Chứng minh rằng, phương trình có một nghiệm thực duy nhất... Chứng tỏ rằng với n nguyên dương thì phương trình có nghiệm duy nhất dương x v{ tìm n n 29.. Chứng minh rằng: với mỗi n N*
Trang 1TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
1
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
www.k2pi.net
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010
VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Các diễn đàn : www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn , www.laisac.page.tl , www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn , …
2 Đề thi HSG Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉnh – Thành Phố trong nước, Đề thi Olympic 30-4
3 Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến )
4 Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ
5 Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI … ( Trần Phương - Lê Hồng Đức )
6 Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN SƠ CẤP (Phan Huy Khải )
7 Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải )
8 Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh )
9 Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng )
10 Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận )
11 Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương )
12 340 bài toán hình học không gian ( I.F Sharygin )
13 Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam )
14 Bộ sách : CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC … ( Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn )
15 Bộ sách : CÁC DẠNG TOÁN LUYỆN THI ĐẠI HỌC ( Phan Huy Khải )
16 … và một số tài liệu tham khảo khác
Trang 2TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
2
17 Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website
Trang 3Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
3
PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
1 Tìm c|c gi| trị của tham số m để h{m số : y 2x 2 m x24x5 có cực đại ĐS : m < -2
2 Cho h{m số :
31 xsin2 1, xf(x)
18 Cho h{m số : f(x) cos 2x 2(sinx cosx) 3sin2x m 2 3 Tìm m sao cho f2(x) 36, m
19 Trong c|c nghiệm(x;y) của BPT : logx y 22x y 1 Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN
20 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Giải phương trình : x 2
Trang 4Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
25 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :
sinysin2x cos2y sinx cosy 1
Cách 2 : Viết lại phương trình dưới dạng :
Trang 5Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
3x
4 ( H{m n{y nghịch biến trên khoảng ) v{ có
Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa m~n điều kiện x 9.
HD : Đứng trước b{i to|n chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt của biến khi muốn quy về 1 biến để khảo s|t :
45 X|c định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x : esinxe 1 22esinxesinx(e 1)sinx 11
46 ( Đề thi HSG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) Giải PT :
47 Định gi| trị của m để phương trình sau có nghiệm: 4m 3 x 3 3m 4 1 x m 1 0
48 (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) Giải hệ phương trình sau:
(x 1)e , x 0f(x)
0, , x 0
xlnx, x 0f(x)
0, x 0 CMR : F'(x) f(x)
Cho f(x) x|c định trên R thỏa m~n điều kiện : a 0bất đẳng thức sau luôn đúng x R : |f(x a) f(x) a| a 2
Chứng minh f(x) l{ h{m hằng
Trang 6Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
a) Tn(x) c osx 2cos2x nc osnx
b) n(x)1tanx 12tanx2 1ntan xn
50 Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số :
51 Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm :
a) Cho c|c số thực a,b,c,d,e Chứng minh rằng nếu phương trình : ax2b c x d e 0 có nghiệm thực thuộc nửa khoảng [1;) thì phương trình : ax4bx3cx2dx e 0 có nghiệm
b) Cho phương trình : P( )x x55x415x3x23x 7 0 Chứng minh rằng, phương trình có một nghiệm thực duy nhất
Trang 7b) f x y f x f y 2x23xy 2y , x,y R 2
2 Tìm h{m số : f :RR thoả m~n điều kiện sau : f x f(y) f x y 2008 f f(y) y 20081, x,y R
3 Tìm h{m số : f :RR thoả m~n điều kiện sau : f x cos(2009y) f x 2009cos f y , x,y R
4 Tìm h{m số : f :RR thoả m~n đồng thời c|c điều kiện sau :
c) f x e2009x
d) f x y f x f y , x,y R
5 Tìm h{m số : f :RR thoả m~n điều kiện sau : f y 1
6 Tìm h{m số : f :RR thoả m~n điều kiện sau : f x.f x y f(y.f x ) x 2
7 ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Tìm h{m f : thỏa m~n :
2(x) 2yf(x) f(y) f y f(x) , ,x,y
Trang 8Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
8
PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
1 Cho a,b,c R: a 2b2 c2 3 Chứng minh rằng : a b b c c a 32 2 2
2 Cho c|c số thực không }m a,b,c Chứng minh rằng :
4 Cho c|c số thực không }m a,b,c thoả m~n : a b c 36abc 2 Tìm Max của : P a b c 7 8 9
5 Cho 3 số thực dương tuỳ ý x,y,z CMR :
a b abc b c abc c a abc
10 Cho c|c số thực thỏa m~n điều kiện :
18 Cho c|c số thực a,b,c thỏa m~n : a2b2 c2 9 CMR : 2(a b c) 10 abc
19 Cho a,b,c l{ c|c số thực dương : a+b+c =1 CMR :
Trang 9Từ đó ta có : F a2b2c2 1
3 Dấu bằng xảy ra khi v{ chỉ khi : a=b=c=1
Lời giải 2 : ( ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN )
Vậy minF 1 xảy ra khi a b c 1
21 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho c|c số thực dương x,y,z Chứng minh rằng :
Trang 10Lời giải 2 : ( ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN )
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
Dấu đẳng thức xảy ra khi v{ chỉ khi x = y = z =1
22 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho c|c số thực dương x,y thỏa m~n đk : x y 1 3xy Tìm gi| trị
My(x 1) x y 1) x
1y(
y (3x 1) x (3y 1) x x 1) x (3y 1) x y 9xy 3(x y) 1 4xy
23 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho c|c số thực dương a, b, c CMR :
33 33
3 3
b c aa
24 ( Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) Cho x, y, z 0 thỏa m~n : x2y2z21 Tìm gi| trị lớn nhất của
biểu thức : P 6(y z x) 27xyz
Trang 11HD : B{i n{y thì chọn phần tử lớn nhất m{ đạo h{m
30 (Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ) Cho a,b,c >0 CMR : a3 b3c3 a
31 ( Đề thi chọn HSG QG Tỉnh Bình Định năm 2010) Cho x,y,z >0 thỏa m~n : 2 xy xz 1 Tìm gi| trị nhỏ
nhất của : S3yz 4z x 5xy
Tìm gi| trị nhỏ nhất của : P xyz
33 ( Đề thi chọn HSG QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) Cho a,b c, 0:a2b2 c2 3 Chứng minh bất đẳng thức :
b
1 a 1
a b
1 b 1 ab
c 1 1 1
a b c
c ac
c ca) (a b c)b
35 Bài toán tương tự : Cho x,y,z 0: xyz 1 Chứng minh rằng :
Trang 123 4 4 Dấu “=” xảy ra khi v{ chỉ khi : x = y = z =1
Lời giải 2 : ( ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT )
Trang 13Lời giải : bx;cy;az ;xyz 1
8(1 x) (1 y) (1 z)
4(1 x) (1 y) (1 z)
Suy ra : f )(z f(1)3
4
Trang 1444 ( Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) Cho x,y,z 0: x y z 1 Chứng minh bất đẳng thức :
y(y z) z(z x) x(x y) xyz(y z) xyz(z x) xyz(x y) 2xyz(x y z)
M{ : xyz(x y z) (xy)(yz) (xz)(zy) (zx)(xy) (xy yz zx) 2VP
Trang 1551 Cho a,b,c 0 Chứng minh rằng :
60 Cho a,b,c 0:abc 1 CMR :
Trang 17Suy ra phương trình f(x)=x có nghiệm duy nhất x = 4
Theo định lý Lagrage c(x 4)n; sao cho : f(x ) f(4)n f '(c) xn 4 1 xn 4
11ln3
211)ln
xf(0) 1; lim f(x)
Ta sẽ chứng minh a=1 Thật vậy, giả sử a > 1
3 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho d~y số 1 2
u{u } :
u u
1u2010
u
Trang 18x , n 12
Giả sử d~y số có giới hạn l{ a, lúc đó a thỏa m~n pt : a 1 a a2 a 2
2x
1, n 12
u{u } :
x{x } : x
n
1)x1
n )(
Trang 19x 0{x } : x (x 3)
, n1
Bằng quy nạp ta chứng minh được xn 0, n 0
+) TH1 : Nếu x01, quy nạp ta được xn 1, n 0 Hiển nhiên limxn1
+) TH1 : Nếu x01,
Xét h{m số : f(x) x(x22 3)
13x
Trang 20(
0 9x
2a
a n
008,n 1a
Trong (1) cho n=1,2,3….v{ nh}n nó lại để tìm : an
19 Cho d~y số (x ) thỏa : n 1 n 1
Chứng minh d~y số (x ) có giới hạn v{ tìm giới hạn ấy n
20 ( Đề thi HSG QG năm 2009 ) Cho d~y số
x 4x xx
Trang 21x = 3(x
xlimx
a8
Trang 22Chứng minh d~y (xn) có giới hạn v{ tìm giới hạn đó
HD : Chứng minh d~y giảm v{ bị chặn dưới
27 Cho phương trình : xnxn 1 x 1 0 Chứng tỏ rằng với n nguyên dương thì phương trình có nghiệm duy nhất dương x v{ tìm n n
29 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Cho phương trình: 1 x x n 0
2008 (1) Chứng minh rằng: với mỗi n
N* phương trình (1) có nghiệm duy nhất, gọi nghiệm đó l{ xn Xét d~y (xn), tìm lim (xn + 1 - xn)
Lời giải : ( ĐÁP ÁN SỞ GD&ĐT )
Khi đó lim (xn - 1 - xn) = lim{[xn + 1- (n + 1)] - (xn - n) + 1} = 1
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN KHI BIẾT CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
30 Cho d~y số n n 11
n
n 1
224
Trang 23
HD : Tìm được :
n 1 n
u
u :
2 2 1 uu
2
12, n 2
sin3.2lim 2 u lim
1 1
3u
n 1
23u
, n 22(2n 1
u :u
12
u 2u N *
uu
ulimu
1 3
3
3 u
, n 2u
2
u u ulim
Trang 24Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
24
38 Cho d~y số
1 n
2
1b2):
Trang 25Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
25
PHẦN V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1 Cho hình chóp tam gi|c đều có thể tích l{ 1 Tìm gi| trị lớn nhất của b|n kính mặt cầu nội tiếp hình chóp
2 Cho tứ diện ABCD có : AB=a; CD=b ; góc giữa AB v{ CD bằng Khoảng c|ch giữa AB v{ CD bằng d Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a,b,d v{
3 Trong c|c tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau v{ thể tích bằng 36 H~y x|c định tứ diện sao
cho diện tích tam gi|c ABC nhỏ nhất
4 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 C|c điểm M, N di động trên c|c cạnh AD v{ BB1 sao cho
1
MA NB
MD NB Gọi I, J lần lượt
l{ trung điểm c|c cạnh AB, C1D1 Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn cắt đường thẳng IJ
5 Gọi O l{ t}m của một hình tứ diện đều Từ một điểm M bất kì trên một mặt của tứ diện , ta hạ c|c đường vuông góc
tới ba mặt còn lại Giả sử K, L v{ N l{ ch}n c|c đường vuông góc nói trên Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua
trọng t}m tam gi|c KLN
6 Cho hình chóp S.ABC Từ điểm O nằm trong tam gi|c ABC ta vẽ c|c đường thẳng lần lượt song song với c|c cạnh
SA, SB, SC tương ứng cắt c|c mặt (SBC), (SCA), (SAB) tại c|c điểm D,E,F
a) Chứng minh rằng : OD DE DF 1
SASB SC
b) Tìm vị trí của điểm O trong tam gi|c ABC để thể tích của hình chóp ODEF đạt gi| trị lớn nhất
7 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 H~y x|c định M thuộc đường chéo AC1 v{ điểm N thuộc đường chéo B1D1 của mặt phẳng A1B1C1D1 sao cho MN song song với A1D
8 C|c điểm M, N lần lượt l{ trung điểm của c|c cạnh AC, SB của tứ diện đều S.ABC Trên c|c AS v{ CN ta chọn c|c
điểm P, Q sao cho PQ // BM Tính độ d{i PQ biết rằng cạnh của tứ diện bằng 1
9 Gọi O l{ t}m mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu ODC 90 0 thì c|c mặt phẳng (OBD) v{ (OAD)
vuông góc với nhau
10 Trong hình chóp tam gi|c đều S.ABC (đỉnh S ) độ d{i c|c cạnh đ|y bằng 6 Độ d{i đường cao SH = 15 Qua B vẽ mặt phẳng vuông góc với AS, mặt phẳng n{y cắt SH tại O C|c điểm P, Q tương ứng thuộc c|c cạnh AS v{ BC sao cho PQ tiếp xúc với mặt cầu t}m O b|n kính bằng 2
5 H~y tính độ d{i bé nhất của đoạn PQ
11 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh bằng a Đường thẳng (d) đi qua D1 v{ t}m O của mặt phẳng BCC1B1 Đoạn thẳng MN có trung điểm K thuộc đường thẳng (d) ; M thuộc mặt phẳng (BCC1B1) ; N thuộc mặt đ|y (ABCD)
Tính gi| trị bé nhất của độ d{i đoạn thẳng MN
12 Cho tứ diện ABPM thoả m~n c|c điều kiện : AM BP; MAB ABP 90 ; 2AM.BP AB 0 2 Chứng minh rằng mặt
cầu đường kính AB tiếp xúc với PM
13 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho điểm O cố định v{ một số thực a không đổi Một hình chóp
S.ABC thay đổi thỏa m~n : OA OB OC a; SA OA;SB OB;SC OC ; ASB 90 BSC 60 CSA 0; 0; 1200 Chứng
BC2SB2SC22SB.SC.cos600(x2a )2 AC2AB2BC2 hay tam gi|c ABC vuông tại B
b) Gọi M l{ trung điểm AC , do c|c tam gi|c SAC, OAC l{ c|c tam gi|c c}n nên :
Trong c|c tam gi|c vuông ABC v{ SBO ta có hệ
Trang 2614 ( Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) Cho hình chóp S.ABCD có đ|y ABCD l{ hình chữ nhật , AB = a ;
BCa 2 Cạnh bên SA vuông góc với đ|y v{ SA=b Gọi M l{ trung điểm SD, N l{ trung điểm AD
a) Chứng minh AC vuông góc với mặt phẳng (BMN)
b) Gọi (P) l{ mặt phẳng đi qua B, M v{ cắt mặt phẳng (SAC) theo một đường thẳng vuông góc với BM
15 ( Đề thi HSG Tỉnh Bình Phước năm 2010 ) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Trên AB lấy
điểm M, trên CC’ lấy điểm N , trên D’A’ lấy điểm P sao cho : AM CN D'P x (0 x a)
a) CMR tam gi|c MNP l{ tam gi|c đều, tìm x để diện tích tam gi|c n{y nhỏ nhất
b) Khi x a
2
h~y tính thể tích khối tứ diện B’MNP v{ b|n kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Trang 27Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
27
16 ( Đề thi HSG Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2008 ) Cho tứ diện ABCD có c|c cạnh AB=BC=CD=DA=a ,
AC x; BD y Giả sử a không đổi, x|c định tứ diện có thể tích lớn nhất
17 ( Đề thi HSG Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2009 ) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V Điểm M thuộc miền trong
tam gi|c ABC C|c đường thẳng qua M song song với DA, DB, DC theo thứ tự cắt c|c mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB) tương ứng tại A1 ; B1 ; C1
a) Chứng minh rằng : MA1 MB1 MC1
1
DA DB DC
b) Tính gi| trị lớn nhất của khối tứ diện MA B C khi M thay đổi 1 1 1
18 ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi ; ; lần lượt l{ góc tạo bởi c|c mặt phẳng OBC, OAC, OAB với mặt phẳng (ABC )
a) Chứng minh rằng : tan2 tan2 tan2 2 tan tan tan2 2 2
b) Giả sử OC=OA+OB Chứng minh rằng : OCA OCB ACB 90 0
19 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC v{ mặt phẳng (CAB)
vuông góc với mặt phẳng (DAB) Chứng minh rằng: CotBCD.CotBDC = 1
2
Lời giải 1 : Đặt : BCD ; BDC
Ta có :
BAC BDCABC DCB
sin sin tan sin
(1 cot ) (1 cot ) 2(cot cot 1) 1 cot (1 cot ) 2cot cot cot cot
2
Lời giải 2 : ( ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT )
Đặt AD BC a,AC BD b,AB CD c,BAC A,ABC B,ACB C.
Ta có ABC nhọn v{ ABC = DCB = CDA = BAD
Suy ra BCD ABC B;ABD BDC CAB A, 1
Trang 28Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
28
Hạ CM AB , vì CAB DAB nên CMDABCM MD CM2DM2CD , 2 2
|p dụng định lí cosin cho tam gi|c BMD ta được MD2BM2BD22BM.BD.cosMBD, 3
Từ (1), (2), (3) ta được CM2BM2BD22BM.BD.cosA CD 2
BC BD 2BM.BD.cosA CD a b 2abcosA.cosB c
1cosC cosA.cosB sinA.sinB 2cosA.cosB cot A.cot B
2
20 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Cho khối chóp S ABCD có đ|y ABCD l{ hình bình h{nh Gọi M, N, P lần
lượt l{ trung điểm của c|c cạnh AB, AD, SC Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chóp S.ABCD th{nh hai phần có thể tích bằng nhau
21 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho tam gi|c ABC , M l{ một điểm trong tam gi|c ABC C|c đường
thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt c|c mặt phẳng (BCD), (ACD) , (ABD) lần lượt tại A’, B’, C’ Tìm M sao cho MA'.MB'.MC' đạt gi| trị lớn nhất
Lời giải 1 : Đặt VDABCV; VMABDV VC; MADCV VB; MBCVAVAVBVCV v{ :
Do đó : MA'.MB'.MC' đạt gi| trị lớn nhất khi v{ chỉ khi M l{ trọng
T}m tam gi|c ABC
Lời giải 2 : Đặt : DA a; BD b; DC c; MA' x;MB' y;MC' z
Kẻ đường thẳng qua M song song với AD cắt DA1 tại A’
Xét tam gi|c DAA1 có MA’ // AD nên 1 MBC
SMAMA'
