HAI_MP_VUONG_GOC.PPT

ĐỊNH NGHĨA: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.. Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó

KIỂM TRA BÀI CŨ

* Nêu định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng?

* Định nghĩa góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng? CÂU 2:

CÂU 1:

d

α

* Nêu cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(α)?

α

ϕ

H A

O

♦ Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc.

♦ Các định lí.

♦ Các ví dụ.

♦ Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

I GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG:

1 ĐỊNH NGHĨA:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường

thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì

ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 00 P Q

2 CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG CẮT NHAU:

α

β

a

b

I

Giả sử (α) ∩ (β) = c

c

Từ một điểm I bất kì trên c, ta dựng trong (α)

đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong (β)

đường thẳng b vuông góc với c

Khi đó: góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là

góc giữa hai đường thẳng a và b.

Gọi ϕ là góc giữa 2 mp (α) và (β) thì: 0 0 ≤ ϕ ≤

90 0

3 DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐA GIÁC:

Cho đa giác (H) nằm trong mặt phẳng (α) có diện tích S Gọi (H’) là hình chiếu vuông góc của (H) trên mặt phẳng (β) Khi đó diện tích S’ của (H’) được tính theo công thức:

S’ = S.cos ϕ với ϕ là góc giữa (α) và (β)

VÍ DỤ: Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên

SA ⊥ mp(ABC) và SA = 2a

AH SA

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC)

b) Tính diện tích tam giác SBC

GIẢI: a) Gọi H là trung điểm của cạnh BC Ta có: BC ⊥ AH

Mặt khác: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC (2)

(1)

Từ (1) & (2) ⇒ BC ⊥ SH

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) & (SBC) bằng ∠SHA

Đặt ϕ = SHA, ta có: tanϕ = 13 33

2 3

=

a a

Vậy ϕ = 300

S

A

B

C H

ϕ

S

A

B

C H

ϕ

b) Tính diện tích ∆SBC:

Ta có: SA ⊥ mp(ABC)

⇒∆ABC là hình chiếu của ∆SBC trên mp(ABC)

Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích ∆SBC và ∆ABC

Ta có: S2 = S1.cosϕ

⇒ S1 = cos ϕ

2

S

2 4

3 3

2 a2 = a2

4

3 sin

.

2

A AC

Suy ra: S1 =

Mà: S2 =

cosϕ =

2 3

HỆ QUẢ 1:

a

b

c

β

α

Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì

bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt

phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì

vuông góc với mặt phẳng kia.

(α) ⊥ (β)

(α) ∩ (β) = c

a ⊂ (α), a ⊥ c

⇒ a ⊥ (β)

HỆ QUẢ 2:

Cho 2 mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với

nhau Nếu từ một điểm thuộc mp(α) ta

dựng đường thẳng vuông góc với mp(β) thì

đường thẳng này nằm trong mp(α).

β

α

a

A

(α) ⊥ (β)

A ∈ (α)

a ∋ A, a ⊥ (β)

⇒ a ⊂ (α)

c a’

ĐỊNH LÍ 2:

P

d

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc

với mặt phẳng thì giao tuyến của chúng cũng

vuông góc với mặt phẳng đó.

(α) ⊥ ( P), (β) ⊥

(P)

(α) ∩ (β) = d

⇒ d ⊥ (P)

VÍ DỤ 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD).

a) Chứng minh: (SAC) ⊥ ( ABCD) và (SAC) ⊥ (SBD).

b) Gọi H là hình chiếu của O trên SC CM: (SAC) ⊥ (BHD)

S

A

D

Giải:

O

a)♦ CM (SAC) ⊥ ( ABCD):

Ta có: SA ⊥ (ABCD) (gt)

SA ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (ABCD) ♦ CM (SAC) ⊥ ( SBD):

Ta có: SA ⊥ (ABCD) (gt)

BD ⊂ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD Mặt khác: AC ⊥ BD (2 đường chéo của h.thoi)

(1) (2)

Từ (1) & (2) ⇒ BD ⊥

(SAC)

Mà: BD ⊂ (SBD) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC)

b) CM (SAC) ⊥ (BHD)

H

Ta có: SC ⊥ OH (gt) (3)

BD ⊥ (SAC) (cmt)

SC ⊂ (SAC) ⇒ SC ⊥ BD (4)

Từ (3) & (4) ⇒ SC ⊥ (BHD)

Mà: SC ⊂ (SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (BHD)

VÍ DỤ 2:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC)

a) CM: mp(SBC) ⊥ mp(SAC).

b) Gọi I là trung điểm SC CM: mp(ABI) ⊥ mp(SBC).

S

A

B

C

Giải: a) CM: mp(SBC) ⊥ mp(SAC).

Ta có: (SAC) ⊥ (ABC)

(SAC) ∩ (ABC) = AC

BC ⊂ (ABC), BC ⊥ AC

⇒ BC ⊥ (SAC)

Mà: BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAC)

b) CM: mp(ABI) ⊥ mp(SBC).

I

Ta có: BC ⊥ (SAC) (cmt)

AI ⊂ (SAC) ⇒ AI ⊥ BC (1)

Mặt khác: ∆SAC đều và SI = IC, nên AI ⊥ SC (2)

Từ (1) & (2) ⇒ AI ⊥ (SBC)

Mà: AI ⊂ (ABI) ⇒ (ABI) ⊥ (SBC)

XÁC ĐỊNH TÍNH ĐÚNG SAI CỦA CÁC MỆNH ĐỀ SAU

Hai đường thẳng lần lượt nằm trên 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì vuông góc với nhau.

Nếu đường thẳng a nằm trong mp(α) và a vuông góc với đường thẳng b nằm trong mp(β) thì mp(α) vuông góc với mp(β).

Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

1

2

3

4

5

Đ

Đ

S

S

S

6Đ Nếu một trong hai mặt phẳng có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.