Đề cương bài tập giải tích 2

Tính tích phân sau: ∬ ?2?????... Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A.. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Dạng 1: Phương trình vi cấp 1 có biến phân ly 1.

1 Xác định cực trị của hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3− 𝑥𝑦 + 𝑦

2 Tìm cực trị tự do của hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3− 3𝑥𝑦

3 Tìm cực trị tự do của hàm số ∶ 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥2− 2𝑦2+ 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦

4 Tìm cực trị tự do của hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦3+ 3𝑥2𝑦 + 9𝑥2− 6𝑥𝑦 − 18𝑥

5 Tìm cực trị của hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 3𝑥2− 2𝑥2𝑦 + 𝑦2− 2𝑦

6 𝑇ì𝑚 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị 𝑐ủ𝑎 ℎà𝑚 𝑠ố ∶ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3− 𝑥𝑦 + 𝑦

7 Tìm cực trị của hàm số sau: 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥2− 2𝑦2+ 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦

8 Tìm cực trị của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3− 3𝑥𝑦

9 Tìm cực trị của hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4+ 3𝑥2+ 2𝑥2𝑦 + 𝑦2− 2𝑦

10 Tìm cực trị của hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦3+ 3𝑥2𝑦 + 9𝑥2− 6𝑥𝑦 − 18𝑥

11 Tìm cực trị của hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3− 4𝑥𝑦 + 4𝑦2

12 Tìm cực trị của hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑦3− 6𝑥𝑦 − 180𝑥

13 Tìm cực trị của hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3− 𝑥𝑦 + 𝑦2 − 𝑦 + 1

14 Tìm cực trị của hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑦2− 5𝑦

Chương 2: Tích phân

Dạng 1: Tích phân bội hai ( tích phân kép)

1 Tính tích phân sau:

∬ 𝑥2𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

.

𝐷

𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 đó 𝐷 𝑙à 𝑚𝑖ề𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑏ở𝑖 𝑐á𝑐 đườ𝑛𝑔 𝑦 = 0, 𝑦 = 2𝑥 𝑣à 𝑥 = 𝑎, 𝑎 > 0

2 Cho miền D là một tam giác có các đỉnh A( 0;1) ,B(2;1) ,C(0;3) trong

mặt phẳng toạ độ Oxy Tính tích phân bội hai

∬(𝑥𝑦 + 1)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

3 Tính tích phân bội ∬ (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 đó:𝐷.

Miền D là tam giác với ba đỉnh 𝐴(1; 1), 𝐵(3; 2), 𝐶(4; 1)

4 Tính tích phân kép ∬ (6𝑥 + 6𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦.𝐷. Trong đó:

Miền D là tam giác với ba đỉnh O(0;0), A(1;1), B(0;1)

5 Tính tích phân sau:

∬(𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 đó 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦

6 Tính tích phân sau:

∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

Trong đó miền 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 2𝑦, 𝑦 ≤ −𝑥}

7 Tính tích phân sau:

∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

Trong đó miền D là nửa trên của hình tròn: (𝑥 − 2)2+ (𝑦 + 1)2 ≤ 9

Dạng 2: Tích phân bội ba

8 Tính tích phân:

(1 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 3 , 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đó:

𝑉

Miền V được cho giới hạn: x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, x + y − z = 0

9 Tính tích phân :

𝐼 = ∭ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑉

𝑉ớ𝑖 𝑉 𝑐ℎ𝑜 𝑏ở𝑖 ℎệ 𝑏ấ𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ: {

𝑥 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

𝑥2+𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 4

10 Tính tích phân:

𝐼 = ∭(𝑥2+ 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉

Trong đó miền V được cho giới hạn bởi các mặt

z = 0, 𝑎2𝑧2 = 𝑥2+ 𝑦2, 𝑥2+ 𝑦2 = 𝑅2, z ≥ 0, a > 0

11 Cho V là miền giới hạn bởi hai mặt cầu 𝑥2+𝑦2+ 𝑧2 = 1 và 𝑥2+𝑦2+

𝑧2 = 9 Tính

√𝑥2+𝑦2+ 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑉

Chương 3 : Tích phân đường và tích phân mặt

A Tích phân đường

Dạng 1 : Tích phân đường loại một

1 Tính tích phân :

∫ (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑠

𝐶

𝐶 là đường tròn có phương trình : 𝑥2+ 𝑦2 = 2𝑥

2 Tính tích phân :

∫ 𝑦2𝑑𝑠

𝐶

𝐶 là đường tròn có phương trình : {𝑥 = 𝑎(𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡)

𝑦 = 𝑎(𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋, 𝑎 > 0

3 Tính tích phân :

∫ √𝑥2+ 𝑦2𝑑𝑠

𝐶

𝐶 là đường tròn có phương trình : {𝑥 = 𝑎(𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡)

𝑦 = 𝑎(𝑠𝑖𝑛𝑡 − 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋, 𝑎 > 0

Dạng 2 : Tích phân đường loại hai

1 Tính tích phân:

𝐼 = ∫ 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦

𝐶

𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 đó 𝐶 𝑙à 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙 𝑦 = 𝑥2 đ𝑖 𝑡ừ 𝐴(1; 1) đế𝑛 𝑂(0; 0)

2 Tính tích phân:

𝐼 = ∫ (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥𝑦𝑑𝑦

𝐿

𝑉ớ𝑖 𝐿 𝑙à 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙 𝑦 = 𝑥3 đ𝑖 𝑡ừ 𝐴(1; 1) đế𝑛 𝑂(0; 0)

3 Tính tích phân:

𝐼 = ∫ 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦

𝐶

𝐶 𝑙à 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑥2+ 𝑦2 = 2𝑥 đ𝑖 𝑡ừ 𝑂(0; 0) đế𝑛 𝐴(1; 1) 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖𝑚 đồ𝑛𝑔 ℎồ

4 Tính tích phân

𝐼 = ∫ (𝑥2+ 3𝑦)𝑑𝑥 + 2𝑦𝑑𝑦

𝐶

Trong đó C là biên tam giác OAB, với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược

chiều kim đồng hồ

5 Tính tích phân đường loại hai

𝑥2+ 𝑦2𝑑𝑥 + 𝑥

𝑥2 + 𝑦2 𝐿

𝑑𝑦 Với L là một cung của đường tròn 𝑥2+ 𝑦2 = 1 định hướng ngược

chiều kim đồng hồ

B Tích phân mặt

Dạng 1 : Tích phân mặt loại một

1 Tính tích phân :

∬(𝑥2+ 𝑦2)𝑑𝑆

𝑆

, 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑧 = 𝑥2+ 𝑦2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1}

2 Tính tích phân mặt

∬(𝑥2𝑦2𝑧)𝑑𝑆

𝑆

Trong đó 𝑆 là phần mặt nón 𝑧 = √𝑥2+ 𝑦2 ở dưới mặt phẳng 𝑧 = 1

3 Tính tích phân mặt

∬(𝑧 + 2𝑥 +4𝑦

3 )𝑑𝑆

𝑆

Trong đó 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) |𝑥

2+𝑦

3+𝑧

4= 1, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ≥ 0}

Dạng 2 : Tích phân mặt loại hai

1 Tính tích phân

𝐼 = ∫ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆

𝑉ớ𝑖 𝑆 𝑚ặ𝑡 𝑐ầ𝑢 𝑥2+𝑦2+ 𝑧2 = 4 ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖

2 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑚ặ𝑡

∬(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑥 + 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑧

.

𝑆

, 𝑉ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑝ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑛ằ𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ 𝑥2+ 𝑦2 = 1

3 Tính tích phân

∬ 𝑥3𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦3𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑧3𝑑𝑥𝑑𝑦

.

𝑆

𝑉ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐ầ𝑢 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 1 đị𝑛ℎ ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖

4 Tính tích phân mặt loại hai

𝐼 = ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

.

𝑆

Trong đó S là mặt ngoài của elipxoit 𝑥2+𝑦2

4 +𝑧2

9 = 1

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

A Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Dạng 1: Phương trình vi cấp 1 có biến phân ly

1 Tính ptvp: 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 + 𝑒−𝑦𝑑𝑦 = 0

2 Tính ptvp: (x + 1)(y − 1)dx + 𝑦𝑑𝑦 = 0

3 Tính ptvp: (1 − 𝑦2)dx + 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0

Dạng 2: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

1 Tính ptvp: y′ +4𝑦

𝑥 = 𝑥5

2 Tính ptvp: 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥4

3 Tính ptvp: 𝑦′ +1

𝑥𝑦 = 𝑥 + 1

4 Tính ptvp: 𝑦′ +1

𝑥𝑦 = 𝑥2

5 Tính ptvp: 𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥 − 1

6 Tính ptvp: 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥3

B Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

1 Tính ptvp: 𝑦′′− 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑒2𝑥

2 Tính ptvp: 𝑦′′− 5𝑦′ + 6𝑦 = 2𝑒𝑥

3 Tính ptvp: 𝑦" − 4𝑦′ + 3𝑦 = 3𝑥 − 1

4 Tính ptvp: 𝑦" − 6𝑦′ + 9𝑦 = −𝑥 + 3

5 Tính ptvp: 𝑦" + 4𝑦′ + 5𝑦 = 10𝑒𝑥

6 Tính ptvp: 𝑦′′+ 2𝑦′ + 𝑦 = 4𝑒𝑥

7 Tính ptvp: 𝑦′′− 5𝑦′ + 5𝑦 = 2𝑒𝑥

Hết