Đề cương Toán 11 học kì 154293

ĐẠI SỐ

Chương I: Giới hạn

Dạng 1: Tính giới hạn:

1/ Giới hạn dãy: (lim u n )

Đặt nkvới k là số mũ cao nhất làm nhân tử chung

VD: Tính giới hạn của dãy unvới un= 4� 6

+ 5 � 3

- 2 �

( � 3 - 2 � )( 2 � 3 - 3 )

Giải:

Limun= lim 4� 6 = lim

+ 5 � 3

- 2 �

( � 3

- 2 � )( 2 � 3

- 3 )

� 6 *(4 +(5

� 3)-(2

� 5) )

� 3 *(1 ‒(2

� 2) )* � 3 *(2 ‒(3

� 3) )

4 +(5

� 3)-(2

� 5)

(1 ‒(2

� 2) )(2 ‒(3

� 3) )

4 + 0 ‒ 0 (1 ‒ 0)(2 ‒ 0)

2/ Giới hạn hàm số: ��� (1)

�→��� Các dạng của giới hạn dãy:

 Lim có dạng m/n với m,n xác định : Thay a ở (1) vào để tính giới hạn

 Lim có dạng m/0 : Giải thích 3 lí do:

+ lim tử có giá trị a âm (hay dương) (BẰNG BAO NHIÊU KHÔNG QUAN TRỌNG, QUAN TRỌNG LÀ NÓ ÂM HAY DƯƠNG)

+ lim mẫu bằng 0

+ Mẫu âm (hay dương) khi x→a

Từ các lí do trên, suy ra lim của cả biểu thức ( Thường chỉ là ±∞)

 Lim có dạng 0/0: Rút nhân tử chung để rút gọn

 Lim có dạng lim :Đặt xk với k là số mũ cao nhất làm nhân tử chung

�→ ± ∞��

 Lim có dạng ∞ ± ∞phải nhân liên hợp để tính giới hạn

*Chú ý : Trường hợp lim có dạng 0/0 còn có thể tách để tính:

�→�

� + �

� (��)=���

�→�

� + �

� +����→�

� + �

�

VD: Tính các giới hạn sau:

a/ lim

�→3(3‒ 4�)2

Giải

(Ta thấy đây là dạng xác định nên thay x=3 vào)

lim

�→3(3‒ 4�)2

= (3-4*3)2=81

b/ lim

�→ - ∞

(2 � + 3)

(2 � 2 - 3)

Giải

(Ta thấy đây là dạng tìm lim khi x→±∞ nên sẽ đặt xkvới k là số mũ cao nhất để giải )

�→ - ∞

(2 � + 3)

2 � 2

- 3 lim

�→ - ∞

�(2 +3�

| �| (2 ‒�32 ) lim

�→ - ∞

(2 +3�

- (2 ‒�32 ) → - ∞

= 2 + 0 =

2 ‒ 0 2

Dạng 2: C/m hàm số liên tục/ hàm số gián đoạn

 Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0  lim = f(x0)

�→� 0

�(�)

 Hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0  lim ≠ f(x0) hoặc không tồn tại

�→� 0

�→� 0

�(�)

 Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

+∀�0 ∈ (�,�), lim = f(x0)

�→� 0

�(�)  + Tại a, lim

�→� +�(�) = �(�)

+ Tại b, lim

�→� - �(�) = �(�) VD: Xét tính liên tục của f(x) tại điểm x=0 với f(x) = { �2�ớ� � < 0

1‒ � �ớ� � ≥ 0 Giải

Ta có:

lim

�→0 +�(�) = lim

�→0 +

(1‒ � ) = 1

lim

�→0 - �(�) = lim

�→0

-(�2)= 0

Vì lim nên không tồn tại

�→0 +�(�) ≠ lim

�→0�(�)

 Hàm số f(x) bị gián đoạn tại x=0

*Chú ý: Kinh nghiệm khi giải dạng toán này:

Khi cho hàm số f(x) có dạng nhánh như trên:

+ Nếu f(x) bao gồm những nhánh có dạng x=m và x≠m thì ta thiên về giải theo hướng:

 Tìm lim

 Tính f(m)

 So sánh 2 kết quả trên để rút ra kết luận

+ Nếu f(x) bao gồm những nhánh có dạng x>m, x<m và x=m thì ta thiên về giải theo hướng:

 Tìm lim rồi suy ra (có thể tồn tại hoặc không tồn tại)

�→� +�(�)�à lim

 Tính f(m)

 So sánh kết quả (Trường hợp lim không tồn tại thì kết luận f(x) bị gián đoạn tại m)

*Trường hợp tìm điều kiện để hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0 :

B1: Tính f(x0)

B2: Tính lim : có thể tính trực tiếp hoặc dựa vào hoặc

�→� 0

�→� + 0

�→�‒0

�(�)

B3: Lí luận: Để hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 thì:

=f(x0) 

lim

�→� 0

�→� + 0

�(�) = lim

�→� 0‒

�(�) = �(�0)

VD: Tìm m để hàm số �(�) ={ � + 4 ‒ 2� liên tục tại x=0

� (� ≥ 0) (� < 0) Giải:

+Ta có f(0)=m

�→0 + �(�) lim

�→0‒ �(�) lim

�→0‒

( � + 4 ‒ 2

� ) = lim

�→0‒

( � + 4 ‒ 2 ) ( � + 4 + 2)

�( � + 4 + 2) = lim

�→0‒

� + 4 ‒ 2 2

�( � + 4 + 2)= lim

�→0‒

1 ( � + 4 + 2)= 1

2 + 2=14

+Để hàm số f(x) liên tục tại x=0 thì: lim

�→0�(�) = �(0) <=> lim

�→0 + �(�) = lim

�→0‒�(�) = �(0)

<=>� =14=�

Vậy m=1/4

Dạng 3: Chứng minh một phương trình có nghiệm trên khoảng (a,b)

*Phương pháp:

C/m 2 ý sau:

+ f(a).f(b)<0

+ f(x) liên tục trên đoạn [�,�]

 Phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a,b)

VD: C/m phương trình: �3+ 1000�2+ 0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm?

Giải: Ta có f(x) liên tục trên R nên suy ra: f(x) liên tục trên [-10000,0]

Ta có f(-10000)f(0)<0

Từ 2 ý trên suy ra pt f(x)=0 có ít nhất một nghiệm x thuộc (-10000,0) hay pt đã cho có ít nhất một nghiệm âm (đpcm)

*Mở rộng cho trường hợp chứng minh pt có 2 ng o hoặc 3 ng o

*Trường hợp chứng minh pt f(x)=0 có 2 nghiệm trái dấu

C/m theo hướng sau:

 C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ngiệm thuộc khoảng (a,b) sao cho a<b<0

 C/m pt f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (c,d) sao cho 0<c<d

 Phương trình f(x)=0 có ít nhất 2 ng0 trái dấu

* Trường hợp chứng minh pt f(x)=0 có 2 nghiệm cùng dấu:

C/m theo hướng sau:

 C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng0thuộc khoảng (a,b) sao cho a<b<0 (hoặc 0<a<b)

 C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng0thuộc khoảng (c,d) sao cho c<d<0 (hoặc 0<c<d)

 Phương trình f(x)=0 có ít nhất 2 ng0 cùng dấu

* Trường hợp c/m pt f(x)=0 có 2 nghiệm nhỏ hơn hoặc lớn hơn số m cho trước:

Xét trường hợp c/m pt f(x)=0 có 2 nghiệm nhỏ hơn m:

Phương pháp c/m:

 C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 x1thuộc khoảng (a,b) sao cho a<b<m

 C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 x2thuộc khoảng (c,d) sao cho c<d<m

 Phương trình f(x)=0 có ít nhất 2 ng0nhỏ hơn m

Trường hợp c/m pt f(x)=0 có 2 ng 0 lớn hơn m làm tương tự

VD: C/m pt : x3-6x2-9x+10=0 có ít nhất 2 ng0 x1,x2thỏa mãn: x 1 , x 2 trái dấu

Giải:

Ta có: f(1)=-4, f(0)=10

Như vậy, ta có: f(1)f(0)<0

f(x) liên tục trên (0,1) (vì f(x) liên tục trên R)

 Pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 x1thuộc khoảng (0,1) (1)

Ta có: f(-2)=-4, f(0)=10

Như vậy, ta có: f(-2)f(0)<0

f(x) liên tục trên khoảng (-2,0) (vì f(x) liên tục trên R)

 Pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 x2thuộc khoảng (-2,0) (2)

Từ (1) và (2) => pt f(x)=0 hay pt đã cho có ít nhất 2 ng0 x1, x2 t/m x1>0>x2 (đpcm)

Chương II: ĐẠO HÀM

Dạng 1: Tính đạo hàm theo công thức:

*Cần nắm vững các công thức sau:

Cộng trừ: (u±v)’= u’±v’

Nhân: (u.v)’= u’.v+u.v’

Đặc biệt: (ku)’=k.u’

Chia:(��)' (= �

'

� - �.� '

� 2 ) Đặc biệt: (��)'= (-�.�

'

� 2 )

*Mẹo nhớ : Nhân cộng, chia trừ

* Đạo hàm phức tạp:

)’=

( � 2�'�

(un)’= n.un-1.u’

*Đạo hàm lượng giác:

(sin(x))’=cos(x) => (sin(u))’= u’ cos(u)

(cos(x))’= -sin(x) => (cos(u))’= -u’ sin(u)

(tan(x))’= 1 => (tan(u))’=

(cos �) 2

�' (cos �) 2

(cot(x))’= ‒ 1 => (cot(u))’=

(sin �) 2

‒ �' (sin �) 2

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ x0:

*Phương pháp giải:

 Bước 1: Tìm x0 Có thể đề bài cho sẵn x0hoặc có thể cho các gợi ý sau đây:

Cho tung độ y0 => x0

Cho hệ số góc k => f ’(x0) =k => x0

Cho biết một điểm A(m,n) thuộc tiếp tuyến => thay m,n vào pt tiếp tuyến=> xo

 Bước 2: Tại điểm có hoành độ x0, tính f(x0) và f ‘(x0)

 Bước 3:

=> pt tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0: y= y’(x0)(x-x0)+y(x0)

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Chương I: QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Dạng 1: C/m đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

� ⊥ (�) ⟺{� ⊥ � , � ⊂ (�)� ⊥ � , � ⊂ (�)

�⋂� ≠ Φ

Dạng 2: C/m 2 mặt phẳng vuông góc

(�) ⊥ (�)⟺{� ⊥ (�)� ⊂ (�)

VD: Cho S.ABCD,đáy ABCD là hình vuông, SA⊥ (����), c/m:

a/ BC⊥ (���)

b/ (SAB)⊥ (���)

Giải:

a/ Ta có: {�� ⊥ �� , �� ⊂ (���)( �� ⊥ (����),�� ⊂ (����))�� ⊥ ��, �� ⊂ (���)(���� �à ℎì�ℎ ��ô��)

��⋂�� = �

 BC⊥ (���)(đpcm)

b/ Ta có BC//AD, mà BC⊥ (���)(���) => AD⊥ (���)

Như vậy: {�� ⊂ (���)�� ⊥ (���) => (SAB)⊥ (���)(đpcm)

*Một số ứng dụng của 2 mặt phẳng vuông góc:

{ � ∈ (�)� ∈ �

(�) ⊥ (�)

� ⊥ (�)

=>� ⊂ (�)

{ (�) ⊥ (�)

(�)⋂(�) =△

� ⊥△ ,� ⊂ (�)=>� ⊥ (�)

{(�)⋂(�) = �(�) ⊥ (�) (�) ⊥ (�) =>� ⊥ (�)

Chương II: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

Dạng 1: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

*Phương pháp: muốn tính góc giữa đường thẳng a và mp(P), ta đi tìm đường thẳng b là hình chiếu của a lên mp(P) Khi đó, (a,(P))=(a,b)

VD: Cho S.ABCD, ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt đáy Xác định và tính góc giữa SC

và mp(SAB)?

Giải:

(Bước 1) Đi c/m BC ⊥ (���)�ạ� �

(Bước 2) => B là hình chiếu của C lên mp(SAB)

S là hình chiếu của S lên mp(SAB)

Như vậy SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB)

(Bước 3) => (SC,(SAB))=(SC,SB)

Dạng 2: Tính góc giữa 2 mp (P) và (Q)

*Có thể tính theo các cách sau:

 Cách 1: {� ⊥△ ,� ⊂ (�)△= (�)⋂(�)

� ⊥△ , � ⊂ (�)=> ((�),(�)) = (�,�)

Không cần quan tâm a và b có cắt nhau hay không!!!

 Cách 2: Tìm mp thứ 3

{△= (�)⋂(�)△⊥ (�)

(�)⋂(�) = � (�)⋂(�) = �

=> ((�),(�)) = (�,�)

 Cách 3: Áp dụng công thức: Shc=Sbđ* cos α với α là góc giữa 2 mp

Dạng 3: Tính khoảng cách:

1/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

*Có thể tính theo các cách sau:

 Cách 1: d(A,(P))=AH với AH ⊥ (�)�ạ� �

 Cách 2:

 Có d⊥ (�)

 Kẻ AH//d (H …)∈

 Vì d vuông góc với (P) nên AH vuông góc với (P) tại H

 Khoảng cách: d(A,(P))=AH

 Cách 3:

Ta có: { (�) ⊥ (�)�ớ� (�)�ℎứ� �(�)⋂(�) = �

�ẻ �� ⊥ � �ạ� � => �� ⊥ (�)�ạ� �=>�(�,(�)) = ��

2/ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng bằng đoạn vuông góc chung:

*TH1: a và b có quan hệ vuông góc:

 B1: C/m: � ⊥ (�)�ạ� �( ∗ )�ớ� (�) ⊃ �

 B2: Trong (P), kẻ IJ vuông góc với b tại J (1)

 IJ vuông góc với a tại I (2)

 B3: Từ (1) và (2) => IJ là đoạn vuông góc chung của a và b

 Khoảng cách : d(a,b)=IJ

*TH2: a và b không vuông góc:

 B1: Tìm mp phụ và dựng đoạn vuông góc chung giả IJ

 B2: Kẻ đoạn vuông góc chung thật EF//IJ

 Khoảng cách: d(a,b)=EF

3/ Khoảng cách giữa 2 đt bằng phép quy đổi:

 B1: Tìm (P) sao cho: a//(P) và (P) chứa b

 B2: => d(a,b)=d(a,(P))=d(A,(P)) với A thuộc đt a