GIẢI TÍCH HÀM

GIẢI TÍCH HÀM

Mục lục

1.1 Không gian tôpô 3

1.1.1 Tập mở và tập đóng 3

1.1.2 Tập liên thông 6

1.1.3 Tập compact 8

1.2 Không gian metric 10

1.2.1 Không gian metric 10

1.2.2 Giới hạn 12

1.2.3 Không gian metric đầy đủ 14

1.2.4 Các định lý về suy rộng 16

1.3 Không gian định chuẩn 17

1.3.1 Không gian định chuẩn 18

1.3.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn 19

1.3.3 Không gian Hilbert 20

1.3.4 Phép chiếu trực giao 21

1.4 Bài tập ch-ơng 1 24

2 Các ánh xạ tuyến tính liên tục 31 2.1 Các ánh xạ tuyến tính liên tục 31

2.1.1 Các ánh xạ tuyến tính liên tục 31

2.1.2 Phiếm hàm và các áp dụng 33

2.1.3 Các ánh xạ đa tuyến tính liên tục 36

2.2 Định lý ánh xạ mở 38

2.2.1 Định lý ánh xạ mở 38

2.2.2 Vài áp dụng của định lý ánh xạ mở 39

2.3 Toán tử compact và toán tử Fredholm 40

2.3.1 Toán tử compact 40

2.3.2 Toán tử Fredholm 41

2.3.3 Chỉ số của toán tử Fredholm 41

2.4 Phổ của toán tử compact 43

2.5 Bài tập ch-ơng 2 46

3 Đại c-ơng về phép tính vi phân 49 3.1 Đạo ánh 49

3.1.1 Đạo ánh và đạo ánh riêng 49

3.1.2 Một số qui tắc tính đạo ánh 50

3.1.3 Định lý giá trị trung bình 53

3.1.4 Một số ứng dụng của định lý giá trị trung bình 55

3.2 Định lý ánh xạ ng-ợc, ánh xạ ẩn 57

3.2.1 Định lý ánh xạ ng-ợc 57

3.2.2 Định lý ánh xạ ẩn 58

3.3 Nguyên ánh và tích phân 59

3.3.1 Các ánh xạ đều 59

3.3.2 Nguyên ánh và tích phân 60

3.3.3 Một số qui tắc tính tích phân 61

3.4 Đạo ánh cấp cao và công thức Taylor 63

3.4.1 Đạo ánh cấp cao 63

3.4.2 Công thức Taylor 65

3.5 Bài tập ch-ơng 3 67

Không gian định chuẩn

Cho tập X và một họ O nào đó các tập con của X.

Chúng ta sẽ nói O là một tôpô trên X nếuu ba điều kiện sau đây đ-ợc thỏa mãn:

(op 1) Tập X và tập ∅ thuộc họ O.

(op 2) Giao hữu hạn các tập thuộc họ O là tập thuộc O.

(op 3) Hợp bất kỳ (có thể vô hạn) các tập thuộc họ O là tập thuộc O.

Khi họ O là một tôpô trên X, ta nói (X , O ) là một không gian tôpô; mỗi phần tử

thuộc O đ-ợc gọi là một tập mở; phần bù của tập mở đ-ợc gọi là tập đóng Trong

tr-ờng hợp không sợ sự lầm lẫn giữa các tôpô khác nhau, chúng ta nói X là một

không gian tôpô, mỗi phần tử thuộc X còn đ-ợc gọi là một điểm của X.

Ví dụ 1.1.1 Cho X là một tập không rỗng Khi đó họ {∅, X } là một tôpô trên X;

tôpô này chỉ có đúng hai tập mở và đ-ợc gọi là tôpô thô Họ P(X) gồm tất cả các tập con của X cũng là một tôpô, đ-ợc gọi là tôpô rời rạc trên X; mỗi tập con bất

kỳ của X đều là tập mở trong tôpô này.

Ví dụ 1.1.2 Giả sử U ⊂ R Ta nói U là tập mở nếuu mỗi điểm x ∈ U đều có khoảng

mở tâm x nằm trọn trong U Họ các tập mở này là một tôpô và đ-ợc gọi là tôpô

thông th-ờng trên đ-ờng thẳng thực

Giả sử O , O0 là hai tôpô trên cùng một tập X Chúng ta dễ dàng thấy hai tôpô này

là bằng nhau khi và chỉ khi điều kiện sau đây đ-ợc thoả mãn với mọi x ∈ X : mọi

U ∈ O chứa x, tồn tại U0∈ O0 để x ∈ U0 ⊂ U ; và ng-ợc lại, mọi U0∈ O0 chứa x, tồn tại U ∈ O để x ∈ U ⊂ U0.

Trong không gian tôpô X bất kỳ, họ C gồm tất cả các tập đóng thỏa mãn ba điều

kiện sau đây:

(cl 1) Tập X và tập ∅ thuộc họ C.

(cl 2) Hợp hữu hạn các tập thuộc họ C là tập thuộc C.

(cl 3) Giao bất kỳ các tập thuộc họ C là tập thuộc C.

Ng-ợc lại, có thể thấy rằng khi có họ C nào đó các tập con của X thỏa mãn ba điều kiện (cl 1), (cl 2), (cl 3) ta có thể xác định tập mở nh- là phần bù của tập thuộc C Cho S là một tập con của không gian tôpô X và a ∈ X.

Điểm a đ-ợc gọi là điểm dính của S nếuu mọi tập mở chứa a đều chứa điểm của

S Hiển nhiên mỗi phần tử của S đều là điểm dính của S Tập tất cả các điểm dính

của S đ-ợc gọi là bao đóng của S, ký hiệu là S Dễ thấy rằng: tập S là đóng khi

và chỉ khi S = S.

Chúng ta nói tập con S của không gian tôpô X là trù mật (trong X) nếuu S = X.

Điểm a đ-ợc gọi là điểm biên của S nếuu mọi tập mở chứa a đều chứa điểm của

S và chứa điểm không thuộc S Hiển nhiên mỗi điểm dính của S mà không thuộc

S đều là điểm biên của S Tập tất cả các điểm biên của S đ-ợc gọi là biên của S,

ký hiệu là ∂S.

Điểm a đ-ợc gọi là điểm trong của S nếuu có tập mở U sao cho a ∈ U ⊂ S; trong tr-ờng hợp này ta còn nói: S là một lân cận của a Điểm trong của S cũng chính là

điểm của S nh-ng không là điểm biên Tập tất cả các điểm trong của S đ-ợc gọi là

phần trong của S, ký hiệu là

o

S Dễ thấy rằng: tập S là mở khi và chỉ khi S =

o

S.

Cho S là một tập con của không gian tôpô X và V là một tập con của S Nếu có

tập mở U ⊂ X sao cho V = U ∩ S thì ta nói tập V là mở trong S Dễ thấy rằng họ các tập mở trong S là một tôpô trên S, tôpô này đ-ợc gọi là tôpô cảm sinh Với tôpô cảm sinh, ta có thể nói S là không gian tôpô con của X.

Cơ sở tôpô là một họ B nào đó các tập mở sao cho mọi tập mở đều là hợp (có thể

vô hạn) các phần tử của B Dễ thấy rằng nếu B là cơ sở tôpô thì B có hai tính chất

sau đây:

(b 1) Mỗi phần tử của X đều thuộc vào một tập nào đó của họ B.

(b 2) Nếu B, B0∈ B và x ∈ B ∩ B0thì có B00 ∈ B sao cho x ∈ B00 ⊂ B ∩ B0.

Hai tính chất trên là đặc tr-ng của cơ sở Giả sử X là một tập và B là một họ nào

đó các tập con của X thoả mãn (b 1) và (b 2), khi đó có một tôpô duy nhất để B là cơ sở tôpô; mỗi tập mở của tôpô này chính là hợp (bất kỳ) các tập thuộc B Tôpô

duy nhất này đ-ợc gọi là tôpô gây bởi B.

Ví dụ 1.1.3 Tôpô thông th-ờng trên R chính là tôpô gây bởi cơ sở là họ tất cả các

khoảng mở hữu hạn Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta hiểu R là không gianvới tôpô này

Giả sử f là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y và a ∈ X.

Chúng ta nói f liên tục tại điểm a nếuu mọi lân cận của f (a) đều có nghịch ảnh

là lân cận của a Nếu f liên tục tại mọi điểm của X, ta nói f liên tục trên tập X

(có thể nói một cách đơn giản: f liên tục).

Định lý 1.1 Giả sử f là ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Khi

đó ba phát biểu sau là t-ơng đ-ơng:

1) f liên tục trên X.

2) Nghịch ảnh của tập mở bất kỳ đều là tập mở

3) Nghịch ảnh của tập đóng bất kỳ đều là tập đóng

Đọc giả tự chứng minh các phát biểu 2) và 3) là t-ơng đ-ơng với nhau.



Định lý 1.2 Giả sử f là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô

Y và g là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô Y vào không gian tôpô Z Thế thì g◦f

là liên tục

Chứng minh

Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập



Nếu ánh xạ f : X → Y là song ánh, f và f−1 là các ánh xạ liên tục thì ta nói f là

một phép đồng phôi; X và Y là đồng phôi (đồng tôpô) với nhau Dễ dàng thấy

rằng các tính chất tôpô là bất biến qua phép đồng phôi

Cho (X i)i∈I là một họ các không gian tôpô và giả sử

X =Y

i∈I

X i

Chúng ta xác định một tôpô trên X và gọi nó là tôpô tích: tập con U của X là tập

mở nếuu với mỗi x ∈ U đều có tập hữu hạn J ⊂ I và các tập U j mở trong X j với

Tôpô tích là tôpô duy nhất với ít nhất các tập mở (tôpô thô nhất) trong các tôpô

trên X đảm bảo mọi phép chiếu π i : X → X i là liên tục Từ đây (nếu không nói gìthêm) ta hiểu

X =Y

i∈I

X i

là không gian với tôpô tích

1.1.2 Tập liên thông

Không gian tôpô X đ-ợc gọi là liên thông nếuu không thể biểu diễn X nh- là hợp

của hai tập mở không rỗng rời nhau; hay cũng vậy: chỉ có tập hợp rỗng và bản thân

X là đồng thời mở và đóng Tập con S của không gian tôpô X đ-ợc gọi là tập

liên thông nếuu không gian (tôpô) con S của X là liên thông Hiển nhiên là: trong

không gian tôpô bất kỳ, tập chỉ gồm một điểm là tập liên thông

Ví dụ 1.1.4 Xét đ-ờng thẳng thực R với tôpô thông th-ờng Dễ dàng thấy rằng:

tập S ⊂ R là liên thông khi và chỉ khi S là khoảng (có thể là khoảng trống, hữu

hạn hoặc vô hạn, mở hoặc đóng, nửa mở nửa đóng)

Định lý 1.3 Giả sử (S i)i∈I là họ các tập con liên thông của không gian tôpô X Nếu

họ này có phần tử chung thì hợp của họ này là liên thông

Chứng minh

Giả sử S = ∪ i∈I S i , a ∈ ∩ i∈I S i , và S = U ∪ V, trong đó U, V là các tập mở rời nhau.

Khi đó S i = (S i ∩ U ) ∪ (S i ∩ V ) với mọi i Do S i liên thông nên S i ∩ U = S i hoặc

S i ∩ V = S i Giả sử có i0 để S i0 ∩ U = S i0 (tr-ờng hợp S i0 ∩ V = S i0, ta lý luận

t-ơng tự) Trong tr-ờng hợp này ta có a ∈ U và a ∈ S i với mọi i Vậy S i ∩ U 6= ∅;

do đó S i ∩ U = S i , hay cũng vậy S i ⊂ U với mọi i; từ đây suy ra U = S.



Từ định lý 1.3 chúng ta có thể định nghĩa thành phần liên thông của điểm a ∈ X,đó

chính là hợp của tất cả các tập liên thông chứa a Hiển nhiên, thành phần liên thông của điểm a là tập liên thông lớn nhất chứa a.

Định lý 1.4 Giả sử S là tập con liên thông của không gian tôpô X Thế thì bao

đóng của S cũng là liên thông Thực ra, nếu S ⊂ T ⊂ S thì T là liên thông.

Chứng minh

Giả sử U, V là các tập mở (trong X) sao cho U ∩ T, V ∩ T là rời nhau và T = (U ∩ T ) ∪ (V ∩ T ) Khi đó U ∩ S, V ∩ S là rời nhau và S = (U ∩ S) ∪ (V ∩ S) Do

S liên thông, giả sử U ∩ S = ∅; ta suy ra U ∩ T = ∅, vì nếu có a ∈ U, a ∈ T ⊂ S

thì trong U phải có điểm của S.

Định lý 1.5 Giả sử f : X → Y là ánh xạ liên tục Nếu X là liên thông thì ảnh f (X)

là liên thông

Chứng minh

Nếu U, V là các tập mở trong f (X) và f (X) = U ∪ V thì f−1(U ) và f−1(V ) là các tập mở và X = f−1(U ) ∪ f−1(V ).



Định lý 1.6 Không gian X là liên thông khi và chỉ khi ánh xạ liên tục bất kỳ từ X

vào không gian rời rạc nhiều hơn một phần tử đều phải là hằng

Giả sử f là ánh xạ liên tục từ X vào không gian rời rạc Y nhiều hơn một phần tử

và f (a) = p Chúng ta còn phải chứng minh rằng f là hằng Do f−1(p) mở nên nó chứa một lân cận mở của a có dạng

f (b i1, a i2, , a in, (b i)i / ∈{i1,ããã ,in}) = f ◦ g(b i1) = f ◦ g(a i1) = f (c) ∈ f (U ) = {p} Bằng cách lặp lại thích hợp, ta thay đ-ợc a i2 bởi b i2, , a in bởi b in, và nh- vậy

f (b) = p.



Hệ quả 1.7.1 Không gian Euclid R là liên thông Tích bất kỳ các khoảng là liênthông.

Chứng minh

Vì R và mỗi khoảng của nó là không gian tôpô liên thông



Không gian tôpô X đ-ợc gọi là liên thông đ-ờng nếuu với mọi x, y ∈ X đều tồn tại

ánh xạ liên tục ϕ từ đoạn nào đó [a; b] ⊂ R vào X sao cho ϕ(a) = x và ϕ(b) = y.

Định lý 1.8 Không gian liên thông đ-ờng là liên thông.

Giả sử (S i)i∈I là một họ nào đó các tập con của tập X Chúng ta nói họ này là một

phủ của X nếuu hợp của họ này bằng X Nếu J ⊂ I và họ (S j)j∈J là một phủ của

X ta nói họ (S j)j∈J là một phủ con của phủ (S i)i∈I Khi (U i)i∈I là phủ của không

gian tôpô X và hơn nữa mọi tập U i đều là mở, chúng ta sẽ nói họ (U i)i∈I là một

phủ mở của X.

Giả sử X là không gian tôpô Chúng ta nói X là không gian compact nếuu mọi

phủ mở của X đều tồn tại phủ con hữu hạn Tập con S của không gian tôpô X

đ-ợc gọi là tập compact nếuu không gian con S là compact.

Ví dụ 1.1.5 Xét không gian Euclid Rn Có thể thấy rằng: tập con của R nlà compactkhi và chỉ khi nó đóng và giới nội Đặc biệt: mặt cầu, hình cầu đóng, hình hộp làcác tập compact; Rn không là compact

Giả sử họ (F i)i∈I gồm các tập con đóng nào đó của không gian tôpô X Chúng ta

nói họ này có tính giao hữu hạn nếuu ∩j∈J F j 6= ∅ với mọi tập con hữu hạn không

rỗng J của I.

Định lý 1.9 Không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi ∩ i∈I F i6= ∅ với mọi họ

(F i)i∈I các tập con đóng có tính giao hữu hạn

Chứng minh

⇒ Giả sử X compact và họ (F i)i∈I các tập con đóng có tính giao hữu hạn Nếu

∩i∈I F i = ∅ thì (X \ F i)i∈I là phủ mở của X Giả sử (X \ F j)j∈J là phủ con hữu hạn

Giả sử S là tập con đóng của không gian compact X và (U i)i∈I là họ các tập mở

(trong X) phủ S Khi đó U = X \ S cùng với (U i)i∈I là họ các tập mở phủ X Giả

sử họ con hữu hạn (U i1, , U in, U ) phủ X Vì U ∩ S = ∅ ta suy ra (U i1, , U in) phủ

S.



Chúng ta nói không gian tôpô X là không gian Hausdorff nếuu với mọi x, y ∈

X, x 6= y đều có các tập mở rời nhau U, V sao cho x ∈ U và y ∈ V Hiển nhiên:

không gian con của không gian Hausdorff cũng là Hausdorff; tập gồm một điểmtrong không gian Hausdorff là tập đóng

Định lý 1.11 Trong không gian Hausdorff, tập compact là tập đóng.

Chứng minh

Giả sử S là tập compact của không gian Hausdorff X và x ∈ X \ S Với mỗi y ∈ S

đều có các tập mở rời nhau U y 3 x, V y 3 y Họ các tập mở (V y)y∈S phủ S nên có phủ con hữu hạn (V y1, , V yn) Khi đó U = ∩ n i=1 U yi là tập mở chứa x và U ⊂ X \ S.



Định lý 1.12 Giả sử f : X → Y là ánh xạ liên tục Nếu X là compact thì ảnh f (X)

là compact

Chứng minh

Giả sử (V i)i∈I là một phủ mở của f (X) Thế thì (f−1(V i))i∈I là một phủ mở của X.

Do X là compact, ta giả sử f−1(V i1), , f−1(V in) phủ X; suy ra V i1, , V in phủ

f (X).



Tập con S của không gian tôpô X đ-ợc gọi là compact t-ơng đối nếuu bao đóng

(dis 1) d(x, y) > 0 với mọi x 6= y và d(x, x) = 0 với mọi x.

(dis 2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y (tính đối xứng).

(dis 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z (bất đẳng thức tam giác).

Khi d là một khoảng cách trong X, ta nói (X, d) là một không gian metric Trong

tr-ờng hợp không có sự lầm lẫn giữa các khoảng cách khác nhau, ta có thể nói X

là một không gian metric, và ký hiệu d đ-ợc dùng để chỉ khoảng cách.

Giả sử X là không gian metric, x ∈ X và A ⊂ X; ta cũng định nghĩa khoảng cách

từ điểm x đến tập A, d(x, A):= inf{d(x, y) : y ∈ A}.

Giả sử S là một tập con của không gian metric (X, d) Khi đó thu hẹp d| S của d trên S là một metric trong S; nh- vậy S (với khoảng cách d| S) là không gian metric

và đ-ợc gọi là không gian con của không gian metric X Để đơn giản, nhiều khi

ta nói mỗi tập con là một không gian con của không gian metric đã cho

Giả sử a là một điểm của không gian metric (X, d) và r là một số thực d-ơng Tập

B(a; r):= {x ∈ X : d(x, a) < r } sẽ đ-ợc chúng ta gọi là hình cầu mở tâm a bán

kính r Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập B0(a; r):= {x ∈ X : d(x, a) ≤ r }.

Tập S ⊂ X đ-ợc gọi là mở (trong X) nếuu mỗi x ∈ S đều có hình cầu mở tâm

x sao cho hình cầu này là tập con của S Dễ thấy rằng họ tất cả các tập mở trong

không gian metric (X, d) là một tôpô trên X, tôpô này đ-ợc gọi là tôpô sinh bởi

khoảng cách Từ đây về sau (nếu không nói gì thêm), ta hiểu không gian metric

(X, d) là không gian với tôpô sinh bởi metric này.

Chúng ta nói d1 và d2 là các khoảng cách t-ơng đ-ơng nếuu chúng sinh ra cùng

một tôpô trên X; hay cũng vậy, ánh xạ đồng nhất từ không gian (X, d1) vào không

gian (X, d2) là một phép đồng phôi

Không gian metric X đ-ợc gọi là khả ly nếuu trong X tồn tại một tập không quá

đếm đ-ợc và trù mật

Ví dụ 1.2.1 Không gian Euclid Rn với khoảng cách thông th-ờng d(x, y):= kx−yk

là một không gian metric khả ly; tôpô sinh bởi metric này đ-ợc gọi là tôpô thôngth-ờng

Ví dụ 1.2.2 Giả sử X là một tập Thế thì d(x, y):= 1 với x 6= y và d(x, x):= 0 là

một khoảng cách trong X Tôpô sinh bởi metric này chính là tôpô rời rạc Không gian metric này không là khả ly nếu X quá đếm đ-ợc.

Định lý 1.14 Không gian metric là không gian Hausdorff.

Giả sử f là ánh xạ từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (Y, d) Ta

nói f là liên tục đều (trên X) nếuu: với mọi ε > 0, đều tồn tại δ > 0 sao cho

d(f (x1), f (x2)) < ε với mọi x1, x2 ∈ X mà d(x1, x2) < δ Hiển nhiên: nếu f liên tục đều trên X thì f là liên tục trên X.

Định lý 1.15 Giả sử f là ánh xạ từ không gian metric compact X vào không gian

metric Y Nếu f liên tục thì f là liên tục đều.

Chứng minh

Dành cho đọc giả xem nh- bài tập



Các khoảng cách d1, d2 đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng đồng đều nếuu ánh xạ đồng nhất

từ không gian (X, d1) vào không gian (X, d2) và ánh xạ ng-ợc của nó là các ánhxạ liên tục đều

Ví dụ 1.2.3 Xét không gian véc tơ Rn Có thể chứng minh đ-ợc tính t-ơng đ-ơng

đồng đều giữa các khoảng cách d trong R n có cùng tính chất: d(x, y) = d(x+z, y+z)

và d(λx, λy) = |λ|d(x, y) với mọi x, y, z ∈ R n , mọi λ ∈ R.

Ví dụ 1.2.4 Giả sử (X1, d) và (X2, d) là các không gian metric Với mọi cặp điểm

Dễ dàng thấy rằng d1 d2, d∞ là các khoảng cách t-ơng đ-ơng đồng đều trong

X1 ì X2 Từ đây về sau, nếu không nói gì thêm, ta hiểu tích của hai không gian

metric (X1, d) và (X2, d) là không gian X1ì X2 với khoảng cách d là một trong ba

khoảng cách nêu trên

Định lý 1.16 Giả sử (X, d) là không gian metric Khi đó hàm khoảng cách d là

liên tục đều trên X ì X.

Chứng minh

Dành cho đọc giả xem nh- bài tập



1.2.2 Giới hạn

Giả sử A là một tập con của không gian metric X, a là một điểm dính của A và f

là một ánh xạ từ A vào không gian metric Y Tr-ớc hết chúng ta giả sử a / ∈ A Ta

nói rằng f (x) có giới hạn b khi x dần đến a, x ∈ A nếuu ánh xạ g từ A ∪ {a} vào

Y xác định bởi g(x) = f (x) với x ∈ A \ {a} và g(a) = b là liên tục tại a Trong

tr-ờng hợp a ∈ A, ta nói rằng f (x) có giới hạn b khi x ∈ A dần đến a nếuu ánh xạ

f liên tục tại a và f (a) = b Trong tr-ờng hợp f (x) có giới hạn b khi x ∈ A dần

đến a, ta ký hiệu b = lim

x→a,x∈A f (x).

Hiển nhiên là nếu f có giới hạn khi x ∈ A dần đến a thì giới hạn là duy nhất.

Một tr-ờng hợp đặc biệt là giới hạn của dãy Trên đ-ờng thẳng thực mở rộng, điểm

+∞ là điểm dính của tập các số tự nhiên N Một ánh xạ từ tập N vào không gian metric X, th-ờng đ-ợc ký hiệu là (x n ) và đ-ợc gọi là dãy trong X Nếu a ∈ X là giới hạn của ánh xạ này tại điểm +∞ theo tập N thì ta nói a là giới hạn của dãy

(x n ) (hoặc nói: dãy (x n) hội tụ đến a) và viết a = lim

n→∞ x n

Hiển nhiên là: a = lim

n→∞ x n khi và chỉ khi với mọi lân cận V của điểm a đều tồn tại

số n0 sao cho x n ∈ V với mọi n ≥ n0 Cũng vậy, a = lim

n→∞ x n khi và chỉ khi với

mọi ε > 0 đều tồn tại số n0 sao cho nếu n ≥ n0 thì d(x n , a) < ε.

Điểm b đ-ợc gọi là điểm giới hạn của dãy (x n ) nếuu có dãy con (x nk) sao cho

b = lim

k→∞ x nk Chú ý rằng một dãy có thể có nhiều điểm giới hạn; chẳng hạn dãy

(x n ) cho bởi: x 2n = 1/(2n + 1), x 2n+1 = 1 + 1/(2n + 1).

Định lý 1.17 Giả sử a ∈ X và A ⊂ X Thế thì: a ∈ A khi và chỉ khi tồn tại dãy

(x n ) các điểm của A sao cho a = lim

n→∞ x n

Chứng minh.

Do A ∩ B(a; 1/n) 6= ∅, suy ra có dãy (x n ) các điểm của A thoả d(x n , a) < 1/n.

Đọc giả hãy tự chứng minh chiều ng-ợc lại



Định lý 1.18 Giả sử f là ánh xạ từ tập con A của không gian metric X vào không

gian metric Y và a ∈ A Để f có giới hạn b ∈ Y tại a theo tập A, điều kiện cần và

đủ là với mọi dãy (x n ) những điểm của tập A, hội tụ đến a, dãy f (x n) phải hội tụ

đến b.

Chứng minh

00 ⇒ 00Giả sử f có giới hạn b ∈ Y tại a theo tập A, dãy (x n ) những diểm của A và hội tụ đến a Thế thì với mọi ε > 0 đều tồn tại δ > 0 sao cho x ∈ A, d(x, a) < δ kéo theo d(f (x), b) < ε Vì dãy (x n ) những diểm của A và hội tụ đến a nên có

số n0 để từ n ≥ n0 kéo theo d(x n , a) < δ Vậy khi n ≥ n0 ta có d(f (x n ), b) < ε.

00

⇐ 00Chúng ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử b không là giới hạn của f tại a, theo tập A Khi đó tồn tại ε0 > 0 sao cho với mọi n > 0 đều có x n ∈ A thoả

d(x n , a) < 1/n và d(f (x n ), b) ≥ ε0 Điều này có nghĩa là dãy (x n) những điểm của

tập A, hội tụ đến a, nh-ng dãy f (x n ) không hội tụ đến b.



Tập con S của không gian metric (X, d) đ-ợc gọi là tập bị chặn (giới nội) nếuu

đ-ờng kính của tập S, δ(S):= sup {d(x, y) : x, y ∈ S} là hữu hạn Tập con S

đ-ợc gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếuu với mọi ε > 0 đều tồn tại phủ của S, gồm

hữu hạn các tập có đ-ờng kính kính không quá ε.

Tập bị chặn không nhất thiết là hoàn toàn bị chặn; nh-ng tập hoàn toàn bị chặn nhấtthiết phải là tập bị chặn, bởi vì

1.2.3 Không gian metric đầy đủ

Dãy (x n) trong không gian metric đ-ợc gọi là dãy Cauchy nếuu nó thoả mãn: với

mọi ε > 0 đều tồn tại số n0 sao cho nếu p ≥ n0 và q ≥ n0 thì d(x p , x q ) < ε.

Hiển nhiên, mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy Điều ng-ợc lại nói chung là không

đúng

Không gian metric X đ-ợc gọi là đầy đủ nếuu mọi dãy Cauchy đều hội tụ Đọc

giả hãy chứng minh đ-ờng thẳng thực với khoảng cách thông th-ờng là không gian

đầy đủ

Hiển nhiên: dãy Cauchy đối với khoảng cách d thì cũng vẫn là dãy Cauchy đối với mọi khoảng cách t-ơng đ-ơng đồng đều với d; do đó: nếu không gian metric là đầy

đủ thì nó vẫn là đầy đủ đối với mọi khoảng cách t-ơng đ-ơng đồng đều

Định lý 1.20 Cho X là một không gian metric Khi đó ba phát biểu sau là t-ơng

đ-ơng:

1) X là compact.

2) Mọi dãy trong X đều có điểm giới hạn.

3) X đầy đủ và hoàn toàn bị chặn.

Định lý 1.23 (Định lý Baire) Giả sử X là không gian metric đầy đủ và là hợp của

dãy (F n)∞n=1 các tập con đóng Khi đó có n để F n chứa một hình cầu mở

Chứng minh.

Chúng ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử với mọi x ∈ X, mọi r > 0, mọi n ta

đều có B(x; r)∩(X \F n ) 6= ∅ Lấy x0 ∈ X và r0 > 0 Do B(x0; r0)∩(X \F1) 6= ∅ và

là tập mở nên có hình cầu đóng B0(x1; r1) ⊂ B(x0; r0) ∩ (X \ F1) với r1 < 1 Giả sử

ta đã có các các hình cầu đóng B0(x i ; r i ) có tính chất: r i < 1/i, B0(x i ; r i ) ⊂ (X \F i)

và B0(x i ; r i ) ⊂ B0(x i−1 ; r i−1 ) với mọi i : 1 ≤ i ≤ n Vì B(x n ; r n ) ∩ (X \ F n+1) 6= ∅

và là tập mở nên có hình cầu đóng B0(x n+1 ; r n+1 ) ⊂ B(x n ; r n ) ∩ (X \ F n+1) với

r n+1 < 1/(n + 1) Bởi qui nạp, chúng ta có dãy các hình cầu đóng B0(x n ; r n)

thoả mãn: r n < 1/n, B0(x n ; r n ) ⊂ (X \ F n ) và B0(x n ; r n ) ⊂ B0(x n−1 ; r n−1) với mọi

Định lý 1.24 (Định lý ánh xạ co). Giả sử X là không gian metric đầy đủ và

f : X → X Nếu có hằng số c, 0 < c < 1, sao cho

d(f (x), f (y)) ≤ c.d(x, y) với mọi x, y ∈ X,

thì f là liên tục đều và có duy nhất điểm bất động x0 Hơn nữa, với bất kỳ x ∈ X,

rằng: f (x0) = x0.

Đọc giả hãy chứng minh tính duy nhất của điểm bất động

Giả sử f là một song ánh từ không gian metric X lên không gian metric Y Ta nói

f là một phép đẳng cự nếuu d(f (x1), f (x2))= d(x1, x2) với mọi x1, x2 ∈ X Khi

có một phép đẳng cự từ X lên Y, ta nói: X đẳng cự với Y Quan hệ đẳng cự là

quan hệ t-ơng đ-ơng

Định lý 1.25 (Đầy đủ hoá không gian metric) Giả sử X là không gian metric Khi

đó tồn tại không gian metric đầy đủ Y sao cho X đẳng cự với một không gian con trù mật X0 của Y Hơn thế nữa, nếu Z là một không gian metric đầy đủ sao cho X

đẳng cự với một không gian con trù mật của Z thì Z đẳng cự với Y.

Chứng minh

Ký hiệu S(X) là tập tất cả các dãy Cauchy x = (x n ) trong không gian metric X Xét quan hệ hai ngôi trên S(X) : x ∼ y nếuu lim n→∞ d(x n , y n ) = 0 Dễ thấy ∼ là quan

hệ t-ơng đ-ơng Ký hiệu Y là tập các lớp t-ơng đ-ơng, Y := {[x] : x ∈ S(X)} Với [x], [y] ∈ Y, đặt d([x], [y]):= lim n→∞ d(x n , y n); dễ thấy rằng đây là một khoảng cách

trong Y và Y là một không gian metric đầy đủ Đặt X0:= {[x] ∈ Y : x là dãy hằng}.

Dễ thấy X đẳng cự với X0 Đọc giả hãy tự chứng minh tiếp phần còn lại của định

lý



1.2.4 Các định lý về suy rộng

Định lý 1.26 (Nguyên lý suy rộng đẳng thức) Giả sử f, g là các ánh xạ liên tục

từ không gian metric X vào không gian metric Y và S là tập con trù mật trong X Nếu f (x) = g(x) với mọi x ∈ S thì f = g.

Định lý 1.27 Giả sử f, g là các ánh xạ liên tục từ không gian metric X vào đ-ờng

thẳng thực mở rộng R Khi đó {x ∈ E : f (x) ≤ g(x)} là tập đóng.

Chứng minh

Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.



Định lý 1.28 (Nguyên lý suy rộng bất đẳng thức) Giả sử f và g là các ánh xạ liên

tục từ không gian metric X vào đ-ờng thẳng thực mở rộng; S là tập con trù mật trong X Nếu f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ S thì f ≤ g.

Chứng minh

Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập



Định lý 1.29 Giả sử S là tập con trù mật trong không gian metric X và f là ánh

xạ từ S vào không gian metric Y Thế thì: để có f : X → Y liên tục và là suy rộng của f, điều kiện cần và đủ là với mọi x ∈ X, đều tồn tại giới hạn lim

Định lý 1.30 Giả sử S là tập con trù mật trong không gian metric X và f là ánh

xạ liên tục đều từ S vào không gian metric đầy đủ Y Khi đó tồn tại f : X → Y liên tục và là suy rộng của f ; hơn nữa f là duy nhất và liên tục đều.

Chứng minh

Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập



Trong ch-ơng này và những ch-ơng sau, khi nói về các không gian véc tơ, chúng

ta luôn luôn hiểu rằng đó là các không gian véc tơ trên tr-ờng Φ- là tr-ờng số thựchoặc tr-ờng số phức

Trong cùng một phát biểu có nói đến nhiều không gian véc tơ, chúng ta hiểu cáckhông gian ấy là trên cùng một tr-ờng

1.3.1 Không gian định chuẩn

Chúng ta sẽ gọi ánh xạ k.k từ không gian véc tơ E vào R, x → kxk là một chuẩn

nếuu nó thoả ba tính chất sau đây:

(nor 1) kxk > 0 với mọi x 6= 0 và k0k = 0.

(nor 2) kλxk = |λ| kxk với mọi x ∈ E và mọi λ ∈ Φ.

(nor 3) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y (Bất đẳng thức tam giác )

Khi k.k là một chuẩn trong E, ta nói (E, k.k) là một không gian định chuẩn (trong

tr-ờng hợp không có sự lầm lẫn giữa các chuẩn khác nhau, ta có thể nói E là không gian định chuẩn và ký hiệu chuẩn là k.k ).

Giả sử E là một không gian định chuẩn và F là một không gian véc tơ con của E.

Dễ thấy rằng thu hẹp của k.k trên F cũng là một chuẩn, và nh- vậy ta có thể nói

về không gian con của không gian định chuẩn.

Định lý 1.31 Giả sử x → kxk là một chuẩn trong không gian véc tơ E Khi đó

d(x, y):= kx − yk là một khoảng cách trong E có tính chất: d(x + z, y + z) = d(x, y)

và d(λx, λy) = |λ| d(x, y).

Chứng minh

Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập



Từ đây về sau, nếu không nói gì thêm, ta hiểu mỗi không gian định chuẩn là một

không gian metric với khoảng cách sinh bởi chuẩn, d(x, y):= kx − yk; và do đó

nó là một không gian tôpô (sinh bởi chuẩn (metric) vừa nêu)

Định lý 1.32 Nếu E là không gian định chuẩn trên tr-ờng Φ và λ0 ∈ Φ thì các

ánh xạ E ì E → E, (x, y) → x + y; E → E, x → λ0x là liên tục đều và ánh xạ

Định lý 1.33 Nếu F là một không gian con của không gian định chuẩn E thì bao

đóng của F cũng là một không gian con của E.

Chứng minh

Đọc giả hãy tự chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất của giới hạn dãy



Định lý sau đây th-ờng đ-ợc coi nh- là một bổ đề dùng để chứng minh một số định

Các chuẩn k.k1 và k.k2 trong không gian véc tơ E đ-ợc gọi là các chuẩn t-ơng

đ-ơng nếuu tồn tại các số d-ơng c, C sao cho c kxk1 ≤ kxk2 ≤ C kxk1 với mọi

x ∈ E Hiển nhiên: các chuẩn t-ơng đ-ơng sẽ sinh ra các metric t-ơng đ-ơng đồng

Dễ dàng thấy rằng k.k1, k.k2, k.k∞, là các chuẩn t-ơng đ-ơng trong E1 ì E2 Từ

đây về sau, nếu không nói gì thêm, ta hiểu chuẩn trong không gian tích E1ì E2 làmột chuẩn nào đó trong ba chuẩn vừa nêu trên

Không gian định chuẩn đầy đủ, còn đ-ợc gọi là không gian Banach.

Theo Định lý 1.22 thì mọi không gian con đóng của không gian Banach đều là

Banach Ng-ợc lại, theo định lý 1.21 nếu không gian con F (của không gian định chuẩn E) là Banach thì F là đóng trong E Nh- vậy, ta nhận đ-ợc định lý sau đây:

Định lý 1.35 Giả sử F là không gian định chuẩn con của không gian Banach E.

Thế thì: F là Banach khi và chỉ khi F là đóng trong E.

1.3.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn

Giả sử (x n ) là dãy trong không gian định chuẩn E Chúng ta gọi tổng hình thức

P∞

n=0 x n là một chuỗi (trong E) và s n =Pn

i=0 x i là tổng riêng (thứ n) của chuỗi.

Chuỗi đ-ợc gọi là hội tụ hay phân kỳ tuỳ thuộc vào tính hội tụ hay phân kỳ của

dãy tổng riêng Nếu dãy tổng riêng có giới hạn là s thì ta cũng nói tổng của chuỗi

bằng s và viết s =P∞

n=0 x n

n=0 x n trong không gian Banach đ-ợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếuu chuỗi

Ký hiệu λ là số phức liên hợp của số phức λ

Giả sử E là không gian véc tơ trên tr-ờng Φ và < ã, ã > là một dạng Hermite trên

E, có nghĩa: ánh xạ < ã, ã > từ E ì E vào Φ, (x, y) →< x, y > tuyến tính đối với

biến thứ nhất và thoả mãn < y, x >= < x, y > với mọi x, y ∈ E Trong tr-ờng hợp

E là không gian véc tơ thực thì dạng Hermite chính là ánh xạ song tuyến tính đối

xứng

Dạng Hermite đ-ợc gọi là xác định d-ơng nếu nó thoả mãn thêm điều kiện <

x, x >> 0 với mọi x 6= 0 Từ đây về sau chúng ta chỉ xét dạng Hermite xác định

Chứng minh.

Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập



Khi dạng Hermite < ã, ã > là xác định d-ơng trên E, dễ thấy rằng kxk:=< x, x > 1/2

là một chuẩn trong E; không gian định chuẩn (E, k.k) còn đ-ợc gọi là không gian

tiền Hilbert.

Ta nói hai véc tơ x, y ∈ E là trực giao (vuông góc) với nhau, ký hiệu x ⊥ y, nếuu

< x, y >= 0.

Từ định nghĩa của chuẩn, chúng ta dễ dàng chứng minh đ-ợc hai định lý sau đây:

Định lý 1.40 (Định lý Pythago): nếu các vec tơ x, y vuông góc với nhau thì

hệ trực giao Mỗi hệ trực giao (v i)i∈I mà kv i k = 1 với mọi i, đ-ợc chúng ta gọi là

một hệ trực chuẩn Hiển nhiên: nếu (v i)i∈I là một hệ trực giao thì (v i /kv ik)i∈I là

một hệ trực chuẩn Chúng ta sẽ nói họ (v i)i∈I là một hệ toàn vẹn nếuu không gian

con sinh bởi họ này là trù mật trong E Hệ trực giao và toàn vẹn đ-ợc gọi là cở sở trực giao của không gian E (không nên nhầm lẫn với khái niệm cơ sở của không

gian véc tơ; không nhất thiết mọi véc tơ đều là tổ hợp tuyến tính của một số hữu

hạn các phần tử của cơ sở trực giao) Hệ trực chuẩn và toàn vẹn đ-ợc gọi là cở sở

trực chuẩn của E.

Không gian tiền Hilbert (E, k.k) đầy đủ sẽ đ-ợc chúng ta gọi là không gian Hilbert.

Hiển nhiên: không gian Euclid Rn là một không gian Hilbert

Ví dụ 1.3.2 Không gian `2 tất cả các dãy số thực x = (x n) sao choP

Định lý 1.42 Giả sử E là không gian tiền Hilbert và F là một không gian véc tơ

con đầy đủ (tức là, một không gian Hilbert) Thế thì với mỗi x ∈ E đều có duy nhất một điểm y = P F (x) ∈ F (đ-ợc gọi là hình chiếu vuông góc của x lên F )

sao cho kx − yk= d(x, F ) Điểm y = P F (x) cũng chính là điểm duy nhất z ∈ F sao cho x − z vuông góc với F.

Chứng minh.

Giả sử a = d(x, F ); theo định nghĩa, có dãy (y n ) những điểm của F sao cho

limn→∞ kx − y n k = a Từ luật hình bình hành, ta suy ra

Bây giờ giả sử 0 6= z ∈ F Với mọi số thực t 6= 0 ta đều có kx − (y + tz)k > a2, suy

Chúng ta chỉ cần chứng minh sự tồn tại cơ sở trực giao Gọi B là họ gồm tất cả các

hệ trực giao của E Trên B xét quan hệ thứ tự nh- sau: B1  B2 nếuu B1 ⊂ B2.

Chúng ta thấy rằng: nếu (B i)i∈I là một xích thì ∪i∈I B i là một cận trên của nó Theo

bổ đề Zorn, giả sử B là một phần tử cực đại của B Gọi F là bao đóng của không gian con sinh bởi B Nếu có x ∈ E \ F thì theo Định lý 1.42, z = x − P F (x) 6= 0

và vuông góc với F ; điều này mâu thuẫn với tính cực đại của B.



Định lý 1.44 Giả sử (a i)i∈I là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert E Với

x ∈ E, đặt x i =< x, a i > (gọi là hệ số Fourier của x ứng với a i) Khi đó ta có

Từ bất đẳng thức trên ta suy ra: với mọi số nguyên d-ơng n, tập I(x, n) = {i ∈

Đặt s =X

i∈I

x i a i nếu s 6= x thì kx − sk−1(x − s) là véc tơ đơn vị và vuông góc với

hệ (a i)i∈I , mâu thuẫn với giả thiết tối đại của hệ (a i)i∈I



6 Giả sử S là không gian tôpô con của không gian tôpô X và A là tập con của

S Chứng minh rằng A là đóng trong S khi và chỉ khi có tập con đóng B của

9 Giả sử X là không gian tôpô và S là tập mở của X Chứng minh rằng: S

cùng với các điểm ngoài của nó là tập trù mật khắp nơi

10 Giả sử X là không gian compact và S là tập đóng của X Chứng minh rằng

S là tập compact.

11 Giả sử X là không gian Hausdorff và S ⊂ X, là tập compact Chứng minh rằng S là tập đóng Hãy đ-a ra một ví dụ mà tập con đóng không là tập

compact

12 Giả sử X là không gian tôpô, c ∈ X và (x n ) là một dãy trong X Ta nói c là

điểm tụ của dãy (x n ) nếuu mọi tập U mở chứa c, đều có vô số n để x n ∈ U.

Ta cũng giả sử X có hệ cơ sở đếm đ-ợc Chứng minh rằng: X là compact khi và chỉ khi mọi dãy trong X đều có điểm tụ.

13 Giả sử (X, τ ) là không gian compact địa ph-ơng nh-ng không là compact Chứng minh rằng có không gian compact (Y, ν) và y ∈ Y sao cho (X, τ ) đồng phôi với Y \ {y} và X là trù mật trong (Y, ν) (không gian (Y, ν) đ-ợc gọi là không gian compact hoá của không gian tôpô X).

14 Giả sử X là một tập không rỗng Chứng minh rằng hàm cho bởi d(x, y):= 1 nếu x 6= y và d(x, x):= 0, là một siêu metric, tức là

d(x, y) > 0 nếu x 6= y, d(x, x) = 0,

d(x, y) = d(y, x), d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}

(hiển nhiên là một metric); và (X, d) là không gian tôpô rời rạc.

15 Chứng minh rằng không gian metric là không gian Hausdorff

16 Hãy chỉ ra một không gian tôpô (X, τ ) sao cho không có một metric nào trên

X, sinh ra tôpô τ.

17 Giả sử (x n ) là dãy trong không gian metric X.

a) Chứng minh rằng: nếu dãy (x n) hội tụ thì giới hạn là duy nhất;

b) Chứng minh rằng: nếu dãy (x n ) hội tụ thì (x n) phải là dãy Cauchy Hãychỉ ra một dãy Cauchy không hội tụ;

c) Chứng minh rằng dãy Cauchy là bị chặn Hãy chỉ ra một dãy bị chặn nh-ngkhông là dãy Cauchy;

18 Giả sử X là không gian metric và S là tập con của X Chứng minh rằng: nếu

21 Cho X là một không gian metric Chứng minh rằng các phát biểu sau là t-ơng

đ-ơng:

a) X là compact;

b) mọi dãy trong X đều có điểm giới hạn;

c) X đầy đủ và hoàn toàn bị chặn.

22 Chứng minh rằng: tập compact trong không gian metric phải là tập đóng và

x ∈ A} và h(A, B) = max{%(A, B), %(B, A)} Chứng minh rằng h là một

metric trong K(X) (đ-ợc gọi là khoảng cách Hausdorff); hơn nữa, nếu X đầy

đủ thì (K(X), h) cũng là đầy đủ.

26 Giả sử (X, d) là không gian metric. Chứng minh rằng các hàm cho bởi

d1(x, y):= ln(1+d(x, y)), d2(x, y):= d(x, y)

1 + d(x, y) , d3(x, y):= max{1 , d(x, y)}, cũng là các metric trong X Hơn thế nữa, với mỗi m ∈ {1, 2, 3}, ánh xạ

id : (X, d) → (X, d m) và ng-ợc của nó là các ánh xạ liên tục đều; và do đó

(X, d) đồng phôi với (X, d m ).

27 Giả sử (X, d) là không gian metric, x ∈ X và S là tập con không rỗng của

X Chứng minh rằng:

a) x là điểm dính của S khi và chỉ khi d(x, S) = 0;

b) x là điểm ngoài của S khi và chỉ khi d(x, S) > 0.

28 Giả sử X là không gian metric và a ∈ X Chứng minh rằng

B0(a; r) = B(a; r) và B(a; r) =

◦

B0(a; r);

suy ra B0(a; r) là tập đóng và B(a; r) là tập mở.

29 Giả sử f là ánh xạ liên tục đều từ không gian metric X vào không gian metric

Y và (x n ) là dãy Cauchy trong X Chứng minh rằng (f (x n)) là dãy Cauchy

trong Y.

30 Giả sử f và g là các ánh xạ liên tục từ không gian metric X vào không gian metric Y ; S là tập con trù mật trong X Chứng minh rằng: nếu f (x) = g(x) với mọi x ∈ S thì f = g.

31 Giả sử f và g là các ánh xạ liên tục từ không gian metric X vào đ-ờng thẳng thực mở rộng R Chứng minh rằng {x ∈ E : f (x) ≤ g(x)} là tập đóng.

32 Giả sử f và g là các ánh xạ liên tục từ không gian metric X vào đ-ờng thẳng thực mở rộng; S là tập con trù mật trong X Chứng minh rằng: nếu

f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ S thì f ≤ g.

33 Giả sử S là tập con trù mật trong không gian metric X và f là ánh xạ từ S vào không gian metric Y Chứng minh rằng: để có g: X → Y liên tục và là suy rộng của f, điều kiện cần và đủ là: với mọi x ∈ X, đều tồn tại giới hạn

limy→x,y∈S f (y); và trong tr-ờng hợp này, ánh xạ g là duy nhất.

34 Giả sử S là tập con trù mật trong không gian metric X và f là ánh xạ liên tục đều từ S vào không gian metric đầy đủ Y Chứng minh rằng tồn tại ánh xạ g: X → Y, liên tục và là suy rộng của f ; hơn nữa g là duy nhất và liên tục

37 Giả sử X là không gian metric đầy đủ và f : X → X là ánh xạ sao cho có

m > 0 để f ◦m là ánh xạ co Chứng minh rằng f có điểm bất động.

38 Giả sử E là không gian định chuẩn Chứng minh rằng |kxk − kyk| ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ E; suy ra ánh xạ x → kxk là liên tục đều trên E.

39 Giả sử A, B là các tập con không rỗng của không gian định chuẩn E và t là

d) nếu A và B là các tập compact thì A + B cũng là tập compact;

e) nếu A compact và B đóng thì A + B là đóng Hãy đ-a ra ví dụ chứng tỏ:

tổng của hai tập đóng không còn là tập đóng

40 Chứng minh rằng mọi chuẩn trong Rm đều t-ơng đ-ơng

41 Chứng minh rằng R là compact địa ph-ơng, nh-ng không là compact.

42 Giả sử V là không gian con m chiều của không gian định chuẩn thực E Chứng minh rằng V đồng phôi với R m; suy ra: mỗi không gian con hữu hạn

chiều của E đều là compact địa ph-ơng, nh-ng không là compact.

43 Chứng minh rằng: không gian định chuẩn vô hạn chiều không là compact địaph-ơng

44 Giả sử S là một tập không rỗng và B(S) là tập tất cả các hàm số (thực hoặc phức) giới nội trên S Phép cộng trong B(S) là cộng các hàm số và phép

nhân với l-ợng vô h-ớng là phép nhân hàm số với một số Chứng minh rằng

kf k∞:= sup{|f (x)| : x ∈ S} là một chuẩn trong B(S) và (B(S), k.k∞) làkhông gian Banach

45 Giả sử E là không gian véc tơ, gồm tất cả các dãy số (thực hoặc phức)

x = (x n) bằng không hầu hết, trừ một số hữu hạn các phần tử của dãy

Đặt kxk1:=P

n |x n | , kxk2 := P

n |x n|2
1/2

, kxk∞:= sup{|x n | : n} Chứng minh rằng: k.k1, k.k2, k.k∞ là các chuẩn trong E Với mỗi m ∈ {1, 2, ∞}, không gian (E, k.k m) có là Banach ?

46 Giả sử F là không gian véc tơ, gồm tất cả các dãy số (thực hoặc phức) x = (x n)sao cho chuỗi P

n |x n | hội tụ Chứng minh rằng: (E, k.k1) trong Bài tập 45

là không gian con trù mật của không gian Banach (F, k.k1).

47 Cho F là không gian con của không gian định chuẩn E Trên E, ta xác lập quan hệ hai ngôi: x ∼ y nếuu x − y ∈ F Chứng minh rằng:

a) ∼ là quan hệ t-ơng đ-ơng;

b) tập th-ơng E/ ∼ = {[x] : x ∈ E} là không gian véc tơ với các phép toán

cho bởi

[x] + [y] := [x + y] và t[x] := [tx] , trong đó t là l-ợng vô h-ớng; c) (E/ ∼ , k.k) là không gian định chuẩn (không gian th-ơng, ký hiệu là E/F ), với k [x] k := inf {sup

n

kv n k : (v n ) ∈ [x]}.

48 Ký hiệu S(E) là tập tất cả các dãy Cauchy x = (x n) trong không gian định

chuẩn E Xét quan hệ hai ngôi trên S(E) : x ∼ y nếuu lim n→∞ x n − y n = 0.

Chứng minh rằng ∼ là quan hệ t-ơng đ-ơng Ký hiệu tập các lớp t-ơng đ-ơng

là S(E)/ ∼ = {[x] : x ∈ S(E)} Với [x], [y] ∈ S(E)/ ∼ , đặt k[x] − [y]k =

limn→∞ kx n − y n k Chứng minh rằng: (S(E)/ ∼ , k.k) là một không Banach (đ-ợc gọi là không gian đầy đủ hoá của không gian định chuẩn E), và nó

có không gian con trù mật đẳng cự tuyến tính với E; hơn thế nữa: nếu F là không gian Banach, có không gian con trù mật đẳng cự tuyến tính với E, thì

F đẳng cự tuyến tính với (S(X)/ ∼ , k.k).

49 Giả sử G là tập gồm tất cả các dãy số phức x = (x n) sao cho chuỗi P

n |x n|2

hội tụ Trong G, ta định nghĩa < x, y >:=P

n x n y n và kxk2 :=< x, x > 1/2

Chứng minh rằng (G, k.k2) là không gian Hilbert khả ly

50 Giả sử I = [−1; 1] ⊂ R Ký hiệu CC(I) là tập tất cả các hàm số phức liên tục trên I Đặt < f, g >:=R1

1 f (t) g(t) dt và kf k2 :=< f, f > 1/2

a) Chứng minh rằng (CC(I), k.k2) là không gian tiền Hilbert và (ϕ m /

√2)m∈Z

là một hệ trực chuẩn, trong đó ϕ m (t) := e πmit;

b) Chứng minh rằng (CC(I), k.k∞) là không gian Banach con của không gianBanach (BC(I), k.k∞);

c) Chứng minh rằng kf k1 := Rb

a |f (t)| dt là một chuẩn trong CC(I), nh-ng

(CC(I), k.k1) không là không gian Banach; suy ra k.k1 và k.k∞ là các chuẩnkhông t-ơng đ-ơng

51 Giả sử E là không gian Hilbert và (v i)i∈I là một hệ trực chuẩn Chứng minhcác phát biểu sau là t-ơng đ-ơng:

a) (v i)i∈I là một hệ toàn vẹn;

b) (v i)i∈I là một hệ cực đại các véc tơ trực chuẩn;

c) ∀v ∈ E : nếu < v, v i >= 0 với mọi i, thì v = 0.

52 Giả sử v1, , v n là n véc tơ độc lập lập tuyến tính trong không gian Hilbert Hãy tìm hệ u1, , u n các véc tơ trực chuẩn thoả mãn

Span {u1, , u m } = Span {v1, , v m } với mọi m ≤ n.

53 Giả sử E là không gian Hilbert vô hạn chiều Chứng minh rằng: E khả ly khi

và chỉ khi E có cơ sở trực chuẩn đếm đ-ợc.

54 Hãy đầy đủ hoá không gian tiền Hilbert

Các ánh xạ tuyến tính liên tục

2.1.1 Các ánh xạ tuyến tính liên tục

Giả sử E, F là các không gian định chuẩn trên cùng một tr-ờng Φ, là tr-ờng số thực

hoặc phức, và T là một ánh xạ từ E vào F Chúng ta nói T là ánh xạ tuyến tính

nếuu với mọi x, x1, x2 ∈ E, mọi λ ∈ Φ ta đều có T (x1+ x2) = T (x1) + T (x2) và

E vào không gian định chuẩn F là L(E; F ) Với phép cộng ánh xạ và phép nhân với

Giả sử (T n ) là một dãy Cauchy trong L(E; F ) Khi đó với mỗi x ∈ E, do kT m (x) −

T n (x)k ≤ kT m − T n k kxk nên (T n (x)) là một dãy Cauchy trong F Vì F đầy đủ, ta giả sử T (x) là giới hạn của dãy (T n (x)) Dễ thấy ánh xạ x → T (x) là tuyến tính.

Do dãy (T n ) là bị chặn nên T bị chặn; suy ta ánh xạ tuyến tính T là liên tục.

Chúng ta còn phải chứng tỏ T = lim n→∞ T n Do (T n) là một dãy Cauchy nên với

mọi  > 0 đều có N để kT n − T m k < /2 với mọi m, n > N Với mọi n > N, mỗi

x ∈ E, kxk ≤ 1 ta đều có

kT n (x)−T (x)k ≤ kT n (x)−T m (x)+kT m (x)−T (x)k ≤ kT n −T m k+kT m (x)−T (x)k Khi m > N, đủ lớn để kT m (x) − T (x)k < /2 ta có k(T n − T )(x)k < ; và nh- vậy

kT n − T k ≤ .



Không gian L(E; Φ) còn đ-ợc gọi là không gian các phiếm hàm trên E Do Φ (là

R hoặc C ) là đầy đủ, nên không gian các phiếm hàm là không gian Banach

Định lý 2.4 (Định lý Banach-Steinhaus) Cho họ (T i)i∈I các ánh xạ tuyến tính liên

tục từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F Thế thì hoặc là

họ (T i)i∈I bị chặn, hoặc là có dãy (D n ) các tập mở trù mật trong E sao cho họ (T i (x)) i∈I không bị chặn với mọi x ∈ D = ∩ n D n

Chứng minh

Đặt D n = ∪i∈I {x ∈ E : kT i (x)k > n} và D = ∩ n D n Đối với bất kỳ x ∈ D, bất

kỳ số số tự nhiên n, ta đều có x ∈ D n , suy ra có i ∈ I để kT i (x)k > n Nh- vậy, chúng ta đã chứng tỏ đ-ợc rằng họ (T i (x)) i∈I không bị chặn với mọi x ∈ D Giả sử

Hệ quả 2.4.1 (Nguyên lý bị chặn đều) Giả sử E là không gian Banach và (T i)i∈I

là họ các phần tử của L(E; F ) Giả sử rằng với mỗi x ∈ E, tập {T i (x) : i ∈ I} là

Định lý 2.5 (Định lý Hahn-Banach) Nếu F là không gian con của không gian định

chuẩn E và f là phiếm hàm trên F thì tồn tại phiếm hàm g trên E, là mở rộng của

b = sup{−f (z) − kz + vk : z ∈ F } ≤ c = inf{−f (y) + ky + vk : y ∈ F } Thế thì

Đối với tr-ờng hợp Φ = C Dễ dàng thấy rằng, nếu T là phiếm hàm trên E thì

ReT là phiếm hàm từ E vào R Vì mỗi x ∈ E đều có t ∈ R để T (e it x) =

e it T (x) = |T (x)| = ReT (e it x); suy ra kT k = kReT k Hơn nữa, chúng ta còn có

T (x) = ReT (x) − iReT (ix) Giả sử h là một mở rộng tuyến tính bảo toàn chuẩn

của Ref, từ không gian F + Cv vào R Đặt

g(x) = h(x) − ih(ix);

dễ suy ra g là một mở rộng tuyến tính của f, từ không gian F + Cv vào C Do kgk = khk = kRef k = kf k, nên g bảo toàn chuẩn.

Để chứng minh định lý, bây giờ ta xét họ

F= {(G, h) : G là không gian con chứa F, h là mở rộng của f lên G, khk = kf k} Trong họ này, xét quan hệ thứ tự: (M, k) ≺ (N, l) nếuu M ⊂ N và l là mở rộng của

Định lý 2.6 (Định lý Riesz) Giả sử E là không gian Hilbert Thế thì: f là phiếm

hàm trên E khi và chỉ khi có a ∈ E để f (x) =< x, a > với mọi x ∈ E Hơn nữa, phần tử a ∈ E thoả f (x) =< x, a > là duy nhất và kf k = kak.

Chứng minh

Giả sử f ∈ L(E; Φ) Tr-ớc hết ta chứng tỏ có a ∈ E để f (x) =< x, a > Nếu

f = 0, ta chỉ việc lấy a = 0 Giả sử f 6= 0 Đặt H = f−1(0) Dễ dàng thấy rằng H

là không gian con đóng (do đó cũng là đầy đủ) của E và H 6= E Từ định lý 1.42 suy ra có v ∈ H⊥ với kvk = 1 Với bất kỳ z ∈ H⊥ ta có f (v)z − f (z)v ∈ H ∩ H⊥,

suy ra f (v)z − f (z)v = 0 Do đó z = (f (z)/f (v))v Đặt α = f (v) 6= 0 và a = αv Cũng từ định lý 1.42 suy ra với mỗi x ∈ E đều có (duy nhất một) t ∈ Φ thoả

x = P H (x) + ta Suy ra

f (x) = f (ta) = tαα = tαα < v, v >=< ta, a >=< P H (x) + ta, a >=< x, a > Ng-ợc lại, f (x) =< x, a > với mọi x ∈ E Hiển nhiên f là tuyến tính; f liên tục vì theo bất đẳng thức Schwartz kf (x)k ≤ kak kxk.

Đọc giả hãy làm sáng tỏ phần còn lại của định lý



Giả sử F, G là các không gian con của không gian định chuẩn E sao cho F + G = E

và F ∩ G = {0} (trong tr-ờng hợp này ta nói E là trực tổng (đại số) của F và G,

ký hiệu là E = F ⊕ G, không gian con G đ-ợc gọi là phần bù đại số của F ) Khi

ánh xạ (x, y) → x + y từ F ì G vào E là một phép đồng phôi, ta nói E là trực tổng tôpô của F và G Một không gian con F (nhất thiết phải là đóng) của E đ-ợc gọi là thành phần trực tiếp tôpô nếuu tồn tại không gian con G để E là trực tổng tôpô của F và G; trong tr-ờng hợp này ta nói G là phần bù tôpô của không gian

con F.

Không gian con H của không gian định chuẩn E đ-ợc gọi là một siêu phẳng nếuu

E = H ⊕ Φa với mọi a / ∈ H Nếu f là một dạng tuyến tính trên E thì f−1(0) là

một siêu phẳng Ng-ợc lại, nếu H là một siêu phẳng, a / ∈ H Khi đó mọi x ∈ E

đều viết đ-ợc một cách duy nhất x = f (x)a + y, với y ∈ H Thế thì f là một dạng tuyến tính và H = f−1(0).

Định lý 2.7 Giả sử f là một dạng tuyến tính trên không gian định chuẩn E (trên

tr-ờng Φ) và H = f−1(0) Để H là đóng trong E, điều kiện cần và đủ là f liên tục Khi đó với mọi b / ∈ H, không gian E là trực tổng tôpô của H và không gian con một chiều Φb.

Chứng minh

Rõ ràng nếu f liên tục thì siêu phẳng H là đóng.

Bây giờ giả sử H là đóng và a / ∈ H đ-ợc chọn thoả f (a) = 1 Vì a + H cũng là

tục

Nếu b / ∈ H và với mọi x ∈ E ta có x = g(x)b + y, trong đó y ∈ H Thế thì

H = g−1(0) và có λ ∈ Φ, để g = λf Do g liên tục nên ánh xạ x → g(x)b liên tục; vậy E là trực tổng tôpô của H và Φb.

Định lý 2.8 Giả sử V là không gian con đóng và W là không gian con hữu hạn

chiều của không gian định chuẩn E Khi đó V + W là không gian con đóng của E.

Đặc biệt, mọi không gian con hữu hạn chiều đều là đóng trong E.

V là siêu phẳng đóng trong V + W nên f là dạng liên tục trên V + W Với mỗi

b ∈ V + W , giả sử (x n ) là dãy trong V + W, hội tụ đến b Do f liên tục nên dãy (f (x n )) hội tụ, giả sử đến λ ∈ Φ Thế thì dãy y n = x n − f (x n )a hội tụ đến b − λa.

Do V là đóng nên b − λa ∈ V, suy ra b ∈ V + W.