Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số trên.. Chứng minh rằng, tiếp tuyến của C tại điểm M cắt hai tiệm cận của C tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua điểm M.. Tìm điểm B thuộc đường thẳng d1
Trang 1TRƯỜNG THPT HÀ VĂN MAO
ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2008 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số 2 2
1
x y x
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên
2 Tìm 0;
2
sao cho điểm M1 sin ;9 nằm trên đồ thị (C) Chứng minh rằng, tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua điểm M
Câu 2 (2 điểm)
1 Giải phương trình: 2 2
cotg x8 cos x3sin 2x
2 Giải phương trình: 2 2
Câu 3 (3 điểm)
1 Cho hai điểm A(1; 2), M(– 1; 1) và hai đường thẳng:
(d1): x – y + 1 = 0 và ( d2): 2x + y – 3 = 0
Tìm điểm B thuộc đường thẳng d1, điểm C thuộc đường thẳng d2 sao cho ABC vuông tại A
và M là trung điểm của BC
2 Cho hai đường thẳng: 1
2 2
2
và 2: 2 3 5 5 0
a Chứng minh rằng là hai 1, 2 đường thẳng chéo nhau
b Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng và vuông góc với 1, 2 mặt phẳng (P) có phương trình: 2x + y – 2z + 9 = 0
Câu 4 (2 điểm)
1 Tính tích phân
2 0
9
x
2 Chứng minh rằng:2 1 4 2 6 3 2 n 2 n
C C C nC n (n là số nguyên dương, k
n
C là tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu 5 (1 điểm) Cho x, y z là các số dương và 3
2
x Chứng minh rằng:y z
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1
1 Học sinh tự khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Điểm M1 sin ;9 nằm trên đồ thị (C) nên:
2
sin 2
2 1 sin
2
Do 0;
2
nên
1 sin
Khi đó, điểm M có tọa độ: 3;9
2
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là:
hay y 6x 18 (d) Tiếp tuyến (d) cắt tiệm cận đứng x = 1 tại: A(1; 12)
Tiếp tuyến (d) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ là nghiệm (x; y) hệ phương trình:
2; 6
B
Ta thấy:
3
9 2
M
M
x
y
Suy ra, A, B đối xứng nhau qua điểm M (đpcm)
Câu 2
1 Điều kiện: sinx ≠ 0
Phương trình đã cho:
cotg x8 cos x3sin 2x 1 cotg x9 cos x6 sin cosx xsin x
2
1
3cos sin
1
3cos sin sin
1
3cos sin sin
x
x
Trang 32 2
3sin cos sin 1 0
3sin cos sin 1 0
2
cos 3sin cos 0
2 tan 3 tan 1 0
cos 0
1 tan
3 1 tan
2
x
x
x
x
2
, , tan , tan
4
2 Điều kiện: 1
3
x Với điều kiên đó, phương trình đã cho tương đương với:
1
x
Câu 3
1 B thuộc đường thẳng d1 nên B(b; b+1); C thuộc đường thẳng d2 nên C(c; - 2c + 3)
Do vậy: AB b 1;b1 và AB b 1;b1
ABC vuông tại A khi AB AC 0 b1c 1 b 1 2c 1 0
0
b
c
*Với b = 1 thì B(1; 2) A(1; 2) (loại)
Trang 4*Với c = 0 thì C(0; 3), M là trung điểm BC nên:
2; 1
Vậy, hai điểm cần tìm là: B(- 2; - 1), C(0; 3)
2 1đi qua điểm M1(2; - 2; 0) và có véc tơ chỉ phương u12;5; 2
2đi qua điểm M2(- 5; - 5; 0) và có véc tơ chỉ phương u2 2;3;1
Vậy: là hai đường thẳng chéo nhau.1, 2
3 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến n 2;1; 2
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa 1 và vuông góc với mặt phẳng (P), (R) là mặt phẳng chứa 2 và vuông góc với mặt phẳng (P)
Mặt phẳng (Q) khi đó đi qua M1 và có véc tơ pháp tuyến là u n 1; , phương trình mặt phẳng (Q) là:
2 0
Mặt phẳng (R) khi đó đi qua M2 và có véc tơ pháp tuyến là u n 2; , phương trình mặt phẳng (R) là:
1 2 x 2 2 x 2 1 z
7x 6y 4z 5 0
Do là hai đường thẳng chéo nhau nên hai mặt phẳng (Q) và (R) không song song hoặc 1, 2 trùng nhau, hay mp(Q) và mp(R) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng , và rõ ràng đường thẳng cắt cả hai đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (P) Phương trình 1, 2
đường thẳng cần lập là: 2 0
Câu 4.
1 Ta có
2
3
Trang 5* 2 33
0 0
3x dxx 27
3 2
9
d x xdx
x
* Xét:
3
2
dx
Đặt 3 tan , ;
2 2
Khi x = 0 thì t = 0
Khi x = 3 thì
4
t
2
3
3 1 tan cos
t
4
0
t dt dx
Vậy: 27 1ln 2
2 Ta có, theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:
1x n C n C x C x n n C x n C x n n n
Đạo hàm theo biến x hai vế ta được:
1 n n 2 n 3 n n n n
Thay x = 1, ta lại có:
1 1n n 2 n.1 3 n.1 n n.1n
2.2n n 2 C n 2C n 3C n nC n n
2 n n 2C n 4C n 6C n 2nC n n
Câu 5
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, dễ dàng chứng minh được:
Trang 6
Đặt t = x + y + z, xét hàm số: 3
t
với 0 3
2
t
2
t
Do đó, khi 0 3
2
t
thì 3 3 3 7
3
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
1 3
2 2