TĨNH điện PHẦN II

Như thể hiện trong hình bên dưới, một lỗ trống hình cầu được khoét từ một quả cầu tích điện dương có bán kính R.. bNhư hình dưới, các electron được phóng ra từ O theo tất cả các hướng vớ

TĨNH ĐIỆN-PHẦN II Bài 11

Một vỏ cầu dẫn điện tốt bán kính R trung hòa về điện Tâm của nó nằm ở gốc O của hệ tọa

độ XOY Các câu trả lời dưới đây viết theo các đại lượng L,R,Q và các hằng số cơ bản, với L>R

a)Tìm công sinh ra bởi trường tĩnh điện để di chuyển một điện tích điểm q1=Q từ tâm cầu đến (L,0)

b)Một điện tích điểm khác q2 L Q

R

= được đặt ở

2

(R , 0)

L , tìm công sinh ra bởi trường tĩnh điện

để di chuyển điện tích điểm q1 từ tâm cầu đến (L,0)

c)Nếu điện tích điểm q1 được đặt ở (L,0), tìm công sinh ra bởi trường tính điện di chuyển điện tích điểm q2 từ xa đến

2

(R , 0)

L

d) Nếu điện tích điểm q1 được đặt ở (L,0), tìm công sinh ra bởi trường tĩnh điện di chuyển điện tích điểm q2 từ (0,)đến

2

(0,R )

L Đáp số:

a

0

1

L Q A

R R L



=

− ; b

2 2

0

1

L e A

R R L



=

− ; c

0

A



=

−

d

0

A



=

−

Bài 12

(a-c) Xét hai nhóm các điện tích Nhóm A gồm N điện tích q q1, , 2 qN được đặt tại các vị trí

xác định bằng r r1, , 2 r Ntương ứng Nhóm B gồm M điện tích q q1, , 2 qM được đặt tại các vị trí

xác định bằng r r1, , 2 r M tương ứng

(a)Viết biểu thức điện thế A( )r tại vị trí rdo các điện tích của nhóm A gây ra

(b) Viết biểu thức thế năng tĩnh điện EB/A tại nhóm B do điện thế A( )r gây ra

(c)Mối quan hệ giữa EB/A và EA/B là gì?

(d)Xét hai tấm phẳng dẫn điện như hình 1a Tấm trên mang điện đều với mật độ điện mặt  '

và tấm dưới nối đất Tìm mật độ điện mặt của tấm dưới và điện thế  '( )z , với z là độ cao được tính từ tấm dưới

(e)Một điện tích điểm q được đặt giữa hai tấm phẳng dẫn, rộng vô hạn được nối đất Nếu z0

là khoảng cách giữa q và tấm ở dưới Tìm tổng điện tích cảm ứng của tấm trên theo z0, q và l

, vơi l là khoảng cách giữa hai tấm như hình 1b

Đáp số

a

1 0

1 ( )

4

N i A

i

i

q r

r r

 =

−

1 1 0

' 1

M N

i j

B A

i j

i j

q q E

 = =

=

−



1 1 0

' 1

N M

i j

i j

i j

q q

r r

 = =

−

0

0

'

'

z





















 





; e 0

u

z

l

= −

Bài 13

Quỹ đạo của electron trong một lỗ trống

Như thể hiện trong hình bên dưới, một lỗ trống hình cầu được khoét từ một quả cầu tích điện dương có bán kính R Bán kính của lỗ trống là R/2, nằm ở khoảng cách R/2 từ tâm O của quả cầu lớn Tổng điện tích dương trong hệ là Q

(a)Xét một điểm trong lỗ trống ở khoảng cách r và góc cực  tính từ gốc O Tìm các thành phần x và y của điện trường tại điểm đó

(b)Như hình dưới, các electron được phóng ra từ O theo tất cả các hướng với tốc độ v và hướng  nằm trong khoảng từ 0 đến , nhưng không hạt nào trong số chúng có thể đến được điểm cuối đối diện của đường kính của lỗ trống Lực hấp dẫn là không đáng kể Tìm phương trình của đường bao của tất cả các quỹ đạo của các electron

(c)Tìm tọa độ x cực đại mà tại đó các electron va chạm bề mặt bên trong lỗ trống Viết câu trả lời của bạn theo Q, điện tích nguyên tố e, khối lượng electron m, bán kính R và vận tốc v

Đáp số:a

2 0

7

Q

R



b.Phương trình vùng an toàn: 2 2

2

c

Bài 14

Mối liên hệ Lorentz-Lorentz

Hằng số điện môi   ( )của một môi trường điện môi được cho bởi cái gọi là mối liên hệ

Lorentz-Lorentz: 0

( ) ( ) n 3K

 

−

= + , với n là một số, K là một hằng số vật liệu phụ thuộc một cách rõ ràng vào tần số  của điện trường tác dụng Bạn tìm thấy sự liên hệ đó thông qua các bước sau đây

1 Một nguyên tử có thể được coi tương tự như một mô hình gồm một hình cầu đồng nhất

(đám mây electron) có bán kính R và điện tích tổng cộng -Ze và hạt nhân điện tích +Ze ở tâm, với e là điện tích nguyên tố

Biết khối lượng hạt nhân lớn hơn rất nhiều khối lượng electron me

Trong một điện trường ngoài E0, đám mây elctron bị dịch chuyển

một đoạn nhỏ so với hạt nhân trong khi vẫn duy trì hình cầu Tìm độ

dịch chuyển đó

2 Nguyên tử được đặt trong một điện trường đồng nhất, điện trường

này biến thiên E t( ) =Acos( t) Tìm momen lưỡng cực cảm ứng của

nguyên tử

3 Trong một môi trường có số nguyên tử trên một đơn vị thể tích là N (N là mật độ nguyên

tử), tìm độ phân cực P của môi trường

4 Chú ý trong phần (3), điện trường là điện trường ngoài Eext Xét một hình cầu nhỏ chứa

nhiều nguyên tử trong môi trường lớn Điện trường toàn phần Etotal ở trong hình cầu gồm hai

sự đóng góp là từ bên trong hình cầu Eself và bên ngoài hình cầu là Eext Cho rằng các điện trường là đồng nhất bên ngoài hình cầu, tìm mối liên hệ giữa Eext và Etotal Xác định n và K

trong mối liên hệ Lorentz-Lorentz

5 Sử dụng kết quả ở phần (iv), giải thích rõ hiện tượng “Ảo ảnh”

Đáp số

i)

3

0 0

r

Ze



=

(ii)

2 2

2 3

0

cos

Ze A

Ze

m R







=

−

(iii)

2 2

2 3

0

( )

NZe

Ze

m



=

−

(iv)

2 2

2 3

0

( )

1

NZe K

Ze

m R







=

−

(v) Đối với không khí thì K rất nhỏ, và hằn số điện môi    = ( ) dần tiến đến 1 nên biêu

thức

0

( ) ( ) n 3K

 

+ và khí 2 nguyên từ nên n=2

Do đó mối liên hệ Lorentz-Lorentz có thể viết lại ( ) 1 0 1 ( ) ( ) 1 ( )

K K



+

Mật độ không khí giảm theo độ cao ( do bên dưới nóng hơn) Do đó hệ số khúc xạ ( chiết suất) cũng giảm theo độ cao Ti sáng bị bẻ con trong điều kiện này

Bài 15 ( Lưu ý theo tài liệu Mỹ, tích 0 mới gọi là hằng số điện môi)

Thể tích giữa hai mặt cầu dẫn điện đồng tâm bán kính a và b (a<b) được lắp đầy một chất điện môi không đồng nhất có hằng số điện môi 1



 = +

Trong đó1 và K là những hằng số và r là tọa độ bán kính Với D r( ) =0E r( ) Một điện tích

Q được đặt vào mặt trong, trong khi mặt cầu ngoài nối đất Hãy tìm:

a điện cảm trong vùng a<r<b

b.Điện dung của linh kiện

c Véc tơ độ phân cực P trong a<r<b

d Mật độ điện tích phân cựcP tại r=a và r=b

Đáp số a 2

4 r

Q

r



= ; b 4 1 0

1 1

ln

C

b K

 

=

;c Véc tơ phân cực điện môi 1

2 1

( 1 r)

K Q

r





− −

=

d Mật độ điện tích phân cực mặtP

Tại r=a thì 1

2 1

( 1 ) 4

Pa

Ka Q a







− −

Tại r=b thì 1

2 1

( 1 ) 4

Pb

Kb Q b







− −

= −

Bài 16

Xét một tam giác đều ABC có cạnh 2a nằm trong mặt phẳng tờ giấy Tâm của tam giác nằm tại O Các điện tích bằng nhau Q được giữ cố định tại các định A, B và C Trong bài toán này,

ta giả thiết chuyển động chỉ diễn ra trong mặt phẳng tờ giấy (hình 3.3a)

1.Một điện tích thử q có cùng dấu với Q được đặt trên đường trung tuyến AD tại một điểm

dưới O một đoạn δ Tìm lực F tác dụng lên điện tích thử

2 Giả thiết δ ≪a, hãy mô tả chuyển động của điện tích thử khi nó được thả ra

3.Tìm lực F D tác dụng lên điện tích thử khi nó được đặt tại D như hình 3.3a

4.Trong hình 3.3b, hãy đánh dấu các vị trí cân bằng của q khi nằm trong hệ Giải thích

5 O là vị trí cân bằng bền hay không bền khi ta dịch chuyển điện tích thử theo hướng OP?

Đường PQ song song với đáy BC (hình 3.3c) Hãy giải thích

6.Các điện tích giống nhau được cố định tại các đỉnh A, B, C, D của hình

chữ nhật ABCD, O là tâm của hình chữ nhật Trong hình 3.3d, hãy đánh

dấu gần đúng vị trí các điểm cân bằng của hệ đối với một điện tích có cùng

dấu với các điện tích ở đỉnh Đường đứt đoạn chỉ là đường trợ giúp

7 Có bao nhiêu vị trí cân bằng khả dĩ cho một hệ có N điện tích điểm đặt

ở đỉnh của một đa giác đều N cạnh?

Đáp số:

1.Lực điện tác dụng lên điện tích q:

3/ 2

( )

F qE





−

; Lực F hướng về O

2.Lực tác dụng dạng lực hồi phục: ( ) 6 9 33

16

a

Do đó điện tích thử q sẽ dao động diều hòa quanh điểm O dọc trên đường thẳng trung tuyến

AD

3

4.Khi q nằm trên đường thẳng AD:

+Khi  nhỏ thì lực F hướng về O

+Khi  lớn hơn một giá trị đáng kể 0 thìF hướng ra

xa O

Do tính chất đối xứng, nên trên 3 đường trung tuyến của tam giác có 4 điểm cân bằng của q(trong số đó có 3 điểm nằm trên mỗi đường trung tuyến riêng biệt cách đầu O một đoạn 0 ,

và 1 điểm tại O) trên hình 3.3Sb Với 0 là nghiệm của phương trình

0 3/ 2

( )

F





−

=0

5.Với x<<a, lấy gần đúng ta được 3 9 2

Từ (7) ta thấy V(x) có dạng là thế năng của lực hồi phục, nên O là vị trí cân bằng bền

6.Các vị trí cân bằng được đánh dấu trên hình 3.3Sd

7.Hình đa giác đều N cạnh sẽ có N trục đối xứng, trên mỗi trục này sẽ tìm được một vị trí cân bằng Công thêm vị trí nữa ở tâm đa giác đều Vậy có tổng N+1 vị trí cân bằng

Bài 17

Động cơ đẩy bằng ion điện được sử dụng trong các tàu vũ trụ để điều khiển quỹ đạo trong không gian Nguyên lý hoạt động được trình bày trên hình 3.4 Một dòng khí đẩy P được đưa vào buồng C Lưu lượng đưa vào R, được tính bằng số nguyên tử trong một đơn vị thời gian Các nguyên tử bị ion hóa bằng chùm electron bắn phá từ súng điện G Ion dương sau đó được tăng tốc từ cực lưới A đến cực lưới B nhờ hiệu điện thế V giữa chúng Điện cực trung hòa N phát ra các electron để trung hòa dòng ion, tránh cho con tàu khỏi tích điện âm

1 Tìm tỷ số lực đẩy F và dòng I tạo bởi các ion có khối lượng m và điện tích ze, trong đó z là

một số nguyên dương, e là điện tích nguyên tố Biểu diễn kết quả theo các đại lượng m, V, z

và e

2.Tìm tỷ số lực đẩy F và công suất P dùng để tăng tốc dòng ion Biểu diễn kết quả theo các đại

lượng m, V, z và e

3 Để tiết kiệm năng lượng trong chuyến du hành

vũ trụ, sử dụng ion nặng hay ion nhẹ thì tốt hơn?

Ion ít điện tích hay ion nhiều điện tích? Điện thế

cao hay điện thế thấp?

4 Một động cơ đẩy tĩnh điện công suất 10kW sử

dụng nguyên tử xenon làm chất đẩy Điện áp tăng

tốc là 10kV Hãy tính vận tốc thoát của các ion Kết quả tính bằng km/s Cho biết: ion xenon

có điện tích bằng 1 và khối lượng nguyên tử xenon m= 131u; u1,67.10−27kg

5 Nếu cực trung hòa N của động cơ mô tả ở câu 4 bị tắt, hãy tính thời gian để tàu vũ trụ tích

điện đến điện thế bằng điện thế tăng tốc, khi đó động cơ ngừng hoạt động vì dòng ion không thể chuyển động được nữa Giả sử tàu vũ trụ hình cầu có bán kính r=1m

Đáp số

1 F 2mV

I = ze ; 2 F 2m

P = zeV 3.Từ (6) ta thấy:

P nên dùng ion nặng thì tốt hơn

P z , sử dụng ion càng ít điện tích càng tốt

P = V , sử dụng điện áp càng thấp càng tốt

4 v=121km/s; 5 t Q 1,11.10 6s 1,11 s

Bài 18

Bài 19

Trong không gian giữa các vì sao có một đám mây được tạo bởi N hạt coi như các điện tích

điểm đặt trong chân không, mỗi hạt có điện tích −q q(  0), khối lượng m Ở thời điểm ban đầu (t = 0) các điện tích của đám mây đang đứng yên và phân bố đều trong một quả cầu bán kính

R Giả thiết các điện tích không bức xạ năng lượng và bỏ qua hiệu ứng tương đối tính

1 Do lực đẩy Cu-lông (Coulomb), đám mây bắt đầu dãn nở nhưng vẫn giữ được tính đối xứng cầu Giả thiết các hạt chỉ chuyển động theo phương bán kính và không vượt qua nhau

Bỏ qua tác dụng của tất cả các lực khác

a) Tìm phương trình vi phân mô tả chuyển động của lớp cầu có bán kính từ r0 đến r0 +dr,

với r0+drR. Chứng minh rằng mật độ hạt trong không gian luôn đều trong quá trình đám mây dãn nở

b) Xét một điện tích của đám mây mà tại thời điểm t = 0 nó đang ở vị trí có bán kính R Tính thời gian để điện tích này chuyển động đến vị trí có bán kính 9R

2 Ở thời điểm t = 0, xuất hiện một quả cầu điện môi mang điện tích dương có tâm trùng với tâm của đám mây, bán kính R0 (R0 < R) Tại thời điểm nào đó, điện tích của quả cầu phân

bố đều với mật độ 3

0

3 4

Nq R





= còn các điện tích âm của đám mây chỉ phân bố trong không gian

từ R0 đến R với mật độ được giả thiết chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r (tính từ tâm quả cầu

điện môi) theo quy luật ( )r A , 3

 =   và không đổi, A là hệ số

a) Tìm A theo , ,q N R R, 0,

b) Tính cường độ điện trường, điện thế ở trong và ngoài đám mây

Cho biết: x dx x x( a) aln x x a C,

x a = − +  + − +

−

Bài 20

Một miền không gian chỉ có trường điện từ gồm từ trường đều với véc tơ cảm ứng từ B hướng theo trục Oz, điện trường tĩnh có các thành phần của véc tơ cường độ điện trường E phụ thuộc vào các tọa độ dưới dạng:Ex =  x, Ey =  y, Ez =  z, trong đó , β là các hằng số và

 > 0

1 Hai hằng số , β phải liên hệ với nhau như thế nào?

2 Cho một hạt mang điện tích q > 0, khối lượng m chuyển động trong miền không gian nói trên Viết các phương trình vi phân mô tả chuyển động của hạt trong trường điện từ Từ đó tìm

ra quy luật chuyển động của hạt theo trục Oz Sử dụng các ký hiệu c qB; a 2q .



3 Với điều kiện nào của  thì hạt sẽ chuyển động trong miền không gian hữu hạn?

4 Giả thiết c a. Tại thời điểm ban đầu (t = 0) hạt nằm tại vị trí (R,0,0) và có vận tốc bằng không

a) Tìm biểu thức của x(t) và y(t)

b) Chứng tỏ rằng tồn tại hệ quy chiếu quay mà trong đó quỹ đạo chuyển động của hạt là đường tròn

c) Mô tả quỹ đạo chuyển động của hạt trong mặt phẳng Oxy