Đề cương & Bài tập môn Giải tích chương 3

Bao gồm: Phần giảng lý thuyết môn Giải tích chương 3 và ví dụ cụ thể; Bài tập môn Giải tích chương 3. Đề cương tự học môn Giải tích; Bài giảng và luyện tập môn Giải tích... Đề cương, bài giảng môn Giải tích giành cho sinh viên học tập tại các trường Đại học, Cao đẳng. Bài giảng có thể có thiếu sót nên mong đọc giả bỏ qua hoặc gửi góp ý qua phần tin nhắn.

Trang 1

Giải tích 1 – Chương 3 Trường ĐH GTVT TP.HCM

CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

là một nguyên hàm của hàm f x( ) trên khoảng ( , )a b

Cách thức để tìm lại hàm F x( ) từ đạo hàm f x( ) của nó được gọi

Như vậy nguyên hàm tổng quát

Trang 2

Giải tích 1 – Chương 3 Trường ĐH GTVT TP.HCM Chú ý rằng giá trị này của C lựa chọn một đường cong cụ thể từ họ các

đường cong 3

yx C mà đi qua điểm (1, 1) trên mặt phẳng, hình 3.1

3.1.2 Tích phân bất định (indefinite integral)

Định nghĩa: Tập hợp tất cả nguyên hàm của f được gọi là tích phân bất định của f với ẩn x , và được ký hiệu là:  f x dx( )

Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trong khoảng ( , )a b thì tích phân bất định của f x( ) trên khoảng ( , )a b là:

Trang 3

Trang 4

a) Phương pháp thế (Substitution Method):

Nếu ug x( ) là một hàm khả vi có miền giá trị là khoảng ( , )a b

Trang 5

d)

3 4



4 6

11

x dx x

Trang 6

Trang 7

Trang 8

1cos(ln )x dxxcos(ln )x  sin(ln )x dx C

Thay (2) vào (1), ta được:

1sin(ln )x dxxsin(ln )x xcos(ln )x  sin(ln )x dx C

c) Phương pháp tính nhanh tích phân từng phần:

Đối với các tích phân có dạng sau:

1) P x e n( ) ax b dx

2) P x n( ) sin(ax b dx ) 4) e ax b cos(cxd dx)

Trang 9

3) P x n( ) cos(ax b dx ) 5) ax bsin( )



Trong đó P x là đa thức bậc n , thì chúng ta phải tính tích phân n( )từng phần liên tiếp n lần Điều này sẽ mất nhiều thời gian và dễ dẫn

đến sai sót Đối với dạng 4) và 5) ta phải tính tích phân từng phần 2 lần Phương pháp sau đây cho phép ta tính nhanh các tích phân có các dạng trên

Giải Đối với phương pháp tích phân từng phần cho ba dạng toán 1), 2)

và 3), ta luôn đặt uP x n( ), phần còn lại là dv Do u là đa thức bậc n

nên đạo hàm từ cấp n 1 trở đi sẽ bằng 0

Nhân các đường chéo và cộng

lại, ta được kết quả của tích phân

2 2 2

1 3

2 1 6

4 1 6

8 1 0



Trang 10

c) x5 cosxdxx5 sinx 5x4 cosx 20x3 sinx

13

x

x x

cos(3 )1

31

Q x

 , trong đó P x Q x tương ứng là n( ), m( )các đa thức bậc n m,

Phương pháp giải: Phân tích phân thức ( )

Trang 11

Nhận xét: Đây là các dạng cơ bản nhất của hàm phân thức (mẫu thức

có 2 nghiệm thực phân biệt, mẫu có nghiệm kép, mẫu không có nghiệm

Trang 12

thực) Tổ hợp các dạng này để cho ra các bài tập phức tạp hơn, xét ví

21

x dx x

3( 1) x

Trang 13

Trang 14

Trang 15

Nhân hai vế của (1) với x x ( 2 1)2, ta có:

3.1.5 Tích phân hàm lượng giác

Xét tích phân  f(cos , sin )x x dx, trong đó f u v( , ) là hàm phân thức đối với hai biến u v,

a) Phương pháp chung:

Trang 16

Chú ý: Đây là phương pháp chung, còn đối với mỗi tích phân hàm

lượng giác khác nhau có thể có các cách giải khác ngắn gọn hơn

Trang 17

Chú ý: Trong trường hợp biểu thức cần rút gọn quá phức tạp, hoặc sinh

viên thấy khó khăn khi rút gọn thì chỉ cần thay tan

Trang 18

b) Tích các hàm mũ của sin và cos:

a) sin5xcos2x dx b) cos xdx5 c) sin2xcos4 xdx

Giải a) Đặt tcosxdt sinx dx

Trang 19

Trang 20

Ví dụ 3.13 Tính tích phân 7 sin cos

Trang 21

2 2

Trang 22

4 4

 , sinmxcosnxdx, và cosmxcosnxdx

Áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng sau để tính các tích phân trên:

1

2

Trang 23

Ví dụ 3.16 Tính tích phân sin3 cos 5x xdx

Giải sin3 cos 5 1 [sin( 2 ) sin 8 ]

3.1.6 Tích phân hàm vô tỉ - phép thế lượng giác

Chúng ta xét các dạng đặc biệt sau, trong đó hàm f u( , ,1 u n) là phân thức hữu tỉ theo các biến u1, ,u n

1

x

dx x

Trang 24

Trang 25

Trang 26

9 sin 3cos

9 sin3cos

Trang 27

Ví dụ 3.19 Tính tích phân

2 2

4

x dx x

Trang 28

, , ,

k k a a b b

ma n b

Trang 29

3.2 Tích phân xác định (the definite integral)

3.2.1 Diện tích và quãng đường (Areas and Distances)

a) Bài toán diện tích (the area problem):

Cho hình phẳng S được giới hạn bởi đường cong liên tục

Chia đoạn [ , ]a b thành n đoạn nhỏ một cách tùy ý bởi các điểm

chia: x0 ax1 x n b Đặt x i x ix i1 và lấy i tùy ý thuộc đoạn [x i1, ]x i (hình 3.3)

Tổng diện tích các hình chữ nhật là:

1( )

Khi chia đoạn [ , ]a b thành nhiều đoạn nhỏ (sao cho  tiến dần x i

về 0) thì tổng (1) sẽ xấp xỉ diện tích A của miền S





   (sao cho các  tiến về 0) x i

b) Bài toán quãng đường (distance problem):

Giả sử một vật di chuyển với vận tốc v f t( ), với a t b và

f t  (vật luôn chuyển động theo hướng dương) Hãy tìm quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian a t b

Trang 30

Chia nhỏ khoảng thời gian [ , ]a b thành các khoảng nhỏ bởi các điểm chia t0 at1 t n  , sao cho trên mỗi khoảng nhỏ b [t i1; ]t i

(với i1,n) hàm vận tốc v f t( ) được coi là tương đối ổn định Khi

đó, quãng đường đi được của vật trên khoảng thời gian [t i1; ]t i được xấp xỉ bằng: f( )(i t it i1) f( )i  với t i i[t i1; ]t i tùy ý

Quãng đường đi được của vật trên khoảng thời gian a t b

được xấp xỉ bằng:

1( )





   (sao cho các  tiến về 0) t i

3.2.2 Định nghĩa của tích phân xác định (Definition of the Definite Integral)

I được gọi là tích phân xác định của hàm f x( ) trên đoạn [ , ]a b

Trang 31





 (sao cho max  ) x i 0

Định nghĩa 2: Hàm f có tích phân xác định trên đoạn [ , ]a b thì ta nói hàm f khả tích Riemann hay gọi tắt là khả tích (integrable) trên

[ , ]a b

Lưu ý:

1) Người ta chứng minh được các lớp hàm khả tích sau:

a) Các hàm số liên tục trên [ , ]a b thì khả tích trên [ , ]a b

b) Các hàm số bị chặn và có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại

1 trên [ , ]a b thì khả tích trên [ , ]a b

2) Vì kết quả của giới hạn lim n

 không phụ thuộc vào cách chia đoạn

[ , ]a b và cách lấy các điểm i nên thông thường người ta chia [ , ]a b

thành n đoạn nhỏ bằng nhau có chiều rộng x b a

n



  bởi các điểm chia x i a i x i  , 0,n; thường lấy i x i1 hoặc i x i

3)  là dấu tích phân (integral sign); f x( ) là hàm lấy tích phân

(integrand) ; a, b là các cận lấy tích phân (limits of integration), a là cận dưới (lower limit), b là cận trên (upper limit) ; dx là vi phân của biến độc lập là x

Trang 32

b) Tính chất của tích phân xác định (properties of the definite integral):

Cho f g, là các hàm khả tích trên đoạn [ , ]a b Ta có các tính chất sau của tích phân xác định:

Trang 33

   Tổng Riemann của hàm f x( )x2 ứng với cách chia này là:

Trang 34

  được gọi là giá trị trung bình của

hàm số liên tục f trên [ , ]a b (average value of a function)

Như vậy: diện tích của miền S bằng

diện tích của hình chữ nhật ABCD

Chứng minh định lý giá trị trung bình:

Do hàm f liên tục trên đoạn [ , ]a b nên tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên [ , ]a b

Chứng minh rằng tồn tại c[ ; ]a b sao cho f c ( ) 0

Giải Theo định lý giá trị trung bình cho tích phân của hàm f trên đoạn

Trang 35

3.2.4 Định lý cơ bản của Giải tích (the fundamental theorem of calculus)

Định lý 1: (Định lý cơ bản thứ nhất của giải tích)

Nếu hàm f liên tục trên [ , ]a b thì hàm số ( ) ( )

x

a

F x  f t dt liên tục trên đoạn [ , ]a b , khả vi trên khoảng ( , )a b và /

Định lý 2: (Định lý cơ bản thứ hai của giải tích)

Nếu f x( ) liên tục trên [ , ]a b và F x( ) là một nguyên hàm của

( )

f x thì: ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

Trang 36

Hệ quả 1: (đạo hàm dưới dấu tích phân)

Cho f liên tục trên [ , ]a b ; u v a b, :[ ; ][ ; ]a b là các hàm liên tục trên [ , ]a b , khả vi trên khoảng ( , )a b Ta có công thức đạo hàm sau

1

93

Trang 37

Diện tích A của miền S sẽ là:

Trang 38

b) Tìm các giá trị của c  [ 1; 2] để cho ( )f c  f ave

Giải a) Giá trị trung bình của hàm

Ví dụ 3.28 (độ dịch chuyển, quãng đường đi được của vật)

Một vật chuyển động trên một đường thẳng với hàm quãng đường

( )

ss t , vận tốc của nó là /

( ) ( )

v t s t

Trang 39

Khi vận tốc không đổi dấu trong khoảng thời gian t1 t t2, nghĩa

là vật luôn chuyển động về một hướng, khi đó | ( )s t2 s t( ) |1 là quãng

đường đi được và cũng là độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian

t  t t

Nhưng nếu trong khoảng thời gian t1 t t2, vật đổi chiều chuyển động, nghĩa là tại một điểm nào đó trên đoạn AB vật có thể đi qua lại nhiều lần Khi đó quãng đường đi được chắc chắn sẽ lớn hơn độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian t1 t t2

Vậy ta có các định nghĩa sau:

Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian t1 t t2 là :

2) Tìm độ dịch chuyển của hạt trong khoảng thời gian 0 t 5

3) Tìm quãng đường đi được của hạt trong khoảng thời gian

Trang 40

b) Độ dịch chuyển của hạt trong khoảng thời gian 0 t 5 là:

5

5 0

f x dxF x F b F a

Hai loại tích phân này chỉ khác nhau ở kết quả cuối cùng, cho nên các kết quả (nguyên hàm của các hàm số thường gặp; các phương pháp tìm nguyên hàm; cách tìm nguyên hàm hàm phân thức, hàm lượng giác, hàm vô tỉ,…) được áp dụng lại

Trang 41

Sau đây chúng ta trình ngắn gọn các phương pháp tính tích phân xác định

a) Phương pháp thế (Substitution Method):

Nếu g x là hàm liên tục trên đoạn /( ) [ ; ]a b và f liên tục trên miền giá trị của hàm ug x( ), thì ta có: dug x dx/( ) và

 

( ) /

( )

g b b

f g x g x dx f u du

Lưu ý: Trong vế phải của công thức (*), biến u có cận tích phân mới

là ug a( ) là cận dưới và ug b( ) là cận trên Sau khi thế hàm

b

b a a

Trang 42



c)

/ 2

2 0

cos

5 4 cos

x dx x



2/3

2/3 0 2

Trang 43

J g x dx được gọi là liên kết

của nhau nếu tồn tại các số a b a b sao cho các tích phân sau được 1, ,1 2, 2thực hiện dễ dàng:

Trang 44

Chẳng hạn: 2

0cos



0sin

21

Trang 45

Ví dụ 3.32 (Tích phân các hàm đối xứng – integrals of symmetric

Trang 46

b) Phương pháp tích phân từng phần (integration by parts method)

Nếu u x v x( ), ( ) có đạo hàm cấp 1 liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì ta có

công thức sau gọi là công thức tích phân từng phần cho tích phân xác

định:

b a

1 1 0

Trang 47

xdx du

x dx

dv

v x

0 0

Trang 48

Trang 49

3.3 Ứng dụng của tích phân (applications of integration)

3.3.1 Diện tích giữa các đường cong (areas between curves)

Trang 50

Trang 51

Ví dụ 3.36 Tính diện tích miền giới hạn bởi các đường :

Cho vật thể S bất kì, ta cắt khối S bởi một mặt phẳng P x, sẽ thu

được một miền phẳng được gọi là mặt cắt ngang (cross-section) của S Gọi A x( ) là diện tích của mặt cắt ngang S nằm trong mặt phẳng P x

vuông góc với trục 0x và đi qua điểm x , với axb

Định nghĩa: Thể tích của vật thể S có hàm diện tích mặt cắt A x( ) khả tích từ trên đoạn [ , ]a b được tính theo công thức: ( )

Trang 52

Ví dụ 3.38 Một nêm cong được cắt từ một hình trụ tròn bán kính 3

bằng hai mặt phẳng Một mặt phẳng vuông góc với trục của hình trụ Mặt phẳng thứ hai đi qua mặt phẳng đầu tiên hợp một góc 45° tại tâm hình trụ Tìm thể tích của nêm

Giải Chọn hệ trục tọa độ 0xy như

hình 3.13 Đáy của nêm là nửa hình

Vật thể sinh ra bằng cách xoay (hay quay) một miền phẳng quanh

một trục trong mặt phẳng của nó được gọi là vật thể tròn xoay

Xét trường hợp miền phẳng S quanh trục 0x, với

S  x y  y f x axb

Trang 53

Trang 54

Ví dụ 3.41 Tính thể tích vật thể được sinh ra do miền phẳng S giới

hạn bởi hai đường cong yx2 và 1 y  x 3 quay quanh trục 0x

Giải Miền phẳng S :hình 3.16a ; vật thể tròn xoay : hình 3.16b

Hình 3.16 Miền phẳng S và vật thể tròn xoay sinh bởi S quanh 0x

Trang 55

3.3.3 Chiều dài cung (arc length)

Định nghĩa 1: Nếu f/( )x liên

tục trên đoạn [ , ]a b , khi đó chiều

dài của cung đường cong

( )

y f x với axb được tính

theo công thức:

2 /

Định nghĩa 2: Nếu g y liên tục trên đoạn /( ) [ , ]c d , khi đó chiều dài

của cung đường cong xg y( ) với c yd được tính theo công thức:

2 /

Trang 56

3/ 2 / 2

3.3.4 Diện tích mặt tròn xoay (area of a surface of revolution)

Xét mặt tròn xoay P do đồ thị của hàm y f x( ) với axb

Trang 57

Ví dụ 3.44 Tìm diện tích của mặt tròn xoay sinh ra bằng cách xoay

đường cong : yx2, 1x , quanh trục 2 0 y

Trong định nghĩa tích phân xác định, chúng ta xét hàm f xác định trên một khoảng hữu hạn [ , ]a b và giả sử f không có điểm gián đoạn vô cùng Trong mục này, chúng ta mở rộng khái niệm tích phân xác định trong trường hợp khoảng vô hạn và trường hợp hàm f có gián đoạn vô cùng trong [ , ]a b

3.4.1 Định nghĩa tích phân suy rộng loại 1 (improper integrals of type 1)

Trước tiên chúng ta xét ví dụ sau :

Trang 58

Ví dụ 3.45 Tìm diện tích miền S nằm dưới đường cong y 12

x

 , trên trục 0x và phía bên phải đường thẳng x 1

Giải Ta thấy rằng S là miền vô

hạn về phía dương của x Trước

t t

là tích phân suy rộng loại 1 Mỗi trường hợp có công thức tính như sau:

1) Nếu f x( ) liên tục trên [a , ), thì:

lim

b b

Định dạng
Số trang	82
Dung lượng	2,09 MB
File đính kèm	GT1_Chuong 3_A5.zip (3 MB)