Toán 11 Phần: Giới hạn26028

Giới hạn của dãy số 1.. Dãy số có giới hạn hữu hạn a.. Dãy số có giới hạn vô cực a... Giới hạn của hàm số tại vô cực Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a;.. Các dạng t

Giới Hạn Toán GT 11

1

Giới Hạn

A Kiến thức sách giáo khoa

I Giới hạn của dãy số

1 Dãy số có giới hạn 0

a Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số  un có gi ới hạn 0, kí hiệulim u n 0(haylim un 0), n ếu với mọi số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều có giá

tr ị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

lim 0; lim 0 0 ; lim q 0 | q | 1

 

n n

n

| u | v

lim v 0





2 Dãy số có giới hạn hữu hạn

a Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số  un có giới hạn là số thực L, kí hiệu lim un L, nếu

 n 

lim u L 0

lim u  L lim u L 0

b Các định lí:

• Cho (un) mà un = c, n : lim un c

• limun = L n

3 3 n

lim | u | | L |





 





• Nếu lim un L, lim vn M thì:

n

lim u v L M; lim u v L.M; lim k.u k.L (k ); lim (M 0)

n

lim u L lim v lim w L L

• Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;

Dãy (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn (3)

c Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

•

n

1 q

S u u q u q u q u ;

1 q



•

n

u

1 q

S u u q u q u q lim S lim u ;

1 q 1 q

3 Dãy số có giới hạn vô cực

a Dãy số có giới hạn 

Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn +∞, kí hiệu limun = +∞, nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi

số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.

lim n ; lim n  ; lim n  

b Dãy số có giới hạn - ∞

Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn là - ∞, kí hiệu limun = -∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho trước, mọi

số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

c Các quy tắc tìm giới hạn vô cực

• Quy tắc nhân

n

lim u lim vn lim u v n n lim un lim vn lim u v n n

• Quy tắc chia

có dấu

n

lim u  L 0 lim vn 0, vn 0 có dấu n

n

u lim v

+  

II Giới hạn của hàm số

1 Giới hạn hữu hạn

a Giới hạn hữu hạn

Cho x0 a; b và f là hàm số xác định trên tập    a; b \ x0 Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L, kí hiệu   , khi x dần đến (hoặc tại điểm ), nếu với mọi dãy số trong tập

0

xlim f xx L

mà , ta đều có

   a; b \ x0 lim xn x0 lim f x n L

b Giới hạn vô cực

 

0

xlim f xx

    xn    a; b \ x0 lim xn x0 lim f x n  

2 Giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a; Ta nói rằng hàm f có giới hạn là số thực

L khi x dần đến +∞, kí hiệu   , nếu với mọi dãy số trong khoảng mà

xlim f x L

, ta đều có

n

lim x   lim f x n L

3 Các định lí

a Định lí 1: Giả sử   và Khi đó:

0

xlim f xx L

0

xlim g xx M L, M

•    

0

xlim f xx g x L M

0

xlim f x g xx L.M

  

0

xlim k.f xx k.L k

0

x x

f x L

b §Þnh lÝ 2: Gi¶ sö   Khi đó:

0

xlim f xx L

0

xlim | f x | | L |x

0

3

3

xlimx f x L

• Nếu f x 0 với mọi xJ \ x 0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa thì x0 L0 và

.

 

0

xlimx f x L

c Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp x0 J \ x 0 Khi đó:

       

0

x x

x J \ x : g x f x h x

lim f x L



4 Giới hạn một bên

a Định nghĩa:

• Giả sử hàm f xác định trên khoảng x ; b , x0  0 ฀ Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên phải là số thực

L khi x dần đến x0, kí hiệu:   , nếu với mọi dãy số trong khoảng mà

0

xlim f xx L

, ta đều có lim f x n L.

• Giả sử hàm f xác định trên khoảng a; x0, x0 ฀ Ta nói rằng hàm f có giới hạn bên trái là số thực

L khi x dần đến x0, kí hiệu:   , nếu với mọi dãy số trong khoảng mà

0

x x

lim f x L



, ta đều có lim f x n L.

xlim f xx ; lim f xx x ; lim f xx x ; lim f xx x

trên.

b Định lí:

0

xlim f xx xlim f xx L lim f x L



1

f x

Giới Hạn Toán GT 11

3

5 Quy tắc tìm giới hạn vô cực

 

0

xlim f xx



 

0

xlim g xx L 0

có dấu xlim f x g xx 0    

0

xlim f xx L 0

có dấu

 

0

xlim g xx 0

g(x) có dấu

 

 

0

x x

f x lim

g x



6 Các dạng vô định

Khi tìm limf x   , lim f x g x    , lim f x   g x khi ta gặp các

g x      xx ; x0 x ; x0 x ; x0    ; x

dạng vô địn, kí hiệu 0 , lúc đó ta không dùng được các định lí về giới hạn cũng như các

, , 0 , 0



   

 quy tắc tìm giới hạn vô cực Phép biến đổi về các định lí và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng

vô định

B Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

Phương pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy số.

Ví dụ 1: Tìm: 3 2

2

8n 3n lim

n



Giải:

2

3

2

n n

Ví dụ 2: Tìm: 2n2 23n 1

lim

n 2

 

 

Giải:

2

2

3 1 2

n

 

 



Ví dụ 3: Tìm:  2 

lim n 1  n 1

Giải:

.

2

2

Dạng 2: Chứng minh lim un 0

Phương pháp giải: Sử dụng định lí:

 

n n

n

| u | v

lim v 0





(2)

n

lim u L lim v lim w L L

Ví dụ: Chứng minh: lim 1 cos nn 0

n





Giải:

1 cos n 1



1 cos n

n





Dạng 3: Chứng minh lim un tồn tại

Phương pháp giải: Sử dụng định lí

Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;

Dãy (vn) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.

Ví dụ: Chứng minh dãy số  un cho bởi có giới hạn.

 

n

1 u

n n 1





Giải:

n

n n 1

Ngoài ra, *   nêu dãy bị chặn dưới Vậy dãy có giới hạn.

n

1

n n 1



Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải: Sử dụng công thức: u1

S ,| q | 1

1 q



Ví dụ: Tính tổng 2 n

Giải:

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với 1 và Vậy:

2

1

1 q 1

2

Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực

Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực

Ví dụ: Tìm: 2n3 24n 3

lim

3n 1



Giải:

Cách 1:

Ta có:

2

3

2

3 1 3n 1

n n

  



Lại có lim 2 42 33 2 0, lim 3 12 0 và nên suy ra:

n

        

3

3 1

0 n

nn    ฀

2

3

2

3 1 3n 1

n n

  

Cách 2:

Ta có:

3

2

2

2 2

1 1

n 3

n n

  

2

Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số

Phương pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc

Ví dụ 1: Tính:

x 0

1 lim x.sin

x



Giải:

Xét dãy  xn mà xn  0, n và lim xn 0 Ta có:  n n n

n

1

f x x sin | x |

x

Vì lim | x | 0n  lim f x n 0. Do đó

x 0

1 lim x.sin 0

x



Ví dụ 2: Tính:  2 

xlim x x 1 x

Giới Hạn Toán GT 11

5

Giải:

2

2

1 1

2

1 1

x x



Ví dụ 3: Tính:  2 

xlim x 3x 1 x

Giải:

2

2

3 1

1

x x x



 (Chú ý: khi x  là ta xét x < 0, nên 2 )

x  x

Dạng 7: Chứng minh   (Hoặc bằng L)

0

xlim f xx 0

Phương pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp

Giả sử J là một khoảng chứa và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp x0 J \ x 0 Khi đó:

       

0

x x

x J \ x : g x f x h x

lim f x L



Ví dụ: Chứng minh: x 2 4

x sin x

1 x



Giải:

Ta luôn có:   x sin x2 4 x24 x24   x2 4

.

Dạng 8: Tìm giới hạn một bên

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên

Ví dụ 1: Cho hàm số   x32 x 1 Tìm

f x



 



víi

xlim f x1



Giải:

   

   2   2

lim f x lim 2x 3 2 1 3 1

(2)

   

 

3

lim f x lim x 1

      

Từ (1) và (2) suy ra  

xlim f x1 1

  

Ví dụ 2: Cho hàm số  

1

x 1

x 1

f x

1

x 1

x 1

khi khi

 

  

 

a Tìm  

x 2

lim f x



b Tìm  

x 1

lim f x



Giải:

a  

lim f x lim

x 1 3



b  

x 1

lim f x



lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x



không tồn tại  

x 1

lim f x



(Chú ý:   tồn tại khi và chỉ khi thì )

0

xlim f xx

xlim f xx xlim f xx L

0

xlim f xx L

Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực

Phương pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực

Ví dụ: Tính 2

xlim 4x 1

Giải:

lim 4x 1 lim x 4 lim | x | 4

xlim | x |

2

1

x

Dạng 10: Khử dạng vô định

Phương pháp giải

1 Khi tìm giới hạn dạng   , với :

 

0

x x

P x lim

Q x

xlim P xx xlim Q xx 0

• Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho xx0

• Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lượng liên hiệp.

Ví dụ 1: Tìm: 2

x 2

x 9x 14 lim

x 2





Giải:

2

x 2 x 7

x 9x 14

Ví dụ 2: Tìm:

x 0

4 x 2 lim

4x



 

Giải:

Ví dụ 3: Tìm: 3

x 1

x 7 2 lim

x 1



 



Giải:

2

3 3

lim

12

x 7 2 x 7 4



Ví dụ 4: Tìm:

x 2

2x 5 3 lim

x 2 2



 

 

Giải:

3

 

Ví dụ 5: Tìm: 3

x 1

lim

x 1





Giải:

3

2 2 3x 2 1

x 1 3x 2 1

Giới Hạn Toỏn GT 11

7

Vớ dụ 6: Tỡm: 43

x 1

x 2 1 lim

x 2 1



 

 

Giải:

Đặt t12x   2 x 2 t12 x t122, khi đó x 1 thì t1 Do đú:

2

4

3

t 1 t t 1

4

x 2 1

 

Vớ dụ 7: Tỡm: 3

x 1

lim

x 1





Giải:

3

3 2

2

lim

x 1 x 3 2

lim

x 3 2





2 Khi tỡm giới hạn dạng     , ta lưu ý:

x

P x lim

Q x



• Đặt (m là bậc cao nhất) làm nhõn tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)m

x

• Sử dụng kết quả: ( với )

x

1

x

Vớ dụ 1: Tỡm: x 22

3x 4x 1 lim

2x x 1



Giải:

2

2

4 1 3

2x x 1

2

x x

 

Vớ dụ 2: Tỡm: 2

x

x x 1 3x lim

2 3x



  



1 1

2

x

Vớ dụ 3: Tỡm: 3 3 2

2 x

8x 3x 1 x lim

4x x 2 3x



  

Giải:

3

2

2

3 1

4x x 2 3x

x x

C Bài tập tự luận

1 Tỡm giới hạn của cỏc hàm số sau:

1.

2

2

x 3

x 5x 6

lim

x 8x 15



2 2 1 x 2

8x 1 lim

6x 5x 1





2

x 3

x 4x 4x 3 lim

x 3x



 4.

x 1

2x 5x 3x 1

lim

3x 8x 6x 1



3 4

x 1

x 3x 2 lim

x 4x 3



x 2

x 2x 4x 8 lim

x 8x 16



7.

3

5

x 1

x 2x 1

lim

x 2x 1



x 0

1 x 1 2x 1 3x 1 lim

x



x 0

1 x 1 2x 1 3x 1 nx 1 lim

x



2 Tỡm cỏc giới hạn hàm số sau:

1.

x 2

x 2

lim





2x 7 3 lim

x 3 2



 

2

x 0

1 x 1 lim

x



x 2

x 7 3

lim

x 4



 

3

x 2

4x 2 lim

x 2





2

x 0

1 x 1 lim

x



7.

3 2 3

2

x 1

x 2 x 1

lim

x 1



3

x 0

x 1 lim

x 1





lim

x 2





x 0

1 x 1 x

lim

x



2

x 1

lim

x 3x 2



2x 2 3x 1 lim

x 1





13.

2

x 3

lim

x 4x 3



x 9 x 16 7 lim

x



15.

3 2 3

2

x 1

lim

x 1





3 Tìm giới hạn của các hàm số sau:

1. 3 2

x 1

lim

x 3x 2



3

x 0

2 1 x 8 x lim

x



3. 3

x 0

1 x 1 x lim

x



x 2

x 11 8x 43

lim

2x 3x 2



x 1

lim

x 1



2 3

x 1

lim

x 1



 7.

3

x 0

1 4x 1 6x 1

lim

x



8.

3 2

x 0

1 2x 1 3x lim

x



4 Tìm giới hạn của các hàm số sau:

1. 4 3 3 2 2

x

2x 3x 4x 1

lim



2 2 x

x x 1 lim

2x x 1



 

x

2x 3 4x 7 lim

3x 1 10x 9



50 x

2x 3 3x 2

lim

2x 1



2 2 x

x 2x 3x lim

4x 1 x 2



5x 3 1 x lim

1 x





5 Tìm giới hạn của các hàm số sau:

xlim x x 1 x x 1



xlim 2x 5 4x 4x 1





xlim x x 1 x



   





xlim x 2 x 1





D Bài tập trắc nghiệm Dãy số có giới hạn 0

1 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

n

1 n

2n 1 n

n

2 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

n

5

3

 

 

n

1 3

 

 

n

5 3

 

 

 

n

4 3

 

 

 

3 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

1, 012

1, 901



4 Dãy số nào sau đây không có giới hạn?

1

0, 99

0,89



5 Gọi  n Khi đó L bằng

1

L lim

n 4







5

4



6 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

2n

1 n

n

4 3

 

1 n



Dãy số có giới giạn hữu hạn

Giới Hạn Toỏn GT 11

9

7 Cho un 1 4n Khi đó un bằng

5n





5

3 5

5

4 5



8 Cho un 2n n5n Khi đó limun bằng

5





5

7 5

9 Gọi L lim 9 cos 2n thì L bằng số nào sau đây?

n

10 Tổng của cấp số nhân vô hạn  n 1 là

n

1

1 1 1 , , , , ,







3

1 3

3



11 Tổng của cấp số nhân vô hạn  n 1 là

n

1

1 1 1 , , , , ,







4

1 2

3 4

12 Tổng của cấp số nhân vô hạn  n 1 là

n 1

1

1 1 1 , , , , ,

2 6 18 2.3









3

3 4

2 3

3 8

13 Tổng của cấp số nhân vô hạn:  n 1 là

n 1

1

1 1 1

1, , , , , ,







3

3

3 2

Dãy số có giới hạn vô cực

14 Kết quả  3 là

Llim 5n 3n

15 Biết  2  thì L bằng

Llim 3n 5n 3

16  3 2  bằng

lim 3n 2n 5

17 lim 2 3 bằng

4n 2n 1



4



18 lim 4 2 bằng

5n 2n 1

5

1

19 lim3n34 2n 1 bằng

4n 2n 1

4

2 7

2n 2n 2

lim

4n 2n 5

2

3 11

21 42 4 bằng

5n 3n

lim

4n 2n 1



a 3 b 0 c d

4

4

3 4

22 2n2 3n3 bằng

lim

4n 2n 1



4

5

23 Dãy số nào sau đây có giới hạn là?

n

n

n

n

u 3n n

24 Dãy số nào sau đây có giới hạn là - ∞?

n

n

n

n

u   n 4n

25 4n2 5 n 4 bằng

lim

2n 1



26 Kết quả lim n 10  n là

2 2

3 2n 4n lim

4n 5n 3

4

4 3



28 Nếu lim un L thì lim un9 bằng

29 Nếu lim un L thì bằng bao nhiêu?

3 n

1 lim

u 8

L 8

1

1

1

L 8

30 2n 3 bằng

lim

2n 5





7

5

31 10 n4 4 bằng bao nhiêu?

lim

10 2n

32 1 2 3 n2 bằng bao nhiêu?

lim

2n

   

4

1

33 3n3 n bằng

lim

6n 2





6

1 4

3

2 6

34  2 2  bằng bao nhiêu?

lim n n  1 n 3

35 n sin 2n bằng số nào sau đây?

lim

n 5





5

1 5

36 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

2

n 2n

u

5n 3n





1 2n 5n 3n





2 2

1 2n 5n 3n





2

n 2 u

5n 3n







37 Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞?

Giới Hạn Toán GT 11

11

2

n 2n

u

5n 5n





1 2n 5n 5n





2 n

1 n u

5n 5







2

n 2 u

5n 5n







38 Dãy số nào sau đây có giới hạn +∞?

2

9n 7n

u

n n





2007 2008n u

n 1







2 n

u 2008n2007n 2

n

u n 1

39 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng – 1?

2 3

2n 3

lim

2n 4



2 2

2n 3 lim 2n 1



2

2n 3 lim

2n 2n



3 2

2n 3 lim 2n 1



40 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?

2 3

2n 3

lim

2n 4



3 2

2n 3n lim 2n 1



3 2

2n 3n lim

2n n



3 2

3 2n lim 2n 1





41 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là ?

2 3

2n 3

lim

n 4





2 2

2n 3n lim 2n 1





3 2

2n 3n lim

2n n



3 2

3 2n lim 2n 1





42 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ?1

5

2

n 2n

u

5n 5n





1 2n u

5n 5







2 n

1 2n u

5n 5





1 2n u

5n 5n







Llim n n  2 n 4 

2

44 Gọi  2 2  Khi đó L bằng

Llim n n  2 n 4 

45 4n2 1 n 2 bằng

lim

2n 3



46 cos 2n bằng

3n 

3

47  2 2  có kết quả là

lim n 2n n 2n

50 Dãy số nào sau đây có giới hạn 1?

3



2 3

n 3n u

9n n 1





 

2

2n n u

3n 5

 





n 2n 1 u

3n 2n 1



2

n 2n 5 u

3n 4n 2



Giới hạn của hàm số

51  2  bằng

xlim x1 x 7

  

xlim 3x2 3x 8

x 1

x 3x 2

lim

x 1



 



x 1

3x x 2

lim

x 2





3

5 3



55 4 6 bằng

x 1

3x 2x

lim

5x 3x 1





9

3 5

2 5

3



56 4 2 5 bằng

x 1

3x x

lim

x x 5





 

5

4 7

2 5

2 7

57 22 3 bằng

x 2

x x

lim

x x 3





 

9

5

4

58 44 55 bằng

x 1

x 2x

lim

2x 3x 2





12

7

7

x 2

x x

lim

x x 1





 

7

3

xlim 4x1 2x 3

3 2

x 1

x 1

lim

x 3 2





 

3

1

4 2





2 3



x

lim

x 2x





x

3x 2x 3

lim

5x 3x 1



9

3

64 44 5 bằng

x

3x 2x

lim

5x 3x 2





5

65 4 4 6 5 bằng

x

3x 2x

lim

5x 3x 2





5

2 5



66 45 54 bằng

x

3x 4x 2

lim

9x 5x 4



3

5 3

2 3

x 2

x 4x 3

lim

7x 9x 1



15

1 3

35

x 1

x 4x 3x

lim

x 16x 1



Giới Hạn Toán GT 11

13

8

3 8

3

Giới hạn một bên

x 3

| x 3 |

lim

3x 6









2

1

x 1

1 x

lim

3x x









x 1

x 2

lim

x 1









2

2

x 1

x 1

lim

x 1









x 2

x 2x 3

lim

x 2x







8

9 8

x 0

2x x

lim

5x x









2

3 2

x 1

x 4x 3

lim

x x







76 Cho hàm số:   x2 3x 1 x 2 Khi đó bằng:

f x



víi

x 2

lim f x



77 Cho hàm số   2x33 2x x 1 Khi đó bằng

f x

víi víi



 

xlim f x1



x 1

x 1

y f x

1

khi x 1 8

khi



 



 

x 1

lim f x



8

1 8

2

x 1

x 1

víi víi

 





 



 

x 1

lim f x



2

2x

x 1

1 x

f x

víi víi

 

 



 

xlim f x1



Một vài quy tăc tìm giới hạn vô cực (dạng vô định)

x 1

2x 3x 1

L lim

1 x







2

4

4

2



x 2

L lim

2x 3x 2







5

5

2

2

 

x 2

x 3x 2

lim

2x 4





2

1 2

1 2



x 2

x 12x 35

lim

x 5





5

2 5



x 5

x 12x 35

lim

5x 25





5

2 5

2 5



2

x

x 2x 3x

lim

4x 1 x 2



  

3

2 3

2

1 2



87 xlim x 1 x 3 bằng

xlim x x 5 x

2

5

xlim x x 2 x

t 1

t 1

lim

t 1







91 4 4 bằng

t a

t a

lim

t a







92 43 bằng

y 1

y 1

lim

y 1







4

4 3

93 4 2 5 bằng

x

3x x

lim

x 6x 5





x

lim

2x 7





Giới Hạn Toán GT 11

15

x 0

lim

x



2

2

x 1

x 1

lim

x 3 2





 

3

2 3



x 5

x 2x 15

lim

2x 10





x 5

x 2x 15

lim

2x 10





x 5

x 9x 20

lim

2x 10





2

2

x

3x 2x

lim

5x x 4





 

5

101 x 1 23 bằng

x 1

lim

x x







x

x lim x 5

x 1

 



x 1

x 3x 2

lim

x 1



 



3

3

3

x

2x x

lim







105 xlim x 5 x 7 bằng

x 3

3x 7x

lim

2x 3







x 1

lim

1 x





4

1 6

1 8

1 8



108 Nối mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để được một khẳng định đúng.

x 3

x 2x 15 lim

2x 10



7 2



x 5

x 3x 10 lim

2x 10

