PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1 Thầy Đặng Việt Hùng... Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:.
Trang 1Dạng 1 Đổi biến số cho các hàm vô tỉ
Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa n g x thì đặt ( ) t=n g x( )⇔ =t n g x( )→n t.n−1=g x dx'( )
Khi đó, I =∫f x dx( ) =∫h t dt( ) , việc tính nguyên hàm∫h t dt( ) đơn giản hơn so với việc tính∫f x dx( )
MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1
4 1
xdx
I
x
=
+
2 3
1
x dx I
x
=
−
∫
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
2
1
1
1
4 2
8
4 1 4
t tdt tdt dx
xdx
t x
x
−
=
3
x t
b) Đặt t= x2+ ⇔ =2 t2 x2+ 2 → = − ⇔x2 t2 2 2xdx=2tdt→x dx3 =x xdx2 =(t2−2).tdt
2
t t
c) Đặt
2 2 2
t
= −
t t
2
t t
Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ln
x dx
I
=
+
2
ln
2 ln
x dx I
=
−
∫ c) I6 lnx 3 2 lnx dx
x
+
=∫
Hướng dẫn giải:
2
4
ln
1 ln 2
x dx
x tdt
x
+
=
2
4
t
∫
b) Đặt
3
3 3
5
ln 2
2 ln 3
x t
x dx t t dt
x
t dt x
−
=
Tài liệu bài giảng:
03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2( ) 8 5 3 8 3 5
t t
∫
c) Đặt
2
2
3 ln
2
2 2
t x
dx tdt x
= −
=
6
3
6
1
Ví dụ 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 7
1
x
dx
I
e
=
−
2
1
x
x
e dx I
e
=
+
2
4
dx I
x x
=
+
4
1
dx I
x x
=
+
∫
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
2 2
2
2
1 1
2
1
x x
x
e t
e t
dx
e dx tdt
t
= −
= −
=
=
Khi đó 7
1
x
t t t e
+ − −
−
7
b) Đặt
2
1 2
x
t tdt
t
−
= −
=
1
x
x
t
c) Đặt
2 2
4 4
4
x t
x t
xdx tdt
x x t
= −
= −
−
9
d)Đặt
4 2
4 2
3
1 1
2( 1)
x t
x t
x dx tdt
= −
=
+ − −
4
Ví dụ 4 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
Trang 3a) 11
1 2 5
dx
I
x
=
2
1 2
x dx I
x
=
c)
3
4
x dx
I
x
=
+
2 14
1 4ln xlnx
x
+
=∫
Hướng dẫn giải:
5
tdt
t= − x ⇔ = −t x⇔ tdt= − dx→ = −dx
1 2 5
x
11
2
2 5 ln 2 5 1 5
b) Đặt t= 2+x2 ⇔ = +t2 2 x2 ⇔2tdt=2xdx→xdx=tdt
Khi đó, 12
2
1 2
x
2 3
2 3
2 2
4
2
2
x t
x t
t dt xdx xdx
= −
= −
4
4
t t dt
t x
4
dx x dx tdt
3
14
1 4 ln
x
x dx tdt t
x
+
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
1
x
x
−
=
+
2 1
xdx I
x
=
+
∫
x
+
1 1 3
dx I
x
=
∫
5) 7
1 2 1
xdx
I
x
=
I =∫x x+ dx 8) I8 =∫x2 3 2− x dx
9)
3
1
x dx
I
x
=
+
3
1
dx I
x x
=
+
∫
11) 11
3 2
4
dx
I
x x
=
+
x
+
=∫
13)
2
13
x
x
e dx
I
e
=
1
dx I
=
+
∫