Bồi dưỡng hoc sinh giỏi toán lớp 4, 5 qua chuyên đề vận dụng tính chất các phép tính

Việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán gặp khá nhiều khó khăn do toán học là môn học đòi hỏi học sinh phải có óc sáng tạo, sự suy luận cao, trong khi tư duy của học sinh tiêu học là tư duy cụ

MỞ ĐÀU

1 Lý do chọn đề tài

Giáo dục Tiểu học giữ một vị trí rất quan trọng trong hệ thống giáo dục của mỗi quốc gia Nó đặt nên tảng vững chắc cho toàn bộ hệ thống giáo dục các bậc học sau này Quyết định số 2957/QĐ - ĐT của Bộ trưởng Bộ Giáo đục và Đào tạo đã chỉ

rõ vị trí, tính chất của Giáo dục Tiểu học: “Tiểu học là cấp học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành, phát triển toàn điện nhân cách con người, đặt nền tảng

vững chắc cho Giáo dục phổ thông và cho toàn bộ hệ thống giáo dục quốc đân” Do

đó, ở Tiểu học, các em phải được tạo điều kiện phát triển toàn diện tối đa

Ở tiểu học, môn học nào cũng có vị trí va vai tro quan trọng đối với việc hình

thành và phát triển nhân cách của con người Việt Nam Trong số các môn học đó thì môn Toán giữ một vị trí đặc biệt quan trọng Các kiến thức, kỹ năng của môn Toán

ở Tiểu học có nhiều ứng dụng trong đời sống; chúng rất cần thiết cho người lao

động, rất cần thiết để học các môn học khác ở tiểu học và học tập tiếp môn Toán ở

các bậc học tiếp theo Môn Toán giúp học sinh nhận biết những mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giới hiện thực Nhờ đó mà học sinh có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động

có hiệu quả trong đời sống Nó góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề; nó góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo; nó đóng góp

vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động như: cần cù, cần thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp và tác

phong khoa học Trong các nội dung của môn toán ở tiêu học, nội dung về các phép tính cộng, trừ, nhân, chia trong toán ở tiểu học có vai trò vô cùng quan trọng trong cuộc sống của các em sau này Nó luôn gắn liền với các nội dung về số học và đặc biệt là gắn liền với thực tiễn cuộc sống hằng ngày Các tính chất của các phép toán giúp học sinh có thể thực hiện được phép toán phức tạp chỉ bằng một vài biến đổi

nhỏ, hay chỉ cần dựa vào nó để đưa ra những câu trả lời nhanh nhất Như vậy, vị trí của nội dung các phép tính và tính chất của nó có phần đóng góp rất quan trọng

trong quá trình phát triển tư duy và nhân cách của học sinh, giúp học sinh có được

sự nhanh nhạy trong quá trình học tập

Như vậy, môn toán và các phép tính cũng như tính chất của các phép tính là

một nội dung học cần thiết và quan trọng Do đó, một nhiệm vụ trọng tâm của các

trường tiểu học hiện nay là việc phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng

khiếu toán học nhất là ở khối lớp 4, 5 Việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán gặp khá nhiều khó khăn do toán học là môn học đòi hỏi học sinh phải có óc sáng tạo, sự suy luận cao, trong khi tư duy của học sinh tiêu học là tư duy cụ thể và chưa có khả năng

vận dụng linh hoạt các kiến thức vào trong các tình huống, các dạng bài tập khác nhau, trong đó có việc sử dụng, vận dụng tính chất các phép tính Chính vì vậy, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thông qua chuyên đề vận dụng tính chất các phép tính ở lớp 4, 5 cần được quan tâm và có hình thức tổ chức dạy học hấp dẫn để việc bồi dưỡng đạt hiệu quả cao Với mong muốn góp một phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng và hiệu quả của hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi toán cho học sinh lớp 4, 5

và trau đồi kiến thức cho bản thân sau khi ra trường, tôi đã quyết định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi toán lóp 4, 5 qua chuyên đề vận dụng tính chất các phép tính ”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu nội dung tinh chất các phép tính và các dạng bài tập toán vận dụng tính chất các phép tính để giải Qua đó, góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 4, 5 qua các chuyên đề

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở Tiểu học

- Nghiên cứu nội dung về tính chất các phép tính và việc vận dụng tính chất các phép tính trong giải toán

- Nghiên cứu và hướng dẫn học sinh phương pháp giải các dạng toán có liên quan đến việc vận dụng tính chất các phép tính trong giải toán

- Đề xuất một số đạng bài tập có vận dụng tính chất các phép tính nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4, 5

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a Đối tượng nghiên cứu:

Tính chất các phép toán và các dạng bài tập vận dụng tính chất các phép toán

b Phạm vỉ nghiên cứu:

Các bài toán nội dung số học có vận dụng tính chất các phép tính ở lớp 4, 5

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Cấu trúc khoá luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, phần nội dung của khoá luận có cấu trúc như sau:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở

NỘI DUNG CHUONG 1

CO SO LY LUAN VA THUC TIEN

1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Năng lực học toán của học sinh Tì iéu hoc

Nói đến năng lực của con người có khá nhiều quan niệm khác nhau Có người quan niệm: năng lực như một tổng hợp các phâm chat cá tính của con người, đáp ứng được những yêu cầu của hoạt động và bảo đảm được những thành tựu cao trong hoạt động ấy

Có người lại cho rằng cách hiểu năng lực như trên là quá rộng Theo họ:

“Tổng hợp các phẩm chất cá tính” đồng nhất với “tính sẵn sàng bắt tay vào hoạt động” Cách hiểu này không phải chỉ có một năng lực mà có nhiều năng lực khác nhau Chúng là những yếu tô thành phần của năng lực hiểu theo nghĩa rộng của quan

niệm thứ nhất

Vậy, những năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm của hoạt động trí tuệ) đáp ứng những nhu cầu của hoạt động học tập toán và trong những điều kiện vững chắc như nhau, nó là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững tương đối nhanh, rõ ràng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo

Để vạch ra cầu trúc các năng lực toán học của học sinh đã có những công trình nghiên cứu tâm lý được tiến hành công phu, đặc biệt là công trình của V.A.Kowowrrutexxki Ông đã tiễn hành phân tích quá trình giải bài tập của học sinh

thực nghiệm có trình độ năng lực toán học khác nhau Theo ông, ở lứa tuổi HS thì

cấu trúc của các năng lực toán học bao gồm những thành phần sau:

* Về mặt thu nhận những thông tin toán học, đó là:

+ Năng lực tri giác hình thức hóa các tài liệu Toán học

+ Nang luc nắm được cấu trúc hình thức của bải toán

* Về mặt chế biến các thông tin toán học, đó là:

+ Năng lực tư duy logic trong phạm vi các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian Các ký hiệu dấu và ký hiệu số, năng lực suy nghĩ với các ký hiệu toán

học

+ Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng quan hệ, các phép

toán của toán học

+ Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng, năng lực suy nghĩ với cấu trúc được rút ngắn

+ Tính mềm dẻo của các quá trình tư đuy trong hoạt động toán học

+ Khuynh hướng đạt tới sự rõ ràng, đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lý của lời giải

+ Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng, hướng suy nghĩ dạng tư duy thuận chuyền sang tư duy ngược

* VỀ mặt lưu trữ các thông tin toán học đó là trí nhớ toán học

* Về thành phân tổng hợp chung thì đó là khuynh hướng toán học trí tuệ Các thành phần trên có liên quan chặt chẽ với nhau, có ảnh hưởng lẫn nhau

tạo thành một hệ thống duy nhất, một cấu trúc hoàn chỉnh, một tư chất của toán học,

trí tuệ (hay thường gọi là năng khiếu toán học)

1.1.2 Phát triển những năng lực toán học ở học sinh

Đây là một nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của thầy giáo vì hai lý do sau:

- Thứ nhất: Toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học, kỹ thuật và sự nghiệp cách mạng rất cần có một đội ngũ những người có năng lực toán học

- Thứ hai: Nghị quyết Đại hội Đảng Cộng sản Việt Nam lần thứ IV đã ghi rõ:

“Trên cơ sở những đòi hỏi tắt yếu của cuộc sống cộng đông, quyên làm chủ tập thể” phải “đảm bảo sự phát triển phong phú của nhân cách, bỗi dưỡng và phát huy sở

trường, năng khiếu của cá nhân Nhà trường là nơi cung cấp cho HS những cơ sở

đầu tiên của toán học” Không ai khác, chính thầy (cô) giáo là những người hoặc chăm sóc, vun xới cho những mam mống năng khiếu toán học ở HS, hoặc làm thui

chột chúng

Rất nhiều nhà toán học có tên tuổi khi nói về việc học toán của mình trong

những năm tháng ngồi trên ghế nhà trường, không quên nói tới những ánh hưởng sâu sắc của thầy cô giáo, của các cuốn sách hay các tắm gương của một chiến sĩ trên mặt

trận khoa học tác động đến lòng ham thích môn toán, đến việc hình thành những

phẩm chất trí tuệ nào đó trong mình Cũng như nhiều nước xã hội chú nghĩa khác, chúng ta đã đưa công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán vào nề nếp Ở nước ta, từ năm học 1964 - 1965, chúng ta đã tổ chức những lớp chuyên Toán Hàng năm, có tuyên chọn học sinh giỏi và trong những năm gần đây đã cử những đại biểu HS ưu tú nhất

đi thi tài ở những kì thi quốc tế và đã đạt được những giải thưởng cá nhân cũng như

đồng đội làm thế giới kinh ngạc Tuy nhiên, điều đáng tiếc hiện nay là chúng ta chưa

có những công trình nghiên cứu tỉ mỉ về cấu trúc của năng lực tư duy toán học của học sinh nước ta để từ đó chúng ta có thể chủ động xây dựng được nội dung và có những phương pháp dạy học tối ưu nhất nhằm phát triển và bồi đưỡng năng lực sáng

tạo toán học cho nhiều học sinh

1.1.3 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở tiểu học

1.1.3.1 Mục đích:

Bồi dưỡng HSG nói chung, đặc biệt là bồi đưỡng học sinh giỏi toán nói riêng

là hoạt động cần thiết trong quá trình dạy học vì hoạt động này nhằm những mục đích sau:

- Bồi dưỡng hứng thú học tập môn toán cho HS tiêu học

- Củng cố, mở rộng kiến thức trong chương trình

- Làm cho HS thấy rõ hơn vai trò của toán trong sản xuất

- Bồi đưỡng cho HS tác phong nghiên cứu, thói quen tự đọc sách

- Bồi đưỡng cho HS tình cảm tập thé trong học tập

1.3.1.2 Các biểu hiện của học sinh giỏi toán

Trong cùng lứa tuôi, khi giải quyết nhiệm vụ học tập, các học sinh giỏi có một

số biểu hiện như sau:

- Có khả năng thay đổi phương thức hành động để giải quyết vấn đề phù hợp với những thay đổi các điều kiện

- Có khả năng chuyên từ trừu tượng khái quát sang cụ thể cũng như từ cụ thể đến trừu tượng

- Có khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các dữ kiện theo hai hướng xuôi và ngược

- Thích tìm tòi, giải toán theo nhiều cách hoặc xem xét một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau

- Có sự quan sat tinh tế, mau phát hiện ra các chỗ nút làm cho việc giải quyết

vấn đề phát triển theo hướng hợp lý hơn, độc đáo hơn

- Có trí tưởng tượng phát triển

- Có khả năng suy luận có căn cứ rõ ràng, có óc tò mò, không muốn dừng lại ở việc làm theo mẫu có sẵn hay ở những gì còn thắc mắc, hoài nghi Có ý thức tự kiểm

1.3.1.3 Các biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán

- Củng cố vững chắc, hướng dẫn đào sâu các kiến thức đã học thông qua

những câu hỏi hướng dẫn đi sâu vào nội dung bài học, vào kiến thức trọng tâm Thông qua đó, GV yêu cầu HS tự tìm các thí dụ minh họa, cụ thể hóa các tính chất chung Đặc biệt, thông qua vận dụng và thực hành, kiểm tra kiến thức đã tiếp thu các

bài tập đã làm

- Ra thêm một số bài tập khó hơn trình độ chung, đòi hỏi việc vận dụng sâu

những khái niệm đã học hoặc vận dụng những phương pháp giải một cách linh hoạt, sáng tạo hơn hoặc phương pháp tông hợp

- Yêu cầu HS giải bài tập bằng nhiều cách: phân tích, so sánh tìm ra cách giải

hay nhất, hợp lý nhất

- Tập cho HS tự lập đề toán và giải

- Sử dụng một số bài toán có các yếu tố chứng minh, suy diễn để bồi dưỡng phương pháp chứng minh

- Giới thiệu ngoại khóa tiểu sử của một số nhà toán học xuất sắc, nhất là các

nhà toán học trẻ tuổi và một số phát minh quan trọng dé giáo dục tình cảm yêu thích

môn toán và kính trọng các nhà toán học xuất sắc

- Tổ chức một số buôi dạ hội toán học, thi đỗ toán học

- Bồi dưỡng cho các em phương pháp học tập môn Toán và tổ chức tự học ở gia đình trên cơ sở sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu có những mục giải

toán, toán vui kết hợp với gia đình HS tạo điều kiện cho các em học tập

- Kết hợp việc bồi dưỡng khả năng toán học với việc học tốt môn Tiếng Việt

để phát triển khả năng ứng dụng ngôn ngữ

Những việc làm trên cần tính toán đến điều kiện thời gian để HS không học

lệch và không bị quá tải

1.3.1.4 Bi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4, 5

- Về nội dung: chủ yếu tập trung vào đạy các nội dung kế tiếp giai đoạn lớp 1,

2, 3 với các nội dung nâng cao hơn, gắn việc dạy học toán với giải quyết các vẫn đề thiết thực và đa dạng của đời sống, không đạy học trước các nội dung sẽ đạy ở trung

học

- Về phương pháp: phát huy năng lực tự học của HS, khuyến khích HS độc

lập, chủ động, sáng tạo trong học tập, hạn chế dần cách dạy học giải các bài toán theo khuôn mâu có săn.

- Về tổ chức: đa dạng hóa các hình thức tổ chức bồi đưỡng HS giỏi (chang han

như tổ chức dạy học theo nhóm, học sinh tự chọn về toán, sinh hoạt câu lạc bộ, hoạt

động ngoại khóa về toán phối hợp chặt chẽ giữa hoạt động nội khoá và ngoại

khoá, giữa bắt buộc và tự chọn

- Về tài liệu: có thể sử dụng các sách bài tập toán lớp 4, 5; luyện giải Toán 4, 5

và một số tài liệu tham khảo khác, kế thừa kinh nghiệm bồi dưỡng HS giỏi toán ở Tiểu học của Việt Nam và nước ngoài

Đề thu thập thông tin, tôi tiến hành điều tra các đối tượng là giáo viên phụ trách các khối lớp 4, 5 đồng thời tiến hành tổng kết các kinh nghiệm bồi đưỡng học

sinh giỏi toán Sau quá trình tìm hiểu, tôi thu được các thông tin sau:

- Một là về khả năng của học sinh:

+ Theo số liệu thu được qua phiếu điều tr tại ba trường Tiểu học thuộc thị xã

Phúc Yên thì tôi thây khả năng học toán của học sinh trường Tiểu học Lưu Quý An được các thầy cô trong trường đánh giá là tốt đạt 85% cao hơn các trường còn lại Trường Tiểu học Lưu Quý An là một trường đạt chuẩn quốc gia, chất lượng học sinh tương đối tốt và đều có học sinh đạt giải cấp thành phố và quốc gia Vì vậy, công tác bồi dưỡng HS giỏi được trường đặc biệt quan tâm

+ Đối với 2 trường còn lại thì khả năng của học sinh còn chút hạn chế, lượng

học sinh có chất lượng học toán thấp hơn so với trường Lưu Quý An

- Hai là những khó khăn của giáo viên trong công tác bồi đưỡng HS giỏi

Có khá nhiều khó khăn khi giáo viên phải bồi đưỡng HS giỏi ở nhiều lĩnh vực

môn học khác nhau Ở đây, tôi xin đưa ra những khó khăn chính, thường gặp mà

giáo viên gặp phải khi bồi dưỡng HS giỏi toán như sau:

+ Khả năng tưởng tượng, suy luận của học sinh tiểu học còn hạn chế

+ Sai lầm trong tư duy, suy luận

+ Sai lầm khi thực hiện các phép tính

+ Sai lầm khi vận dụng tổng quát các tính chất phép tính

- Bốn là quy trình bồi dưỡng HSG được các GV đưa ra như sau:

Bước ¡: Ôn tập kiến thức cần thiết rồi cho ví dụ

Bước 2: Đưa ra hệ thống các bài tập cho HS tìm lời giải và hướng dẫn làm và trình bày bài giải

Bước 3: Khai thác sâu bài toán theo các hướng:

+ Tìm cách giải khác

+ Tìm hiểu khả năng ứng dụng của kết quả

+ Nghiên cứu bài toán có liên quan nhờ phép tương tự

+ Từ những kết quả thu được ở trên, ta có thé thay :

- Công tác bồi dưỡng HS giỏi luôn được chú trọng trong các trường Tiểu học nhằm tạo ra những học sinh giỏi tham gia vào các kì thi HS giỏi, Trạng Nguyên nhỏ

tuổi, Thần đồng Đất Việt, Toán tuổi thơ và rất nhiều HS đã đạt giải cao

- 100% GV đều lựa chọn phương pháp bồi dưỡng đó là: kết hợp giữa việc bồi

dưỡng theo chuyên đề với các phương pháp thực hành giải toán Đây là phương pháp rất phổ biến, đễ sử dụng và đem lại kết quá cao

- Bên cạnh đó để công tác bồi dưỡng đạt kết quả cao thì GV cần có các biện pháp khắc phục bằng cách giải thích rõ những sai lầm của học sinh để các em nắm

được bản chất của kiến thức

Đặc biệt, riêng về nội dung tính chất các phép tính và vận dụng tính chất các

phép tính trong giải toán, chúng ta thấy: Nội dung này đã được chú ý đưa vào trong hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở tiểu học qua chuyên đề “Các bài toán có nội dung số học” Tuy nhiên, do đây chỉ là một nội dung trong rất nhiều nội dung

quan trọng của mạch kiến thức Số học, số lượng bài tập liên quan đến tính chất các phép tính chưa nhiều và phong phú nên một só GV mới chỉ hướng dẫn HS lớp 4, 5

làm một số bài, chưa có sự chú ý và quan tâm đúng mức tới nội đung này Do vậy,

GV tiểu học đặc biệt là các GV phụ trách công tác bồi đưỡng Hs giỏi toán lớp 4, 5 cần có nhận thức đúng đắn và sâu hơn về vai trò, vị trí của các tính chất cơ bản Từ

đó, giúp GV có phương pháp phù hợp dạy học về dạng toán này cho HS, góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở tiểu học

CHƯƠNG 2

DAY HOC BOI DUONG HỌC SINH GIỎI LỚP 4, 5 QUA CHUYÊN ĐÈ VẬN DỤNG TÍNH CHÁT CÁC PHÉP TÍNH

2.1 Các tính chất cơ bán cúa phép tính

2.1.1 Nội dung dạy học hình thành số tự nhiên

Ở Tiểu học, nội dung chương trình dạy học hình thành sỐ tự nhiên bao gồm

các nội dung sau:

- Hình thành biểu tượng, khái niệm ban đầu về số tự nhiên, giới thiệu cách đọc, cách viết, phân tích cấu tạo thập phân của các số tự nhiên có nhiều chữ số

- So sánh và sắp thứ tự các số tự nhiên

- Hình thành các phép tính trên tập các số tự nhiên gồm: phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia

- Tính chất các phép tính cộng, trừ, nhân, chia

- Dấu hiệu chia hết

Các nội dung này được hình thành theo các vòng số và có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, được sắp xếp xen kẽ nhau, bổ sung kiến thức cho nhau nhằm làm nồi bật

tầm quan trọng của nội dung hạt nhân “Số học” trong chương trình Ở đây, tôi xin trình bày chủ yếu về nội đung về tính chất các phép tính Trong đó, nội dung về dấu hiệu chia hết có thể được coi là một trong các tính chất của phép tính (phép chia) Vì vậy, trong đề tài này, tôi xét cả nội dung dấu hiệu chia hết trong nội dung tính chất các phép tính

* Định nghĩa 1:

Một phép toán hai ngôi trong tập X # $ là ánh xạ đi từ X x X —> X, ảnh của phan tir (x,y) X x X qua ax * được gọi là cái hợp thành của x và y, kí hiệu là x * y Nếu * là phép nhân thì x nhân y được viết bằng x x y hoặc xy

Ví dụ:

+ Phép cộng và phép nhân thông thường trên tập N là phép toán 2 ngôi

+ Phép mũ (xỲ) trong NỶ cũng là một toán hai ngôi

+ Phép cộng thông thường hai vectơ cùng cùng gốc trong R" cũng là một phép toán hai ngôi

+ Phép nhân hai ma trận cùng cấp cũng là phép toán hai ngôi

* Định nghĩa 2:

Cho tập hợp X cùng phép toán hai ngôi nhân (X ), 1 tập hợp A nằm trong X #

ở thì tập A được gọi là bộ phận ôn định của tập X dưới phép nhân nếu Vx, y e A thì xyeA

Phép toán * xác định bởi phép toán (x) han chế trên tập A

Cho tập X cùng phép toán 2 ngôi

+ Ta nói phép toán nhân “.”có tính kết hợp nếu V x, y, z e X thì (xy)z = x(yz) + Phép toán “.”có tính giao hoán Vx, y e X thì xy = yx

NxN>N

(x,y) 1 x” (khéng két hợp, không giao hoán) Phép cộng của hai vectơ cùng gốc có tính kết hợp và giao hoán

* Định nghĩa 4:

- Nếu tập X vừa có đơn vị phải và đơn vị trái thì chúng phải trùng nhau

- Có không quá một phần tử đơn vị của X

Ví dụ:

+ Tập số tự nhiên (N,+) có phần tử trung lập là 0 (0+a=a+0=a,a e N)

+ Tập số tự nhiên (N,.) có phần tử đơn vị là I (1.a=a.l=a,a e N)

+ Tập số tự nhiên (N) với phép mũ có đơn vị phải là I

+ Phép toán nhân của ma trận cùng cấp là ma trận đơn vị

b Nửa nhóm

Cho tập X cùng với phép toán (X,.) tập X được gọi là nửa nhóm nếu phép toán

nhân có tính kết hợp Hơn nữa nếu X có đơn vị thì X được gọi là một vị nhóm; nếu

phép toán nhân giao hoán thì X được gọi là nửa nhóm giao hoán

Vi du:

+N’ dudi phép toan “.” thi (N’,.) la mét vị nhóm giao hoán

+ (Z,+) la mot vi nhom giao hoan

c Nhom

* Định nghĩa 1:

Cho vị nhóm (X ) với đơn vị e, xe X Ta gọi phần tử xe X là nghịch đáo phải (trái) của phan tir x néu xx =e (xx =e)

Nếu x đồng thời là nghịch đảo phải và trái thì x` được gọi là phần tử nghịch đảo của x ki hiéu lax =x"

+ Nhận xét : Nếu x e X vừa có nghịch đảo phải và nghịch dao trái thì chúng trùng nhau

Vậy x e X có không quá 1 nghịch đảo

+ Chú ý: Nếu (X,+) là vị nhóm với phần tử trung lập e thi phan tử nghịch đảo

thường gọi là đối xứng và x” thay bằng - x (trong trường hợp phép cộng)

* Định nghĩa 2:

Ta gọi nhóm là I vị nhóm mà moi phần tử đều có nghịch đảo tức là X với

phép toán “.”là một nhóm Ta có như sau :

Vx,y,Zze X (xy)z = X(yZ)

Vx e X, tồn tại x e X: xe=x VxeX, tồn taix’ ¢ X:xx =x x=e

Ví dụ : Tập số nguyên (Z, +) là một nhóm

Vx,y,ze Xi (k+y}+z=x+(y+zZ) Vxe Z, ton tai 0 e X:x+0=0+x=x

Nhóm có 3 tính chất tuy nhiên ở đây tôi xin đề cập tới I tính chất cơ bản sau

+ Trong một nhóm có luật giản ước tức là Vx,y,z e X mà xy = yz (yx = zx,

xz = yz) thì xX=z(y=z,x=y)

+ Hai tính chất còn lại nói về nghiệm của phương trình bậc nhất và phép mũ, ở đây ta không xét

2.1.2.2 Tính chất các phép tính

Trên cơ sở lí thuyết về nhóm và nửa nhóm ở trên, chúng ta phần nào thấy được một số phép tính và tính chất của các phép tính Nội dung chương trình môn toán ở tiêu học khi dạy học về số tự nhiên cũng đã hình thành về các phép tính này một cách tường minh giúp HS tiểu học hiểu được và cũng đã chú ý đúng mức tới việc hình thành ở HS những tính chất cơ bán của các phép tính, giúp HS có thể vận

dụng trong nhiều trường hợp giải toán khác nhau Tuy nhiên, để phù hợp với khả

năng nhận thức cũng như trình độ tư duy của HS thì ở giai đoạn đầu các tính chất này không được giới thiệu một cách chính thức, tường minh mà ân tàng qua các bài

tập, ví dụ cụ thể khác nhau Ở giai đoạn sau, khi tư duy trừu tượng của HS đã phát

triển hơn, HS bước đầu có khả năng khái quát thì các tính chất này mới được giới thiệu một cách chính thức (có bài dạy riêng ở lớp 4)

Có thể liệt kê ra tính chất của các phép tính như sau :

a Tính chất của phép cộng

- Tính chất giao hoán trong phép cộng:

Nội dung : Trong một tông khi ta thay đổi vị trí các số hạng thì tổng của chúng vẫn giữ nguyên không thay đôi

Ki hiệu : a +b =b + a (a, b là các số tự nhiên)

Vidu:5+3=3+5=8

- Tinh chat két hop:

Nội dung : Khi cộng một tổng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất

với tổng của số thứ hai và số thứ ba

Kí hiệu: 0+a=a+0=a

Ví dụ: 0+ 45 =45+0=45

- Phép cộng có tính giản ước được:

Nội dung: Hai tổng bằng nhau và cùng cộng thêm một lượng như nhau thì hai

Nội dung: Khi trừ một số cho một tổng ta có thể lấy hiệu của số thứ nhất với

số thứ hai trừ đi số thứ 3, hoặc lẫy hiệu của số thứ nhất với số thứ ba trừ đi số thứ 2

Kí hiệu: a— (b+e)=(a—b)—c=(a—c)—b

Ví dụ : 125 — (30 + 55) = (125 — 30) — 55 = (125 — 55) — 30 = 40

* Tinh chat 4 :

Nội dung: Khi trừ một số cho một hiệu ta có thê lấy hiệu của số thứ nhất và số thứ hai cộng với số thứ ba, hoặc lấy tổng của số thứ nhất với số thứ ba trừ đi số thứ hai

Ki higu: a—(b—c) =(a—b)+c=(a+c)—b

- Tinh chat két hop:

Nội dung: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất

với tích của số thứ hai và số thứ ba

Nội dung: số 0 nhân với số nào cũng bằng 0; số nào nhân với 0 cũng bằng 0

Kí hiệu: 0Xa=ax0=0

Ví dụ: 1234x0=0x 1234=0

- Tính giản ước được với những số khác 0:

Nội dung: Hai tích bằng nhau có một thừa số giống nhau thì hai thừa số còn lại bằng nhau

Kí hiệu: a x b = a x c (a # 0) kéo theo b = c

Nội dung: Khi nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng sỐ

hạng của tông rồi cộng các kết quả với nhau

- Tinh chat nhan mot SỐ với một hiệu:

Nội dung: Khi nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số

bị trừ và số trừ rồi trừ hai kết quả cho nhau

Nội dung: Khi nhân một số với số có tận cùng bằng 0 ta chỉ việc viết chữ số 0

vào hàng đơn vị của kết quá sau đó tiến hành nhân các chữ số hàng chục, hàng trăm của thừa số thứ 2

Khi đặt tính và tinh ta thấy hai tích riêng đều bằng 27 Khi cộng hai tích riêng

ta chỉ cần cộng hai chữ số của số 27 (2 + 7 = 9) rồi viết vào giữa hai chữ số của 27

Từ đó ta có cách nhằm: 2 cộng 7 bằng 9

Viết 9 vào giữa hai chữ số 27, ta được 297

Trường hợp 2: Tính 48 x II =?

Tương tự ta có cách nham : 4 cộng 8 bằng 12

Viết 2 vào giữa hai chữ số của 48, được 428

Thêm I vào 4 của 428, được 528

+) Nhân nhâm với 9

Nội dung: Để nhân nhằm được với 9 ta đưa về phép nhân một số với một hiệu

Lưu ý ở đây hiệu là (10 — 1)

Nội dung :

+) Khi nhân số tự nhiên với 10, 100, 1000, ta chỉ việc viết thêm một, hai, ba .chữ số 0 vào bên phải số đó

Ví dụ: 567 x 100 = 56700

+) Khi nhân một số thập phân với 10, 100, 1000, ta chỉ việc chuyển dấu

phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba, chữ sô

Ví dụ: 56,7 x 100 = 567

+) Khi nhân một số thập phân với 0,1; 0,01, 0,001 ta chỉ việc chuyên dấu

phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba chữ só

Nội dung: Khi chia một tổng cho một SỐ, nếu các số hạng của tổng đều chia

hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quá tìm

được với nhau

- Chia một số cho một thương

Nội dung: Khi chia một số cho một thương, ta có thể lay số thứ nhất chia cho

số thứ hai được bao nhiêu ta đem nhân với số thứ ba

Kí hiệu: a : (b:c)=(a:b)xec

Vi du: 225 : (45 : 9) = (225 : 45) x9=45

- Số 0, 1 trong phép chia

Nội dung: Số 0 chia cho số nào khác 0 cũng bằng 0; không có phép chia cho 0;

Số nào chia cho 1 cũng bằng 0

Kí hiệu :0:a=0(a z0)

a:l=a Vidu:0:1=0

45:1=45

- Dấu hiệu chia hết

* Dấu hiệu chia hết cho 2

Nội dung

- Những SỐ CÓ tận cùng bằng 0 ,2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2

- Những số chia hết cho 2 thì có tận cùng bằng 0,2,4,6,8

Ví dụ : Trong các số 342, 675, 786, 90 số nào chia hết cho 2?

Bài làm: Những số chia hết cho 2 là số 432, 786, 90

(vì chúng có tận cùng là 2, 6, 0)

* Dấu hiệu chia hết cho 5

- Những số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5

- Những số chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0 hoặc 5

Ví dụ: Trong các SỐ sau: 565; 676; 34; 55; 780; số nào chia hết cho 5?

Bài làm : Trong các số trên số chia hết cho 5 là : 565; 55; 780 (chúng có chữ

số tận cùng là 0; 5)

* Dấu hiệu chia hết cho 3

- Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3

- Những số chia hết cho 3 thì có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3

Ví dụ : Trong các số sau số nào chia hết cho 3: 345, 455, 890, 336,123

Bài làm : Số chia hết cho 3 là: 345, 336, 123 (vì chúng đều có tổng các chữ số

là một số chia hết cho 3)

* Dấu hiệu chia hết cho 9

- Những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9

- Những số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó là một số chia hết cho 9

Ví dụ : Cho số 7467* tìm chữ số thích hợp để điền vào dấu * để được số chia hết cho 9

Bài làm : Vì số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó là một số chia hết cho 9 nên ta có tổng của (7 + 4 + 6 + 7 + *) phải là một số chia hết cho 9 Chữ số cần tìm là 3 vì (7+4+6+ 7+3) = 27 chia hết cho 9

* Dấu hiệu chia hết cho 4

- Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 4 thì chia hết

344 (vì 44: 4= 11)

784 (vì 84:4= 22)

* Dầu hiệu chia hết cho 6

- Những số chia hết cho 6 là số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3

- Những số chia hết cho 6 thì chia hết cho 2 và cho 3

Vi du : Cho các chữ số 3, 4, 2, 0, Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số khác nhau

chia hết cho 6?

Bài làm: Số chia hết cho 6 là số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 nên các

số này phái có tận cùng là 2, 4 và có tổng 3 chữ số là một số chia hết cho 3

Vậy các số cần tìm là : 342, 324, 924, 942,

* Dấu hiệu chia hết cho 8

- Trong các số tự nhiên có nhiều chữ số thì nếu 3 chữ số tận cùng chia hết cho

thì số đó chia hết cho 8

- Số chia hết cho 8 thì có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8

Ví dụ: Trong các số sau: 12345, 5678, 13344; số nào chia hết cho 8?

Bài làm: Số chia hết cho 8 là: 13344 (vì 344 : 8 = 43)

* Dấu hiệu chia hết cho II

- Những số có hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí

chẵn bằng 0 hoặc là một số chia hết cho 11 thì chia hết cho 11

- Những số chia hết cho 11 thì có hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ với tổng các chữ số ở hàng chẵn bằng 0 hoặc là một số chia hết cho 11

Ví dụ: Hãy cho biết số 1234567895 có chia hết cho 11 không?

Bài làm: Ta thấy (I + 3+ 5+7+9)—-(2+4+6+8+5)=0 nên số

1234567895 có chia hết cho 11

Thử lại : 1234567895 : 11 = 112233445

* Dấu hiệu chia hết cho 25

- Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 thì số đó chia

hết cho 25

- Những số chia hết cho 25 thì có hai chữ số tận cùng chia hết cho 25

Ví dụ: Hãy cho biết số 1234525 có chia hết cho 25 không? Giải thích cách

làm?

Bài làm: Số 1234525 có chia hết cho 25 vì nó có hai chữ số tận cùng chia hết cho 25

* Dấu hiệu chia hết cho 125

- Những số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 125 thì số đó chia hết cho 125

- Những số chia hết cho 125 thì có ba chữ số tận cùng chia hết cho 125

Ví dụ: Số 4250 có chia hết cho 125 hay không? Vì sao?

Bài làm: Số 4250 có chia hết cho 125 vì nó có ba chữ số tận cùng là 250 chia

hết cho 125

* Một số dấu hiệu nhận biết khác

- Những số mà vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 12

- Những số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 15

- Những số chia hết cho 2 va cho 8 thi sé dé chia hét cho 16

2.2 Dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4, 5 qua chuyên đề vận dụng tính chất các phép tính

2.2.1 Các dạng bài tập vận dụng tính chất các phép tính

2.2.1.1 Dạng bài: nhận dạng tính chất các phép tính

* Nội dung: Trong chương trình môn toán ở Tiểu học, dạng tổng quát về tính

chất các phép tính được chính thức nói đến (gọi tên tính chất, có bài dạy riêng, phát biểu bằng chữ, ) ở giai đoạn 2 (lớp 4, 5) Còn ở giai đoạn đầu bậc học, tính chất của các phép tính chỉ được thể hiện thông qua các bài tập cụ thê để học sinh có được

những nhận biết cơ bản, ban đầu về tính chất các phép tính

Trong giai đoạn đầu, các em được làm quen và thành thạo kỹ năng tính với 4 phép tính cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên và được làm quen với các tính chất

của phép tính dưới các bài tập cụ thể Các bài tập này đơn thuần là giúp học sinh nhìn ra cách làm nhanh và chính xác

Ví dụ:

Khi học sinh thực hiện so sánh 2 phép tính 4 + 5 5 + 4 các em sẽ thấy rằng khi ta thay đổi vị trí các số hạng trong một tổng thì tổng của chúng bằng nhau, chứ không gọi đây là tính chất giao hoán

+ Phương pháp:

GV hướng dẫn HS quan sát các số liệu (có giống nhau không), vị trí của các

số (có thay đổi không), nhận xét kết quả Từ đó giúp HS bước đầu nhận ra một vài

đặc điêm đơn giản và vận dụng vào các trường hợp còn lại

Ví dụ: hướng dẫn HS làm bài tập trên

* Lưu ý:

- GV nên đề HS chủ động nhận biết các đặc điểm

- Uốn nắn những sai lầm khi học sinh mắc phải

- Cho học sinh làm nhiều ví dụ tương tự để học sinh thấy được điều mình rút

5+3 3+5 34+(+5) 3+2)+5 44+2 2+4 86 — (53 + 6) (86 — 6) — 53 0+7 7+0 120 — 89 (120 + 30) — (89 + 30)

2x(15+2) (2x15)+(2x2) 2.2.1.2 Dạng toán hình thành kỹ năng vận dụng tính chất các phép tính

+ Nội dung:

Dạng toán này gồm các bài tập yêu cầu học sinh vận dụng thành thạo các tính chất của phép tính đã được học để giải quyết bài toán Những bài tập này thường có trong sách giáo khoa toán 4, 5 khi HS đã được giới thiệu một cách chính thức về các tính chất Thông qua các bài tập này, HS được rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất các phép tính trong các trường hợp khác nhau

* Phuong pháp :

Để giúp HS làm tốt các dạng bài tập này GV cần tổ chức cho HS nhắc lại kiến thức về các tính chất cơ bản có liên quan, sau đó GV hướng dẫn HS giải mẫu một ví đụ và cho HS tiến hành làm bài tương tự Cuối cùng, GV uốn nắn những sai

lầm mà HS có thể mắc phải trong quá trình làm bài

bài

Với dang bai nay HS chi can van dung tinh chat két hợp của phép cộng đề làm

b Cac bai tap yéu cau tinh bang 2 cach

c Các bài tập yêu cầu điền quan hé >, <, =

Vị dụ I: Tính và so sánh giá trị của hai biểu thức sau

Ta có:

(25 x 20): 5 = 100

25 x (20: 5) =25 x 4= 100 (25 : 5) x 20 = 100

Bài 2 : Áp đụng tính chất nhân một số với một tổng để tính theo mẫu