Chứng minh rằng 2 det E+xA là một số không âm với mọi số thực x.. Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho tất cả các phần tử đều dương và tổng của tất cả các phần tử trên mỗi dòng đều khô
Trang 1Câu 1 Tính định thức của ma trận: 2
3
4
x
x
x
+
+
Trong đó x , x , x , x1 2 3 4 là các nghiệm của đa thức 4 2
f(x)=x − x +
Câu2 Cho 2 ma trận A,B sao cho 5 11
11 25
14 14
x BA
y
Hãy tìm x,y và A,B
Câu 3 Cho ma trận
A
Tim giá trị riêng của ma trận 5
A
Câu 4 Cho a,b R∈ Tìm các đa thức P(x) thoả mãn điều kiện
xP(x−a)=(x−b)P(x) ∀ ∈x R
Câu 5 Cho B là ma trận thực ,vuông cấp n có hạng bằng 1 Chứng minh rằng tồn tại duy
nhất số thực k sao cho 2
B =kB Câu 6 Cho A là ma trận cấp nx(n+1).A’ là ma trận chuyển vị của A.B là ma trận phụ hợp
của ma trận A’A và B ≠0.Xác định hạng của ma trận B
Câu 7 Cho A là ma trận vuông cấp n có r(A) = k.Tìm r(A*)
Câu 8 Tìm ma trận vuông X cấp n sao cho AX = XA A∀ vuông cấp n
Chú ý: Sinh viên không được dùng tài liệu
Trang 2Câu 1 Cho {an} là dãy số xác định bởi a >1 0 và
n
n
a
Chứng minh rằng dãy an
n
hội tụ và tìm giới hạn của nó
Câu 2.Cho các hàm f,g không là hàm hằng trên khoảng (a,b), f(x) g(x) + ≠ 0
và f(x).g’(x) – f ’(x)g(x) = 0 ∀ ∈ x (a, b).Chứng minh rằng g(x) ≠ 0 ∀ ∈ x (a, b)và
f(x)
g(x) là hằng số trên (a,b)
Câu 3 Cho hàm f(x) liên tục trên [0,a] ,khả vi trên (0,a) sao cho f(a) = 0.Chứng minh rằng tồn tại
0
c∈( , a) để cf '(c)=f(c)(c−1)
Câu 4 Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên R và thoả mãn điều kiện
f(0) = f(1) = a Chứng minh rằng
x [0,1]
max{f''(x)} 8(a-b)
∈
≥ với b =
x [0,1]min {f(x)}
∈
Câu 5 Cho f : R→R là hàm liên tục và
1
0
0 tf(t)dt =
∫ Chứng minh rằng tồn tại c∈( , )0 1 sao cho
1
0
2010 cf(c)= ∫f(t)dt
Câu 6 Tìm tất cả các hàm số f : R→R thoả mãn
f(f(x-y)) = f(x)f(y)- f(x) + f(y) – xy ∀x, y∈R
-
Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Trang 3Câu 1 Tính giới hạn
1
3
n
lim
(k )!
→+∞
=
+
∑
Câu 2 Tính giới hạn
2
n n n
x
x
+∞
+
→+∞
=
+
Câu 3 Cho hàm số f(x) khả vi trên [a,b] và thoả mãn điều kiện
[f(x)]2 + [f'(x)]2 > 0 , ∀ ∈ x [a,b]
Chứng minh rằng số các nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên [a,b] là hữu hạn
Câu 4 Xét phương trình 1 1 1 1 2 1 2
0
n nguyên dương.Chứng minh rằng với mỗi n thì phương trình có nghiệm duy nhất trong (0,1) ;kí hiệu nghiệm đó là xn.Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn
Câu 5 Cho a,b là các số thực 0 <a < b ; f : [a,b] → Rlà hàm liên tục trên [a,b] ,khả vi trên (a,b).Chứng minh rằng tồn tại c∈(a, b) sao cho
a
cf(c) f(t)dt
ln b ln a
=
Câu 6 Tìm tất cả các hàm sốđơn điệu f : R→R thoả mãn
f(x + f(y)) = f(x) y + x, y∀ ∈R
-
Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Trang 4Câu 1 Cho ma trận:
−
Tính ma trận: E+A+A2+⋯+A2009
Câu2 Cho A là ma trận vuông cấp n thoả mãn A′ = −A Chứng minh rằng ( 2)
det E+xA
là một số không âm với mọi số thực x
Câu 3 Cho A, B là các ma trận vuông cấp n thoả mãn:
Vết(AA′+BB′) = Vết(AB A B+ ′ ′)
Chứng minh rằng A=B′
Câu 4 Cho x , x ,1 2 …, xn là các số thực bất kỳ, tính định thức cấp n sau:
⋯
⋯
⋯
Câu 5 Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho tất cả các phần tử đều dương và tổng của tất
cả các phần tử trên mỗi dòng đều không vượt quá số k dương cho trước Chứng minh rằng tất cả các giá trị riêng thực của ma trận A (nếu có) đều nhỏ hơn k
Câu 6 Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp sao cho B A 0′ = , chứng minh rằng:
r A+B =r A +r B
Chú ý: Sinh viên không được dùng tài liệu