BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 6

Tính chất của phép cộng các số.. Trong bài toán 5 ta nhân A với 6 Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa 2 thừa số trong mỗi hạn

ÔN HSG TOÁN 6

DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ

Tính chất của phép cộng các số

Các công thức về lũy thừa

Kiến thức về giá trị tuyệt đối

1 5 5

1 2 2

1

17

1

10

1 9

1

5

1 4

1 3

1

3

2012

1 2010

1 2011

1 2010

1 3

2010

2 1 2012

1 1 2011

1 1

5

4

= a

b

4

3

d

c

5

4

a

c

5

4

+ a

1 56

1 42

1 30

1 20

1

A      

b)

4.15

1315.2

12.11

311.1

41

32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102

A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100

32A – A = 3102 – 1 Hay A( 32 – 1) = 3102 – 1 Vậy A = ( 3102 – 1): 8

Từ kết quả này suy ra 3102 chia hết cho 8

2 ) Tương tự như trên ta nhân hai vế của B với 72 rồi trừ cho B , ta được :

Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1 Nhân 2 vế của A với 3

lần khoảng cách này ta được :

3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)

= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9

- 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990

A = 990/3 = 330

Ta chỳ ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là

số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp Ta có kết quả tổng quát sau :

A = 1.2 + 2.3 + … + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1)/3

Lời giải khác :

Lời giải 2 :3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)

= 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)

= [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3

= 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3

= (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 990 = 9.10.11

Ta chưa biết cách tính tổng bỡnh phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, nhưng liên

hệ với lời giải 1, ta có :

Theo cách giải 2 của bài toán 2, ta lại có :

6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6

= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101- 95)

= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99

= 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 6A = 3 + 97.99.101

Trong bài toán 2 ta nhân A với 3 Trong bài toán 5 ta nhân A với 6 Ta có thể nhận

thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử.

Bài toán 6 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10

Lời giải :

Trở lại bài toán 2 mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thỡ ta nhõn A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó Học tập cách đó , trong bài này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vỡ ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số Ta giải được bài toán như sau :

Giải :

8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8

= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93)

= 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 15 95.97.99.101

Trong bài toán này ta không nhân A với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi

số hạng làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được

a) A = 9 + 99 + 999 + 9999 + +

= 101 – 1 + 102 – 1 + 103 – 1 + + 1010 – 1 = 101 + 102 + 103 + + 1010 – 10 = ( 101+ 102 + 103+ 104 + + 1010 ) – 10 = 0 – 10 = 00

Để tính A ta biến đổi A để xuất hiện các hạng tử đối nhau Muốn vậy ta cần tách mộtthừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu : a = b - c

II) Khai thác bài toán 1

Trong bài toán 1 Các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau 1 hay cách nhau 1đơn vị Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ta có bài toán 2

Bài toán 2 Tính :A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99

Giải 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6

= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95)

= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99

= 3 + 97.99.101 � A 1 97.33.101

2



Trong bài toán 1 ta nhân A với 3 (a = 3) Trong bài toán 2 ta nhân A với 6 (a = 6)

Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảngcách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử

= 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101 � A = 98.99.25.101 = 24 497 550

Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán:

Bài toán 4 : Tính : A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99

Giải : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + ….+ 95.97.99.8

= 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 -1.3.5.7+ 5.7.9.11- 3.5.7.9 + + 95.97.99.101 - 93.95.97.99

Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngay một thừa sốtrong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được.Làm tương tự với các bài toán:

Trong bài toán 5 và 7 có thể sử dụng : (n - a) �((n + a) = n2 - a2

 n2 = (n - a)(n + a) + a2 a là khoảng cách giữa các cơ số

Bài toán 8 Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + …+ 99.99.100

Giải : A = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 -3) + … + 99.101.( 103 – 3)

= ( 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + …+99.101.3 )

Với khoảng cách là a ta tách : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n.

Ở bài toán 8, 9 ta có thể làm như bài toán 6, 7

Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có:

*Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau:

1, 1 + 2+3 + + n =

2

) 1 ( n n

2, 12 + 2 2 + + n 2 =

6

) 1 2 )(

II Phương pháp khử liên tiếp :

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai sốhạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2

1

13 12

1 12 11

1 11 10

1 11

1 12 11

1 100 99

1 10

1 100

1 99

1

12

1 11

1 11

1 10

1 2 1

Ví dụ 3 : tính tổng Sn = ( 11)( 2)

5 4 3

1 4 3 2

1 3 2 1

1 (

1 )

1 (

1 2

1

4 3

1 3 2

1 2

1 3 2

1 2 1

1 2

1

n n n

1 (

1 )

1 (

1

4 3

1 3 2

1 3 2

1 2 1

1 2

1

n n n

n

Sn =

) 2 )(

1 ( 4

) 3 ( )

2 )(

1 (

1 2

1

1 2

n n n

) 3 2 (

5 )

2 1 (

Ta có :   ( 1 ) ;

1 1

) 1 (

1 2

2 2

2   





i i i

3

1 2

1 ) 2

1

n

) 2 ( ) 1 (

III > Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính:

) 1 (

1 1

) 1 (

n

i i

a

) (

a

1 1

n i

n i

n i

i i

i i i

i

1

2 2

1

) ( ) 1 (

Vì :

6

) 1 2 )(

1 (

2

) 1 (

3 2 1

n

i

n n n i

1 ( 6

) 1 2 )(

1 ( 2

) 1

n i

i i i

i

2 ) 3 ( ) 1 3

n i

i i

1 1

2

3

Theo (I) ta có: Sn = ( 1 )

2

) 1 ( 6

) 1 2 )(

1 (

n n

n n

) 2 2 ( )

Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1).

3

) 1 ( ) 2 (k  k

=

3

) 1 )(

1 ( 3

) 2 )(

1 ( ) 1 ( 4

) 3 )(

2 )(

áp dụng : 1.2.3 =

4

3 2 1 0 4

4 3 2 1



2.3.4 =

4

4 3 2 1 4

5 4 3 2

1 ( ) 1 ( 4

) 3 )(

2 )(

Cộng vế với vế ta được S =

4

) 3 n )(

2 n )(

1 n (

5, S =

100 99

1

4 3

1 3 2

1 2

4

9 7

4 7 5

5

26 21

5 21 16

5 16

3

1 3

1 3

1 3

n 10, Sn =

100 99 98

2

4 3 2

2 3 2 1

1 4 3

2

10

1 6

1 3

Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan

15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 là luỹ thừa của 2

8 6 , 1

11

2 9

2 4 , 0

 có giá trị là một số nguyên

b) Phân số

2 30

1 12

a) Tìm n nguyên để A là một phân số

b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên

DẠNG 5: CHIA HẾT, SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNGI.Kiến thức cơ bản

Chia hết, chia có dư, tính chất chia hết của một tổng, một hiệu

Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9

.Số chính phương, số nguyên tố, hợp số

Ước, bội

II Bài tập

1) 3100+19990) M 2

2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho 34x5ychia hết cho 36

3) Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b � N) Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13

HD: 4b M 13 � 10a + 40b M 13 hay 10a + b + 39b M 13

(HD: q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k là số tự nhiên

lớn hơn 0), nhưng vì p=q+2, p cũng là số nguyên tố nên q có dạng 3k+2.Khi đó p +

q = 3k+2 + 3k+4 = 6(k+1); k không thể là số chẵn, vì 3k+2 là số nguyên tố Do đó k

là số lẻ Suy ra k+1 chẵn nên 6(k+1) chia hết cho 12)

6) M có là một số chính phương không nếu :

M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) ( Với n  N , n  0 )

7) Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè( p > 3) Chøng minh r»ng p + 8 lµ hîp sè

8) Một người bán năm giỏ xoài và cam Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số

lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng

xoài còn lại gấp ba lần số lượng cam còn lại Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào

đựng xoài?

HD: Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg)

Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số

chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4

dư 3.

Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ có 71 chia cho 4 dư 3

Vậy giỏ cam bán đi là giỏ 71 kg

Số xoài và cam còn lại : 359 - 71= 288 (kg)

Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg)

Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg

các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg

9) Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4 Nếu đem số đó chia cho 91

thì dư bao nhiêu?

Vậy a chia cho 91 dư 82.

10) Học sinh khối 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 đều dư 3 học sinh Nhưng khi xếp hàng 11 thì vùa đủ Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6?

HD: Gọi số Hs khối 6 là a (3<a<400)

Vì khi xếp hàng 10,hàng 12, hàng 15 đều dư 3

Vậy số HS khối 6 là 363 học sinh.

11) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số

HD: n là số nguyên tố, n > 3 nên n không chia hết cho 3

Vậy n 2 chia hết cho 3 dư 1

do đó n 2 + 2006 = 3m + 1 + 2006

= 3m+2007

= 3( m+669) chia hết cho 3.

Vậy n 2 + 2006 là hợp số

+ Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)2 và (a+n) 2 nên vế

trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa

mãn (*) (0,25 điểm)

Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phơng (0,25 điểm)

13) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3 Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay

là hợp số

HD: n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3 Vậy n2 chia hết cho

3 d 1 do đó

n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.Vậy n2 + 2006 là hợp số ( 1 điểm)

DẠNG 6: TèM SỐ NGUYấN

Cỏch 1: Biến đổi vế trỏi là một tớch cỏc thừa số chứa x, y; Vế phải là một số

Thừa số chứa x, y bờn vế trỏi là ước của số bờn vế phải

Cỏch 2: Rỳt x theo y hoặc y theo x(Chỳ ý khi chia phải xột số bằng 0)

Làm bài toỏn tỡm x hoặc y để phõn số là số nguyờn

5) Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.

3) Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm M và N sao cho AB = 7cm, AM = 3cm,

BN = 2cm Chứng tỏ rằng: N là trung điểm của đoạn thẳng MB.

4) Cho đoạn thẳng AB và N là trung điểm của AB Láy điểm M nằm giữa hai điểm N

b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB)

6) Cho góc vuông xOy, tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy Tính góc xOz và góc

yOz biết rằng : 1� 1�O

5xOz 4y z.

7) Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù Biết góc BOC bằng năm lần gócAOB

a) Tính số đo mỗi góc

b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC Tính số đo góc AOD

c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm

2006 tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất

cả bao nhiêu góc?

8)