(SKKN 2022) rèn luyện cho học sinh phương pháp tìm max min số phức bằng phương pháp hình học

Tuy nhiên, bằng cách chuyển bài toán cực trị số phức sang bài toáncực trị hình học thì rất nhiều bài được giải quyết khá đơn giản, hiệu quả và có thể vận dụngcho nhiều bài tập khác.. Có

MỤC LỤC

1.1 Lí do chọn đề tài ……… 3

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……… 4

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… 10

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề……… 10

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……… 20

3.1 Kết luận……… 21

3.2 Kiến nghị……… 22

Tài liệu tham khảo……… 23

I MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

2

Những năm trở về trước, số phức là một nội dung không khó và chiếm tỉ lệ nhỏ trongcác đề thi THPT quốc gia Kể từ khi môn Toán thi trắc nghiệm, thì số phức lại là nội dungđược khai thác nhiều và trải đều trên cả 4 mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vậndụng cao Trong đó, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất (GTLN) củamôđun số phức thường được khai thác ở mức độ vận dụng thấp đến mức độ vận dụng cao

Thông thường, những bài toán này được giải quyết theo phương pháp đại số, mà chủyếu là dùng bất đẳng thức và mỗi bài thường được đánh giá theo mỗi cách khác nhau Cáchlàm này đòi hỏi học sinh phải có tư duy sáng tạo cao và vận dụng linh hoạt nội dung kiếnthức phần bất đẳng thức Đối với học sinh có học lực trung bình khá trở xuống, mảng kiếnthức này là một thách thức Chính vì vậy, trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy đa số họcsinh thường có xu hướng bỏ qua các bài tập liên quan đến GTLN, GTNN của môđun sốphức trong các đề thi Tuy nhiên, bằng cách chuyển bài toán cực trị số phức sang bài toáncực trị hình học thì rất nhiều bài được giải quyết khá đơn giản, hiệu quả và có thể vận dụngcho nhiều bài tập khác

Có nhiều tài liệu tham khảo có đề cập đến bài toán cực trị số phức song chỉ đưa raphương pháp đại số để giải quyết hoặc có đề cập đến phương pháp hình học nhưng rời rạc,không hệ thống Do đó, học sinh vẫn lúng túng khi vận dụng, không biết cách chuyển bàitoán cực trị số phức sang bài toán cực trị hình học

Để những học sinh không thuộc đối tượng học sinh khá, giỏi vẫn có thể giải quyếtđược các bài toán này, tôi lựa chọn nghiên cứu và triển khai thực hiện đề tài: “Rèn luyện chohọc sinh kĩ năng giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đưa ra cho học sinh một phương pháp đơn giản và hiệu quả hơn để giải quyết bàitoán cực trị số phức mà đa số học sinh có thể tiếp thu và vận dụng được

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán cực trị số phức và các cách giải quyết bài toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết và phương phápkhảo sát thực tế, thu thập thông tin

II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Để làm được bài toán cực trị số phức, ngoài kiến thức về số phức, học sinh cần được trang bịthêm một số kiến thức sau về mô đun số phức và cực trị hình học:

2 2

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  z , tìm z Min Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với

 ; 

A a b



2 2 0

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di . Tìm zmin Ta có

 Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với

 Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến

đổi để đưa về dạng cơ bản.

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi   R 0 z z 0 R

Tìm z Max,z Min

Ta có

 Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a b ;  bán kính R

5

(Chia hai vế cho i )  z b ai  R.

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi   R z a bi  R

(Chia cả hai vế cho z0 )

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2 ,a a c   Khi đó

6

Ta có

Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z 1  z z 2  2 ,a z 1  z2  2a

và z z1, 2  c ci, ) Tìm Max, Min của P z z0

1 2 0

22

Min

z z

P  z    b

2.1.3 Các bài toán cực trị hình học:

Bài toán 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường

thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất [7]

Bài toán 2: Cho đoạn thẳng AB và điểm I cố định, điểm M thay đổi trên đoạn AB Khi đó:

+ Nếu tam giác ABI có IAB tù hoặc ABI tù thì MImin = Min {IA; IB}

MImax = Max {IA; IB}

+ Nếu tam giác ABI có IAB  và IBA  đều không tù thì MI

min = d(I; AB)

MImax = Max {IA; IB}[1]

7

B A

M

B

Bài toán 3: Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R và điểm I cố định Một điểm M thay đổi

trên (C) Khi đó

- Nếu I nằm ngoài (C) thì MImin = OI – R, MImax = OI + R

- Nếu I nằm trong (C) thì MImin = R – OI, MImax = OI + R

- Nếu I nằm trên (C) thì MImin = 0, MImax = 2R [2]

Bài toán 4: Cho hai điểm A, B cố định Gọi O là trung điểm AB Một điểm M thay đổi trên

elip (E) cố định có tiêu điểm là A và B Giả sử (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục nhỏ là2b Khi đó, độ dài đoạn OM lớn nhất bằng a và nhỏ nhất bằng b

Bài toán 5: Cho đường thẳng d cố định và 2 điểm A, B cố định không nằm trên d Một điểm

M thay đổi trên d Khi đó:

+ Nếu A, B thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ là đường thẳng d thì (MA + MB)min= AB khi M = AB  d

A

M M'

+ Nếu A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d thì (MA + MB)min = A’B khi

M = A’B  d với A’là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d [1]

cố định Một điểm M thay đổi trên (C) và một điểm N thay đổi trên d

Khi đó MNmin = R d I d  ( ; ) Dấu “=” xảy ra khi M  H, N  K [2]

Bài toán 7: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) cố định Một điểm M chạy trên đường tròn

+ Nếu (C1) và (C2) cắt nhau thì MNmin = 0, MNmax = R1 + R2 + I1I2

+ Nếu (C1) và (C2) ngoài nhau thì MNmin = I1I2 – R1 + R2 , MNmax = R1 + R2 + I1I2

+ Nếu (C1) và (C2) chứa trong nhau thì MNmin = R1 R2 , MNmax = R1 + R2 + I1I2 [2]

9

d H

A

B

A'

M M'

d d'

K H

L

I M

N

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Khi gặp bài toán cực trị số phức, đa số học sinh gặp khó khăn bởi thực chất bài toántìm GTNN và GTLN của mô đun số phức chính là bài toán cực trị đại số - một nội dung rấtkhó trong chương trình toán THPT Đây là nội dung thường được bồi dưỡng cho đối tượnghọc sinh giỏi Nó đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và tư duy sáng tạo cao Nếu đưa được

về cực trị một biến thì học sinh còn có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số Song nếu

là cực trị nhiều biến thì học sinh thường lúng túng vì không biết sử dụng bất đẳng thức đểđánh giá như thế nào Do đó, các em thường không giải quyết được bài toán hay nếu giảiđược thì cũng rất chật vật

Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPTHoằng Hoá 2 nói riêng, tư duy logic và tư duy sáng tạo còn rất hạn chế Vì vậy, khi gặp bàitoán cực trị số phức trong các đề thi, các em thường có xu hướng bỏ qua, dẫn tới kết quả thichưa cao

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Để khắc phục tình trạng trên, đầu tiên, tôi giới thiệu cho học sinh phương pháp chung

để giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học Sau đó, tôi chia các bài tập cựctrị số phức thành các dạng cơ bản và sắp xếp hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần, bài tậpsau kế thừa và khai thác kết quả bài tập trước Với cách làm như vậy, học sinh không còn

“ngợp” khi đứng trước bài toán cực trị số phức và từng bước nâng cao tư duy, kĩ năng giảiquyết vấn đề, đến một mức độ nào đó, các em hoàn toàn có thể tự mình làm được những bàitập khó

Phương pháp chung:

-Bước 1: Từ điều kiện số phức z cho trước đưa ra biểu diễn hình học của số phức z

-Bước 2: Chuyển yêu cầu tìm cực trị số phức sang tìm cực trị hình học của điểm biểu diễnhình học của z

10

B

A

D C

B A

-Bước 3: Sử dụng kiến thức hình học để giải quyết bài toán.

Thực chất của bước 1 và bước 2 là diễn đạt lại yêu cầu bài toán theo ngôn ngữ hìnhhọc Hai bước này quyết định sự thành công của bài toán GV cần phân tích cho học sinhhiểu được rằng: Có thể giả thiết của số phức z và yêu cầu tìm cực trị số phức là khác nhausong nếu biểu diễn hình học của nó là một thì cách giải các bài toán này là như nhau

Cụ thể, tôi chia bài tập cực trị số phức thành các dạng cơ bản sau:

Dạng 1 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng Tìm số phức z có

Þ z 3i nhỏ nhất  IM nhỏ nhất

3 34 ( ; )

17

IM d I d

min min

3 34 3

2 1

M

Ví dụ 7 Cho số phức z thỏa mãn z   2 i  z  4 7  i  6 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 1i .

Hướng dẫn

Giả sử M x y ;  là điểm biểu diễn hình học của z  x yi

Gọi A(-2; 1), B(4; 7), I(1; -1) Þ z    1 i MI

Ta có: z   2 i  z  4 7  i  6 2  MA MB AB   Þ

M thuộc đoạn thẳng AB

Ta lại có:                             AI AB                              6; BI BA  66 Þ  IAB v IBA à 

M

Giả sửM x y ; là điểm biểu diễn hình học của z  x ; ( ,yi x y R )Þ N x y ; là điểm

biểu diễn của z x yi  

Gọi A(- 1; - 1) Þ z  1 i AN

Ta có: z  2 3  i   1  x  2 2  y  3 2  1

Þ N thuộc đường tròn (C) tâm I(2; 3) bán kính R = 1

min min

Gọi M x y ; là điểm biểu diễn củaz  x ; ( ,yi x y R ), gọi A(3; 2) Þ N y x ;  là điểm

biểu diễn của z x yi   và z 3 2 i AN

Dạng 4: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một elip Tìm số phức z có z z ' lớn nhất, nhỏ nhất.

Ví dụ 13 Cho số phức z thỏa mãn z4  z 4 10 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

Do MA + MB = 10 Þ M thuộc elip (E) có tiêu

điểm là A(-4; 0), B(4; 0) và độ dài trục lớn là 2a = 10

(E) có tiêu cự 2c = AB = 8 Þ c = 4 Þ b2  a2  c2  32 Þ (E) có độ dài trục nhỏ 2b = 6Khi đó Max z maxOM  a 5, Min z minOM  b 3 Þ đáp án D

Nhận xét : GV cần lưu ý phân biệt cho học sinh điều kiện: MA + MB = 2a với 2a = AB và

Þ M thuộc elip (E) có tiêu điểm là A, B, độ dài trục lớn 2a = 4, tiêu cự 2c = AB = 2 2,

có tâm O(0; 0) là trung điểm AB

Ta lại có OM = y2 x2 z

Þ Max z  MaxOM   a 2, Min z  MinOM b   2

Ví dụ 15 Cho số phức z thỏa mãn z   4 3 i  z  8 5  i  2 38 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z 2 4 i .

d H

A

B

A'

M M'

Gọi M x y ; là điểm biểu diễn củaz  x ; ( ,yi x y R )

Ta có: z  1   z 2  i   x  1 2 y2   x  2 2   y  1 2  x y   2 0 

Þ M thuộc đường thẳng (d): x – 2 0 y 

Gọi A(3; 1), B(4; -1) thì P   z 3  i  z  4   i MA MB 

Bài toán trở về: Tìm điểm M  (d): x + y – 2 = 0 sao cho P = MA + MB nhỏ nhất

Ta thấy A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d

Þ P = MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B

Dấu “=” xảy ra khi M  M’ = A’B  d

Gọi H = AA’  d Þ H  d và H là trung điểm AA’

d B

A

M M'

d H

B

A

A'

M M'

Bài toán trở về: Tìm điểm M  (d): x - 2y +1 = 0 sao cho P = MA + MB nhỏ nhất.

Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d

Þ P = MA + MB ≥ AB Dấu “=” xảy ra khi M  M’ = AB  d

Bài toán trở về: Tìm điểm M  (d): x - 2y +1 = 0 sao cho P  MA MB  lớn nhất

Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d

Þ P  MA MB   MA MB '   A B '

Dấu “=” xảy ra khi M  M’ = A’B  d

Gọi H = AA’  d Þ H  d và H là trung điểm AA’

20

Ví dụ 21 Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z15 5, z2 1 3i z2 3 6 i

Þ M thuộc đường tròn ( ) :(C x5)2 y2 25 và N thuộc đường thẳng d: 8x6y35

Ta thấy đường thẳng d không cắt ( )C và z1 z2 MN

Bài toán trở thành: Cho M chạy trên đường tròn ( ) :(C x5)2y2 25 và N chạy trên đường thẳng : 8 d x6y35 Tìm giá trị nhỏ nhất của MN.

Đường tròn (C) có tâm I(-5; 0), bán kính R = 5

Gọi d’ là đường thẳng qua I, vuông góc với d, cắt đường tròn (C) lần lượt tại K, L Ta có:

MN nhỏ nhất khi M  K, N  H Khi đó: MNmin = d(I, d) – R = 7,5 – 5 = 2,5

21

d d'

H K I

L

d d'

K H

L

I M

N

Ví dụ 22 Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 i 5, z2 5 z2 7

Đường tròn (C) có tâm I(0; -1), bán kính R = 5

Gọi d’ là đường thẳng qua I, vuông góc với d, cắt đường tròn (C) lần lượt tại K, L Ta có:

MN nhỏ nhất khi M  K, N  H Khi đó: MNmin = R - d(I, d) =

5 74 5

kì thi khảo sát Đa số học sinh khá trở lên đã có thể giải quyết được các bài toán cực trị của

số phức Các em đã bắt đầu yêu thích, hào hứng chinh phục các bài toán khó về cực trị sốphức, không còn tâm lí bỏ qua khi gặp dạng toán này Học sinh khá, giỏi không chỉ dừng lại

ở những dạng bài tập được giới thiệu mà đã biết cách áp dụng cách tư duy “quy lạ về quen”

để giải quyết được những bài toán phức tạp hơn, từng bước nâng cao tư duy và khả năng vận

22

dụng linh hoạt kiến thức đã học Thông qua đó, chất lượng giảng dạy bộ môn Toán nói riêng

và chất lượng giáo dục nói chung ngày càng được nâng cao

Đề tài đã được thảo luận, đánh giá ở tổ chuyên môn và đã được đồng nghiệp áp dụngtrong công tác giảng dạy Tất cả đều có phản hồi rất tích cực về hiệu quả của đề tài Khôngchỉ vậy, việc giải quyết những nội dung còn hạn chế của đề tài lại là nguồn cảm hứng chođồng nghiệp trong việc nghiên cứu khoa học Từ đó, phong trào nghiên cứu khoa học, traudồi kiến thức, bồi dưỡng nghiệp vụ ngày càng được chú trọng

III Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận.

Qua đề tài này tôi thu được một số bài học:

- Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau

- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất

- Rèn luyện cho học sinh cách trình bày một cách chặt chẽ, cô đọng

Thông qua việc quy các bài toán lạ, phức tạp của cực trị số phức về các bài tập hìnhhọc đơn giản, quen thuộc, học sinh sẽ dần khắc phục được tâm lí “sợ” các bài toán cực trị sốphức, tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng sáng tạo trong học tập

Sử dụng phương pháp cực trị hình học để giải các bài tập cực trị số phức có thể biếncác bài tập phức tạp thành các bài tập đơn giản hơn đối với học sinh, đặc biệt là đối với họcsinh không thực sự có tính sáng tạo cao, tư duy không thật tốt, đối với học sinh có lực họctrung bình khá trở xuống, từng bước cải thiện điểm số của các em Đặc biệt, đề tài rất hữudụng với những học sinh đặt mục tiêu điểm 8+ trong kì thi THPT Quốc gia Nó cũng là tàiliệu tham khảo hữu ích đối với giáo viên khi dạy ôn chuyên đề số phức

3.2 Kiến nghị.

Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên trong phạm vi bài viết, tôi cũng chỉ mới giải quyếtmột số dạng toán Vẫn còn một số dạng cực trị số phức mà tôi chưa thể chuyển qua bài toáncực trị hình học được Mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có cách khác thác tốthơn cho các bài toán thuộc thể loại này

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng 5 năm 2022

23

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Nguyễn Văn Kiên

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Bài tập toán 7 tập 2 – Tôn Thân – Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản giáo dục

[2] Bài tập toán 9 tập 1 – Tôn Thân – Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản giáo dục

[3] Đề thi thử lần 2 chuyên đại học Vinh năm 2017

[4] Đề thi thử THPT Kim Liên – Hà Nội năm 2017

[5] Đề thi thử THPT Hưng Nhân – Thái Bình năm 2017

24

[6] Giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục.[7] Toán 7 tập 2 – Nhà xuất bản giáo dục.

[8] Đề thi thử số 5 – Toán học và tuổi trẻ

25