Phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình và ứng dụng

Ngày nay với việc sử dụng rộng rãi máy vi tính trong công tácnghiên cứu cũng như giảng dạy thì việc ứng dụng phần mềm toán học chobài toán tìm nghiệm gần đúng là một công việc ý nghĩa và

MAI THỊ PHƯƠNG THẢO

PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2015

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Mai Thị Phương Thảo

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 SAI SỐ 4

1.1.1 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối 4

1.1.2 Chữ số có nghĩa và chữ số đáng tin 7

1.1.3 Làm tròn số 8

1.1.4 Viết số gần đúng 9

1.2 KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ ĐẠO HÀM 10

1.2.1 Khái niệm hàm số liên tục và các định lý liên quan 10

1.2.2 Khái niệm đạo hàm 16

1.3 NGHIỆM VÀ KHOẢNG PHÂN LI NGHIỆM 17

1.3.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình 17

1.3.2 Khoảng phân li nghiệm 18

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 23 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI 23

2.1.1 Nội dung phương pháp 23

2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp và sai số 24

2.1.3 Ưu điểm, nhược điểm của phương pháp 25

2.1.4 Ví dụ minh họa 26

2.2 PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN 27

2.2.1 Nội dung phương pháp 27

2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp và sai số 28

2.2.3 Ưu điểm, nhược điểm của phương pháp 31

2.3 PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG 35

2.3.1 Nội dung phương pháp 35

2.3.2 Sự hội tụ của phương pháp và sai số 38

2.3.3 Ưu điểm, nhược điểm của phương pháp 41

2.3.4 Ví dụ minh họa 41

2.4 PHƯƠNG PHÁP NEWTON 43

2.4.1 Nội dung phương pháp 43

2.4.2 Sự hội tụ của phương pháp và sai số 47

2.4.3 Ưu điểm, nhược điểm của phương pháp 50

2.4.4 Ví dụ minh họa 50

2.5 ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 52

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMAT-ICA CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

62 3.1 GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 62

3.1.1 Giới thiệu sơ lược về Mathematica 62

3.1.2 Giao diện tương tác của Mathematica 63

3.1.3 Các tính năng của Mathematica 63

3.2 ỨNG DỤNG CHO CÁC PHƯƠNG PHÁP: CHIA ĐÔI, LẶP ĐƠN, DÂY CUNG, NEWTON 69

3.2.1 Ứng dụng cho phương pháp chia đôi 69

3.2.2 Ứng dụng cho phương pháp lặp đơn 72

3.2.3 Ứng dụng cho phương pháp dây cung 77

3.2.4 Ứng dụng cho phương pháp Newton 80

KẾT LUẬN 83

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do lựa chọn đề tài

Xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế (trong thiên văn,vật lý, đo đạc ruộng đất ) dẫn đến việc phải giải các phương trìnhphi tuyến Tuy nhiên, các phương trình này thường phức tạp và nói chungkhó có thể tìm được nghiệm đúng của phương trình Vì vậy, bài toán tìmnghiệm gần đúng của phương trình đã xuất hiện cùng với những phươngpháp tìm nghiệm gần đúng kinh điển và được sử dụng hiệu quả trong thựctế

Với sự phát triển của các công cụ tin học, đặc biệt là từ khi máy tínhđiện tử ra đời, bài toán tìm nghiệm gần đúng của phương trình đã pháttriển rất nhanh Trên cơ sở xây dựng những thuật toán đơn giản, có hiệulực, giải đến kết quả bằng số bằng những ngôn ngữ lập trình trên máy tính,

ta có thể dễ dàng tìm được nghiệm gần đúng của phương trình chỉ trongvài phút Ngày nay với việc sử dụng rộng rãi máy vi tính trong công tácnghiên cứu cũng như giảng dạy thì việc ứng dụng phần mềm toán học chobài toán tìm nghiệm gần đúng là một công việc ý nghĩa và rất tự nhiên.Một thực tế cho thấy rằng, số lượng các phương trình không tìm đượcnghiệm chính xác hoặc không có công thức tổng quát để biểu diễn nghiệmthì lớn hơn rất nhiều so với các phương trình có nghiệm tường minh hoặccông thức nghiệm chính xác (các phương trình bậc 1, 2, 3, 4) Và với mongmuốn mang lại một sự thú vị cũng như một công cụ và phương thức lựachọn cho các đối tượng có sự quan tâm đến bài toán tìm nghiệm gần đúngcho phương trình cùng với việc ứng dụng các phương pháp tìm nghiệm gầnđúng của phương trình nên tác giả đã lựa chọn đề tài “ PHƯƠNG PHÁPTÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ ỨNG DỤNG ”cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình

và ứng dụng phần mềm Mathematica cho các phương pháp đó

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp giải gần đúng phương trình.

Nghiên cứu phần mềm Mathematica trong việc giải gần đúng phươngtrình

4 Phạm vi nghiên cứu

Tính gần đúng nghiệm thực của phương trình

5 Phương pháp nghiên cứu

Mô tả nội dung của các phương pháp tìm nghiệm gần đúng Đánh giá

sự hội tụ của các phương pháp đó và sai số của nghiệm gần đúng tìmđược Sau đó sử dụng phần mềm Mathematica để tìm nghiệm gần đúngcủa phương trình

Các kiến thức được sử dụng trong luận văn thuộc các lĩnh vực: Phươngpháp tính, Giải tích số, Giải tích, Đại số tuyến tính, Phương trình vi phân

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn như là tàiliệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán và các đối tượng quan tâmđến bài toán tìm nghiệm gần đúng

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính củaluận văn bao gồm 3 chương

Chương 1: Kiến thức cơ sở

• Trình bày một số kiến thức về số gần đúng và sai số

• Khái niệm hàm số liên tục và đạo hàm

• Nghiệm và khoảng phân li nghiệm

Chương 2: Một số phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trìnhphi tuyến

• Phương pháp chia đôi

• Phương pháp lặp đơn

• Phương pháp dây cung

• Phương pháp Newton

• Ứng dụng trong giải phương trình

Chương 3: Ứng dụng phần mềm Mathematica cho phương trình phituyến

• Giới thiệu tổng quan về phần mềm Mathematica

• Ứng dụng phần mềm Mathematica cho các phương pháp: Chia đôi,lặp đơn, dây cung, Newton

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương 1 này tác giả trình bày một số kiến thức cơ bản về số xấp

xỉ và sai số, khái niệm hàm số liên tục và đạo hàm, sự tồn tại nghiệm củaphương trình và khoảng phân li nghiệm Các kiến thức chuyên sâu đượctrình bày trong chương 1 có thể tham khảo tại các tài liệu [1], [2], [3]

1.1 SAI SỐ

1.1.1 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

Định nghĩa 1.1.1 Xét đại lượng A có giá trị gần đúng là a Khi đó a

được gọi là số xấp xỉ của số đúng A, và kí hiệu là: a ≈ A (đọc là a xấp xỉ

A)

Nếu a < A thì ta nói a là xấp xỉ thiếu của A

Nếu a > A thì ta nói a là xấp xỉ thừa của A

Định nghĩa 1.1.2 Hiệu ∆a = a − A (hoặc ∆a = A − a) được gọi làsai số xấp xỉ của A Giá trị:

được gọi là sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a

Nhận xét:

Trong thực tế ta thường không biết được giá trị chính xác của số đúng

A, do đó không tính được sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a Vậy nên người

ta đã tìm cách ước lượng sai số đó bằng một số dương ∆a nào đó lớn hơnhoặc bằng |a − A| Số dương ∆a đó được gọi là sai số tuyệt đối giới hạncủa a Từ đó ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.3 Sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a là số dươngkhông nhỏ hơn sai số tuyệt đối của xấp xỉ a, kí hiệu ∆a là:

Theo định nghĩa trên ta thấy rằng:

a) Mọi số ∆′ > ∆a đều có thể xem là sai số giới hạn của a Vì vậy tùyvào từng trường hợp cụ thể người ta sẽ chọn số ∆a sao cho nó thỏa mãnđiều kiện (1.2) và càng nhỏ càng tốt

b) Sai số tuyệt đối giới hạn không phản ánh được chất lượng của một sốxấp xỉ hay độ chính xác của một phép đo Ta xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.1.1 Khi đo chiều dài của hai sợi dây trong cùng một điềukiện giống nhau, ta thu được kết quả

Như đã đề cập ở trên, ta không tính được chính xác sai số tương đối do

đó cùng với khái niệm sai số tương đối người ta thêm vào khái niệm sai

số tương đối giới hạn

Định nghĩa 1.1.5 Sai số tương đối giới hạn của số xấp xỉ a là sốdương không nhỏ hơn sai số tương đối của số xấp xỉ a, kí hiệu δa, là:

là sai số tương đối

Ta quay lại với kết quả phép đo chiều dài của hai sợi dây đã được nêu

ở ví dụ 1.1 Ta dễ dàng tính được sai số tương đối giới hạn của hai phép

đo trên lần lượt là:

Ví dụ 1.1.4 Cho số A = 2800 Số này có nhiều cách viết không tươngđương, chẳng hạn:

A = 2800: Có 4 chữ số có nghĩa

A = 280 × 10: Có 3 chữ số có nghĩa

A = 28 × 102: Có 2 chữ số có nghĩa

A = 0, 28 × 104: Có 2 chữ số có nghĩa

Định nghĩa 1.1.7 Giả sử a đã cho ở (1.10) là số xấp xỉ của số đúng

A với sai số tuyệt đối là ∆a Khi đó ta nói rằng:

Theo định nghĩa trên, hiển nhiên ta suy ra:

a) Nếu as là chữ số đáng tin thì những chữ số ở bên trái as cũng lànhững chữ số đáng tin

b) Nếu as là chữ số đáng nghi thì những chữ số ở bên phải as cũng lànhững chữ số đáng nghi

Trong thực tế tính toán ta thường gặp những số có quá nhiều chữ số

Do đó người ta phải tìm cách bỏ đi một vài chữ số ở cuối để nhận đượcmột số a1 gọn hơn, thuận lợi cho việc tính toán Sai số sinh ra do sự bớt

đi một vài chữ số này được gọi là sai số quy tròn tuyệt đối Kí hiệu là Θa1

và được tính bởi công thức

Ta phải chọn một quy tắc quy tròn sao cho sai số quy tròn càng bé càngtốt Quy tắc quy tròn số thường được dùng nhằm đảm bảo cho sai số quytròn tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị của chữ số ở hàng giữ lại cuốicùng bên phải Từ những yêu cầu trên, ta đưa ra được quy tắc sau:

Quy tắc quy tròn số:

Trong một số có nhiều chữ số, nếu chữ số bỏ đi đầu tiên (kể từ trái sangphải) lớn hơn 5 thì chữ số được giữ lại cuối cùng của số đó được cộng thêmmột đơn vị, còn nếu chữ số đó nhỏ hơn 5 thì chữ số được giữ lại cuối cùngđược giữ nguyên

Ví dụ 1.1.6 Cho số thập phân 67, 3874

- Nếu quy tròn đến chữ số lẻ thập phân thứ ba sẽ thành số: 67, 387

- Nếu quy tròn đến chữ số lẻ thập phân thứ hai sẽ thành số: 67, 39

Trường hợp đầu tiên viết là:

A = a ± ∆a

và hiểu là a − ∆a ≤ A ≤ a + ∆a Khi biểu diễn các kết quả tính toán hoặcphép đo người ta thường viết theo cách trên

Trường hợp thứ hai viết là:

A = a

và hiểu là sai số nhỏ hơn nửa đơn vị hàng cuối cùng của số a Trong cácbảng số thường dùng như bảng lôgarit, bảng các hàm số lượng giác, người

ta viết các số gần đúng theo cách này

Ví dụ 1.1.7 Cho số gần đúng a = 23, 5753 với sai số ∆a = 0, 015.Sau khi làm tròn và sai số tổng cộng có kể đến sai số do làm tròn, kết quảtùy theo cách làm tròn số mà sẽ được viết là:

A = 23, 575 ± 0, 016

hoặc A = 23, 58 ± 0, 03hoặc A = 23, 6

1.2 KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ ĐẠO HÀM

1.2.1 Khái niệm hàm số liên tục và các định lý liên quan

Định nghĩa 1.2.1 (Hàm số liên tục)

Giả sử X là một tập con của tập hợp số thực, f là một hàm số xác địnhtrên X Khi đó:

i) Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với một số dương

ε bất kì, tồn tại một số δ > 0 sao cho:

|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε, ∀x ∈ X

Nếu f không liên tục tại x0 thì ta nói rằng f gián đoạn tại điểm x0.ii) Hàm số f (x) được gọi là liên tục trên tập hợp X nếu f liên tục tạimọi điểm x ∈ X

Ví dụ 1.2.1 Hàm số f (x) = a (trong đó a ∈ R là một hằng số) là mộthàm số liên tục trên R

Chứng minh Ta có:

|f(x) − f(x0)| = |a − a| = 0 ≤ |x − x0|

Với mọi ε > 0, chọn δ = ε, ta có:

|f(x) − f(x0)| < ε với mọi x ∈ R, |x − x0| < δ

Ví dụ 1.2.2 Hàm số f (x) = cos x liên tục tại mọi x ∈ R.

Chứng minh Ta có:

Ta có:

|f(x) − f(x0)| = |cos x − cos x0| =

−2 sin x + x0

x − x0

2

≤ |x − x0|

Với mọi ε > 0, chọn δ = ε, ta có:

|f(x) − f(x0)| < ε với mọi x ∈ R, |x − x0| < δ

Định nghĩa 1.2.2 (Hàm số liên tục một phía)

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp X những số thực Hàm số f

được gọi là liên tục phải (tương ứng liên tục trái) tại điểm x0 ∈ X nếu với

một số dương ε bất kì, tồn tại một số dương δ sao cho:

|f(x) − f(x0)| < ε với mọi x ∈ X, 0 ≤ x − x0 < δ

(tương ứng với mọi x ∈ X; 0 ≤ x0 − x < δ)Định lý 1.2.1 Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp X những sốthực Hàm số f liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi nó liên tục phải và liêntục trái tại điểm x0

Chứng minh:

"⇒" Giả sử hàm f liên tục tại x0 Khi đó hiển nhiên f liên tục phải

và liên tục trái tại x0

"⇐" Giả sử hàm f liên tục phải và liên tục trái tại x0

Suy ra f liên tục tại x0.

Vậy ta đã chứng minh xong định lý

Định lý 1.2.2 Giả sử cho f là một hàm số xác định trên tập hợp sốthực X Hàm số f liên tục tại điểm xo ∈ X khi và chỉ khi:

số liên tục tại điểm xo ∈ X Khi đó:

i) f + g liên tục tại điểm xo ∈ X

ii) f g liên tục tại điểm xo ∈ X

iii) cf (c ∈ R là một hằng số) liên tục tại điểm xo ∈ X

Vậy f + g cũng liên tục tại x0

Ta chứng minh tương tự cho các trường hợp còn lại

Định lý 1.2.5 (Tính liên tục của hàm hợp)

Giả sử X, Y là những tập hợp số thực, f : X → Y và g : Y → R

là hai hàm số Nếu f liên tục tại điểm x0 ∈ X và g liên tục tại điểm

y0 = f (x0) ∈ Y thì hàm số h = g ◦ f : X → R liên tục tại điểm x0

Vậy hàm số h = g ◦ f liên tục tại điểm x0

Định nghĩa 1.2.3 (Hàm số liên tục đều)

Giả sử X là một tập hợp số thực Hàm số f : X → R gọi là liên tụcđều trên X nếu với một số dương ε bất kì, tồn tại một số dương δ sao chovới mọi x1, x2 ∈ X, |x1 − x2| < δ, ta suy ra được:

|f(x1) − f(x2)| < ε

Lưu ý:

- Hàm số liên tục đều trên X thì nó liên tục trên X

- Hàm số liên tục trên X thì nó chưa chắc liên tục đều trên X

Ví dụ 1.2.3 Hàm số f (x) = x2 liên tục trên R Tuy nhiên f khôngliên tục đều trên R

Chứng minh Thật vậy, nếu f liên tục đều trên R thì tồn tại một số

... TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Để tìm nghiệm gần phương trình f (x) = ta tiến hành qua 2bước:

• Tách nghiệm: Xét tính chất nghiệm phương trình, phương trình< /sup>... họa

Ví dụ 2.1.1 Tìm nghiệm gần phương trình x5+ 6x − 10 =

bằng phương pháp chia đôi, biết khoảng phân li nghiệm (1, 2)

Ví dụ 2.1.2 Tìm nghiệm gần phương trình 2 −...

- Phương pháp dây cung

- Phương pháp Newton

Sau ta tìm hiểu cụ thể phương pháp trên:

2.1 PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐƠI

2.1.1 Nội dung phương pháp

Xét phương trình (1.17)