BÀI TẬP LỚN MÔN TOÁN KINH TẾ 2

Cân nặng của trẻ sơ sinh ở Bệnh viện Foxboro là một biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối xấp xỉ chuẩn Nµ ; σ2 với giá trị trung bình là 6,9 pound và độ lệch chuẩn là 1,2 pound... Điểm tí

BÀI TẬP LỚN MÔN TOÁN

KINH TẾ 2

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG KHOA QUẢN TRỊ KINH DOANH

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Văn An Lớp : K23CLC-QTA Sinh viên thực hiện : Đào Thị Thuỳ Trang Nguyễn Tiểu Yến Dương Phương Anh Nguyễn Minh Khuê

Đỗ Thị Thu Trang Phạm Ngọc Ly Nguyễn Mai Quỳnh Phạm Hoàng Yến

NHÓM A2 1

SINH VIÊN THỰC HIỆN

NHÓM A2 2

NỘI DUNG

7.37 The weights of newborn babies in Foxboro Hospital are normally distributed

with a mean of 6.9 pounds and a standard deviation of 1.2 pounds

(a) How unusual is a baby weighing 8.0 pounds or more?

(b) What would be the 90th percentile for birth weight?

(c) Within what range would the middle 95 percent of birth weights lie?

Cân nặng của trẻ sơ sinh ở Bệnh viện Foxboro là một biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối xấp xỉ chuẩn N(µ ; σ2 ) với giá trị trung bình là 6,9 pound và độ lệch chuẩn là 1,2 pound

(a) Tỷ lệ trẻ sơ sinh có cân nặng 8.0 pounds hoặc hơn?

(b) Phân vị thứ 90 cho cân nặng của trẻ sơ sinh sẽ là bao nhiêu?

(c) Tìm khoảng cân nặng mà tỷ lệ của nó là 95%?

• σ= D𝑉(𝑋) = 1,2 (pound): Độ lệch chuẩn về cân nặng của trẻ sơ sinh

a Xác suất trẻ sơ sinh có cân nặng 8.0 pound hoặc hơn là:

P ( X ≥ 8 ) = ϕo(+∞) – ϕo(!"#

$ ) = 0,5 – ϕo(!"%,'

(,) ) = 0,5 - ϕo(((())

= 0,5 – 0,32034 = 0,1797

Vậy tỷ lệ trẻ sơ sinh có cân nặng 8.0 pounds hoặc hơn là 17,97%

NHÓM A2 3

b Gọi m là cân nặng của trẻ sơ sinh mà ở đó cân nặng là phân vị thứ 90 Có nghĩa là, tại phân vị thứ 90, cân nặng nhỏ hơn hoặc bằng m sẽ chiếm 90%, cân nặng lớn hơn m sẽ chiếm 10%

NHÓM A2 4

Do hàm phân phối chuẩn có tính đối xứng: !""%$%&%

' = 2,5% => 2,5% nằm dưới a, 2,5% nằm trên b

NHÓM A2 5

Vậy 95% trọng lượng trung bình của trẻ sơ sinh sẽ nằm trong khoảng 4,548 pound

và 9,252 pound

7.38 The credit scores of 35-year-olds applying for a mortgage at Ulysses Mortgage

Associates are normally distributed with a mean of 600 and a standard deviation of

100

(a) Find the credit score that defines the upper 5 percent

(b) Seventy-five percent of the customers will have a credit score higher than what value?

(c) Within what range would the middle 80 percent of credit scores lie?

Điểm tín dụng của những người 35 tuổi đăng ký thế chấp tại Ulysses Mortgage Associates thường được phân phối với giá trị trung bình là 600 và độ lệch chuẩn

là 100

(a) Tìm điểm tín dụng có tỉ lệ trên 5%

(b) 75% khách hàng sẽ có điểm tín dụng cao hơn giá trị nào?

(c) 80% điểm tín dụng giữa sẽ nằm trong khoảng nào?

c Gọi (a;b) là khoảng mà tỷ lệ điểm tín dụng nằm giữa là 80%

Do hàm phân phối chuẩn có tính đối xứng: (++%"!+%

dưới a, 10% nằm trên b

Ta có: P(a<X<b) = 0,8 è P (X ≤ a) = 0,1 ; P (X ≥ b)=0,1

• P (X ≤ a) = 0,1

Vậy khoảng mà tỷ lệ điểm tín dụng nằm giữa là 80% là (471,84;728,16)

7.39 The number of patients needing a bed at any point in time in the pediatrics

unit at Carver Hospital is N (19,2; 2,5) Find the middle 50 percent of the number

of beds needed (round to the next higher integer since a "bed" is indivisible)

Số lượng bệnh nhân cần giường tại bất kỳ thời điểm nào tại khoa nhi tại Bệnh viện Carver là một biến ngẫu nhiên tuấn theo quy luật phân phối chuẩn N (19,2;

Theo đề bài, X là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn X ̴ N(µ,σ²) với

• µ = E(X) = 19,2 : Số giường cần dùng trung bình

Ta chọn m = 20 (vì đề bài yêu cầu làm tròn đến số nguyên tiếp theo)

Vậy tại tỷ lệ 50% số giường cần thiết là 20 chiếc

7.40 Vail Resorts pays part-time seasonal employees at ski resorts on an hourly

basis At a certain mountain, the hourly rates have a normal distribution with σ =

$3,00 If 20 percent of all part-time seasonal employees make more than $13,16

an hour, what is the average hourly pay rate at this mountain?

Vail Resorts trả lương cho nhân viên thời vụ bán thời gian tại các khu nghỉ mát trượt tuyết theo giờ Tại một ngọn núi, tiền công mỗi giờ có phân phối chuẩn với σ = 3,00 đô la Nếu 20% tổng số nhân viên thời vụ bán thời gian kiếm được hơn 13,16 đô la một giờ, thì mức lương trung bình theo giờ ở ngọn núi này là bao nhiêu?

NHÓM A2 9

Lời giải

Gọi X là mức lương theo giờ ở ngọn núi (đơn vị: $)

TGT của X là X(Ω) = [0;+∞)

Theo đề bài, X là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn X ̴ N(µ,σ²) với

• µ = E(X) : mức lương trung bình theo giờ

Mức lương trung bình theo giờ ở ngọn núi này là: E(X) = µ ≈ 10,6352 ($)

Vậy mức lương trung bình theo giờ ở ngọn núi này là $10,6352

7.41 The average cost of an IRS Form 1040 tax filing at Thetis Tax Service is

$157 Assuming a normal distribution, if 70 percent of the filings cost less than

$171, what is the standard deviation?

Chi phí trung bình của một đơn khai thuế IRS Biểu mẫu 1040 tại Thetis Tax Service là $ 157 Giả sử có phân phối chuẩn, nếu 70 % các hồ sơ có giá dưới 171

đô la, thì độ lệch chuẩn là bao nhiêu?

Lời giải

Gọi X là chi phí của một đơn khai thuế (đơn vị: Đô la)

TGT: X(Ω) = [0;+∞)

Theo đề bài, X là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn X ~ N (µ, 𝜎2):

• µ = E(X) =157: Chi phí trung bình của một đơn khai thuế

NHÓM A2 10

• σ =D𝑉(𝑋): Độ lêch chuẩn chi phí của một đơn khai thuế

Tỷ lệ hồ sơ giá dưới $171 là 70%

ð Tỷ lệ hồ sơ giá trên $171 là 30%

Vậy độ lêch chuẩn chi phí của một đơn khai thuế là 26.6972

7.79 Tire pressure in a certain car is a normally distributed random variable with

mean 30 psi (pounds per square inch) and standard deviation 2 psi The manufacturer's recommended correct inflation range is 28 psi to 32 psi A motorist's tire is inspected at random

(a) What is the probability that the tire's inflation is within the recommended range?

(b) What is the probability that the tire is underinflated? (c) A company has developed a microchip that will warn when a tire is 25 percent below the recommended mean, to warn of dangerously low tire pressure How often would such an alarm be triggered?

Áp suất lốp trên một chiếc ô tô nhất định là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với giá trị trung bình là 30 psi (pound trên inch vuông) và độ lệch chuẩn

• µ = E(X) = 30: Áp suất lốp trung bình trên một chiếc ô tô;

• σ =D𝑉(𝑋) = 2: Độ lệch chuẩn áp suất lốp trên một chiếc ô tô;

a Phạm vi áp xuất được khuyến nghị của nhà sản xuất là 28 psi đến 32 psi Xác suất áp suất của lốp nằm trong phạm vi khuyến nghị là:

b Xác suất để lốp xe non hơi là:

NHÓM A2 12

Vậy tỷ lệ để lốp xe non hơi là 15,87%

c Công ty đã phát triển một bộ vi mạch sẽ cảnh báo khi lốp xe thấp hơn 25% so với mức trung bình khuyến nghị, áp suất lốp xe để chuông cảnh báo reo là:

= 9x10$&

Vậy tỷ lệ để chuông cảnh báo nguy hiểm reo khi áp suất lốp thấp hơn mức trung bình khuyến nghị 25% là 0,009%

7.80 In a certain microwave oven on the high power setting the time it takes a

randomly chosen kernel of popcorn to pop is normally distributed with a mean of

140 seconds and a standard deviation of 25 seconds What percentage of the kemels will fail to pop if the popcom is cooked for

(a) 2 minutes?

(b) Three minutes?

(c) If you wanted 95 percent of the kernels to pop, what time would you allow? (d) If you wanted 99 percent to pop?

Trong một lò vi sóng được thiết lập công suất cao Thời gian để một hạt bắp

được chọn ngẫu nhiên thành bỏng ngô tuân theo phân phối chuẩn với giá trị

trung bình là 140 giây và độ lệch chuẩn là 25 giây Bao nhiêu phần trăm hạt ngô

sẽ không được nổ trong thời gian nấu là:

a 2 phút?

b 3 phút?

c Nên nấu trong thời gian bao lâu nếu muốn 95% hạt ngô được nổ?

Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com)

c Gọi 𝑡! là thời gian để 95% hạt ngô được nổ

d Gọi 𝑡' là thời gian để 99% hạt ngô được nổ

7.81 Procyon Manufacturing produces tennis balls Their manufacturing process

has a mean ball weight of 2.035 ounces with a standard deviation of 0.03 ounce Regulation tennis balls are required to have a weight between 1.975 ounces and 2.095 ounces What proportion of Procyon's production will fail to meet these specifications?

Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com)

NHÓM A2 15

Nhà máy Procyon sản xuất ra những quả bóng tennis Với dây chuyền hiện tại trọng lượng những quả bóng được sản xuất ra có giá trị trung bình là 2,035 ounce, với độ lệch chuẩn là 0,03 ounce Các quả bóng tennis tiêu chuẩn được yêu cầu phải có trọng lượng từ 1,975 ounce và 2.095 ounce Tỷ lệ sản xuất của Procyon

sẽ không đáp ứng các tiêu chuẩn trên?

Vậy tỉ lệ để các quả bóng tennis không đạt độ nặng tiêu chuẩn là 4,55%

Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com)

NHÓM A2 16

33 Fifty percent of Americans believed the country was in a recession, even though

technically the economy had not shown two straight quarters of negative growth (BusinessWeek, July 30, 2001) For a sample of 20 Americans, make the following calculations

a Compute the probability that exactly 12 people believed the country was in a recession

b Compute the probability that no more than five people believed the country was in

a recession

c How many people would you expect to say the country was in a recession?

d Compute the variance and standard deviation of the number of people who believed the country was in a recession

50% người Mỹ tin rằng nước họ đang trong thời kỳ suy thoái, mặc dù về mặt kỹ

thuật, nền kinh tế đã không có hai quý tăng trưởng âm liên tiếp (BusinessWeek,

30 tháng 7 năm 2001) Đối với một mẫu gồm 20 người Mỹ, hãy thực hiện các

phép tính sau

a Tính xác suất để có đúng 12 người tin rằng đất nước đang suy thoái

b Tính xác suất để không quá năm người tin rằng đất nước đang suy thoái

c Theo bạn, trung bình có bao nhiêu người nói rằng đất nước đang trong thời kỳ

X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n;p) với: n = 20, p = 0,5 ( tỷ lệ

người Mỹ tin rằng nước họ đang trong thời kỳ suy thoái)

Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com)

34 The Census Bureau's Current Census Survey shows that 28% of individuals,

ages 25 and older, have completed four years of college (The New York Times Almanac, 2006) For a sample of 15 individuals, ages 25 and older, answer the following questions:

a What is the probability that four people will complete four years of college?

b What is the probability that three or more will complete four years of college?

Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com)

NHÓM A2 18

Khảo sát Dân số Hiện tại của Cục Điều tra Dân số cho thấy 28% cá nhân từ 25 tuổi trở lên đã hoàn thành bốn năm đại học (The New York Times Almanac, 2006) Đối với mẫu thử gồm 15 cá nhân từ 25 tuổi trở lên hãy trả lời các câu hỏi sau:

a Xác suất bốn người sẽ hoàn thành bốn năm đại học là bao nhiêu?

b Xác suất ba hoặc nhiều hơn sẽ hoàn thành bốn năm đại học là bao nhiêu

Lời giải

Gọi X là số người từ 25 tuổi trở lên hoàn thành 4 năm đại học

Tập giá trị của X(W) = {0,1,…,15}

X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n;p) với n=15, p=0,28

a Xác suất để bốn người hoàn thành bốn năm đại học là:

𝑃(𝑋 = 4) = 𝐶3/ 𝑝/ (1 − 𝑝)3$/

= 𝐶!&/ 0,28/ 0,72!! = 0,2262

Vậy xác suất 4 người sẽ hoàn thành 4 năm đại học là 0,2262

b Xác suất ba hoặc nhiều hơn sẽ hoàn thành 4 năm đại học là:

𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 < 3) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) − 𝑃(𝑋 = 1) − 𝑃(𝑋 = 2)

= 1 − 𝐶3" 𝑝" (1 − 𝑝)3− 𝐶3! 𝑝! (1 − 𝑝)3$!− 𝐶3' 𝑝' (1 − 𝑝)3$' = 1 − 0,72!& − 𝐶!&! 0,28 0,72!/ − 𝐶!&' 0,28' 0,72!)

= 0,8355

Vậy xác suất ba hoặc nhiều hơn sẽ hoàn thành 4 năm đại học là 0,8355

35 A university found that 20% of its students withdraw without completing the

introductory statistics course Assume that 20 students registered for the course

a Compute the probability that two or fewer will withdraw

b Compute the probability that exactly four will withdraw

c Compute the probability that more than three will withdraw

d Compute the expected number of withdrawals

Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com)

NHÓM A2 19

Một trường đại học phát hiện ra rằng 20% sinh viên của mình rút lui mà không hoàn thành khóa học thống kê đầu vào Giả sử rằng có 20 sinh viên đăng ký khóa học

a Tính xác suất có hai hoặc ít hơn hai sinh viên sẽ rút lui

b Tính xác suất để có đúng bốn sinh viên rút lui

c Tính xác suất có nhiều hơn ba sinh viên rút lui

d Tính kì vọng toán của sinh viên rút lui

Lời giải

Gọi X là số sinh viên rút lui khỏi khóa học

TGT: X(Ω)={ 0; 1; 2; …; 20}

X là biên ngẫu nhiên phân phối nhị thức với n=20; p=0,2

a) Xác suất có hai hoặc ít hơn hai sinh viên sẽ rút lui là:

P( X ≤ 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

= 0,820+ 𝐶'" ! 0,2.0,819+ 𝐶'" ' 0,22.0,818

≈ 0,2061

Vậy xác suất có hai hoặc ít hơn hai sinh viên sẽ rút lui xấp xỉ là 0,2061

b) Xác suất để có đúng bốn sinh viên rút lui là:

P(X= 4) = 𝐶'" / 0,24 0,816 ≈ 0,2182

Vậy xác suất để có đúng bốn sinh viên rút lui xấp xỉ là 0,2182

c) Xác suất có nhiều hơn ba sinh viên rút lui là:

Vậy xác suất có nhiều hơn ba sinh viên rút lui xấp xỉ là 0,5886

d) Kì vọng toán của sinh viên rút lui là:

E(X) = n.p = 20.0,2 = 4

Vậy kì vọng toán của sinh viên rút lui là 4 sinh viên

Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com)

NHÓM A2 20

36 According to a survey conducted by TD Ameritrade, one out of four investors

have exchange-traded funds in their portfolios (USA Today, January 11, 2007)

Consider a sample of 20 investors

a Compute the probability that exactly 4 investors have exchange traded funds in their portfolios

b Compute the probability that at least 2 of the investors have exchange-traded funds in their portfolios

c If you found that exactly 12 of the investors have exchange-traded funds in their portfolios, would you doubt the accuracy of the survey results?

d Compute the expected number of investors who have exchange-traded funds in

their portfolios

Theo một cuộc khảo sát được thực hiện bởi TD Ameritrade, cứ 4 nhà đầu tư thì

có 1 nhà đầu tư có các quỹ giao dịch trao đổi trong danh mục đầu tư của họ

(USA Today, ngày 11 tháng 1 năm 2007) Hãy xem xét một mẫu gồm 20 nhà

đầu tư

a Tính xác suất để có đúng 4 nhà đầu tư có các quỹ giao dịch trao đổi trong

danh mục đầu tư của họ

b Tính xác suất để có ít nhất 2 nhà đầu tư có các quỹ giao dịch trao đổi trong

danh mục đầu tư của họ

c Nếu phát hiện ra rằng có đúng 12 nhà đầu tư có các quỹ giao dịch trao đổi

trong danh mục đầu tư của họ thì tính chính xác của kết quả khảo sát có bị nghi ngờ không?

d Tính kì vọng toán của nhà đầu tư có quỹ giao dịch trao đổi trong danh mục

đầu tư của họ

Vậy kỳ vọng toán của nhà đầu tư có quỹ giao dịch trao đổi trong danh mục đầu

tư của họ là 5 người

Downloaded by tran quang (quangsuphamhoak35@gmail.com)