Phương pháp tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Nếu bậc của Px bé hơn hay bằng bậc của Qx hoặc lớn hơn bậc của Qx từ hai bậc trở lên thì đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên Nếu bậc của Px lớn hơn bậc của Qx một bậc và Px không chia h[r]

Trang 1

PHƯƠNG PHÁP TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I Phương pháp

1 Tìm tiệm cận ngang ,tiệm cận đứng của đồ thị hàm

Thực hiện theo các bước sau

B1 Tìm tập xác định của hàm số f x 

B2 Tìm các giới hạn của f x  khi x dần tới các biên của miền xác định và dựa vào định nghĩa của các

đường tiệm cận để kết luận

Chú ý Đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận ngang khi tập xác định của nó là một khoảng vô hạn hay

một nửa khoảng vô hạn (nghĩa là biến x có thể tiến đến hoặc  )

Đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận đứng khi tập xác định của nó có một trong các dạng sau: (a;b)

,[a;b) , (a;b], (a ; ) ; (  ;a) hoặc là hợp của các tập hợp này và tập xác định không có một trong

các dạng sau: R , [c; ), ( ;c], [c;d]

2 Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm

Thực hiện theo các bước sau

B1 Tìm tập xác định của hàm số (đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận xiên nếu tập xác định của nó là

là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn)

B2 Sử dụng định nghĩa

Hoặc sử dụng định lí :

Nếu

x

f(x)

x

   và

x lim [f(x) ax] b

   hoặc

x

f(x)

x

   và

x lim [f(x) ax] b

   thì đường thẳng y ax b   là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f

CHÚ Ý : Đối với hàm phân thức :   P(x)

f x Q(x)

 trong đó P(x), Q(x) là hai đa thức của x ta thường

dùng phương pháp sau để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

i) Tiệm cận đứng

Nếu 0

0

P(x ) 0

Q(x ) 0



 thì đường thẳng : x x 0là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

ii) Tiệm cận ngang

Nếu bậc của P(x) bé hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục hoành độ

Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) thì đồ thị hàm có tiệm cận ngang là đường thẳng : y A

B

 trong đó

A, B lần lượt là hệ số của số hạng có số mũ lớn nhất của P(x) và Q(x)

Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số không có tiệm cận ngang

iii) Tiệm cận xiên

Trang 2

Nếu bậc của P(x) bé hơn hay bằng bậc của Q(x) hoặc lớn hơn bậc của Q(x) từ hai bậc trở lên thì đồ thị

hàm số không có tiệm cận xiên

Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) một bậc và P(x) không chia hết cho Q(x) thì đồ thị hàm có tiệm

cận xiên và ta tìm tiệm cận xiên bằng cách chia P(x) cho Q(x) và viết   R(x)

f x ax b

Q(x)

   , trong đó

   

Suy ra đường thẳng : y ax b   là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Chú ý:

1 Xét hàm số y  ax 2  bx c a 0    

* Nếu a 0   đồ thị hàm số không có tiệm cận

* Nếu a  0 đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y a x b

2a

  khi x  và y a x b

2a

  khi x 

2 Đồ thị hàm số y mx n p ax    2  bx c a 0     có tiệm cận là đường thẳng : y mx n p a x b

2a

Ví dụ 1 Tìm tiệm cận của hàm số:

1 y 2x 1

x 1





 2

2 4x y

1 x







3 y 2x 1 1

x 2



4

2

x y

1 x





Lời giải

1 y 2x 1

x 1







Giới hạn , tiệm cận

x lim y 2 , lim y x 2

    , suy ra đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C)

lim y , lim y

   , suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C)

2 y 2 4x

1 x







Giới hạn , tiệm cận

x lim y 4 , lim y x 4

    , suy ra đường thẳng y = 4 là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C)

lim y , lim y

   , suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C)

3 y 2x 1 1

x 2



Giới hạn , tiệm cận

Trang 3

x 2 x 2

lim y , lim y

    Đường thẳng : x = -2 là tiệm cận đứng của (C)

x lim y , lim y x

     

x lim [y (2x 1)] 0 , lim [y (2x 1)] 0 x

        Đường thẳng y = 2x 1  là tiệm cận xiên của (C)

4 y x 1 1

1 x

   



Giới hạn , tiệm cận

lim y , lim y

    Đường thẳng : x = 1 là tiệm cận đứng của (C)

x lim y , lim y x

     

x lim [y ( x 1)] 0 , lim [y ( x 1)] 0 x

          Đường thẳng y =   x 1 là tiệm cận xiên của (C)

Ví dụ 2 Tìm tiệm cận của hàm số:

1

2

y

x



 2 y  x2  2x 2  3 y x   x2 1

Lời giải

1 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D  \ 0 

2

1

x 1

1 x

2

1

x 1

1 x



x  0 và x  0

1

x 1



   hàm số y không có tiệm cận xiên khi x  

1

x 1



   hàm số y không có tiệm cận xiên khi x  

2 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên

Ta có:

2

2x 2

x 2x 2 x

Trang 4

2 x

2 2 x

x x



 

y x 1

   là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x  

2

2x 2

x 2x 2 x

2 x

2 2 x

x x



 

    là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x  

3 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D        ; 1 1; 

2

1



     y 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi

x  

2

1



     y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi

x  

II Bài tập

Bài 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1 y 3x 2

x 2





2x 5 y

3x 1

 





1 y x 1 1

x 5

  

2

2x 6x 1 y

3x 1





1

2

2x 3

y





4x y





Trang 5

1

3

2x 4



3 2

y

x 2x







1

3 2

2x x 4

y

 



2 2

y

x 2x 3

 



1 y x 4    x2 3x 2 

2 y 3x   x2 4

3

2

2x y





HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1 x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm ( khi x 2và khi x 2)

y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (khi x  và khi x  )

đồ thị hàm không có tiệm cận xiên

2 x 1

3

  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm ( khi x 1

3



  và khi x 1

3



2

y

3

  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm (khi x  và khi x  )

Bài 2:

1 x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x 5 và khi x 5)

đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

y = x+1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x  và khi x )

2 x 1

3

  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x 1

3



  và khi x 1

3



y = 2x 20

3  9 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x  và khi x )

Bài 3:

x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x  2 và khi x  2)

Trang 6

y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm (khi x  và khi x )

đồ thị không có tiệm cận xiên

2 y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm (khi x  và khi x )

đồ thị không có tiệm cận xiên

Bài 4:

1 x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x  1 và khi x  1)

y = 2x 3  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x  và khi x )

x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x 2 và khi x 2)

y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x  và khi x )

Bài 5:

1 x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x  2 và khi x  2)

x =2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm (khi x 2 và khi x 2)

y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x  và khi x )

2 y 1  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm (khi x  và khi x )

Bài 6:

1 D (   ;1] [2;  ).

Từ tập xác định của hàm số suy ra đồ thị hàm không có tiệm cận đứng

Ta có thể xem tiệm cận ngang như là trường hợp đặc biệt của tiệm cận xiên khi a = 0 ,do đó ta chỉ cần

tiệm cận xiên của đồ thị hàm ,nếu đường tiệm cận có dạng y = b thì đó là tiệm cận ngang

2

Trang 7

5

2

Vậy đường thẳng y = 2x 5

2

 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x  )

2

x x

 

x

2

x

2

x x

Vậy đồ thị hàm số có đường thẳng y = 11

2 là đường tiệm cận ngang (khi x  )

Cách khác.Trong bài toán này ta áp dụng cách biến đổi sau để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm

Với a > 0 ,ta có ax2 bx c a x b ax2 bx c a x b

(x) ax bx c a x

2a

      thì ta chứng minh được rằng

x lim (x) 0

  

Ta có x2 3x 2 x 3 x2 3x 2 x 3

2

x

2

1



Suy ra y x 4 x 3 (x)

2

Khi x  thì y = x 4 x 3 (x) 2x 5 (x)

Vì

5 lim [y (2x )] lim (x) 0

2

       nên đường thẳng y = 2x 5

2

 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x )

 

Trang 8

Khi x  thì y = x 4 x 3 (x) 11 (x)

Vì

11 lim (y ) lim (x) 0

2

      nên đường thẳng y = 11

2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm ( khi x )

2 Ta có x2  4 x  x2  4 x

Đặt  (x)  x 2   4 x ,ta có

2

2 2

4

x

2

1

4

x



Suy ra y 3x   x2  4 3x  x   (x)

Khi x   thì y = 3x x    (x) 4x    (x)

Vì

x lim (y 4x) x lim (x) 0

      nên đường thẳng y = 4x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm (khi x  )

Khi x  thì y = 3x x    (x) 2x    (x)

Vì

x lim (y 2x) x lim (x) 0

      nên đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm ( khi x )

Đồ thị hàm không có tiệm cận ngang

3 *

2

2x lim y lim

3

x 1 x

  



, suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm

       

, suy ra đường thẳng y = - 2 là tiệm cận ngang của đồ thị

hàm

*

2

 , suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên

Trang 9

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	1 MB