Trường: THCS Yên PhongĐề thi môn: Toán.. Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề Họ và tên người ra đề: Vũ Thị Mỹ Hòa.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ 2
Trang 1Trường: THCS Yên Phong
Đề thi môn: Toán.
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ và tên người ra đề: Vũ Thị Mỹ Hòa.
Đề thi
Câu 1: (4 điểm) Rút gọn biểu thức sau:
a) ( 3 3 2 ) 3 với x 0, x 3
3
3 3
x
x x
b) (49 20 6)(5 2 6) 5 2 6
9 3 11 2
Câu 2: (4 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
1 5 1
x y
b) Cho các điểm A(7;2) ; B(2;8) và C(8;4) xác định đường thẳng (d) đi qua
A sao cho các điểm B và C nằm về hai phía của (d) và cách đều (d)
Câu 3: (5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì
1 1 1 9
a b c
b) Cho các số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0 Chứng minh rằng:
2(a5+b5+c5)= 5abc(a2 +b2 + c2 )
Câu 4: ( 5điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và điểm A trên nửa đường
tròn(A khác B và C) Kẻ AH vuông góc với BC Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
BC chứa điểm A, vẽ 2 nửa đường tròn (O1) và (O2) đường kính BH và CH chúng lần lượt cắt AB, AC ở E và F
a) Chứng minh: AE.AB = AF.AC
b) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2)
c) Gọi I và K lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB và AC
Chứng minh 3 điểm I, A, K thẳng hàng
d) Gọi M là giao điểm của IK với tiếp tuyến kẻ từ B của đường tròn (O) Chứng minh MC, AH và EF đồng qui
1.2009 2.2008 3.2007 2009.1
So sánh S với 2.2009
2010
Trang 2Hướng dẫn chấm
1a)
3
3 3
2
3
3 3
3
1
x
x x
x
x
x x
x x
0,5
0,5 0,5 0,5
1b)
2
(49 20 6)(5 2 6) 5 2 6
9 3 11 2 (5 2 6) (5 2 6) ( 3 2)
9 3 11 2 (5 2 6)( 3 2) ( 3 2) ( 3 2)
( 3 2)(9 3 11 2)
5 2 6 (9 3) (11 2)
0,5
0,5 0,5
0,5 2a) Trừ vế với vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta có
hệ phương trình tương đương 5 6
2 11
5, 5
1, 5; 0, 5
y
x y
y
Vậy hệ có 2 nghiệm (0,5;5,50; (1,5;5,5)
0,5 0,5 0,5
0,5 2b) Gọi đường thẳng d là y=ax+b Điểm A( 7;2) thuộc d nên 2=7a+b(1)
Đường d cắt đường thẳng song song
với trục hoành tại B là M tại C là 16
Gọi BH, CK là đường thẳng vuông
góc với d tại B và C Ta có BH=CK
nên BM=CN=m Ta có M(2+m;8) H
và N(8-m;4) 8 B M
Vì M và N thuộc d nên
8=a(2+m) +b (2) 4 N
4=a(8-m) +b (3) K C
Từ (1),(2) và (3) ta có 2 A
a=-2;b=16 và m=2
Đường thẳng d phải tìm là y=-2x+16 2 7 8
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 3K
O
A
E
F I
M
3a) Ta có vì a+b+c=1 nên
1 1 1
3
3 2 2 2 9
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/3
0,5 0,5
0,5 0,5 3b) Ta có a+b+c=0 nên a+b=-c Do đó a+b=-c nên( a+b)3=-c3
Suy ra a3+b3+c3= 3abc;a2+b2=c2-2ab; a2+c2=b2-2ac; c2+b2=a2-2bc
Nên 3abc(a2+b2+c2)= (a3+b3+c3) (a2+b2+c2)
= (a5+b5+c5)+a3(b2+c2)+ b3(a2+c2)+ c3(b2+a2)
= (a5+b5+c5)+a3(a2-2bc)+ b3(b2-2ac) +c3(c2-2ab)
=2(a5+b5+c5)-2abc(a2+b2+c2)
Vậy 3abc(a2+b2+c2)= 2(a5+b5+c5)-2abc(a2+b2+c2)
Hay 2(a5+b5+c5)= 5abc(a2 +b2 + c2 )
0,5
0,5
0,5
0,5
4 a)AE.AB=AF.AC=AH2
b) C/m GEO GHO c c c( ) suy ra
nên EF là tiếp 0
GEO IHO
Tuyến của đường tròn (O)
Tương tự EF là tiếp tuyến của
đường tròn (O1)
c)C/m EF//AK và EF//AI suy ra A,I
và K thẳng hàng
d) C/m AH cắt EF tại trung điểm G của
AH( Vì AEHF là hình chũ nhật)
và MC cắt AH tại trung điểm G của
AH ( Vì AH// MB và AB//HF nên
nên AM//GF G là trung điểm của AH)
GM BH AF
GC CH FC
Suy ra 3 đường EF, AH và MC đồng qui
1
0,5
0,5 1 0,5
0,5
0,5
0,5
5 áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 số không âm a và b ta có
dấu bằng xảy ra khi a=b
2
2
a b ab
a b ab
Ta có
1 2009 2010 1.2009
2 2008 2010 2.2008
1 2009 2010 2009.1
1.2009 2.2008 3.2007 2009.1
2010 2010
Vậy S=2.2009
2010
0,5
0,5
0,5
0,5