồ thị vô hướng 14
2.2.2 Ma trận Laplace của đồ thị hữu hướng 17
2.3 Ghi chú và tài liệu tham khảo 20
2.4 Bài tập 21
II Hệ đồng thuận 24 3 Thuật toán đồng thuận 25
3.1 Hệ đồng thuận gồm các tác tử tích phân bậc nhất 25
3.1.1 Phát biểu bài toán 25
3.1.2 Trường hợp tổng quát 26
3.1.3 Một số trường hợp riêng 28
3.2 Đồng thuận với các tác tử tích phân bậc hai 31
3.3 Hệ đồng thuận tuyến tính tổng quát 36
3.4 Hệ đồng thuận tuyến tính không liên tục 38
3.4.1 Mô hình và điều kiện đồng thuận 38
3.4.2 Liên hệ với mô hình hệ đồng thuận liên tục 40
3.5 Đồng bộ đầu ra hệ tuyến tính dựa trên quan sát trạng thái 43
3.5.1 Đồng bộ hóa dựa trên bộ quan sát trạng thái Luenberger 43
3.5.2 Bộ quan sát kết hợp đồng bộ hóa đầu ra 47
3.6 Ghi chú và tài liệu tham khảo 50
3.7 Bài tập 51
Trang 74 Phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov và quá trình đồng thuận cạnh 55
4.1 Hàm bất đồng thuận 55
4.2 Phân tích theo phương pháp Lyapunov 57
4.3 Quá trình đồng thuận cạnh 61
4.4 Đồng bộ hóa đầu ra các hệ thụ động 63
4.5 Ghi chú và tài liệu tham khảo 66
4.6 Bài tập 66
III Một số ứng dụng của hệ đa tác tử 71 5 Điều khiển đội hình 72
5.1 Giới thiệu 72
5.2 Điều khiển đội hình dựa trên vị trí tuyệt đối 76
5.3 Điều khiển đội hình dựa trên vị trí tương đối 77
5.3.1 Trường hợp tác tử là khâu tích phân bậc nhất 77
5.3.2 Trường hợp tác tử là khâu tích phân bậc hai 79
5.4 Điều khiển đội hình dựa trên khoảng cách 79
5.4.1 Lý thuyết cứng khoảng cách 80
5.4.2 Luật điều khiển đội hình 82
5.5 Điều khiển đội hình dựa trên vector hướng 88
5.5.1 Lý thuyết cứng hướng trênℝ𝑑 88
5.5.2 Điều khiển đội hình cứng hướng vi phân 90
5.6 Ghi chú và tài liệu tham khảo 97
5.7 Bài tập 98
6 Giữ liên kết và tránh va chạm 102
6.1 Giữ liên kết 102
6.2 Tránh va chạm 104
6.3 Bài tập 111
7 Định vị mạng cảm biến 113
7.1 Bài toán định vị mạng cảm biến 113
7.2 Định vị mạng dựa trên vị trí tương đối 113
7.2.1 Trường hợp không có nút tham chiếu 113
7.2.2 Trường hợp có nút tham chiếu trong mạng 114
7.2.3 Phương pháp dựa trên vector hướng 115
7.2.3.1 Trường hợp không có nút tham chiếu 115
7.2.3.2 Trường hợp có nút tham chiếu 116
7.2.4 Phương pháp dựa trên khoảng cách 117
7.3 Bài tập 118
8 Mô hình động học ý kiến 122
8.1 Mô hình French - Degroot 122
8.2 Mô hình Friendkin - Johnsen 123
8.3 Mô hình Abelson và mô hình Taylor 125
8.4 Mô hình Friendkin - Johnsen đa chiều và một số mở rộng 126
8.5 Mô hình Hegselmann-Krause 132
8.6 Mô hình Altafini 135
9 Hệ đồng thuận trọng số ma trận 138
9.1 Đồ thị với trọng số ma trận 138
Trang 89.2.2 Hiện tượng phân cụm 141
9.3 Đồng thuận trọng số ma trận với hệ có leader 144
9.3.1 Trường hợp leader đứng yên 144
9.3.2 Trường hợp leader chuyển động 146
9.4 Đồ thị trọng số ma trận hữu hướng 147
9.4.1 Đồ thị có dạng cây với một gốc ra 148
9.4.2 Đồ thị trọng số ma trận cân bằng 148
9.5 Ghi chú và tài liệu tham khảo 150
Phụ lục 151 A Một số kết quả về lý thuyết ma trận 152
A.1 Một số định nghĩa và phép toán cơ bản 152
A.2 Định thức và ma trận nghịch đảo 153
A.3 Giá trị riêng, vector riêng, định lý Cayley - Hamilton 153
A.4 Định lý Gerschgorin 154
A.5 Chéo hóa ma trận và dạng Jordan 154
A.6 Ma trận hàm mũ 155
A.7 Tích Kronecker 156
A.8 Ma trận xác định dương và ma trận bán xác định dương 156
A.9 Chuẩn của vector và ma trận 157
A.10 Lý thuyết Perron-Frobenius 157
B Lý thuyết điều khiển tuyến tính 158
B.1 Hệ tuyến tính 158
B.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 159
B.3 Bổ đề Barbalat 160
C Mô phỏng MATLAB 162
C.1 Hàm biểu diễn các đội hình 2D và 3D 162
C.2 Biểu diễn sự thay đổi của đội hình theo thời gian 164
Tài liệu tham khảo 166
Trang 9Danh sách hình vẽ
2.1 Một số ví dụ về đồ thị vô hướng 7
2.2 Ví dụ về các lát cắt cạnh của đồ thị 𝐺 gồm 5 đỉnh và 8 cạnh 9
2.3 Ví dụ về các lát cắt đỉnh của đồ thị 𝐺 gồm 5 đỉnh và 8 cạnh 10
2.4 Một số đồ thị định hướng khác nhau của đồ thị 𝐺 trên Hình 2.1(a) 12
2.5 Các giá trị riêng củaL nằm trong đĩa tròn 𝐵 tâm Δ + 𝑗0, bán kính Δ = max𝑖deg−(𝑣𝑖) (vùng màu đỏ) Các trị riêng của −L nằm trong đĩa tròn 𝐵0 đối xứng với 𝐵 qua trục ảo (vùng màu xanh) 20
2.6 Minh họa Ví dụ 2.2.4 20
2.7 Đồ thị vô hướng 𝐺1 và 𝐺2 21
2.8 Đồ thị vô hướng 𝐻1 và 𝐻2 21
3.1 Sơ đồ khối thuật toán đồng thuận theo góc nhìn của tác tử 𝑖 26
3.2 Mô phỏng thuật toán đồng thuận với ba đồ thị khác nhau: 𝐺1 là đồ thị đều gồm 16 đỉnh, mỗi đỉnh có 3 đỉnh kề, 𝐺2 là đồ thị chu trình gồm 20 đỉnh và 𝐺3 là đồ thị Bucky (quả bóng đá) gồm 60 đỉnh 30
3.3 Mô phỏng chuyển động của các tác tử với luật đồng thuận (3.19) 34
3.4 Mô phỏng hệ đồng thuận ở Ví dụ 3.3.1 Các biến trạng thái x𝑖→ x𝑗 khi 𝑡 → +∞ 37
3.5 Đồ thị 𝐺1 là liên thông mạnh và có chu kỳ bằng 2; Đồ thị 𝐺2 và 𝐺3 là có gốc ra, thành phần liên thông mạnh chứa gốc ra là không có chu kỳ, trong đó đồ thị 𝐺3 có chứa khuyên; Đồ thị 𝐺4, 𝐺5 là liên thông mạnh và không có chu kỳ. . 39
3.6 Mô phỏng đối chiếu thuật toán đồng thuận liên tục và không liên tục 42
3.7 Sơ đồ khối mô tả thuật toán đồng thuận 44
3.8 Mô phỏng hệ đồng thuận gồm 8 tác tử trong Ví dụ 3.5.1 Các biến đầu ra y𝑖, 𝑖 = 1, , 8, dần đạt tới đồng thuận sau khoảng 100 giây 45
3.9 Sơ đồ mô tả bộ đồng bộ hóa (3.50) 47
3.10 Mô phỏng Ví dụ 3.5.2 49
3.11 Đồ thị ở Bài tập 3.7.3 52
4.1 (a) Đồ thị 𝐺 ứng vớiL (b) Đồ thị 𝐺0 ứng vớiL> (c) Đồ thị ¯𝐺 ứng với ¯L = 𝚪L + L>𝚪 57
4.2 Mô phỏng thuật toán đồng thuận với ba đồ thị hữu hướng khác nhau 60
4.3 Đồ thị 𝐺 có ba chu trình, trong đó hai chu trình là độc lập 62
4.4 Mô phỏng minh họa Ví dụ 4.3.2 Những cạnh màu đỏ tạo thành một cây bao trùm của đồ thị Các biến tương đối𝜻(𝑡) → 0 khi 𝑡 → +∞. 62
4.5 Hệ Σ gồm 𝑛 hệ con thụ động với hàm kết nối𝝓(·) 64
4.6 Mô phỏng mô hình Kuramoto đơn giản cho hệ 6 tác tử ở Ví dụ 4.4.1 65
4.7 Các đồ thị trong Bài tập 4.6.10 69
5.1 Hệ qui chiếu toàn cục (𝑔Σ), hệ qui chiếu chung (𝑐Σ), và các hệ qui chiếu cục bộ (𝑖Σ và𝑗Σ) 74 5.2 Mô phỏng thuật toán điều khiển đội hình dựa trên vị trí tuyệt đối 77
5.3 Mô phỏng thuật toán điều khiển đội hình dựa trên vị trí tương đối trong 2D và 3D 78
5.4 Một số ví dụ minh họa lý thuyết cứng khoảng cách 81
5.5 Minh họa Ví dụ 5.4.2: (a) cấu hình mong muốn, (b) & (c) & (d) & (e) bốn cấu hình khác nhau thuộc U∗ 85
5.6 Đội hình đặt trong Ví dụ 5.4.3 86
5.7 Đội hình gồm 5 tác tử: (a) và (b): p tiến tới một đến một cấu hình mong muốn; (c) và (d) p tiến tới một cấu hình không mong muốn 87
Trang 10là cứng hướng vi phân, các đội hình (k), (l) là không cứng hướng vi phân 89
5.9 Xây dựng đồ thị cứng hướng phổ quát trongℝ3 xuất phát từ một cạnh nối hai đỉnh 92
5.10 Xây dựng đồ thị cứng hướng phổ quát trongℝ3 xuất phát từ chu trình 𝐶4 92
5.11 Minh họa phân tích ổn định thuật toán điều khiển đội hình chỉ dựa trên vector hướng: (a) Luật điều khiển chỉ sử dụng vector hướng; (b) Ví dụ về hai điểm cân bằng đối xứng tâm và có cùng trọng tâm; (c)𝜹 luôn nằm trong tập S 93
5.12 Mô phỏng đội hình 4 tác tử dưới luật điều khiển (5.42) trong trường hợp 2D và 3D 95
5.13 Các đồ thị 𝐺1 và 𝐺2 99
6.1 Minh họa bài toán giữ liên kết: mỗi tác tử có một miền trao đổi thông tin mô tả bởi một hình tròn tâm tại vị trí tác tử Nếu hai tác tử nằm trong miền thông tin của nhau thì tồn tại một cạnh mô tả sự tương tác giữa hai tác tử 102
6.2 Hàm trọng số 𝑎𝑖𝑗(p) =𝜎𝜔(𝜖 − 𝑑𝑖𝑗(p(𝑡))) tương ứng với một số bộ tham số 𝜔 và 𝜖 khác nhau Dễ thấy 𝑎𝑖𝑗(p) → 0 khi 𝑑𝑖𝑗(kp𝑖− p𝑗k) →𝛿 = 1 103
6.3 Minh họa việc tránh va chạm của các tác tử 105
6.4 Biểu diễn hàm𝛽𝑖𝑗(kp𝑖− p𝑗k) với 𝑑 = 0.75, 1, 1.5 105
6.5 Mô phỏng luật giữ liên kết trong Ví dụ 6.2.1 107
6.6 Mô phỏng luật giữ liên kết trong Ví dụ 6.2.2 109
7.1 Mô tả mạng cảm biến với các nút tham chiếu và các nút mạng thường Mỗi cạnh của đồ thị thể hiện luồng thông tin (đo đạc hoặc truyền thông) giữa các nút mạng.Nhiễu 𝜺𝑖𝑗 có thể xuất hiện trong từng cạnh của đồ thị 114
7.2 Minh họa định vị mạng cảm biến gồm 10 nút với luật định vị mạng (7.9) 117
7.3 Định vị nút 4 dựa vào 3 nút mốc và 3 khoảng cách 118
7.4 Ví dụ đồ thị cứng 3-liên thông có 2 hiên thực hóa trong 2D Đồ thị này không thừa cứng 118
7.5 Đồ thị trong Bài tập 7.3.1 118
7.6 Mạng cảm biến (𝐺, p) trong Bài tập 7.3.4 119
8.1 Mô phỏng hệ 4 tác tử với mô hình F-J trong hai trường hợp khác nhau của đồ thị tương tác 124 8.2 Mô phỏng hệ 10 tác tử với mô hình Taylor mở rộng 126
8.3 Mô phỏng mô hình F-J với ma trận C = 0.8 0.20.3 0.7 129
8.4 Mô phỏng mô hình F-J với ma trận C = 0.8 −0.2 − 0.3 0.7 130
8.5 Mô hình Ye 1 khi hệ có và không có định kiến 130
8.6 Mô hình Ye 2 khi hệ có và không có định kiến 131
8.7 Tăng mức độ liên kết giữa các tác tử làm mô hình Ye 1 mất ổn định trong khi đó sẽ đẩy nhanh quá trình đồng thuận nhưng không làm thay đổi điểm đồng thuận của mô hình Ye 2 131
8.8 Đồ thị mô tả các tác tử trong ví dụ 8.4.3 131
8.9 Đồng thuận với ma trận Laplace theo mô hình Ahn: Trái - Chủ đề1 (𝑥𝑖,1, 𝑖 = 1, , 5) Giữa -Chủ đề2 (𝑥𝑖,2, 𝑖 = 1, , 5) Phải - Chủ đề 3 (𝑥𝑖,3, 𝑖 = 1, , 5) 132
8.10 Mô phỏng mô hình Hegselmann - Krausse với 𝑑 =0.2, 0.4, , 1.2 134
8.11 (a) Đồ thị dấu cân bằng cấu trúc; (b) Đồ thị dấu không cân bằng cấu trúc 135
8.12 Mô phỏng mô hình Altafini với các đồ thị trong Ví dụ 8.6.1 136
9.1 Ví dụ đồ thị trọng số ma trận trong đó cạnh màu đỏ thể hiện một cạnh xác định dương và cạnh màu xanh thể hiện một cạnh xác định dương hoặc bán xác định dương Đồ thị với các cạnh màu đỏ là một cây bao trùm xác định dương của 𝐺 139
9.2 Đồ thị minh họa hệ bốn tác tử trong Ví dụ 9.2.1 143
9.3 Ví dụ 9.2.1: Thay đổi của biến trạng thái của hệ với luật đồng thuận (9.5) 143
9.4 Đồ thị gồm 5 đỉnh ở Ví dụ 9.2.2 144
9.5 Ví dụ 9.2.2: Thay đổi của biến trạng thái của hệ với luật đồng thuận (9.5) 144
Trang 119.6 Ví dụ về đồ thị cây có hướng với đỉnh 1 là gốc ra 148C.1 Thay đổi đội hình theo thời gian 165
Trang 12ℝ Tập hợp các số thực
ℝ𝑑 Không gian các vector 𝑑 chiều
ℝ𝑑×𝑑 Không gian các ma trận kích thước 𝑑 × 𝑑
𝛼, 𝛽, 𝛾, Các hằng số
𝑎, 𝑏, 𝑐, Các đại lượng vô hướng hoặc các hàm nhận giá trị vô hướng
A, B, C, Các không gian vector con hay tập con củaℝ𝑑
𝐴, 𝐵, 𝐶, Các đồ thị hoặc các tập hợp liên quan đến đồ thị
ker(A) Không gian rỗng hay hạt nhân của ma trận A
span(a1, , a𝑛) Không gian tuyến tính sinh bởi các vector a𝑖, 𝑖 = 1, , 𝑛
im(A) Không gian ảnh của ma trận A
dim(A) Số chiều của không gian A
diag(a) Ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo là các phần tử của vector a blkdiag(A𝑘) Ma trận đường chéo khối với các ma trận A𝑘 trên đường chéo chính
rank(A) Hạng của ma trận A
kak𝑙, kAk𝑙 Chuẩn-𝑙 của vector a và ma trận A
kak, kAk Chuẩn-2 (hay chuẩn Euclid) của vector 𝑎 và ma trận A
| · | Giá trị tuyệt đối của một đại lượng vô hướng, hoặc lực lượng của một tập hợp
1𝑛 Vector cột kích thước 𝑛 ×1 với toàn bộ phần tử 1s
0𝑛 Vector cột kích thước 𝑛 ×1 với toàn bộ các phần tử 0, hoặc ma trậ không có
Σ Hệ qui chiếu riêng (địa phương) của tác tử 𝑖
a𝑖, b𝑖, c𝑖, Các vector liên quan tới tác tử 𝑖 viết trong hệ qui chiếu toàn cục 𝑔
Trang 13Phần I
Cơ sở
Trang 14[ 110 ]: Reynolds (1987), “Flocks, herds
and schools: A distributed behavioral
model”
[ 148 ]: Vicsek andothers (1995), “Novel
type of phase transition in a system
of self-driven particles”
1 Giới thiệu về hệ đa tác tử
1.1 Giới thiệu, định nghĩa, và
1.3 Ghi chú và tài liệu tham
và cung cấp điện năng2
2: Smart-grid
, cũng như các hệ thống điều khiển giao thôngthông minh Một hệ đa tác tử bao gồm nhiều hệ thống nhỏ, mỗi hệthống nhỏ được gọi là các tác tử Mỗi tác tử trong hệ có thể chỉ làphần mềm máy tính hoặc là các hệ thống vật lý cụ thể Các tác tửtrong hệ tương tác với nhau và với môi trường bên ngoài thông quamạng truyền thông, các cảm biến, và cơ cấu chấp hành Hơn nữa, các
hệ đa tác tử thường được thiết kế để các tác tử hợp tác cùng nhaunhằm thực hiện một nhiệm vụ phức tạp và thường không thực hiệnđược bởi một tác tử đơn lẻ
Tuy khái niệm về hệ đa tác tử mới được ra đời trong vài thập kỉ gầnđây, các hệ thống đa tác tử (tự nhiên và nhân tạo) đã được quan sát,phân tích, nghiên cứu bởi nhiều ngành khoa học và kĩ thuật khác nhau
từ rất lâu
Đầu tiên có thể kể đến các hiện tượng bầy đàn trong tự nhiên ở chim sẻ,
cá, và côn trùng Khi di cư lên đầu nguồn để sinh sản, cá hồi bơi thànhđàn lớn để tiết kiệm năng lượng cũng như tăng khả năng sống sót trướccác loài thiên địch Một đàn châu chấu có thể di chuyển với số lượnghàng triệu con từ vùng này sang vùng khác, tạo thành hiện tượng mưachâu chấu có sức tàn phá lớn hơn rất nhiều so với vài trăm cá thể đơn
lẻ Một hiện tượng thú vị khác là các con đom đóm trong một diệntích rộng lại có thể đồng điệu chớp sáng cùng với nhau Nghiên cứucủa các nhà sinh vật học đã chỉ ra rằng, tuy các hiện tượng này thểhiện bên ngoài khá phức tạp, cơ chế nảy sinh chúng lại khá đơn giản,
và hầu như chỉ dựa trên tương tác giữa các cá thể lân cận trong hệ.Một mô hình đơn giản lấy cảm hứng từ tự nhiên đã được đề xuất bởiReynolds [110] Trong mô hình này, mỗi tác tử (được gọi là một boidtrong bài báo) di chuyển trong không gian ba chiều tuân theo ba quitắc đơn giản là chia tách, căn chỉnh, và gắn kết Với ba luật đơn giảntrên, Reynolds đã mô phỏng lại được một loạt các hiện tượng quansát được trong tự nhiên Một mô hình khác được đề xuất bởi nhómnghiên cứu của nhà vật lý học Vicsek [148] mô tả hệ các tác tử chuyểnđộng trên mặt phẳng với cùng tốc độ nhưng với hướng khác nhau Mỗitác tử cập nhật hướng đi của mình dựa trên trung bình cộng về góchướng của tác tử đó và các tác tử lân cận và một thành phần nhiễu từmôi trường Phân tích và mô phỏng cho thấy, nếu như nhiễu là khôngđáng kể, theo thời gian, các tác tử dần di chuyển theo cùng một hướng.Phân tích toán học của các hiện tượng này sau đó được trình bày vàokhoảng năm 2003 dựa trên lý thuyết về các hệ đồng thuận rời rạc [58]
[ 58 ]: Jadbabaie andothers (2003),
“Coordination of groups of mobile
au-tonomous agents using nearest
neigh-bor rules”
.Hiện nay, những hiện tượng tự nhiên thường được nghiên cứu từ quan
Trang 151.2 Điều khiển hệ đa tác tử 3
self-organized systems
[ 39 ]: D¨ orfler andothers (2018), trical networks and algebraic graph theory: Models, properties, and ap- plications”
“Elec-[ 56 ]: Hoang andothers (2017), “A tributed control algorithm via saddle point dynamics for optimal resource allocation problem over netwoked sys- tems”
dis-[ 88 ]: Oh andothers (2015), “A survey
of multi-agent formation control”
[ 79 ]: Nedi´ c andothers (2018), tributed optimization for control” [ 62 ]: Kim andothers (2014), “Dis- tributed coordination and control for
“Dis-a freew“Dis-ay tr“Dis-affic network using sensus algorithms”
con-[ 80 ]: Nguyen andothers (2017), tributed learning in a multi-agent po- tential game”
“Dis-[ 48 ]: French Jr (1956), “A formal ory of social power”
the-[ 35 ]: DeGroot (1974), “Reaching a consensus”
[ 1 ]: Abelson (1967), “Mathematical models in social psychology” [ 49 ]: Friedkin (1986), “A formal the- ory of social power”
[ 104 ]: Proskurnikov andothers (2017),
“A tutorial on modeling and analysis
of dynamic social networks: Part I” [ 103 ]: Proskurnikov andothers (2018),
“A tutorial on modeling and analysis
of dynamic social networks: Part II”
sát thực tế, sau đó lập mô hình giản lược và phân tích ngược lại dựa
trên toán học Tương tác lẫn nhau giữa các tác tử trong hệ thường
được mô tả dựa trên cung cụ chính là lý thuyết đồ thị đại số Lý thuyết
điều khiển là một trong những công cụ đang được sử dụng rộng rãi
trong phân tích các hệ đa tác tử, giúp đưa ra một số kết luận về tính
hội tụ, ổn định, điều khiển được và tính quan sát được Hơn thế, những
luật tự điều chỉnh trong tự nhiên [self-organized systems] là cảm hứng
để thiết kế lời giải cho các bài toán về hệ đa tác tử nhân tạo
Ví dụ về hệ đa tác tử nhân tạo có thể kể đến hệ thống sản xuất và
phân phối điện năng Trong hệ thống này, mỗi nhà máy phát điện lớn
hay mỗi hộ gia đình có máy phát điện cỡ nhỏ (máy phát điện gió, diesel
hay pin mặt trời) đều có thể coi là một tác tử, nhưng qui mô và mức
ảnh ưởng của các tác tử trong hệ khác nhau Lưới điện đã được xây
dựng và không ngừng mở rộng từ khi điện năng còn chưa được sử dụng
rộng rãi Việc vận hành và xây dựng lưới điện phần lớn tự phát theo
nhu cầu Điều này dẫn đến những vấn đề về an toàn và khả năng chống
chịu, phục hồi của hệ thống khi sự cố xảy ra Nhiều sự kiện xảy ra trên
thế giới đã cho thấy, một sự cố xảy ra tại một nơi gây ảnh hưởng sập
lưới trên diện rộng hay thậm chí toàn bộ lưới điện Do ảnh hưởng sâu
rộng của lưới điện với đời sống con người, nghiên cứu về hệ thống điện
từ góc độ một hệ đa tác tử là một hướng nghiên cứu đã và đang được
nhiều quan tâm [39,56]
Một ví dụ khác là các hệ thống giao thông trên đường cao tốc, khi
các hệ thống xe tự lái đi vào hoạt động Khi lưu thông trên đường cao
tốc, các xe tải cần lập thành một đội xe (platooning) để di chuyển với
cùng vận tốc và giữ khoảng cách giữa các xe định trước Việc lập đội
xe ngoài đảm bảo tính an toàn và tiết kiệm nhiên liệu còn giúp tăng
lưu lượng xe và hạn chế ách tắc trên đường Bài toán lập đội xe là một
trường hợp riêng trong bài toán lớn hơn là bài toán về điều khiển đội
hình sẽ được phân tích ở chương 5[88] Từ một góc độ khác, ta có thể
coi mỗi con đường cùng lưu lượng xe là một tác tử, và mạng lưới giao
thông là một hệ thống đa tác tử khổng lồ Giả sử rằng hệ thống đèn
tín hiệu có thể điều khiển lưu lượng và sự luân chuyển xe giữa các con
đường, bài toàn điều khiển giao thông có thể qui về bài toán sản xuất
và phân phối hay rộng hơn là bài toán tối ưu phân tán [79,62,80]
Một hướng nghiên cứu đang được quan tâm hiện nay là về các hiện
tượng xã hội học, hay nghiên cứu về các mạng xã hội Những mô hình
toán phân tích động học của ý kiến được đưa ta từ nửa sau của thế
kỷ 20 (mô hình French-Degroot [48, 35], Abelson [1], hay
Friedkin-Johnsen [49]) tương đồng với mô hình hệ đồng thuận trong điều khiển
Mối liên hệ thú vị này, cùng với các hiện tượng xã hội khó dự đoán xảy
ra trên các mạng xã hội nảy sinh các bài toán phân tích các mạng xã
hội Hơn thế nữa, việc phân tích và dự báo các hiện tượng lan truyền
thông tin có thể được sử dụng chống lại việc sử dụng mạng xã hội vào
các mục đích xấu, ví dụ như lan truyền tin tức giả, hay chi phối dư
luận ở các chính quyền độc tài [104, 103]
1.2 Điều khiển hệ đa tác tử
Từ góc nhìn của hệ thống điều khiển, trọng tâm nghiên cứu về hệ đa
tác tử đi về ba bài toán: (i) mô hình hóa hệ đa tác tử, (ii) phân tích
Trang 16tính hội tụ, ổn định và chất lượng của hệ đa tác tử, (iii) thiết kế luậtđiều khiển cũng như tổng hợp các hệ đa tác tử theo những mục tiêu,giới hạn cho trước.
Một mô hình toán học hữu ích cần phải thể hiện được động học/độnglực học của từng tác tử, sự tương tác giữa các tác tử trong hệ thống,
và sự vận động của tất cả tác tử như một hệ thống thống nhất Tuynhiên, mô hình này cũng cần phải đủ đơn giản cho việc phân tích, thiết
kế luật điều khiển, và mô phỏng Các hệ đa tác tử, từ định nghĩa, luônmang trong mình tính phân tán và phi tập trung Trong nhiều trườnghợp, việc thiết kế một bộ điều khiển trung tâm để điều khiển mọi tác
tử riêng rẽ là không thực tế Bởi vậy, nghiên cứu điều khiển hệ đa tác
tử chủ yếu quan tâm tới việc thiết kế các thuật toán, sách lược điềukhiển phi tập trung và phân tán Tính phi tập trung/phân tán của cácsách lược điều khiển thể hiện ở các điểm sau:
Qui Mô Bài toán điều khiển hệ đa tác tử là một bài toán phức tạp,với một hay một số yêu cầu khác nhau đối với các biến trạngthái chung, hay còn gọi là những biến toàn cục của hệ
Giới Hạn Thông Tin Mỗi tác tử bị giới hạn về khả năng liên lạc, đođạc các thông tin toàn cục của hệ Giả sử mỗi tác tử chỉ có thôngtin về một số biến trạng thái của hệ (biến trạng thái cục bộ), và
có thể trao đổi thông tin với một số lượng nhỏ các tác tử lân cậnkhác trong hệ Những thông tin thu được từ đo đạc và trao đổicủa mỗi tác tử gọi chung là các thông tin địa phương Hơn nữa,phạm vi điều khiển của một tác tử cũng bị hạn chế, một tác tửchỉ có thể tác động tới một số tác tử xung quanh mình
Luật Điều Khiển Địa Phương Mỗi tác tử đưa ra quyết định điều khiểndựa trên các thông tin địa phương để giải quyết một bài toánnhỏ của mình, nhằm đạt được các yêu cầu đối với các biến trạngthái địa phương
Động Học/Động Lực Học Toàn Hệ Sự thay đổi/vận động chung của
hệ đa tác tử dựa trên việc các tác tử giải quyết các bài toán nhỏmột cách độc lập (có thể tuần tự hoặc đồng thời) và thường khácbiệt và phức tạp hơn khá nhiều so với động học/động lực họccủa từng tác tử đơn lẻ
Như vậy, ta có thể nhìn nhận một thuật toán điều khiển phân tán làmột cách phân chia một bài toán lớn thành nhiều bài toán nhỏ, saocho các bài toán nhỏ có thể giải quyết bởi mỗi tác tử nhờ các thôngtin địa phương
So sánh với thiết kế điều khiển tập trung, điều khiển phi tập trung/phântán không đòi hỏi có một bộ điều khiển trung tâm mà chỉ dựa trênviệc trao đổi, đo đạc, và tính toán tại địa phương Điều này giúp giảmchi phí hiện thực hóa các hệ đa tác tử Một lợi ích khác của điều khiểnphi tập trung/phân tán là khả năng mở rộng và phát triển hệ đa tác
tử Do các tác tử được xét tương tự nhau (có thể sai khác nhau về tỉlệ), các luật điều khiển phi tập trung/phân tán cho mỗi tác tử là tương
tự nhau và không phụ thuộc vào số lượng tác tử Điều đó có nghĩa là
ta chỉ cần thiết kế một luật điều khiển phổ quát cho tác tử một lần, vàkhông cần thay đổi luật điều khiển này khi tăng số lượng tác tử trong
hệ sau này Cuối cùng, do ta chia nhỏ bài toán lớn thành các bài toánnhỏ cho các tác tử, ảnh hưởng khi một tác tử không hoàn thành nhiệm
vụ tới toàn hệ sẽ được hạn chế Chú ý rằng một số nghiên cứu xét tới
Trang 171.3 Ghi chú và tài liệu tham khảo 5
[ 119 ]: Strang (1988), Linear Algebra and Its Applications
[ 8 ]: Antsaklis andothers (2006), ear Systems
Lin-[ 84 ]: Ogata (2009), Modern control engineering
[ 60 ]: Khalil (2002), Nonlinear Systems [ 152 ]: West (1996), Introduction to graph theory
[ 19 ]: Biggs (1993), Algebraic Graph Theory
[ 24 ]: Boyd andothers (2004), Convex optimization
điều khiển hệ đa tác tử có phương trình động học/động lực học cụ thể
khác nhau Luật điều khiển và phân tích trong những trường hợp này
thường bao quát được những sai khác mô hình của từng tác tử trong
hệ
Đi kèm với những lợi thế kể trên, các phương pháp điều khiển phi tập
trung/phân tán cũng có những hạn chế, khó khăn của mình Đầu tiên
là khó khăn trong thiết kế luật điều khiển phi tập trung/phân tán Giả
sử ta có một hệ thống và các yêu cầu cần đạt được Khi có đầy đủ
thông tin về các biến trạng thái, ta có thể phân tích và thiết kế bộ điều
khiển tập trung một cách dễ dàng dựa trên các phương pháp thiết kế
điều khiển truyền thống Tuy nhiên, khi thiết kế luật điều khiển phi
tập trung/phân tán, mỗi tác tử bị hạn chế về thông tin, do đó nhiều
khi mặc dù các tác tử hoàn thành nhiệm vụ riêng của mình, hệ đa tác
tử vẫn không đạt được toàn bộ các yêu cầu của bài toán thiết kế Nói
cách khác, lượng thông tin giảm bớt được đánh đổi bởi chất lượng của
hệ thống và sẽ được minh họa trong bài toán điều khiển đội hình ở
chương sau Thứ hai, mặc dù các luật điều khiển địa phương thường
đơn giản, động học chung của cả hệ đa tác tử thường phức tạp hơn rất
nhiều Các hệ đa tác tử trong thực tế là các hệ phi tuyến và có những
yếu tố bất định trong mô hình cũng như bị ảnh hưởng từ môi trường
bên ngoài Tuy nhiên, những mô hình xấp xỉ hóa, tuyến tính là cơ sở
cho nghiên cứu các mô hình phức tạp hơn.3 3: Một phần lớn nội dung của tài liệu
này sẽ đề cập tới việc mô hình hóa, phân tích và thiết kế các hệ đa tác tử tuyến tính.
Nhìn chung, các hệ đa tác
tử đều có một cơ sở nghiên cứu chung (đại số tuyến tính, lý thuyết đồ
thị,lý thuyết điều khiển) và tùy ứng dụng cụ thể mà có một số công cụ
phân tích, thiết kế được phát triển riêng Một vấn đề khác là an toàn
của các hệ đa tác tử khi bị tấn công hay khi có tác tử gặp sự cố Một
tác động địa phương có thể bị nhân lên thành một thảm họa cho cả hệ
thống nếu như hệ không được thiết kế với khả năng phát hiện và cô
lập các sự cố một cách phân tán và theo thời gian thực
1.3 Ghi chú và tài liệu tham khảo
Một điểm đặc biệt của các hệ đa tác tử nhân tạo (lưới điện, hệ giao
thông, mạng xã hội, ) là chúng đã được xây dựng và phát triển trước
khi có một lý thuyết chung về hệ đa tác tử Sự phát triển của các hệ đa
tác tử sẽ nảy sinh nhu cầu về nghiên cứu về hệ đa tác tử Để sử dụng
tài liệu này, người đọc cần kiến thức cơ bản về đại số tuyến tính [119],
lý thuyết điều khiển [8, 84, 60], lý thuyết đồ thị [152, 19] và tối ưu
hóa [24] Một số kiến thức liên quan về đại số tuyến tính, lý thuyết
điều khiển tuyến tính và phi tuyến được trình bày trong phần phụ lục
để tiện tham khảo
Trong phần I, cơ sở về lý thuyết đồ thị sẽ được trình bày ở chương 2
Tiếp theo, ở phần II, một số kết quả quan trọng trong phân tích hệ
đồng thuận sẽ được trình bày Những kết quả về hệ đồng thuận tuyến
tính ở chương 3, mặc dù đơn giản nhưng là khởi điểm cho các nghiên
cứu về các hệ đa tác tử trong hai thập kỉ qua Những ứng dụng của hệ
đồng thuận trong các bài toán như điều khiển đội hình, giữ liên kết,
tránh va chạm, định vị mạng cảm biến và một số mô hình động học
quan điểm trong nghiên cứu mạng xã hội sẽ được giới thiệu ở phần III,
trong các chương5 8nhằm cung cấp những ví dụ cụ thể về việc thiết
kế, phân tích các hệ đa tác tử hiện nay Các ví dụ mô phỏng, tính toán
Trang 18viết trên MATLAB/SIMULINK được cung cấp để hỗ trợ độc giả tiếpcận các kết quả lý thuyết trong tài liệu.
Trang 19khảo 20
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh
đó Tính trừu tượng hóa cao của đồ thị cho phép mô tả nhiều bài toán
trong các lĩnh vực khác nhau Không quá khi nhận xét rằng, gần như
mọi bài toán về hệ đa tác tử đều ít nhiều dựa trên những kết quả khác
nhau từ lý thuyết đồ thị Ví dụ, người ta có thể dùng đồ thị để biểu
diễn ảnh hưởng xã hội giữa các thành viên trong một tổ chức, để mô
tả dòng phương tiện giữa các nút giao thông khác nhau, hay để biểu
diễn những luồng thu thập, trao đổi thông tin trong một mạng cảm
biến,
Mục tiêu của chương này là tổng kết những kết quả của lý thuyết đồ
thị thường dùng trong nghiên cứu về hệ đa tác tử Đầu tiên, các định
nghĩa và kết quả cơ bản về đồ thị theo lý thuyết tập hợp được giới
thiệu trong mục2.1 Tiếp theo, mục2.2trình bày các cấu trúc đại số
để mô tả đồ thị, ví dụ như ma trận liền kề, ma trận liên thuộc, và ma
trận Laplacian Hai mục 2.1và2.2là nền tảng để mô tả các hệ đa tác
tử và sẽ được dùng trong phân tích hệ đồng thuận ở Chương3
với |𝐸| = 𝑚 phần tử Ta gọi 𝑣𝑖 ∈𝑉 và (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) ∈𝐸 tương ứng là môt
đỉnh và một cạnh của đồ thị 𝐺 Do đồ thị là vô hướng nên nếu có
(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) ∈𝐸 thì cũng có (𝑣𝑗, 𝑣𝑖) ∈𝐸.1
1: Bởi vậy, với đồ thị vô hướng 𝐺, ta chỉ cần liệt kê (𝑣 𝑖 , 𝑣𝑗) là đủ hiểu rằng
cả (𝑣 𝑖 , 𝑣𝑗) và (𝑣𝑗, 𝑣𝑖) đều thuộc 𝐸.
Khi có nhiều đồ thị khác nhau, ta
kí hiệu tập đỉnh và tập cạnh tương ứng của đồ thị 𝐺 bởi 𝑉(𝐺) và 𝐸(𝐺)
Trong một số ngữ cảnh, để đơn giản, ta có thể kí hiệu đỉnh 𝑣𝑖 bởi 𝑖,
cạnh (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) bởi (𝑖, 𝑗) hoặc 𝑒𝑖𝑗.
Mỗi đồ thị 𝐺 có một biểu diễn hình học tương ứng, gồm các vòng tròn
nhỏ biểu diễn các đỉnh 𝑣𝑖 ∈𝑉, và các đoạn thẳng (hay các cung) nối
𝑣0 2
𝑣0
4
𝑣0 5
(c) 𝐺3Hình 2.1: Một số ví dụ về đồ thị vô hướng.
Giả sử (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) ∈ 𝐸(𝐺) thì ta nói 𝑣𝑖, 𝑣𝑗 là hai đỉnh kề nhau (kí hiệu
𝑣𝑖∼𝑣𝑗), và đỉnh 𝑣𝑖 gọi là liên thuộc với cạnh (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) Hai cạnh phân
Trang 20biệt có chung một đỉnh gọi là hai cạnh kề Hai đồ thị là đẳng cấu nếutồn tại một song ánh giữa hai tập đỉnh mà bảo toàn quan hệ liền kề.
Từ nay, ta không phân biệt giữa hai đồ thị đẳng cấu Nếu 𝐺 và 𝐻 làhai đồ thị đẳng cấu , ta viết 𝐺𝐻 hoặc đơn giản là 𝐺 = 𝐻
Ví dụ 2.1.2 Xét hai đồ thị 𝐺2 và 𝐺3 trên Hình2.1(b) và (c) Địnhnghĩa ánh xạ 𝑓 : 𝑉2 →𝑉3như sau: 𝑓 (𝑣1) = 𝑣0
𝐺2 𝐺3.Một đồ thị 𝐺0= (𝑉0, 𝐸0
) là một đồ thị con của 𝐺 = (𝑉 , 𝐸) nếu 𝑉0⊆𝑉
và 𝐸0⊂𝐸 Trong trường hợp này ta viết 𝐺0⊆𝐺 Nếu 𝑉0 ⊂𝑉 thì đồthị (𝑉0, 𝐸 ∩ 𝑉0×𝑉0
) là một đồ thị con được dẫn xuất từ 𝑉0
, và kí hiệubởi 𝐺[𝑉0] Đồ thị 𝐻 là một đồ thị con dẫn xuất của 𝐺 nếu 𝐻 ⊂ 𝐺 và
𝐻 = 𝐺[𝑉(𝐻)]
Tập láng giềng của đỉnh 𝑣𝑖 của đồ thị 𝐺 được định nghĩa bởi 𝑁(𝑣𝑖) ={𝑣𝑗| (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) ∈ 𝐸} Bậc của đỉnh 𝑣𝑖 là số phần tử của tập láng giềng𝑁(𝑣𝑖), tức là deg(𝑣𝑖) = |𝑁(𝑣𝑖)| Ta cũng có thể định nghĩa bậc của mộtđỉnh trong đồ thị là số cạnh liên thuộc với nó Khi chỉ có một đồ thị
𝐺, ta có thể dùng kí hiệu rút gọn 𝑁(𝑣𝑖) = 𝑁𝑖 và deg(𝑣𝑖) = deg𝑖 Khi cónhiều đồ thị khác nhau, ta thêm kí hiệu đồ thị như một chỉ số dưới Ví
dụ nếu 𝐻 là một đồ thị con được dẫn xuất của 𝐺 và 𝑣 ∈ 𝐻 thì
𝑁𝐻(𝑣) = 𝑁𝐺(𝑣) ∩ 𝑉(𝐻), và deg𝐻(𝑣) = |𝑁𝐻(𝑣)|
Với tập 𝑉0⊂𝑉, ta định nghĩa tập 𝑁(𝑉0) = ∪{𝑁(𝑣)| 𝑣 ∈ 𝑉0
} Bậc tốithiểu của các đỉnh của 𝐺 được kí hiệu bởi𝛿(𝐺) và bậc tối đa được kíhiệu bởi Δ(𝐺) Nếu𝛿(𝐺) = Δ(𝐺) = 𝑘, tức là mọi đỉnh của 𝐺 đều có bậc
𝑘, thì 𝐺 gọi là một đồ thị chính quy bậc 𝑘 (hoặc đồ thị đều bậc 𝑘) Đồthị chính quy mạnh là đồ thị chính quy mà mọi cặp đỉnh kề nhau đều
có số láng giềng chung bằng nhau và mọi cặp đỉnh không kề đều có sốláng giềng chung bằng nhau Đồ thị chính quy bậc 𝑘 = |𝑉 | −1 = 𝑛 − 1gọi là đồ thị đầy đủ bậc 𝑛, kí hiệu bởi 𝐾𝑛
)).Nếu 𝑉0= {𝑣}, ta thường viết 𝐺 − 𝑣 thay cho 𝐺 − {𝑣} Tương tự, ta viết
𝐺 − 𝑒 thay cho 𝐺 − {𝑒} Với đồ thị 𝐻 ⊂ 𝐺, ta có thể viết 𝐺 − 𝐻 thaycho 𝐺 − 𝑉(𝐻) Nếu cạnh 𝑒 ∈ 𝑉 × 𝑉 \ 𝐸 thì đồ thị mở rộng từ 𝐺 bằngcách thêm vào cạnh 𝑒 được kí hiệu là 𝐺 + 𝑒 = (𝑉 , 𝐸 ∪ {𝑒 }) Ta cũng cónhững định nghĩa tương tự cho đồ thị mở rộng nhờ thêm đỉnh
Trang 212.1 Đồ thị 9
Hình 2.2: Ví dụ về các lát cắt cạnh của đồ thị 𝐺 gồm 5 đỉnh và 8 cạnh.
Với 𝑉 = {𝑣1, , 𝑣𝑛}, {deg(𝑣𝑖)}𝑛
1 gọi là chuỗi bậc của 𝐺 Thông thường,
ta sắp xếp các đỉnh sau cho chuỗi bậc là đơn điệu tăng hoặc đơn điệu
𝑖=1deg(𝑣𝑖) luôn luôn là một số chẵn
Với 𝑢 và 𝑣 là hai đỉnh không nhất thiết trùng nhau của 𝐺, một
đường mòn 𝑊 nối 𝑢 − 𝑣 là một chuỗi luân phiên giữa đỉnh và cạnh,
𝑢1, 𝑒1, 𝑢2, 𝑒2, , 𝑢𝑙, 𝑒𝑙, 𝑢𝑙+1, sao cho 𝑢1= 𝑢 (đỉnh đầu), 𝑢𝑙+1= 𝑣 (đỉnh
cuối), và các cạnh 𝑒𝑖 = (𝑢𝑖, 𝑢𝑖+1) ∈𝐸(𝐺), 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙 là đôi một khác nhau
Thông thường, ta kí hiệu 𝑊 = 𝑣1𝑣2 𝑣𝑙+1bởi dưới dạng này có thể xác
định rõ các cạnh của 𝑊 Độ dài của đường mòn 𝑊 này là 𝑙 Tập đỉnh
và tập cạnh của 𝑊 được kí hiệu lần lượt là 𝑉(𝑊 ) = {𝑣𝑖|𝑖 = 1, , 𝑙 +1}
và 𝐸(𝑊 ) = {𝑒𝑖| 𝑖 = 1, , 𝑙 + 1} Một lối mòn có tất cả các đỉnh đôi
một khác nhau (có thể trừ đỉnh đầu và đỉnh cuối) gọi là một đường
đi Một lối mòn có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau được gọi là một
mạch (circuit) Một đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau với
độ dài 𝑙 ≥3 được gọi là một chu trình
Một chu trình thường được kí hiệu bởi 𝑣1𝑣2 𝑣𝑙(thay cho 𝑣1𝑣2 𝑣𝑙𝑣1).
Ta thường đồng nhất đường đi đơn 𝑃 và chu trình đơn 𝐶 với các đồ thị
(𝑉(𝑃), 𝐸(𝑃)) và (𝑉(𝐶), 𝐸(𝐶)) Như vậy, 𝑣1𝑣2 𝑣𝑙+1 và 𝑣𝑙+1𝑣𝑙 𝑣1 kí
hiệu cùng một đường đi Tương tự, 𝑣1𝑣2 𝑣𝑙 và 𝑣2𝑣3 𝑣𝑙𝑣1 kí hiệu
cùng một chu trình Ta kí hiệu 𝑃𝑙 là một đường đi độ dài 𝑙 và 𝐶𝑙 một
chu trình độ dài 𝑙
Một đồ thị là liên thông nếu tồn tại ít nhất một đường đi giữa hai đỉnh
bất kì của đồ thị Ngược lại, ta gọi đồ thị là không liên thông Một đồ
thị con liên thông tối đa của 𝐺 là một đồ thị con 𝐻 = (𝑉(𝐻), 𝐸(𝐺) ∩
𝑉(𝐻) × 𝑉(𝐻)) sao cho 𝐻 là liên thông và không có đường đi nào trong
𝐸(𝐺) nối 𝐻 với các đỉnh 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) \ 𝑉(𝐻) Ta thường gọi 𝐻 là một
thành phần của đồ thị 𝐺
Một đồ thị liên thông không chứa chu trình nào gọi là một cây Một
đồ thị không chứa chu trình nào gọi là một rừng Một cây chứa tất cả
các đỉnh của đồ thị gọi là một cây bao trùm Một cây có 𝑛 đỉnh thì
luôn có 𝑛 −1 cạnh Đường đi giữa hai đỉnh bất kì trong một cây là duy
nhất Một rừng gồm 𝑛 đỉnh và 𝑐 thành phần có 𝑛 − 𝑐 cạnh
Khoảng cách giữa hai đỉnh 𝑢, 𝑣, kí hiệu bởi 𝑑(𝑢, 𝑣) là độ dài nhỏ nhất
Trang 22Ghi chú 2.1.1 Trong các định nghĩa ở trên, ta không xét đồ thị cóchứa khuyên (một cạnh nối một đỉnh với chính nó) và giả thuyếtrằng giữa hai đỉnh bất kì chỉ được nối bởi một cạnh (không có cáccạnh cạnh bội) Một đồ thị có cạnh bội gọi là một đa đồ thị Một đa
đồ thị có chứa khuyên gọi là một giả đồ thị
Giả sử 𝐺 = (𝑉 , 𝐸) là một đồ thị liên thông Mỗi lát cắt đỉnh là mộttập con của 𝑉 mà khi loại bỏ nó thì đồ thị mất tính liên thông Trị sốliên kết đỉnh của 𝐺, kí hiệu𝜅0 𝐺) là số đỉnh nhỏ nhất trong mọi látcắt đỉnh của 𝐺 Tương tự, ta định nghĩa lát cắt cạnh là một tập concủa 𝐸 mà nếu loại bỏ nó sẽ làm đồ thị 𝐺 mất tính liên thông Số cạnhtối thiểu trong mọi lát cắt cạnh của 𝐺 gọi là trị số liên kết cạnh và kíhiệu bởi𝜅1 𝐺) Ví dụ về các lát cắt đỉnh và lát cắt cạnh được cho nhưtrong Hình2.2và2.3
2.1.2 Đồ thị hữu hướng
Một đồ thị hữu hướng 𝐺 định nghĩa bởi một tập đỉnh 𝑉 = 𝑉(𝐺) cùngvới một tập các cạnh hữu hướng 𝐸 = 𝐸(𝐺) ∈ 𝑉 × 𝑉 Một cạnh có hướng(𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸 (với 𝑢 ≠ 𝑣) được biểu diễn hình học bởi một cung có hướng
từ đỉnh 𝑢 tới đỉnh 𝑣 Khi làm việc với đồ thị hữu hướng, (𝑢, 𝑣) và (𝑣, 𝑢)
là hai cạnh khác nhau và có thể cùng tồn tại Hơn nữa, nếu (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸thì không suy ra được rằng (𝑣, 𝑢) ∈ 𝐸 Hầu hết các định nghĩa cho đồthị vô hướng có thể được mở rộng ngay cho đồ thị có hướng Với mỗiđỉnh 𝑢 ∈ 𝑉, ta định nghĩa bậc-ra của đỉnh 𝑢 là số cạnh có hướng xuấtphát từ 𝑢, kí hiệu deg+(𝑢) Định nghĩa tập láng giềng-ra của đỉnh 𝑢bởi 𝑁+(𝑢) = {𝑣| (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸} thì ta có deg+(𝑢) = |𝑁+(𝑢)|.2 Hoàn toàntương tự, ta có thể định nghĩa bậc-vào deg−(𝑢) và tập láng giềng-vào
𝑁−(𝑢) của đỉnh 𝑢 Nếu đồ thị 𝐺 có deg+(𝑢) = deg−(𝑢) với mọi 𝑢 ∈ 𝑉thì 𝐺 gọi là một đồ thị cân bằng
Một đường đi hữu hướng 𝑢0𝑢1 𝑢𝑘 là một đường đi chứa các cạnhhữu hướng (𝑢𝑖, 𝑢𝑖+1) ∈𝐸 Với một đồ thị đơn, vô hướng 𝐻, ta có thểxây dựng một đồ thị hữu hướng 𝐺 bằng cách gán cho mỗi cạnh của 𝐻một hướng nhất định Đồ thị 𝐺 gọi là một đồ thị được định hướng của
𝐻 Ngược lại, với một đồ thị hữu hướng 𝐺, ta có thể loại bỏ hướng củatất cả các cạnh của 𝐺 và thu được đồ thị vô hướng 𝐻.3 Nếu đồ thị vôhướng 𝐻 là liên thông, thì 𝐺 là một đồ thị liên thông yếu Nếu với mỗicặp đỉnh 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), 𝑢 ≠ 𝑣 ta đều tìm được một đường đi hữu hướng
Trang 232.2 Đại số đồ thị 11
𝑢 − 𝑣, thì 𝐺 gọi là một đồ thị liên thông mạnh Có thể thấy rằng khi
đồ thị là vô hướng thì việc xét hai khái niệm liên thông yếu và liên
thông mạnh là tương đương
Nếu trong đồ thị hữu hướng 𝐺 = (𝑉 , 𝐸), tồn tại một đỉnh 𝑢 ∈ 𝑉 sao
cho với mọi 𝑣 ∈ 𝐸, 𝑣 ≠ 𝑢, ta đều tìm được một đường đi hữu hướng từ
𝑢 tới 𝑣 trong 𝐺, thì đỉnh 𝑢 gọi là một gốc-ra của 𝐺, và 𝐺 gọi là một
đồ thị có gốc-ra tại 𝑢 Khi đó, 𝐺 chứa một cây bao trùm có hướng 𝑇
sao cho từ gốc-ra 𝑢 có thể đi đến tất cả các đỉnh khác trong 𝑇 Tương
tự, nếu trong 𝐺 tồn tại một đỉnh 𝑢 ∈ 𝑉 sao cho với mọi 𝑣 ∈ 𝐸, 𝑣 ≠ 𝑢,
ta đều tìm được một đường đi hữu hướng trong 𝐺 từ 𝑣 tới 𝑢, thì đỉnh
𝑢 gọi là một gốc-vào của 𝐺, còn 𝐺 được gọi là một đồ thị có gốc-vào
tại 𝑢 Khi đó, 𝐺 chứa một cây bao trùm có hướng 𝑇 sao cho gốc-vào 𝑢
có thể đi tới được từ tất cả các đỉnh khác trong 𝑇 Với một đồ thị liên
thông mạnh thì mọi đỉnh của đồ thị đều vừa là một gốc-vào cũng như
là một gốc-ra
Với mỗi đỉnh 𝑢 bất kì của 𝐺, ta luôn có thể tìm được một đồ thị con,
liên thông mạnh, tối đa 𝐻 của 𝐺 sao cho 𝑢 ∈ 𝑉(𝐻) Ở đây, thuật ngữ
“tối đa” mang ý nghĩa là không tồn tại một đồ thị con liên thông mạnh
𝐾 nào của 𝐺 sao cho 𝐻 là một đồ thị con dẫn xuất của 𝐾 Chú ý rằng
đồ thị 𝐻 có thể chỉ chứa một đỉnh 𝑢 Với mọi đồ thị 𝐺, ta luôn có thể
phân hoạch 𝐺 thành các đồ thị con liên thông mạnh, tối đa Mỗi đồ thị
con này gọi là một thành phần của 𝐺 Do tính tối đa của mỗi thành
phần, phân hoạch này của 𝐺 là duy nhất
2.1.3 Đồ thị có trọng số
Ta có thể định nghĩa một đồ thị có trọng số 𝐺 bởi một bộ ba (𝑉 , 𝐸, 𝐴),
trong đó ngoài tập đỉnh 𝑉 và tập cạnh 𝐸, ta có thêm tập trọng số
𝐴 = {𝜔𝑖𝑗 ∈ ℝ+| 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉} Ứng với mỗi cạnh (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 có một
trọng số 𝜔𝑖𝑗 > 0 tương ứng Trong khi đó, nếu (𝑖, 𝑗) ∉ 𝐸 thì trọng số
𝜔𝑖𝑗 được cho bằng 0 Nhờ có trọng số, ngoài tính liên kết trong đồ thị,
ta có thể đánh giá tương đối về mức độ quan trọng (hay mạnh yếu)
của các cạnh (liên kết) trong đồ thị
Trang 24Ma trận bậc D(𝐺) được định nghĩa bởi
Dễ thấy ma trận kề A = A> luôn có các phần tử trên đường chéo chínhbằng 0, và các phần tử khác đều không âm Hơn nữa, nếu đồ thị 𝐺 là
vô hướng thì ma trận kề là đối xứng A = A>
2.2.1.2 Ma trận liên thuộc
Giả sử đồ thị 𝐺 = (𝑉 , 𝐸, 𝐴) có |𝑉 | = 𝑛 đỉnh và |𝐸| = 𝑚 cạnh Xét một
đồ thị định hướng bất kì của 𝐺 và đánh số các cạnh của đồ thị này bởi
𝑒1, , 𝑒𝑚 Ma trận liên thuộc H = [ℎ𝑘𝑖]𝑚×𝑛∈ℝ𝑚×𝑛 biểu diễn mối liên
hệ giữa các đỉnh và các cạnh của đồ thị 𝐺 Mỗi hàng của ma trận liênthuộc ứng với một cạnh của 𝐸 trong khi mỗi cột tương ứng với mộtđỉnh trong 𝑉 Cụ thể, các phần tử của ma trận liên thuộc được xácđịnh bởi
Mặc dù với mỗi cách định hướng khác nhau của 𝐺, dấu của các hàng
của ma trận H sẽ thay đổi tương ứng Tuy nhiên, hạng của ma trận H
là không phụ thuộc vào cách ta định hướng đồ thị 𝐺
Trang 252.2 Đại số đồ thị 13
Ma trận liên thuộc cho ta thông tin về cấu trúc của đồ thị 𝐺 Cụ thể,
nếu đồ thị 𝐺 là liên thông thì không gian rỗng của ma trận H được sinh
bởi vector 1𝑛 = [1, , 1]>, nói cách khác ker(H) = span{1𝑛} Trong
khi đó, không gian rỗng (hay hạt nhân) của ma trận H> liên hệ với
không gian chu trình4
4: cycle spacecủa đồ thị 𝐺
Xét một đồ thị định hướng 𝐻 của 𝐺 và giả sử rằng 𝐺 là liên thông
Trong 𝐻, một vector đường đi đánh dấu5
5: signed path vector
z tương ứng với một đường
đi hữu hướng 𝑃 sao cho phần tử thứ 𝑖 của z = [𝑧1, , 𝑧𝑚]> nhận giá
+1, nếu cạnh thứ 𝑖 được đi thuận hướng trong 𝑃,
−1, nếu cạnh thứ 𝑖 được đi ngược hướng trong 𝑃,
0, nếu cạnh thứ 𝑖 không thuộc 𝑃
Với một đường đi 𝑃 với đỉnh đầu và cuối khác nhau trong đồ thị 𝐻 mô tả
bởi vector z, vector y = H>z nhận giá trị −1 nếu đỉnh 𝑖 là đỉnh xuất phát
của đường đi, 1 nếu đỉnh 𝑖 là đỉnh kết thúc, và 0 trong các trường hợp
khác Không gian rỗng của H>được sinh bởi các vector đường đi đánh
dấu độc lập tuyến tính tương ứng với các chu trình độc lập của 𝐻 Gọi𝜇
là số chu trình độc lập trong 𝐻 (cũng như của 𝐺) thì𝜇 = dim(ker(H>
))
Do đó, rank(H>) = dim(im(H>
)) − dim(ker(H>)) = 𝑚 −𝜇 Mặt khác,
với 𝐺 liên thông thì rank(H) = dim(im(H)) − dim(ker(H)) = 𝑛 −1 Từ
rank(H) = rank(H>), ta suy ra công thức
Trong trường hợp 𝐺 không liên thông và có 𝑐 thành phần, dim(ker(H)) =
𝑐 Khi đó, công thức tính số chu trình độc lập trở thành𝜇 = 𝑚 − 𝑛 + 𝑐
Chú ý rằng công thức (2.4) cũng có thể suy ra như sau: Xét một cây
bao trùm bất kỳ 𝑇 của 𝐺 gồm 𝑛 −1 cạnh Rõ ràng, 𝑇 không chứa bất
kỳ chu trình nào Với mỗi cạnh 𝑒 ∈ 𝐸(𝐺) \ 𝐸(𝑇) được thêm vào đồ thị
thì ta có một chu trình độc lập tương ứng Vì vậy, số chu trình độc lập
trong 𝐺 bằng |𝐸(𝐺) \ 𝐸(𝑇)| = 𝑚 − 𝑛 +1
Ví dụ 2.2.3 Xét ma trận liên thuộc trong ví dụ2.2.2 (đồ thị trên
hình2.4(a)) Không gian rỗng của H được sinh bởi vector 14 do đồ
thị là liên thông yếu Dễ thấy hạt nhân của H> chứa các vector
I z1 = [1, −1, 0, 1, 0]> tương ứng với chu trình đi qua các đỉnh
Trang 262.2.1.3 Ma trận Laplace của đồ thị vô hướng
Ma trận LaplaceL = [𝑙𝑖𝑗]𝑛×𝑛 ∈ℝ𝑛×𝑛 của đồ thị vô hướng 𝐺 được địnhnghĩa bởi:
Nói cách khác, các phần tử của ma trận Laplace có thể được định nghĩa
từ các phần tử của ma trận A như sau:
𝑙𝑖𝑗=
−𝑎𝑖𝑗, nếu 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉 , 𝑖 ≠ 𝑗,
P𝑛 𝑗=1𝑎𝑖𝑗, nếu 𝑖 = 𝑗.
Ta cũng có thể định nghĩa ma trậnL dựa trên ma trận liên thuộc Với
một định hướng bất kỳ của 𝐺, ta có một ma trận liên thuộc H tương
ứng Ma trận Laplace có thể viết dưới dạng:
Như vậy, với 𝐺 là đồ thị vô hướng thì ma trận LaplaceL là đối xứng
và bán xác định dương Do đó, các trị riêng củaL là các số thực và ta
có thể sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần như sau:
𝜆1 𝐺) ≤ 𝜆2 𝐺) ≤ ≤ 𝜆𝑛(𝐺) (2.7)
Mặc dù có thể định nghĩa từ ma trận H (xem phương trình (2.6)), ma
biểu diễn ma trận H (phương trình (2.5))
Định lý 2.2.1 (Các tính chất của ma trận Laplace) Xét đồ thị vôhướng 𝐺 = (𝑉 , 𝐸) với ma trận LaplaceL Ta có:
theo thứ tự tăng dần, thỏa mãn:
0 =𝜆1 ≤𝜆2≤ ≤ 𝜆𝑛
M thỏa mãn M = [M]𝑖𝑗 ∈ ℝ𝑛×𝑛 có các phần tử ngoài đường
chéo không dương ([M]𝑖𝑗 ≤ 0, ∀𝑖 ≠ 𝑗), nhưng phần thực củacác trị riêng của nó đều không âm (𝜆𝑖(M) ≥ 0, ∀𝑖 = 1, , 𝑛).
4 Tổng các hàng và các cột của L đều bằng0 Nói cách khác,
ma trậnL và L> đều nhận vector 1𝑛 là một vector riêng ứngvới trị riêng𝜆1 𝐺) = 0
5 Đồ thị 𝐺 là liên thông khi và chỉ khi𝜆2 𝐺) > 0 Giá trị 𝜆2 𝐺)còn gọi là là giá trị riêng Fiedler hay trị số liên thông của đồthị 𝐺
6 Nếu 𝐺 gồm 𝑐 thành phần liên thông, ta có thể đánh số cácđỉnh của 𝐺 sao cho ma trận L có thể viết dưới dạng một
ma trận khối đường chéoL = blkdiag(L1, , L𝑐), trong đó
L𝑖, 𝑖 = 1, , 𝑐, là những ma trận Laplace tương ứng củamỗi thành phần liên thông trong 𝐺 Số chiều của không gianrỗng của L bằng với số thành phần liên thông của đồ thị
(dim(ker(L)) = 𝑐).
Trang 272.2 Đại số đồ thị 15
7 Vết của ma trận Laplace bằng hai lần số cạnh của 𝐺, nói cách
khác trace(L) =2𝑚
8 (Định lý ma trận - cây) Kí hiệuL𝑣𝑖 là ma trận thu được từL
sau khi xóa đi hàng và cột ứng với đỉnh 𝑣𝑖 bất kì của đồ thị
Số cây bao trùm đồ thị 𝐺 được tính bởi 𝜏(𝐺) = det(L𝑣𝑖)
9 Phương trình Lx = b có nghiệm khi và chỉ khi b>1𝑛 = 0
Nghiệm của phương trình có dạng x = 𝛼1𝑛+ L†b, trong đó𝛼 ∈
ℝvàL† = Pdiag(0,𝜆−1
2 , , 𝜆−1
𝑛 )P> là ma trận giả nghịch đảoMoore-Penrose củaL, P = [v1, , v𝑛] với v𝑘là các vector riêng
đã được chuẩn hóa tương ứng với các giá trị riêng 𝜆1, , 𝜆𝑛
của ma trận L Ma trận L† là đối xứng, bán xác định dương,
có tổng hàng và tổng cột bằng 0, và thỏa mãnL†L = LL†=
I𝑛−𝑛11𝑛1>𝑛
10 Giả sử 𝐺 là đồ thị liên thông và 𝐺0là đồ thị thu được từ 𝐺 sau
khi xóa đi các đỉnh 𝑉1=1, , 𝑙, 𝑙 ≥ 1, thì ma trận Laplace có
xác định dương Khi 𝑙 =1 thì L22 còn có tên gọi là ma trận
Laplace nối đất, với ma trận nghịch đảo gồm các phần tử
không âm thỏa mãn (L−122)𝑖𝑗= (e𝑖− e1 >L†(e𝑖− e1), trong đó
e𝑖= [0, , 0, 1, 0, , 0]> ∈ℝ𝑛 là vector đơn vị với các phần
tử bằng 0 ngoại trừ phần tử thứ 𝑖 có giá trị bằng1
11 Điện trở hiệu dụng 𝑟eff𝑖𝑗 giữa hai đỉnh 𝑖, 𝑗 trong đồ thị liên thông
𝐺 được cho bởi 𝑟eff
𝑖𝑗 = (e𝑖− e𝑗)>L†(e𝑖− e𝑗) = L†𝑖𝑖+ L†𝑗 𝑗− 2L†𝑖𝑗.Điện trở hiệu dụng là một metric trong đồ thị, thỏa mãn các
tính chất: (a) Không âm: 𝑟𝑖𝑗eff ≥ 0, ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉 và 𝑟eff
𝑖𝑗 =0 khi vàchỉ khi 𝑖 = 𝑗; (b) Đối xứng: 𝑟eff
𝑖𝑗 = 𝑟eff
𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉; (c) Bất đẳngthức tam giác: 𝑟𝑖𝑗eff ≤𝑟eff
𝑖 𝑘 +𝑟eff
𝑘 𝑗, ∀𝑖, 𝑗, 𝑘 ∈ 𝑉
Chứng minh 1-4 Các tính chất này được suy từ cách định nghĩa ma
trận Laplace theo các phương trình (2.5)–(2.6)
5 Từ phương trình (2.6), ta có ker(L) = ker(H>H) = ker(H) Do
hạt nhân của H được sinh bởi vector 1𝑛 khi và chỉ khi 𝐺 là liên
thông, ta có điều phải chứng minh
Trang 28Do mỗi thành phần là liên thông, định nghĩa
v𝑘 = vec(0|𝑉1|, , 0|𝑉𝑘−1|, 1|𝑉𝑘|, 0|𝑉𝑘+1|, , 0|𝑉𝑐|), 𝑘 = 1, , 𝑐,thì
𝐺 thì det(H>
𝑣1[𝑆]) = ±1
Thật vậy, nếu các cạnh của 𝑆 không tạo thành một cây bao trùmcủa 𝐺 thì một tập các cạnh (giả thuyết không kề với 𝑣1) trong
𝑆 sẽ tạo thành của một chu trình trong 𝐺 Chọn vector đường
đi đánh dấu z tương ứng với chu trình này thì H>𝑣1[𝑆]z = 0 Điều này chứng tỏ các cột của H>𝑣1[𝑆] phụ thuộc tuyến tính, từ đó ta
trận H0𝑣>1 ∈ℝ(𝑛−2)×(𝑛−2) Chú ý rằng det(H>𝑣1[𝑆]) = ±det(H0 >
𝑣1[𝑆]).Gọi 𝑇0= 𝑇 \ 𝑒 là cây thu được từ 𝑇 sau khi thu hẹp cạnh 𝑒 vào
Tiếp theo, ta chứng minh định lý ma trận - cây DoL = H>H,
ta suy raL𝑣1 = H>𝑣1H𝑣1 Theo định lý Cauchy-Binet:
Trang 292.2 Đại số đồ thị 17
6: matrix-tree theorem
Do det(H>𝑣1[𝑆]) = det(H𝑣
1[𝑆]), ta suy radet(L𝑣1) =X
𝑆
(det(H>𝑣1[𝑆]))2
Áp dụng kết quả vừa chứng minh ở trên, với mỗi tập 𝑆 tạo thành
một cây bao trùm của 𝐺 thì det(H>𝑣
1[𝑆]) = ±1, trong khi ngược
lại thì det(H>𝑣1[𝑆]) = 0 Do đó, tổng ở vế phải của đẳng thức trên
đúng bằng số cây bao trùm của đồ thị 𝐺
9 Do ma trận L là suy biến với ker(L) = im(1𝑛) nên im(L) ⊥
im(1𝑛) Do đó, phương trình Lx = b có nghiệm khi và chỉ khi
10 Từ phương trình L22 = L(𝐺0) − diag(L211𝑙) ta có ngay L22
là đối xứng Do đồ thị 𝐺 là liên thông, B = −diag(L211𝑙) =
diag(𝑏1, , 𝑏𝑛−1) là một ma trận đường chéo với 𝑏𝑖 =P𝑙
ℝ(𝑛−1)×(𝑛−1) nên ta suy raL22là ma trận xác định dương
2.2.2 Ma trận Laplace của đồ thị hữu hướng
Với đồ thị hữu hướng, có trọng số 𝐺 = (𝑉 , 𝐸, 𝐴), ma trận kề (với trọng
số) được định nghĩa bởi
Với định nghĩa này, ta vẫn có L1𝑛 = diag(A1𝑛)1𝑛 − A1𝑛 = 0, hay
1𝑛 ∈ ker(L) và L luôn có một trị riêng bằng 0 Tuy nhiên, L lúc này
không đối xứng nên tổng các cột củaL có thể khác 0.
Định lý ma trận - cây6 cho đồ thị hữu hướng được phát biểu như
sau:
Trang 30Định lý 2.2.2 (Định lý ma trận - cây [147,152]) Với 𝑣 là một đỉnhbất kì của đồ thị hữu hướng có trọng số 𝐺, ta có
det(L𝑣(𝐺)) = X
𝑇∈T 𝑣Y
(𝑣𝑗,𝑣𝑖)∈𝑇
𝑎𝑖𝑗,
trong đó T𝑣 là tập hợp các cây bao trùm của 𝐺 có gốc ra tại 𝑣,Q
(𝑣𝑗,𝑣𝑖)∈𝑇𝑎𝑖𝑗 là tích trọng số của các cạnh thuộc cây bao trùm 𝑇,
vàL𝑣(𝐺) là ma trận thu được từ L(𝐺) sau khi xóa đi hàng và cột
tương ứng với đỉnh 𝑣
Đối với một đồ thị hữu hướng, có trọng số 𝐺, điều kiện cần và đủ để
𝐺 chứa một cây bao trùm có gốc ra (hay 𝐺 là một đồ thị có gốc ra)được cho trong định lý sau đây:
Định lý 2.2.3 Một đồ thị hữu hướng 𝐺 với 𝑛 đỉnh chứa một cây baotrùm có gốc ra khi và chỉ khi rank(L) = 𝑛 − 1 Khi đó, ker(L) = im(1𝑛)
Chứng minh Điều cần chứng minh tương đương với việc đa thức đặctính củaL nhận0 là một nghiệm đơn Viết đa thức đặc tính dưới dạng
𝑝𝐺(𝜆) = 𝜆𝑛+𝛼𝑛−1𝜆𝑛−1+ + 𝛼1𝜆 + 𝛼0, (2.15)thì𝛼0 =0 do ma trận Laplace luôn có một giá trị riêng bằng 0 Bởivậy, rank(L) = 𝑛 −1 khi và chỉ khi 𝛼1≠0 Mặt khác,
𝛼1=X
𝑣
det(L𝑣),
vớiL𝑣 là ma trận thu được từL sau khi xóa đi hàng và cột thứ 𝑣 Từ
định lý ma trận - cây, ta có det(L𝑣) ≠ 0 khi và chỉ khi tồn tại một câybao trùm có gốc ra tại 𝑣 ∈ 𝐺 Cuối cùng, doL1𝑛= 0 luôn đúng, nếu
rank(L(𝐺)) = 𝑛 − 1, ta suy ra ker(L(𝐺)) = im{1𝑛}
Một số tính chất của ma trậnL của đồ thị hữu hướng, có trọng số 𝐺
được tóm tắt trong định lý sau:
Định lý 2.2.4 (Ma trận Laplace của đồ thị hữu hướng, có trọng số)Giả thuyết rằng 𝐺 = (𝑉 , 𝐸, 𝐴) là một đồ thị hữu hướng, có trọng số
và có gốc-ra Khi đó,
𝜆1=0 Các giá trị riêng khác của L thỏa mãn Re(𝜆𝑖)> 0, 𝑖 =
2, , 𝑛 Hơn nữa, các giá trị riêng của L đều nằm trong đĩa
tròn tâm Δ + 𝑗0, bán kính Δ = max𝑖deg−(𝑣𝑖) trên mặt phẳngphức (Hình 2.5)
2 Nếu 𝐺 là liên thông mạnh thì ma trậnL là tối giản, tức là
không tồn tại ma trận hoán vị P để PLP> có dạng ma trậnkhối đường chéo trên Nếu như 𝐺 có gốc ra, thì tồn tại ma trận
Trang 31trong đóL𝑖𝑖, 𝑖 = 1, , 𝑘 − 1, là tối giản, có ít nhất một hàng
với tổng hàng dương, vàL𝑘 𝑘 là tối giản hoặc bằng 0
3 Đồ thị 𝐺 là liên thông mạnh khi và chỉ khi tồn tại vector
Chứng minh 1 Áp dụng Định lý Gerschgorin (xem Phụ lụcA) cho
ma trậnL, các giá trị riêng của L nằm trong phần hợp của các
đĩa tròn cho bởi:
𝐵𝑖 = {𝑠 ∈ℂ| |𝑠 − 𝑙𝑖𝑖| ≤𝑅𝑖} (2.17)với 𝑅𝑖 = P
𝑗∈𝑁𝑖 |𝑙𝑖𝑗| = P
𝑗∈𝑁𝑖|𝑎𝑖𝑗| = 𝑙𝑖𝑖 = deg−(𝑣𝑖) Các đĩa trònnày tiếp xúc với trục ảo tại gốc tọa độ và đều nằm trong đĩa tròn
𝐵 tâm Δ + 𝑗0, bán kính 𝑅 = Δ = max𝑖deg−(𝑣𝑖) Theo Định lý
2.2.3, ma trậnL chỉ có thể có duy nhất một giá trị riêng bằng 0
nên ta suy ra các giá trị riêng còn lại củaL đều phải nằm bên
phải trục ảo, tức là Re(𝜆𝑖)> 0, ∀𝑖 = 2, , 𝑛
2 Giả sử 𝐺 là đồ thị liên thông mạnh và tồn tại ma trận hoán vị P
sao choL có thể phân tích thành dạng
này tương ứng với đồ thị 𝐺 sau khi đánh số lại các đỉnh tương
ứng với phép thế cho bởi ma trận P Dễ thấy từ ma trận L0,
các đỉnh 𝑣1, , 𝑣𝑙 không có đường đi có hướng nào tới các đỉnh
𝑣𝑙+1, , 𝑣𝑛 Từ đây suy ra 𝐺 không thể là đồ thị liên thông
mạnh, trái với giả thuyết ban đầu
Nếu 𝐺 là một đồ thị có gốc ra và không liên thông mạnh, ta có
thể đánh số các đỉnh trong thành phần liên thông mạnh tối đa
chứa các gốc ra của 𝐺 bởi 𝑣𝑙+1, , 𝑣𝑛 Khi đó, ta có dạng ma
trận Laplace tương ứng ở dạng (2.18) Tiếp theo, ta coi thành
phần liên thông mạnh tối đa chứa gốc ra của 𝐺 như một đỉnh
𝑣𝑙+1 và đánh số các đỉnh trong thành phần liên thông mạnh tối
đa kề với 𝑣𝑙+1 bởi 𝑣𝑙1, , 𝑣𝑙 thì ma trận Laplace tương ứng lúc
3 Giả sử 𝐺 là đồ thị liên thông mạnh Định nghĩa ma trận B =
𝜌I𝑛 − L với𝜌 > max𝑖𝑙𝑖𝑖 thì B là một ma trận không âm Các
Trang 32phần tử nằm ngoài đường chéo chính của B giống hệt với các phần tử nằm ngoài đường chéo chính của A, do đó đồ thị nhận B
là ma trận kề cũng là một đồ thị liên thông mạnh Từ đây suy ra
Theo lý thuyết Perron-Frobenius (xem phụ lục A), 𝜌, giá trị
riêng trội của B, là một giá trị riêng đơn và vector riêng bên
trái 𝜸 của B có thể được chọn là vector duy nhất thỏa mãn
diễn ở dạng (2.18), trong đóL22 là ma trận Laplace tương ứngvới thành phần liên thông mạnh tối đa chứa các gốc ra
Từ chứng minh phần thuận, tồn tại𝜻 là vector riêng bên tráiduy nhất ứng với giá trị riêng 0 của ma trận L22 với 𝜁𝑖 > 0,P
𝑖𝜁𝑖 =1 Nhận thấy rằng với 𝜸0
= [0>, 𝜻>]> thì (𝜸0)>L = 0>𝑛,trái với giả thuyết rằng𝜸 là vector riêng duy nhất của L ứng
với giá trị riêng 0 Từ đây suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 2.2.4 Xét đồ thị 𝐺 có ma trận LaplaceL cho bởi:
Hình 2.5: Các giá trị riêng của L
nằm trong đĩa tròn 𝐵 tâm Δ + 𝑗0, bán
kính Δ = max 𝑖 deg−(𝑣𝑖 ) (vùng màu
đỏ) Các trị riêng của −L nằm trong
đĩa tròn 𝐵0 đối xứng với 𝐵 qua trục
ảo (vùng màu xanh).
(a) Đồ thị 𝐺
(b) Các đĩa tròn Gerschgorin và các giá
trị riêng củaL
Hình 2.6: Minh họa Ví dụ 2.2.4 2.3 Ghi chú và tài liệu tham khảo
Những kiến thức về đồ thị trong chương này có thể tìm thấy tronghầu hết các giáo trình về lý thuyết đồ thị Những tài liệu [19,52][ 19 ]: Biggs (1993), Algebraic Graph
Theory
[ 52 ]: Godsil andothers (2001),
Alge-braic graph theory
cungcấp những kiến thức bổ sung về lý thuyết đồ thị, ví dụ như bài toánghép cặp, bài toán tô màu đồ thị, hay lý thuyết đồ thị tới hạn, Một
số kết quả mở rộng về phổ của ma trận Laplace hữu hướng được xây
Trang 33Bài tập 2.4.1 Hai đồ thị 𝐺1 và 𝐺2 trên Hình 2.7có đẳng cấu hay
không? Cùng câu hỏi với hai đồ thị 𝐻1 và 𝐻2 trên Hình2.8
(a) 𝐺 1
(b) 𝐺 2 Hình 2.7: Đồ thị vô hướng 𝐺1và 𝐺2.
(a) 𝐻 1
(b) 𝐻 2 Hình 2.8: Đồ thị vô hướng 𝐻1 và 𝐻2.
Bài tập 2.4.2 Xét đồ thị Petersen như ở Hình2.8
i Hãy xác định các ma trận A, H, L của đồ thị.
ii Sử dụng MATLAB, hãy tìm các giá trị riêng và vector riêng
của ma trận Laplace
iii Cần xóa ít nhất bao nhiêu đỉnh/cạnh để làm mất tính liên
thông của đồ thị Petersen?
Bài tập 2.4.3 Chứng minh rằng một đồ thị đơn gồm 𝑛 đỉnh và 𝑘
thành phần liên thông có nhiều nhất (𝑛−𝑘)(𝑛−𝑘+1)2 cạnh
Bài tập 2.4.4 Tồn tại hay không một đồ thị với chuỗi bậc cho bởi:
(a) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4; (b) 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4? Trong trường hợp đồ thị
tồn tại, hãy biểu diễn tất cả các đồ thị thỏa mãn chuỗi bậc đó
Bài tập 2.4.5 Kí hiệu số cây bao trùm đồ thị 𝐺 bởi𝜏(𝐺) Với 𝑒 là
một cạnh bất kỳ của 𝐺, chứng minh rằng:
𝜏(𝐺) = 𝜏(𝐺 − 𝑒) + 𝜏(𝐺 \ 𝑒)
Bài tập 2.4.6 Kí hiệu e𝑖 là vector đơn vị với phần tử thứ 𝑖 bằng 1 và
các phần tử khác bằng 0 Với mỗi cạnh (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) của 𝐺, ta định nghĩa
vector e𝑖𝑗= e𝑗− e𝑖 Chứng minh rằng:
i Mỗi hàng của ma trận H> tương ứng với một vector e𝑖𝑗 ∈𝐸
ii Ma trận Laplace có thể viết dưới dạng:L =P
(𝑣𝑖,𝑣𝑗)∈𝐸e𝑖𝑗e>𝑖𝑗
Bài tập 2.4.7 Với mỗi ma trận A ∈ℝ𝑛×𝑛, kí hiệu A𝑖𝑗 là ma trận thu
được từ A sau khi xóa đi hàng 𝑖 và cột 𝑗 Phần phụ đại số của A𝑖𝑗
được tính bởi 𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗det(A𝑖𝑗) Ma trận phụ hợp của ma trận
Xét đồ thị liên thông 𝐺 = (𝑉 , 𝐸) với |𝑉 | = 𝑛 và ma trận LaplaceL,
Bài tập 2.4.8 i Hãy vẽ đồ thị hình sao 𝑆3, 𝑆4
Trang 34ii Hãy lập các ma trận kề A(𝑆3) và A(𝑆4) tương ứng của 𝑆3 và
𝑆4.
iii Tính tích Kronecker A3= A1⊗ A2 và vẽ đồ thị nhận A3 là matrận kề
Bài tập 2.4.9 Đồ thị đảo ngược của một đồ thị hữu hướng 𝐺 là một
đồ thị hữu hướng trong đó mọi cạnh có hướng của 𝐺 đều được đảongược Đồ thị loại bỏ hướng của 𝐺 là đồ thị thu được sau khi thaymỗi cạnh (có hướng) của 𝐺 bằng một cạnh vô hướng tương ứng.Những phát biểu sau là đúng hay sai?
i Đồ thị hữu hướng G là liên thông mạnh khi và chỉ khi đồ thịđảo ngược của nó là liên thông mạnh
ii Một đồ thị hữu hướng chứa một cây bao trùm có gốc ra khi vàchỉ khi đồ thị đảo ngược của nó chứa một cây bao trùm có gốcra
iii Nếu như đồ thị loại bỏ hướng của G là liên thông thì phải có
G hoặc đồ thị đảo ngược của G là có chứa một cây bao trùm
Bài tập 2.4.11 Chứng minh rằng một đồ thị gồm 𝑛 đỉnh và có hơn
𝑛 − 1 cạnh thì phải chứa một chu trình
Bài tập 2.4.12 Xét đồ thị 𝐺 hữu hướng với ma trận kề A ∈ℝ𝑛×𝑛.Chứng minh rằng các phần tử [𝑏𝑖𝑗] của ma trận B = A2 tương ứngvới số đường đi với độ dài bằng 2 trong 𝐺 giữa 𝑖 và 𝑗 Tổng quát hoákết quả trên, chứng minh rằng đồ thị có gốc ra nếu tồn tại 𝑘 ∈ℕ+
sao cho ma trậnP𝑘
𝑖=1A𝑖 có một cột gồm toàn phần tử dương Hơnnữa, chứng mình rằng đồ thị là liên thông mạnh khi và chỉ khi tồntại một số 𝑘 ∈ℕ+ sao cho ma trậnP𝑘
𝑖=1A𝑖 có tất cả các phần tửdương
Bài tập 2.4.13 Chứng minh rằng với đồ thị vô hướng có ma trận liên
thuộc H và ma trận Laplace L thì L = H>H Kết quả trên sẽ thay
đổi như thế nào đối với đồ thị có trọng số?
Bài tập 2.4.14 Đồ thị bù của đồ thị 𝐺 = (𝑉 , 𝐸) được kí hiệu bởi
Trang 352.4 Bài tập 23
Bài tập 2.4.15 Gọi L là ma trận Laplace của đồ thị 𝐺 hữu hướng
gồm 𝑛 đỉnh Chứng minh rằng không tồn tại vector riêng bên phải v
nào của L nằm ngoài im(1𝑛) sao cho mọi phần tử của v đều dương.
Bài tập 2.4.16 Tìm các giá trị riêng của ma trận A và ma trận L
ứng với:
i Đồ thị chu trình vô hướng gồm 𝑛 đỉnh
ii Đồ thị chu trình hữu hướng gồm 𝑛 đỉnh
iii Đồ thị đều 𝐾𝑛 vô hướng
iv Đồ thị sao 𝑆𝑛
v Đồ thị bánh xe 𝑊𝑛
Trang 36Hệ đồng thuận
Trang 37Bài toán đồng thuận là một trong những bài toán cơ bản nhất trong
điều khiển hệ đa tác tử, trong đó các tác tử dần tiến tới một điểm
chung về một vài biến được quan tâm dựa trên trao đổi thông tin với
au-[ 89 ]: Olfati-Saber andothers (2007),
“Consensus and cooperation in worked multi-agent systems” [ 107 ]: Ren (2007), “Distributed atti- tude alignment in spacecraft forma- tion flying”
net- Các biến được quan tâm cóthể là thời gian gặp mặt, trọng tâm của đội hình, nhiệt độ của một khu
vực, hay góc định hướng của các tác tử Các thuật toán đồng thuận có
ứng dụng rộng rãi trong bài toán hội ngộ, điều khiển đội hình, tụ bầy,
căn chỉnh góc định hướng
Nghiên cứu các hệ đồng thuận mở ra mối liên hệ mật thiết giữa khả
năng hội tụ của hệ về một giá trị chung và cấu trúc trao đổi thông tin
bên dưới giữa các tác tử Ta sẽ xem xét bài toán đồng thuận khi biến
được quan tâm của các tác tử thay đổi theo một mô hình động học
bậc nhất liên tục hoặc không liên tục
3.1 Hệ đồng thuận gồm các tác tử tích phân bậc
nhất
3.1.1 Phát biểu bài toán
Xét một hệ gồm 𝑛 tác tử đánh dấu từ 1 đến 𝑛 Giả sử tại thời điểm
𝑡 ≥ 0, mỗi tác tử có một biến trạng thái 𝑥𝑖(𝑡) ∈ℝvà có thể đo được
các biến tương đối 𝑥𝑖𝑗(𝑡) = 𝑥𝑗(𝑡) − 𝑥𝑖(𝑡) từ một số tác tử lân cận Các
tác tử cập nhật biến trạng thái của mình dựa trên tổng có trọng số
của các biến tương đối Để thể hiện sự tương tác giữa các tác tử trong
hệ, ta sử dụng một đồ thị hữu hướng, có trọng số 𝐺 = (𝑉 , 𝐸, 𝐴) Mỗi
đỉnh của đồ thị đại diện cho một tác tử và mỗi cạnh (𝑗, 𝑖) của đồ thị
mô tả rằng tác tử 𝑖 đo được biến tương đối 𝑥𝑖𝑗 Kí hiệu tập các tác tử
lân cận của tác tử 𝑖 bởi 𝑁𝑖 = { 𝑗 =1, , 𝑛| (𝑗, 𝑖) ∈ 𝐸}, mỗi tác tử cập
nhật biến trạng thái của mình theo luật sau:
Kí hiệu vector trạng thái của hệ 𝑛 tác tử bởi x(𝑡) = [𝑥1, , 𝑥𝑛]> ∈ℝ𝑛,
ta có thể biểu diễn phương trình của cả hệ như sau
¤
trong đóL(𝐺) là ma trận Laplace (ra) của đồ thị tương tác giữa các
tác tử 𝐺 Trong một số tài liệu, người ta cũng gọi 𝐺 là luồng thông tin
1 của hệ
Trang 38Hình 3.1: Sơ đồ khối thuật toán đồng thuận theo góc nhìn của tác tử 𝑖.
Trong bài toán đồng thuận, nếu 𝑥𝑖 = 𝑥𝑗, thì ta nói hai tác tử 𝑖 và 𝑗đồng thuận với nhau Nếu 𝑥𝑖 = 𝑥𝑗, ∀𝑖, 𝑗 = 1, , 𝑛, thì ta nói hệ 𝑛 tác
tử đạt được đồng thuận Định nghĩa tập đồng thuận bởi
A = {x ∈ℝ𝑛| 𝑥1= 𝑥2= = 𝑥𝑛},thì A là một không gian con củaℝ𝑛 được sinh bởi vector 1𝑛 Dễ thấy
rằng nếu vector x ∈ A thì x = 𝛼1𝑛, với 𝛼 ∈ℝ.Trong các mục sau đây, ta xét tính hội tụ của hệ đồng thuận (3.2)trong một số trường hợp khác nhau của đồ thị 𝐺
3.1.2 Trường hợp tổng quát
Xét đồ thị 𝐺 = (𝑉 , 𝐸, 𝐴), điều kiện tổng quát để hệ (3.2) tiến tới đồngthuận là 𝐺 có chứa một cây bao trùm có gốc ra Kết quả này được chotrong định lý sau:
Định lý 3.1.1 Với một đồ thị 𝐺 có chứa một cây bao trùm có gốc ra,quỹ đạo trạng thái của (3.2) với điều kiện đầu x0= x(0) thỏa mãn
Chứng minh Vì đồ thị là có một gốc ra, ma trậnL có một giá trị
riêng đơn tại0 trong khi các trị riêng khác của L có phần thực không
Trang 39với J𝑖(𝜆𝑖) là ma trận khối Jordan tương ứng với giá trị riêng𝜆𝑖 Chú ý
rằng J1 𝜆1) = 0 do ma trận Laplace chỉ có duy nhất một giá trị riêng
0, và số ma trận khối Jordan J𝑖 không nhất thiết phải bằng 𝑛 Ma
trận P = [p1, , p𝑛] có vector cột đầu tiên là p1 = 1𝑛, và ma trận
P−1= [q1, , q𝑛]> có q>1 là vector riêng bên trái của L ứng với giá
Trang 402: average consensus algorithm
Định lý 3.1.2 Giá trị trung bình theo trọng số
để đại diện cho nhiệt độ của cả khu vực Các thuật toán này được gọichung là các thuật toán đồng thuận trung bình cộng2
Với thuật toán đồng thuận (3.2), điều kiện cần và đủ để giá trị đồngthuận là trung bình cộng phụ thuộc vào đồ thị 𝐺 Đầu tiên, xét 𝐺
là một đồ thị vô hướng, liên thông Khi đó, doL = L> vàL1𝑛 = 0,
ta cũng có 1>𝑛L = 0> So sánh với phương trình (3.5), ta suy ra
𝜸 = 1𝑛/𝑛, lim𝑡→+∞𝑒−L𝑡 = 𝑛11𝑛1>𝑛, và giá trị đồng thuận được xác
Định lý 3.1.3 Thuật toán (3.2) là một thuật toán đồng thuận trungbình cộng khi và chỉ khi đồ thị 𝐺 là liên thông yếu và cân bằng
Cuối cùng, xét đồ thị 𝐺 là liên thông mạnh nhưng không cân bằng Vì
𝐺 liên thông mạnh nên mọi đỉnh của 𝐺 đều là một gốc vào Do điều kiệnđồng thuận được thỏa mãn, hệ tiến tới đồng thuận tại 𝑥∗=P𝑛
𝑖=1𝛾𝑖𝑥𝑖(0).Theo Định lý2.2.4,𝜸 có các phần tử 𝛾𝑖 > 0, ∀𝑖 = 1, , 𝑛, vàP𝑛
𝑖=1𝛾𝑖=
1 Ta suy ra với 𝐺 là liên thông mạnh, giá trị đồng thuận của hệ (3.2)
là trung bình cộng có trọng số của các giá trị 𝑥𝑖(0), 𝑖 = 1, , 𝑛
Ví dụ 3.1.1 Mô phỏng thuật toán đồng thuận với một số đồ thị khácnhau Giá trị đầu của các biến trạng thái được chọn ngẫu nhiên với
−5 ≤ 𝑥𝑖(0) ≤ 5 Với luật đồng thuận (3.1), hệ dần tiến tới không gianđồng thuận với cả 3 đồ thị Tốc độ tiến tới đồng thuận phụ thuộcvào giá trị riêng liên kết𝜆2(L) và biểu hiện trên các Hình3.2(b),(d), (f)
1 % Code Matlab mo phong he dong thuan v o i do t h i G1
2 A=z e r o s ( 1 6 , 1 6 ) ;
f o r i =1:16