TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC
Trang 1TÍCH PHÂN HÀM PHÂN TH C, L NG GIÁC VÀ M – LOGARIT D I “CON
I Tr c khi tìm hi u v chuyên đ này chúng ta tìm hi u qua tích phân hàm nh th c
Có d ng x m(a bx n)p dx
v i ,a bR m n p, , , Q n p, , 0
Tùy thu c vào tính ch t và m i quan h qua l i gi a l y th a c a m, n, p mà ta có các cách đ t khác nhau
C th xét b ba s p; m 1; m 1 p
TH 1: N u p Z thì ta đ t q
x v i q là m u s chung nh nh t c a phân s t i gi n c a m và n t
Z p r s Z r s
ta đ t np
t a bx
c bi t
- N u p r Z
s
t a bx
- N u p r Z
s
và p2,3, ta có th s d ng tích phân t ng ph n, khi p TPTP m t l n, khi 2 p 3 TPTP hai l n, …
thì ta đ t n r
n
a bx
t x
Bài t p gi i m u:
TH 1: N u p Z thì ta đ t q
x v i q là m u s chung nh nh t c a phân s t i gi n c a m và n t
Bài 1: Tính tích phân sau
4
dx I
Gi i:
Ta có
1 1
1 1
dx
2
Cách 1:
2
x t
x t
dx tdt
Trang 2D : 01694 013 498
2
1
1
t t
Cách 2:
2
1 1
x t
x t
dx t dt
2
2
1
Z p r s Z r s
ta đ t np
t a bx
c bi t
- N u p r Z
s
t a bx
- N u p r Z
s
và p2,3, ta có th s d ng tích phân t ng ph n, khi p TPTP m t l n, khi 2 p 3 TPTP hai l n, …
Bài 2 : ( HDB – A 2003 – HNT – 1996) Tính tích phân sau 1 3 2
0
1
I x x dx
Gi i:
Phân tích
I x x dxx x xdx
2
m
n
Cách 1:
xdx tdt
I t t dt t t dt t t dt t t
Cách 2:
Trang 3t 2
1 1
2
xdx
1
I t t dt t t dt t t dt t t
Cách 4:
t xcost dx sintdt
Cách 4.1
t sint u costdt du
Khi đó
0
u u
Cách 4.2
0
Cách 4.3
2
t
Cách 5:
Cách 3: t 2
2
dt
t x xdx
Bài 3: Tính tích phân
3 2
x dx I
x
Gi i :
Cách 1: t
3 2
2
1
2
xdx t dt
Trang 4D : 01694 013 498
1 0
t x
t x
4
3 2
1
1
t x
Cách 2:
t
2 2
1 1
2
xdx
1 0
t x
t x
1
1
t dt
t
Cách 4: S d ng tích phân t ng ph n
2
2
1
1 4
2
d x x
Bài 4 : ( HAN – 1999) Tính tích phân 4
2
dx I
x x
Gi i:
Phân tích
4
2
9 9
dx
I
x x
2
m
n
t x
xdx tdt
4 7
t x
7
5
4
9
I
t
x x
Cách 2:
Trang 5t 2
9 9
2
xdx
Khi đó
25
1
1
2
9
dt I
đ n đây li u ta có th làm đ c không, có th đó b ng cách đ t
2
2
u t
u t
udu dt
… b n đ c gi i ti p nhé
Bài 5 : ( H KTQD – 1997) Tính tích phân sau: 1
6
0
1
I x x dx
Gi i:
I x x dxx x x dx
Nh n xét: m 5,n 3,p 6 Z m 1 0
n
Cách 1:
t
2 3
3
1
dt
x dx
t t
Cách 2:
Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau 2 2
0
1
I x x dx
Gi i:
Cách 1: S d ng ph ng pháp tích phân t ng ph n
2
1
2
x
Trang 6D : 01694 013 498
Cách 2:
dx dt
Khi đó
1
1
t t
I t t dt t t dt
Cách 3: S d ng ph ng pháp phân tích
x x x x x x x x
0
2
2
0
Cách 4: S d ng ph ng pháp đ a vào vi phân
x x x x x x
TH 3: N u m 1 p Z p, s, r s, Z
thì ta đ t n r
n
a bx
t x
Bài 7: Tính tích phân sau
2
dx I
Gi i:
2
m
n
2 1
x
t x
t
2 2 2
2 2
2 2
1 1 1
1
x t x
t
i c n
5 2
2 1
2
x
t
Ta có
5
3 2
2 2
6
2
1
2
t
t
x
Trang 7Bài 8: Tính tích phân sau:
1 3 1 4 3
1 3
dx x
x x
HD:
1
3
1
3 3 1
2
1 1
1
dx x x
1 3
1
3
m
n
2
dt dx t
Bài 9: Tính tích phân sau
3
2 3 3
2
dx I
x
Gi i :
2
m
n
t
2
2 2
1
x
t
tdt x
xdx
t
i c n
2 3 3
3 3
3 2
x
t x
t
2
3
2 3
I
t t
Bài t p t gi i:
Bài 1: ( HSP II HN – A 2000) Tính tích phân 2
3
dx I
x x
HD:
2
3 1
1
t
Bài 2 : ( HAN – A 1999) Tính tích phân
4
2 7
ln
1
dx I
x x
Trang 8D : 01694 013 498
Bài 3 : ( HBKHN – 1995) Tính tích phân
2
2 2 3
12 1
dx I
x x
Cách 1:
2
1
1
t
1
dt du
t
Cách 2: t
2
1
dx
C1: t 1
cos
x
t
2 0;
t
x
sin
1
C2: t 2
1
x t
C3: t 2
1
x t
C4: t x 1
t
C5: Phân tích 2 2
1 x 1 x
Bài 4: Tính tích phân
2 1
0 1
x
x
C1: t xtant
C2: Phân tích 3 2
1
x x x x
C3: t
2
2
1
u x
x
x
C4: t x t
x dxx xdx x d x
Bài 5 : ( HTM – 1997) Tính tích phân
0
141 20 1
x
x
Bài 6: (C KT KT I – 2004) Tính tích phân 2 4
5
x
x
Bài 7: (C Hàng h i – 2007) Tính tích phân 3 3 2
1
14 3 1
5
I x x dx
Bài 8: (C S Ph m Ti n Giang – 2006) Tính tích phân 9 3
1
468 1
7
I x x dx
Bài 9: (C Nông Lâm – 2006) Tính tích phân
1 2
0
1
3
I x x dx
Bài 10: (C Tài Chính K Toán IV – 2005) Tính tích phân 3 3 5 848
1
105
I x x dx
Trang 9Bài 11: ( C Kh i A, B – 2005) Tính tích phân 3 2
0
5
I x x dx
Bài 12: ( C GTVT – 2005) Tính tích phân 1 5 2
0
8 1
105
I x x dx
Bài 13: ( H H i Phòng – 2006) Tính tích phân
1
2 0
1
ln 2 2 1
x
x
0
2
9
I x x dx
Bài 15: ( C D t may th i trang Tp.HCM – 2007) Tính tích phân
3
2 2
1
3 1
1
dx
I
Bài 16: Tính tích phân
2 3
3
1
dx I
b Tích phân hàm phân th c, l ng giác, m – loga d i “con m t” c a tích phân hàm nh phân th c
I u x a bu x d u x
v i v i ,a bR m n p, , , Q n p, , 0
Và c th hóa tr ng h p 2 nh sau
Z p r s Z r s
t abu x ho c n
t a bu x
c bi t : N u p r Z
s
ta ch đ c đ t n
t a bu x
Ta xét các thí d sau đây
Thí d 1 ( H DB – B 2003) Tính tích phân sau ln 5 2
x x
e
e
L i gi i
2
1 1
x
x
e
e
2
m
n
u x e
1
2
x x
x
e dx tdt
t
Trang 10D : 01694 013 498
Cách khác: t e x 1 t
Thí d 2 ( H – B 2004 ) Tính tích phân sau
1
1 3ln ln
e
x x
x
L i gi i
1 3ln ln
x x
x
2
m
n
t
2
2
1 ln
3
1 3ln
2 3
t x
x t
dx
tdt x
2
1
Cách khác: t 1 3lnx
Thí d 3 (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau 3 2
1
e
x
L i gi i
x
3
m
n
2
x
x
i c n
3
3
3
3 4
3
3 3
3 3 2 3
t
Cách khác: t 2
2ln x t
Thí d 4 ( H – B 2010) Tính tích phân sau
1
ln
2 ln
e
x
L i gi i
Trang 11Ta có
2 2
ln
2 ln
x
1
n
t
2 ln
x t
dt x
ln
2
ln
t
Thí d 5 ( HDB – 2002) Tính tích phân sau
ln 3
3
x
x
e dx I
e
L i gi i
Ta có
3 3
1 1
x
x
e dx
e
2
m
n
u x e
t e tdt e dxdx tdt
Khi đó
2
3 2
2 1
2
tdt I
t t
Thí d 6 Tính tích phân sau 2 5 3
1
dx I
x x
L i gi i
1
1
dx
x x
đây là tích phân nh th c v i m 3,n2,p 1 Z
t
2 2
1 1
2
xdx
Ta có
1
x
Khi đó
5
2
Trang 12D : 01694 013 498
Thí d 7 Tìm nguyên hàm:
2
39 1
x dx I
x
L i gi i
Ta có
2
39 2
1
x dx
x
n
t t 1 x x 1 t dx dt
Khi đó
2
2
t dt
Thí d 8 ( H – B 2005) Tính tích phân sau 2
0
sin 2 cos
1 cos
x
L i gi i
Phân tích
2
1 2
sin 2 cos sin cos
v i m2,n 1,p và 1 Z u x cosx
x t
2 0
t x
t x
1 2
Thí d 9 ( HTS – 1999) Tính tích phân sau 2 2
0 sin cos 1 cos
L i gi i
m n p và Z u x cosx
x t
Trang 13i c n 2 1
2 0
t x
t x
1
1
t t
I t t dt t t dt
Nh n xét: N u g p tích phân là t ng (hi u) c a hai tích phân nh th c mà có cùng cách đ t thì ta v n tính nh
trong lý thuy t
Thí d 10 ( H – A 2005) Tính tích phân sau 2
0
sin 2 sin
1 3cos
x
L i gi i
1 3cos
x
Nh n xét: ây chính là t ng c a hai nh th c u x cosx v i I ta có 1 m n 1 m 1 2 Z
n
ta có m 0,n 1 m 1 1 Z
n
V y chung qui l i ta có th
t
2
2
1 cos
3
1 3cos
3
1 3cos
t x
x t
dx x
2 0
t x
t x
1
2
1
t
I dt t t
Thí d 11 ( HQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau 2
0
sin 3
1 cos
x
x
L i gi i
hai tích phân nh th c tích phân nh th c v i m 2,n 1,p 1 Z m 1 3 Z
n
sin
x t
Trang 14D : 01694 013 498
2 0
t x
t x
2
1
t
k t thúc bài vi t này m i các b n t gi i các tích phân sau
Bài 1: ( HDB – D 2005) Tính tích phân sau
3 2
1
15
e
x
x x
Bài 2: ( HBK – 2000) Tính tích phân sau ln 2 2
0
2 2 3 1
x x
e
e
Bài 3: ( HHH – 98) Tính tích phân I = dx
x x
x e
1 1 ln
3
Bài 4: ( HDB 2 – 2006) Tính tích phân sau
1
3
1 2 ln
e
x
Bài 5 : ( HCT – 1999) Tính tích phân sau
1
(ln 2 1) 2
e
x
Bài 7: Tính tích phân sau
3 2
3 2
1
27 ln 2
1 3ln
e
x
Bài 8 : ( HDB – 2004) Tính tích phân sau ln 8 2 ln 8
I e e dx e e e dx
Bài 9: Tính tích phân sau ln 5
ln 2
1 1
x
e
Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau
2
2 0
2 6 ln
4
1 cos
x
x
Bài 11: Tính tích phân sau 2
3 2
0
15 sin 2 1 sin
4
Bài 12 : ( H BCVT – 1997) Tính tích phân sau 2 23
0
sin cos
1 cos
x
Bài 13: Tính tích phân
3 6
0
ln 2
x
Trang 15Bài 14: ( HDB – B 2004) Tính tích phân sau 3 3
0
6 ln 2
dx I
Bài 15: Tìm nguyên hàm
3
x dx
Góp ý theo đ a ch Email: Loinguyen1310@gmail.com ho c đ a ch : Nguy n Thành Long
S nhà 15 – Khu ph 6 – Ph ng ng c tr o – Th xã b m s n – Thành ph thanh hóa