Chuyên đề giới hạn hàm số

Kiến thức - Học sinh biết khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn một bên, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số.. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC Mụ

HOẠT ĐỘ NG KHỞ

I ĐỘ NG

A

Chuyên đề : GIỚI HẠN HÀM SÔ

Thời lượng : 3 tiết

I MỤC TIÊU

1 Kiến thức

- Học sinh biết khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn một bên, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số

- Học sinh hiểu được định lí về giới hạn hữu hạn, định lí về giới hạn một bên, một vài giới hạn đặc biệt và các quy tắc về giới hạn vô cực

2 Kĩ năng

-Học sinh biết cách tính giới hạn hàm số tại một điểm, tính giới hạn hàm số tại vô cực

- Học sinh phân biệt được các dạng vô định

0 , , 0

�



� �

3.Về tư duy, thái độ

-Tích cực, chủ động và hợp tác trong hoạt động nhóm

- Say mê hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn

-Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xâydựng cao

4.Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển:

- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng động cơ, thái độ học tập, tự đánh giá và điều chinh kế hoạch học tập,

tự nhận ra được sai sót và khắc phục sai sót

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi, các bài tập Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học

-Năng lực tự quản lý: Làm chủ các cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập và trong cuộc sống, trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên trong nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành nhiệm vụ được giao

-Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức , trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm, có thái độ tôn trọng , lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, nhiệm vụ của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình, nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ toán học

II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

1 Giáo viên:

+Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học

+Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề

+Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu,

2 Học sinh

+ Đọc trước bài, Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng …

+Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng và phiếu học tập Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận của nhóm sau khi đã

thảo luận và thống nhất.Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn trong nhóm hướng dẫn.Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập

III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

Mục tiêu: Giúp học sinh biết phối hợp, giúp đỡ nhau trong hoạt động nhóm; gợi nhớ lại kiến thức xác định giá

trị của một hàm số khi biết giá trị của biến; tiếp cận khái niệm giới hạn của hàm số.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

HOẠT ĐỘ NG HÌ

NH TH ÀN

H KI ẾN THỨ C

B

2 em có nhận xét gì về giá trị hàm số y f x( ) khi x dần đến 2?

3

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi

nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất Động viên các

nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

*Giới hạn cho ta một dự đoán chắc chắn về giá trị hàm số khi biến

tiếp cận một đại lượng nào đó: “Giới hạn của hàm số”

An rõ ràng không thể bắt Bình nhảy ngay tới B vì Bình sẽ chết, không lẽ

An muốn Bình chết, đúng không? Tuy nhiên, để chứng minh khả năng của mình mà không bị chết, Bình có thể nhảy tới điểm gần B bao nhiêu cũng được, miễn sao không chạm vào B Gần bao nhiêu thì tùy An chọn!

HTKT 1 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1 Định nghĩa 1.

Mục tiêu:Học sinh biết được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Áp dụng để tính được giới

hạn hàm số tại một điểm.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Chia lớp thành 4 nhóm Nhóm 1, 2 hoàn thành câu hỏi số 1; Nhóm

3, 4 hoàn thành câu hỏi số 2 Các nhóm viết câu trả lời vào bảng

phụ

Xét hàm số

2

( )

1

f x

x





1 Cho biến x những giá trị khác nhau lập thành dãy số

 x n , x n �1 như trong bảng sau Tính các giá trị của ( )f x

x x12 2 3

2

3

4

n



( )

f x f x( ) ?1 f x( ) ?2 f x( ) ?3  f x( ) ?4  f x( ) ?n 

?

Ta thấy rằng tương ứng với các giá trị của dãy  x n

là các giá trị f x( ), ( ), ( ), ( ), , ( ), 1 f x2 f x3 f x4 f x n cũng lập thành dãy ký

hiệu là  f x n 

+ Tìm giới hạn dãy số  f x n .

2 Với mọi dãy số  x n

sao chox n � , 1 x n � thì dãy số 1 tương ứng  f x n 

có giới hạn bằng baonhiêu?

*Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm Giải thích câu hỏi nếu các

nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi Trên cơ sở câu trả lời của

học sinh,GV kết luận, và dẫn dắt học sinh hình thành khái niệm

giới hạn hữu hạn của hàm số

Ví dụ 1 Cho hàm số

2 1 ( )

1

x

f x

x





 Chứng minh rằng

1

x f x



4;3;;; ;

=2

1 Định nghĩa:

Cho khoảng K chứa điểm và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{ }

Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi nếu với dãy số ( bất kì, } và ta có

KÍ HIỆU: 0

lim ( )

x x f x L

Hay f(x)  L khi x  x0

x x x x

lim

x x c c

Hàm số xác định trên \{ 1}R  Giả sử  x n là một dãy số bất kỳ, thảo

mãn x n � và 1 x n �1 khi n� �

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

n n

n

x

f x

x



2.Định lí về giới hạn hữu hạn

Mục tiêu: Học sinh biết được nội dung định lí 1 Thông quá đó biết áp dụng nội dung định lí vào để tính giới

hạn tại một điểm

Câu hỏi 1 Tính

2

2

x

�

Câu hỏi 2 Tính I+J Biết lim 42 3

x

�

,

2

2

x

�

So sánh giá trị của M và I+J?

Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời các câu

hỏi

Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, Giáo viên đưa ra nội

dung định lí 1

Tính các giới hạn sau:

1 lim

2

� 2 lim(3x - 2 x +10)x 1

�

3 limx 1 2

8x+1

4x -6

3

x -1

x +7x - 5 2x +1

�

5

2 lim

�

2

2

x

�

2

x

�

2

x

�

Vậy M = I+J

Định lí 1:

a) Nếu 0

lim ( )

x x f x L

và 0

lim ( )

x x g x M

thì:

0

0

0

x x f x g x L M

0

( ) lim ( )

x x

(nếu M  0)

b) Nếu f(x)  0 và 0

lim ( )

x x f x L

thì L  0 và

0

c) Nếu 0

lim ( )

x x f x L

thì 0

lim ( )

x x f x L

1 7, 2 11, 3

9 2

 , 4 1 , 5.16

3.Giới hạn một bên

* Mục tiêu:Học sinh hiểu được định nghĩa giới hạn một bên và nội dung định lí 2

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi

sau

1.Em nhận xét gì về hai hình ảnh trên? (Hình ảnh hàng

người chạy (theo 1 hướng) về đích)

( )

1

f x

�

của hàm số trên ta làm thế nào?

Giáo viên nhận xét, kết luận và phát biểu Định nghĩa 2,

Định lí 2

* Trả lời các câu hỏi trắc nghiệm sau

Câu 1 Cho hàm số: f x  5x2 33x 1 khi x 22

�

tìm lim2  

x f x



�

Câu 2 Cho hàm số   33

f x

�

 �

 

1

lim

x  f x

1.Cùng chạy về một đích, cùng một hướng nhưng thời gian về đích mỗi đội có thể nhanh hơn hoặc chậm hơn thời gian quy định

2.Ta phải tính giới hạn của hàm số khi x lớn hơn 1 hoặc bé hơn 1

*Định nghĩa 2:

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng

0

0; lim

x x



với mọi dãy số  x n

mà

x x b x �x ta có lim f x n L Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng

0 0

x x

với mọi dãy số  x n

mà

a x x x �x ta có lim f x n L

x x f x L x x f x L

Định lý2.

x x f x L x x f x x x f x L

• Câu 1: B

Câu 2: C

HTKT 2 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

* Mục tiêu: Học sinh biết định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.Biết vận dụng định nghĩa vào

việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm số.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Câu hỏi :Cho hàm số

1 ( )

2

f x

x



 có đồ thị như hvẽ

2

-2

-4

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 Tính giá trị của hàm số với những giá trị của x cho trong

bảng

3

PHIỂU HỌC TẬP SỐ 2 Tính giá trị của hàm số với những giá trị của x cho trong

bảng

0

Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi

trong phiếu học tập

Trên cơ sở câu trả lời của học sinh,GV kết luận: Định nghĩa giới hạn

hữu hạn của hàm số tại vô cực

Ví dụ 1:Cho hàm số

( )

1

x

f x

x





 Tìm xlim ( )f x



� � và xlim ( )f x



H: Tìm tập xác định của hàm số trên ?

f � 

f � 

a.Định nghĩa 3 :

Cho  a b;

là một khoảng chứa điểm

0

x và hàm số y f x  xác định trên

hoặc trên

0 0

x x

với mọi dãy số  x n

mà

ta có

f x  �

Ký hiệu

Ví dụ 1:

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương,

lim

��� 

?xlim k

c x

��� 

?

H: Khi x � � hoặc x � � thì có nhận xét gì về định lý 1 ?

Tổ chức học sinh làm các ví dụ 2,3,4,5?

Ví dụ 2:Tìm

2 2

lim

2

x

x



� �





Ví dụ 3:

2 2

lim

x

x



� �



Ví dụ 4:

Ví dụ 5:

sát nhận xét bài làm các nhóm Chốt cách tìm giơi hạn của hàm số

�



� �

�

Hàm số đã cho xác định trên (- �; 1)

và trên (1; + �)

Giả sử (x ) là một dãy số bất kỳ, thoả n

mãn x < 1 và n x n � �.

Ta có

2 3

1

n

n

n

f x

x

x





Vậy

1

x

f x

x



 Giả sử (x ) là một dãy số bất kỳ, thoả n

mãn x > 1 và n x n � �.

Ta có:

2 3

1

n

n

n

f x

x

x





Vậy

1

x

f x

x





b Chú ý:

+) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có :

lim

��� 

; xlim k 0

c x

��� 

+) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x� vẫn còn đúng khix0

x � � hoặc x � �

Ví dụ 2:

Chia cả tử và mẫu cho x , ta có:2

2 2

lim

2

x

x



� �



3 5 lim

2 1

x

x x



� �





=

2

3

2

x

x

x x



� �



� �





3

2 lim 1 lim

x x

� � � �

� � � �





=

5 0

5

1 0 



2

lim

2

x

x

x



� �





lim



Ví dụ 3:

5 2

Ví dụ 4:0 Ví dụ 5:

2

lim

2 1

x

x

x



� �

  

 

 

HTKT 3 Giới hạn vô cực, một vài giới hạn đặc biệt

* Mục tiêu: Học sinh biết, hiểu định nghĩa giới hạn vô cực Từ đó áp dụng làm các bài tập tìm giới hạn vô cực

đặc biệt

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học

Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời các câu

hỏi sau

Tính giới hạn: 2

1 lim

2

x� x

H1 Khi x�2thì x �2 ?

H2.

1

? 2



H3 2

1

2

 -Trên cơ sở câu trả lời của học sinh,GV kết luận hàm số có

giới hạn vô cực khix� .x0

- GV kết luận hàm số có giới hạn vô cực khi x � �

gọi học sinh tính các gới hạn sau:

*

5

lim



� � ,

5 lim



� � ,

6 lim



� �

- Giáo viên đưa đến một vài gới hạn đặc biệt

TL1 Khi x�2thì x �2 0

TL2.

1 2



TL3. 2

1 lim

2



1.Định nghĩa 4:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞)

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là - ∞ khi

x� � nếu với dãy số (x n) bất kì, xn> a và

n

x � � , ta có ( ) f x n � �.

Kí hiệu: xlim ( )f x



� �  �

hay ( )f x � � khi

x� �. Nhận xét :

� �  �� � �  �

� � �

2 Một vài giới hạn đặc biệt:

a) lim

k



� �  �

với k nguyên dương

b) lim

k



� �  �

nếu k là số lẻ c) lim

k



� �  �

nếu k là số chẵn

HTKT 4: Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:

*Mục tiêu:Học sinh biết được quy tắc về giới hạn vô cực: giới hạn của tích, thương

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt

động

Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau

trong phiếu học tập số 3

PHIẾU HỌC TẬP SÔ 3

-Nêu nội dung qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x)

-Tìm giới hạn

3 lim ( 2 )



� � 

Ví dụ : Tìm lim 3 3 



� � 

?

Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau

trong phiếu học tập số 4

PHIẾU HỌC TẬP SÔ 4

Nêu nội dung qui tắc tìm giới hạn thương

( ) ( )

f x

g x

lim

x

x x



�





Ví dụ : Tìm a) 1

lim

1

x

x x



�





a Qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x).

x x f x L

lim ( )

x x g x

( hoặc - ∞ ) thì 0

lim ( ) ( )

theo quy tắc cho trong bảng sau:

0

lim ( )

x x f x

x x g x

� lim ( ) ( )0

�

2

3

2

2

2

x x

x

� � � �

Ví dụ : Tìm lim 3 3 



� � 

=

3

2

3

x x x

x

� � � �

b Quy tắc tìm giới hạn của thương

( ) ( )

f x

g x

0

lim ( )

x x f x

x x g x

�

Dấ

u của g(x)

0

( ) lim ( )

x x

f x

g x

�

L > 0

0

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x x0 ,x x0

,

x� � � � x 

2 2

lim

x

x x



�



Ví dụ : a) 1

lim

x

x x



�



HOẠT ĐỘ NG LU YỆN TẬ

P

C

HOẠT Đ ỘN

G V ẬN DỤ NG , T ÌM TÒ

I M

Ở R ỘN G

D,E

b) 1

lim

1

x

x x



�



lim

1

x

x x





Mục tiêu:Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi và tính toán.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Tổ chức học sinh thảo luận nhóm giải bài tập

2



bằng

A.5 B 7 C 10 D �

Câu 2:

2 1

lim

1

x

x

�

 

A -1 B 1 C 2 D �

Câu 3 Cho hàm số: f x  5x2 33x 1 khi x 22

 �

 

2

x  f x

�

Câu 4:

2 2 1

lim

x

x

�

A -1 B 1 C 2 D �

Câu 5 lim 1 3



bằng

A � B 2 C.0 D �

Câu 6

2 2 1

lim

1

x

x

�

 

A.1/2 B 1/4 C -1/4 D.-1/2

C=3.4+6-8=10

A

2

1

x x



A

2 2

x x x

D

2

C

�

C. 1

1

2 lim

x

x x

�

 

 

 nhận xét và lựa chọn cách làm nhanh nhất cho từng câu trắc nghiệm

Mục tiêu:Rèn luyện cho học sinh kĩ năng tham gia hoạt động nhóm, tìm hiểu tư liệu trên mạng, kĩ năng tự học

và tự nghiên cứu ở nhà.

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập

của học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động

Cho học sinh nghiện cứu các bài tập sau:

*Bài toán 1:Theo dự đoán tỉ lệ tuổi thọ con người

của một nước đang phát triển, sau x năm kể từ bây

N BI ẾT 1

giờ là: T(x) =

x x



con người sẽ đạt được tới mức Giới hạn là bao

nhiêu?

* Tính các giới hạn sau:

a/

3

0

lim

4

x

x x

�

1 ax 1

lim

n

c/

3

2 1

lim

1

x

x

�



thuật toán:

 

 

0

0

0

x x

f x

g x

�

phân tích

 

gọi i i1; 2;3  là nghiệm của g x  0

khi đo c la nghi m cua h ê ê

 

 

1

2

0

? 0

i i

c





 

�

�

� bài tập về nhà:

1 lim

1

m

n

x

x

x

�





e/

2

1

lim

1

n x

x

�



g/

2

1

lim

1

n x

x

�



69 tuổi

a/

0

0 , đáp số -1 ( nhân lượng liên hợp) b/ đặt t �n1 ax ,x 0 t 1

1

n

 

�

� c/

3

1

3 2 2 1

3

2 1

8

lim

x

x

x

x

x x

x

�

�

�



   



�



IV CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

Câu 1:Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây ?

3

2

2

x

x x

2

2

x

x x



THÔ NG HI ỂU 2

C 3

2

2

x

x

x

x





 không có giới hạn khi x� 3

Đáp án B

Lời giải

Hàm số f x  x 22

x





 xác định trên các khoảng �; 2 và 2; � Ta có 3�2;�

3

3 2

3 2

�



Câu 2 lim  2 3 5 



� �  

bằng:

Đáp án C.

Lời giải

Ta có

2

5

x

Vì

3

lim



� �  �

5

x� �  x

3

2

5

x



� �

Câu 3:Cho hàm số f x   x22x5 Khẳng định nào dưới đây đúng ?

A. lim  



� �  �



� �  �

C lim   1





Đáp án B.

Lời giải

Hàm số f x   x22x5 xác định trên�.

Có thể giải nhanh như sau : Vì x22x  là một hàm đa thức của x nên có giới hạn tại vô cực Mà5

2 2 5 0

x  x   với mọi x nên giới hạn của f x   x22x5 tại � chắc chắn là �.

Thật vậy, ta có

Vì xlim x



� �  �

x� �   x x  

nên

2



Câu 4: Giới hạn của hàm số f x   x2 x 4x21 khi x� � bằng:

Đáp án A.

Lời giải