Trường THCS Định Long
Đề thi môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Họ và tên người ra đề: Trịnh Đình Thanh
Các thành viên thẩm định đề: Phạm Ngọc Toàn
Đề bài:
Bài 1 ( 3 điểm ): Cho biểu thức:
P=
x
x x
x x
x
x
x
3
3 1
) 3 ( 2 3 2
3
1) Rút gọn biểu thức P
2) Tính giá trị của P với x = 14-6 5
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2 ( 3 điểm ): Giải phương trình:
1
1 1
2
1 2
3
1
x
1
4 2
36
x
Bài 3 ( 3 điểm ):
1) Cho biểu thức A = x2 x4 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của A
2) Cho (x+ x2 3)(y+ y2 3) = 3 Tìm giá trị của biểu thức P = x + y
Bài 4 ( 3 điểm ):
1) Chứng minh rằng:
50
1
4
1 3
1 2
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2 + z2
Biết x + y + z = 2007
Bài 5 ( 3 điểm ): Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam
giác ABC Chứng minh rằng:
bc
a A Sin
2
2
Trang 2Đáp án chấm + thang điểm
1) Điều kiện để giá trị biểu thức P xác định: x 0; x 9
Rút gọn:
P =
3
3 1
) 3 ( 2 ) 3 )(
1 (
3
x
x x
x x
x
x x
=
) 1 )(
3 (
) 1 )(
3 ( ) 3 ( 2
x x
x x
x x
x
=
) 1 )(
3 (
3 3
18 12
2 3
x x
x x x x
x x
x
=
1
8 )
1 )(
3 (
) 8 ( ) 8 ( )
1 )(
3 (
24 8
3
x
x x
x
x x x
x x
x
x x x x
0,5
0,25
0,5
0,25
2) x = 14 -6 5 = = ( 5 - 3)2 => x = 3 - 5
Khi đó P =
11
5 2 58 5 4
5 6 22 1 5 3
8 5 6
0,25
0,5
Bài 1
3
điểm
1
8
x
1
9 1 1
9 1
x
x x
x
1
x
1
9
- 2 = 4
9
( áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương x 1; )
1
9
x
Dấu " = " sảy ra <=> x 1 = <=> x = 4 thoả mãn đk
1
9
x
Vậy min P = 4 khi x = 4
0,5
0,25
Bài 2
3
điểm
1) Giải phương trình:
đk: x 0
1 1
1 1
2
1 2
3
1
<=>
1 ) 1 )(
1 (
1
) 1 2
)(
1 2
(
1 2
) 2 3
)(
2 3
(
2 3
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
0,5
Trang 3<=> ( x 3- x 2) + ( x 2- x 1) + ( x 1 - x) = 1
<=> x 3 = x + 1
<=> x + 3 = x + 2 x + 1
<=> 2 x = 2
<=> x = 1
<=> x = 1 thoả mãn đk Vậy pt có nghiệm x = 1
2) đk để phương trình 28 4 2 1 (1) có
1
4 2
36
x
nghiệm là: x > 2; y > 1
1
) 1 ( 4 2
) 2 ( 4
y
y x
x
1
) 1 2
( 2
) 2 2 6
y
y x
x
Với x > 2; y > 1 => (3)
0 1
0 2
0 ) 1 2
(
0 ) 2 2 6 (
2 2
y x y x
Từ (2) và (3) => <=>
0 ) 1 2
(
0 ) 2 2 6 (
2 2
y
x
0 ) 1 2
(
0 ) 2 2 6 (
y x
<=> <=>
1 2
2 2 6
y
x
5
11
y x
Thử lại: x = 11; y = 5 là nghiệm của pt
Vậy pt có 1 nghiệm duy nhất (x,y) = (11,5)
0,5 0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
Bài 3
3
điểm
1) A = x2 x4 20
A = (x2 4x 4 ) 16 (x 2 )2 16 16 4
A = 4 <=> x - 2 = 0 <=> x = 2
Vậy Min A = 4
0,5 0,5 0,5
Trang 42) Xét biểu thức (x+ x2 3)(y+ y2 3) = 3 (1)
Nhân 2 vế của (1) với (x- x2 3) 0 ta được:
-3(y+ y2 3) = 3(x- x2 3)
<=> -(y+ y2 3) = (x- x2 3) (2)
Nhân 2 vế của (1) với (y- y2 3) 0 ta được:
-3(x+ x2 3) = 3(y- y2 3)
<=> -(x+ x2 3) = (y- y2 3) (3)
Lấy (2) cộng với (3) ta được:
-(x+y) = x+y => x+y = 0
Vậy A = x+y = 0
0,5
0,5
0,5 1) 5 2 < 1 + < 10
50
1
4
1 3
1 2
1
đặt S = 1 +
50
1
4
1 3
1 2
50
1
50
1 50
1 50
1
50
1
2
Mặt khác ta có: 1 = < ;
1 2
2
0 1
2
2 2
2
2 2
1
49 50
2 50
2
2 50
1
Cộng 2 vế ta được:
S < +
0 1
2
2
1 2
2
= 2{( 1- 0)+( 2- 1)+ +( 50- 49)} = 2 50 = 10 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 5 2 < S < 10 2 (đpcm)
0,25
0,5
0,5
0,5 0,25
Bài 4
3
điểm
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2 + z2
Biết x + y + z = 2007
áp dụng BĐT Bu nhiacôpxki ta có:
(x+y+z)2 (x 2+y2+z2).(1+1+1)
<=> x2+y2+z2 (x+y+z) 2 /3 = 2007/3 = 669
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 669
0,5
0,25 0,25 Bài 5
3
điểm
Trang 5Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM Ax và CN Ax
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có:
Sin MAB = Sin => BM = c.sin
AB
BM
A
A
SinNAC = sin = => CN = b.sin
2
A AC
CN
2
A
Do đó BM + CN = sin (b+c)
2
A
Mặt khác ta có BM + CN BD + CD = BC = a
=> sin (b+c) a, vì sin < 1
2
2
A
Do b+c 2 bc nên
bc c
1 1
Hay sin ( đpcm)
2
A
bc
a
2
0,5
0,5
0,5
0,5
1 Bài 6
5
điểm
GT: Tam giác ABC: AB = BC = AC = 60 cm, BD = 20 cm
KL: DE = ?; DF = ?; EF = ?
Đạt DE = AE = x, DF = AF = y Kẻ DI AB, DK AC.
Ta có BI = BD.cos600 = 20 = 10
2 1
DI = BD2 BI2 = 20 2 10 2 = 300 = 10 3
Ta có: EI = 50 - x, áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông
DEI ta có: ED2 = EI2 + ID2 = (50 - x)2 + (10 3)2
=> x2 = 2500 - 100x + x2 +300 <=> 100x = 2800 => x = 28
1
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
Trang 6HF = y-14 = 35 - 14 = 21
EH = x.sin600 = 28 = 14
2
3
3
HF
21 ) 3 14
VËy: DE = 28, DF = 35, EF = 7 21
0,25 0,25
0,25
0,25