Gọi D là giao điểm của đường thẳng AO với đường tròn O; R và điểm O thuộc đoạn thẳng AD.. a Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn O ; 2 R b Chứng minh tam giác BCD là tam gi
Trang 1Trường THCS: Yên Trường
Đề thi môn:Toán Thời gian làm bài: 150p
Họ và tên người ra đề: Trịnh Thị Giang Các thành viên thẩm định đề(Đối với những môn có từ 2 GV trở lên):………
Đề thi
Câu1:
x x
x
x x
x
x
1
1 1 1
2
2 1
x
Với x>0 và x 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh rằng: 0< A < 2
Câu2: Cho các đường thẳng
(d1): y = mx -5
(d2): y = -3x +1
a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d1) và (d2) khi m = 3
b) Xác định giá trị của m để M(3; -8) là giao điểm của (d1) và (d2)
Câu3: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) 1+ 3 x 16 3 x 3
b) xy – x – y = 5
yz - y- z = 5
zx –z –x =7 Câu4: Cho hai đường tròn có chung tâm là điểm Ovà có bán kính lần lượt là R và Từ một điểm A cách tâm O Một đoạn OA = 2R, ta kẻ hai tiếp tuyến AB, AC
2
R
đến đường tròn (O ; R) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AO với đường tròn (O; R) và điểm O thuộc đoạn thẳng AD
a) Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn (O ; )
2
R
b) Chứng minh tam giác BCD là tam giác đều
c) Chứng minh rằng đường tròn (O ; ) nội tiếp trong tam giác BDC
2
R
Trang 2Câu5: Cho x> 0; y>0 và x+y 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 5x + 3y +
y x
16
12
Hướng dẫn chấm:
Câu1: Điểm = 4
a
(0,5 đ)
2
1 :
1
1 1 1
2
3
x x
x
x x
x
A
(0,5 đ)
1
1 1 1
1
2
x x
x
x x
x x
x
A
(0,5 đ)
2 1
1
1 1
2
x x
x x
x x x
x x
A
(0,5 đ)
2 1
1
1 2
2
2
x x x
x
x
x
b
Vì x 0 nên x x 1 1
1
x x
A
1
2 1
1
x x x
x
x
a Với m 3, ta có (d1): y x3 5 (0,5 đ)
Gọi A(x, y), hoành độ điểm A là nghiệm của phương trình
1 3
5
3x x
6
6
x
1
x
Thay x 1 vào (d2); y 3 1 5 2
Vậy A(1;-2)
b Vì M(3;-8) là giao điểm của (d1) và (d2) tức M(3;-8) thuộc đường thẳng (d1):
(0,5 đ)
5
mx
y
Thay x y3 ; 8 ta có:
(0,5 đ)
8
5
3m
3
3
m
Trang 3(0,5 đ)
1
m
Vậy với m 1 thì M(3;-8) là giao điểm của (d1) và (d2)
Câu 3: Điểm =
a Đặt 3 x 3 a; 3 x 16 b (0,25 đ)
(1)
19 16 3
3
Và 1 bahay a b 1 (2)
Từ (1) và (2): ab a2 abb2 19 a2 abb2 19
0 6
2
hoặc
3
a a 2
Với a 3ta có: 3 x 3 3 x 3 27 x 24 (0,25 đ)
Với a 2ta có: 3 x 3 2 x 3 8 x 11 (0,25 đ)
b
7 11 5
x
z
zx
z
y
yz
y
x
xy
Thêm 1 vào mỗi vế rồi phân tích thành nhân tử ta được hệ:
(0,5 đ)
8 ) 1 )(
1 (
12 ) 1 )(
1 (
6 ) 1 )(
1 (
x z
z y
y x
Dễ thấy x 1 ;y 1 ;z 1 Nhân từng vế các phương trình trong hệ ta được
1 1( 1 ) 24
576 1
) 1 (
z y x
z y
x
Chia từng vế của phương trình này lần lượt với các phương trình của hệ trên, được
(0,5 đ) (0,5 đ)
B
D A
C
F
E
I O
Trang 4a áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác OBA, vuông tại B và
BE OA, ta có;
2 2
2 2
R R
R OA
OB
Vậy điểm E nằm trên đường tròn (O; )
2
R
Mặt khác ta có: OE BC=> BC tiếp xúc với đường tròn (O; ) tại điểm E
2
R
b Trong tam giác vuông ABO, ta có
2 2 2 2 2 2
3
OB OA
Trong tam giác vuông BEO, ta có:
(0,5 đ)
4
3 2
2 2 2
2 2
R OE OB
(0,5 đ)
3
2
R
EB
Từ đây ta có: BC=AB=AC=R 3
Tam giác ABC là tam giác đều
Từ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm nên nó là hình
=> AB=BD=CD=> BD=DC=CB=> Tam giác BCD đều (0,25 đ)
c Tam giác BCD là tam giác đều: OE= ED nên O là trọng tâm của tam giác đều
3 1
(0,5 đ)
2
R
=> đường tròn (O; ) nội tiếp trong tam giác BCD (0,5 đ)
2
R
Câu 5: Điểm =
(áp dụng BĐT Cosi) (0,5 đ)
y
y x
x y
y x x y
x
P 2 3 12 16 12 2 3 12 2 16
(0,5 đ)
32 8
12
12
x
x 12
3
y
y16
và
2
x y 4
Vậy min P= 32 khi và chỉ khi x y2 ; 4 (0,5 đ)
3
R
AB
(0,5 đ) (0,5 đ)
(0,5 đ) (0,5 đ)