MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BỔI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 “CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TOÁNTHCS, BẤT ĐẲNG THỨC Bunhiacopski ”

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BỔI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 “CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TOÁN THCS, BẤT ĐẲNG THỨC Bunhiacopski ” PHẦN I : MỞ ĐẦU I-Lý do chọn đề tài: Toán

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BỔI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

“CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TOÁN

THCS, BẤT ĐẲNG THỨC Bunhiacopski ”

PHẦN I : MỞ ĐẦU

I-Lý do chọn đề tài:

Toán học là một môn học có tính chất rất quan trọng trong việc phát triển và rèn

luyện kỹ năng, tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng hợp, tính cẩn thận, kiên trì,tính chính xác, năng lực sáng tạo và khả năng tư duy lôgíc cho học sinh

Đào tạo học sinh giỏi là một trong những công tác quan trọng của ngành giáodục Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là mộtnhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dưỡng nhântài cho đất nước Vì vậy, trong những năm qua, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏiđược ngành giáo dục hết sức coi trọng và chú trọng Ngành mỗi năm đều tổ chứcthường xuyên kỳ thi học sinh giỏi các cấp trong đó có môn toán lớp 9

Chương trình toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong

đó chuyên đề “Giải phương trình bậc cao và phương trình vô tỷ, bất đẳng thức

Bunhiacopski” của toán lớp 9 giữ vai trò quan trọng Trong quá trình giảng dạy bộmôn toán, tôi thấy học sinh lúng túng, không biết bắt đầu từ đâu, làm như thế nào,thấy khó mà các em không tìm ra được phương pháp giải Điều này cũng dễ hiểu vàthông cảm cho học sinh vì các em chỉ nắm vững kiến thức cơ bản sách giáo khoa vàsách bài tập chưa được tìm hiểu sâu vào các dạng toán giải phương trình bậc cao vàphương trình vô tỷ Năm học trước, là giáo viên được giao nhiệm vụ dạy lớp chọn vàbồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 tôi hiểu hơn hết về học sinh Hy vọng rằng thông quachuyên đề này giúp học sinh hăng say học tập, đồng thời cung cấp những kiến thức cơbản cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp tính toán giải phươngtrình Bên cạnh đó giúp học sinh rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luậnlôgíc tạo sự say mê cho các bạn yêu thích toán

II-Mục đích nghiên cứu:

1- Đối với giáo viên:

- Xây dựng cơ sở lý thuyết, các phương pháp giải các bài toán về “Giải phương trìnhbậc cao và phương trình vô tỷ, bất đẳng thức Bunhiacopski”

- Phân dạng, xây dựng hệ thống các bài tập theo chuyên đề riêng phù hợp với từng đốitượng học sinh, có phương pháp giải từng dạng

2- Đối với học sinh:

- Nhận dạng được các dạng phương trình thường gặp

- Đứng trước một phương trình đưa ra được phương pháp giải toán đối với từng dạngphương trình.Vận dụng tốt các phương pháp để giải bài tập Có kỹ năng giải phươngtrình thành thạo

III- Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Phương pháp giải các phương trình bậc cao bằng cách đưa về các dạng phương trình

đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc

- Bất đẳng thức Bunhiacopski

- Các ví dụ minh hoạ và bài tập tương tự

IV- Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

1- Đối tượng: Học sinh giỏi lớp 9 Trường THCS Hương Vỹ huyện Yên Thế Tỉnh

Bắc Giang

2- Phạm vi: Một số bài toán : “Giải phương trình liên quan đến phương trình bậc cao

và phương trình vô tỷ, một số bài toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng bất đẳngthức Bunhiacopski”

V- Phương pháp nghiên cứu:

- Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu

- Phân tích, tổng kết kinh nghiệm trong quá trình dạy

- Kiểm tra kết quả : Dự giờ, kiểm tra chất lượng HS, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điềutra trực tiếp thông qua các giờ học

- Đúc rút kinh nghiệm bản thân

- Sinh hoạt chuyên môn theo chuyên đề

- Thảo luận, trao đổi với đồng nghiệp, với GV THPT, giảng viên đại học

VI- Những đóng góp của đề tài:

+ Sau khi ứng dụng đề tài giúp học sinh với học sinh lớp chọn và bồi dưỡng học sinhgiỏi trường THCS Hương Vỹ huyện Yên Thế cải thiện đáng kể về kiến thức toán và tưduy về dạng toán giải phương trình bậc cao và phương trình vô tỷ, bất đảng thức + Nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi trong trường THCS

+ Làm tài liệu để giáo viên và học sinh tham khảo trong quá trình bồi dưỡng học sinhgiỏi về dạng toán giải phương trình bậc cao và phương trình vô tỷ

PHẦN II : NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ

Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI :

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Toán học là một môn học có tính chất rất quan trọng trong việc phát triển và rèn

luyện kỹ năng, tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng hợp, tính cẩn thận, kiên trì,tính chính xác, năng lực sáng tạo và khả năng tư duy lô gíc cho học sinh

Trong chương trình toán học ở bậc THCS các bài toán về phương trình giữ vaitrò quan trọng, nó rèn cho học sinh kỹ năng phân tích tổng hợp, tư duy sáng tạo, tínhđộc lập suy nghĩ, nó có tác dụng tốt trong việc phát triển năng lực tư duy và sự linhhoạt trong giải toán

II CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Là giáo viên giảng dạy môn toán lớp 9; giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toánlớp 9 tôi nhận thấy: “Bài toán giải phương trình bậc cao và phương trình vô tỷ, bấtđẳng thức” thường gặp nhiều trong các đề thi học sinh giỏi và thi tuyển sinh vàoTHPT

Các bài toán về phương trình khá đa dạng, để phân dạng và tìm ra phương phápgiải cho từng dạng bài toán giải phương trình Nhằm trang bị cho các em học sinh một

số phương pháp kỹ năng cơ bản khi giải các bài toán về phương trình bậc cao vàphương trình vô tỷ Do đó tôi đã đi sâu nghiên cứu chuyên đề này

Qua thực tiễn bồi dưỡng học sinh giỏi với đối tượng học sinh trường THCS Hương

Vỹ – Yên Thế khi chưa áp dụng đề tài để hướng dẫn các em học tập nghiên cứu dạng

toán này hầu hết các em đều lúng túng, gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết cácbài toán dạng này Cụ thể khảo sát với 10 học sinh trong câu lạc bộ toán 9 nhà trường

về toán giải phương trình bậc cao và phương trình vô tỷ cho thấy kết quả còn rất nhiềuhạn chế:

I- phương trình và nghiệm của phương trình :

1 Hai biểu thức chứa biến, nối với nhau bởi dấu “=” lập thành một phương trình Giátrị của biến làm cho phương trình trở thành một đẳng thức đúng được gọi là nghiệmcủa phương trình

- Biến trong phương trình được gọi là ẩn

- Mỗi biểu thức được gọi là vế của phương trình

- Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó

2 Một phương trình có thể có 1, 2, 3 nghiệm; có thể vô số nghiệm, cũng có thểkhông có nghiệm nào (vô nghiệm)

3 Định nghĩa hai phương trình tương đương:

- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm

- Hai phương trình vô nghiệm cũng được gọi là tương đương

4 Tập xác định của phương trình: là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thứctrong phương trình có nghĩa

II- Các phép biến đổi tương đương của phương trình:

*Định lí 1: Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của một phương trình thì tađược một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

*Hệ quả 1: Nếu chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một phương trình, đồngthời đổi dấu của hạng tử ấy thì ta được một phương trình mới tương đương vớiphương trình đã cho.

*Hệ quả : Nếu xóa hai hạng tử bằng nhau ở hai vế của một phương trình thì ta đượcmột phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

*Định lí 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì ta được mộtphương trình mới tương đương với phương trình đã cho

B /DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO:

I / PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN :

1 Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn :

- Định nghĩa phương trình bậc nhât một ẩn :Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứabiến x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau

- Biến x được gọi là ẩn

- Giá trị tìm được cuả ẩn gọi là nghiệm

- Mỗi biểu thức là một vế của phương trình

- việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình

- Khi nghiên cứu về nghệm số của phương trình bậc hai ta cần đặc biệt quan tâm đếnbiệt số  của phương trình  = b2 - 4ac ( gọi là biệt thức của phương trình bậchai).

- Ta thấy có các khả năng sau xảy ra

a)  < 0  phương trình bậc hai vô nghiệm

b)=0  phương trình bậc hai có nghiệm kép : x1= x2 =

a) ’ < 0  phương trình bậc hai vô nghiệm

b) ’ = 0  phương trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau)

- Đối với một số phương trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên ) trong trường hợp

có nghiệm ( 0 ) ta có thể dùng định lí Vi- ét để tính nhẩm nghiệm

Định lí Vi- ét cho phương trình bậc hai được phát biểu như sau :

Định lí Vi- ét : Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx +c = 0 (1) (a 0) có hainghiệm là : x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm là :

S = x1 x2= a b ; P = x1x2= a c

Cách nhẩm nghiệm :

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x1 1;x2 c

a

+ Nếu a - b + c = 0 thì phương trình (1) có các nghiệm là x1 1;x2 c

a



- Nhờ có đình lí Vi- ét mà ta có thể tìm được nghiệm của các phương trình có dạng đặc biệt Ngoài ra chúng ta cũng có thể làm được một số bài toán biện luận về số nghệm của phương trình bậc hai

- Sau khi dạy về định lí Vi -ét tôi cho HS giải các phương trình bậc hai qua lược đồ sau :

Ví dụ : Giải các phương trình sau

a , 3x2 + 5x + 4 = 0 = 25 – 4 3 4 =25 - 48 = - 23 <0 Vậy phương trình vô nghiệm b , x2 + 2 10x + 10 = 0 < 0 =0 > 0 =0 =0 phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là: x1= a b 2    ; x2= a b 2    phương trình (1) có nghiệm kép là 1 2 2 b x x a   

phương trình (1) vô nghiệm

Tính a+b+c

Phương trình có 2 nghiệm x11 x; 2  a c Tính a-b+c phương trình (1) có hai nghiệm là x

a

c

x 



Tính  b2  4ac

a =

Xác định b=

c =

a x 2 + bx +c = 0 ( a 0)

= (2 10 )2 – 4.10 = 0 nên phương trình có nghiệm kép

  là hai nghiệm của phương trình trung gian

- Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2) có thuộcTXĐ của (1) hay không ? ở đây ta nhận thấy x1 = 1 thoả mãn điều kiện , x2 = 3không thoả mãn điều kiện

- Do đó ta mới kết luận nghiệm của phương trình (1) là x = 1

4/ Nhận xét :

- Những phương trình được trình bày ở trên là dạng phương trình gặp nhiều ở THCS

- Khi giải các phương trình này ta cần chú ý những vấn đề sau :

+ Tìm TXĐ của phương trình

+ Sau khi giải được kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm ( loại bỏnhững nghiệm của phương trình trung gian không nằm trong miền xác định )

phương trình (3) vô nghiệm.

Vậy phương trình (2) có 1 nghiệm x = 1

c)x3  2x2  2 2x 2 2 0  (4)

Nhận xét: Phương trình (4) không nhẩm được nghiệm hữu tỉ Ta đưa phương trình (4)

về phương trình tích để giải như sau: phương trình (4)

Phương trình (5) vô nghiệm

Vậy phương trình (4) có nghiệm x  2

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau

- Chú ý : Tính chất của phương trình bậc ba : a x3 + bx2 + cx +d =0 (a 0 )

+ Nếu a + b + c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1

+ Nếu a – b + c – d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = - 1

Khi đã nhận biết được một nghiệm của phương trình ta dễ dàng phân tích vế trái thànhnhân tử.

- Phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 ( a 0 ) với các hệ số nguyên Nếu cónghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do (ĐL sự tồn tạinghiệm nguyên của phương trình nghiệm nguyên )

- Nếu phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a 0 ) có 3 nghiệm x1 ; x2 ; x3 thì 3nghiệm đó sẽ thoả mãn các điều kiện sau:

x1+x2+x3 = -a b

x1x2+ x2x3 +x1x3 =

a c

Giải phương trình (3) rồi thay giá trị của t tìm được ( với t 0) vào (2) ta đượcphương trình bậc ba với biến x giải phương trình này ta tìm được nghiệm của phươngtrình trùng phương ban đầu

c) Ví dụ : Giải phương trình sau

a) 4x4 – 109x2 + 225 = 0 (1)

Giải:

Đặt x2 = t (t 0) phương trình (1) trở thành

t  không thỏa mãn điều kiện t 0

Vậy phương trình (3) có 2 nghiệm là : x1  1 ; x2  1

d) Nhận xét :

* Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta thấy :

- Phương trình vô nghiệm khi :

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm

- Phương trình trùng phương có một nghiệm khi : Phương trình bậc hai trung gian cónghiệm duy nhất

- Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi :

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dương

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm âm vàmột nghiệm dương

- Phương trình trùng phương có 3 nghiệm khi phương trình bậc hai có 2 nghiệm trong

đó có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0

- Phương trình trùng phương có 4 nghiệm khi phương trình hai trung gian có hainghiệm dương phân biệt

(a, b, c là các số thực ; n nguyên dương ; n 2 ; a  0 )

- Nếu a, b, c đồng thời khác không và n = 2 thì phương trình (1) là phương trìnhtrùng phương đã nghiên cứu ở trên

- Xét trường hợp n>2

- Ta đặt xn =t

- Để tìm nghiệm của (1) ta giải hệ sau :

Ngoài nghiệm x = -1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phương trình

2x4 + x3 – 6x2 + x + 2 = 0 (2) là phương trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải Giải (2) ta được x1 = x2 = 1 ; x3 = - 2; x4 = - 0,5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 = x2 = 1 ; x3 = -2 ; x4 = - 0,5 ;x5 = -1

*Nhận xét : Phương trình đối xứng bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1

do đó bằng cách chia cả hai vế phương trình cho x + 1 ta hạ được bậc của phươngtrình thành phương trình đối xứng bậc chẵn 2n

-Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đối với x được đưa về phương trình bậc n đối với

t bằng cách đặt t = x+1x

- Nếu a là nghiệm của phương trình đối xứng thì 1/a cũng là nghiệm của phương trình(chính vì thế phương trình đối xứng dù chẵn hay lẻ bậc còn được gọi là phương trìnhthuận nghịch bậc chẵn hay bậc lẻ)

3/ Phương pháp giải các phương trình bậc cao đưa được về dạng tích

a-Ví dụ 1: Giải phương trình sau : x4  24x 32(1)

HD: Phương trình (1) không thuộc các phương trình đã xét ở trên Do đó đẻ giảiphương trình này ta đưa về dạng tích bằng cách thêm 4x 2 4 vào cả hai vế ta được:

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:

- Số nghiệm của các phương trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm của các phương trìnhcon tương đương

Chương III: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I- Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến thức mở rộng để giải phương trình vô tỷ:

1 Các tính chất của lũy thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hóa các tính chất của lũy thừa bậcchẵn và lũy thừa bậc lẻ

2 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức

3 Các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối

4 Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc 2 một ẩn, cách giải hệphương trình

5 Bổ xung các kiến thức để giải các phương trình vô tỷ đơn giản

A 0 * A B  0  AB 0

II- Các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỷ.

1/Phương pháp 1: Nâng lên lũy thừa để làm mất căn ở 2 vế của phương trình (thường

dùng khi 2 vế có lũy thừa cùng bậc)

*Ví dụ 1: Giải phương trình:

x 1  5x 1  3x 2 (1)

+ Ở phương trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để nguyênhai vế như vậy và bình phương hai vế để làm mất căn Vì vậy giáo viên cần phân tích

kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải, tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất củalũy thừa bậc 2 là: a = b  a2 = b2 ( Khi a, b cùng dấu )

Vì vậy khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương với phươngtrình ban đầu khi hai vế cùng dấu

Ở phương trình (1), VP0, nhưng chưa chắc VT đã không âm Vì vậy ta nên chuyễn

vế đưa về phương trình có 2 vế cùng không âm

Sai lầm của học sinh là gì? Tôi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm:

+ Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải không

đối chiếu điều kiện ở (1): ĐK: x 1 vì vậy x1 112 không phải là nghiệm của PT (1)

+ Khi bình phương hai vế của phương trình (*) cần có điều kiện 2  7x 0  x72 vậy

2

2 

x không là nghiệm của PT (1)

- Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp phải, từ đó tôi cho học sinh tìm racách gải đúng và không phạm sai lầm như đã phân tích

1

x

x x

x

Sauk hi giải đến (*) khi bình phương hai vế đặt them điều kiện x72 vậy x cần thỏa

x

x

nên phương trình (1) vô nghiệm

Bài tập tương tự : Giải phương trình

Gải ra: x1   1 ;x2  7thay lại vào phương trình đã cho ta thấy nghiệm đúng, nên đó là

2 nghiệm của phương trình ban đầu Vậy (2) có nghiệm x1   1 ;x2  7

+ Ở phương trình (2) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức mộtcách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải

Bài tập tương tự : Giải phương trình :

2/Phương pháp 2: Phương pháp đưa về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

*Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết dưới

dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức: A2 A để làm mất dấu căn đưa về PT đơn giản.