BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN

Giới thiệu môn họcHọc phần Giải tích hàm nhiều biến là một trong những học phần bắtbuộc trong hầu hết các chương trình đào tạo cử nhân Toán, dành cho sinhviên đã học xong các học phần Đạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

KHOA TOÁN - TIN HỌC

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN

(Tài liệu dành cho sinh viên Khoa Toán - Tin học)

Nguyễn Thành Nhân

Thành Phố Hồ Chí Minh, Năm 2022

Giới thiệu môn học 5

1.1 Không gian Rn 7

1.1.1 Định nghĩa 7

1.1.2 Tích vô hướng và chuẩn Euclide 8

1.1.3 Ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R 9

1.2 Một số khái niệm tôpô cơ bản trong Rn 10

1.2.1 Quả cầu mở, quả cầu đóng 10

1.2.2 Tập mở, tập đóng 10

1.2.3 Tập bị chặn, tập liên thông 13

1.2.4 Dãy hội tụ 14

1.3 Hàm nhiều biến 15

1.3.1 Giới hạn hàm số 15

1.3.2 Hàm số liên tục 21

1.3.3 Các định lý giá trị trung gian 22

Bài tập Chương 1 23

2 Phép tính vi phân hàm nhiều biến 27 2.1 Sự khả vi của hàm nhiều biến 27

2.1.1 Đạo hàm riêng bậc nhất 27

2.1.2 Định nghĩa sự khả vi 29

2.1.3 Điều kiện cần cho sự khả vi 30

2.1.4 Điều kiện đủ cho sự khả vi 32

2.1.5 Định lý giá trị trung bình 34

2.2 Đạo hàm riêng bậc cao 37

2.2.1 Đạo hàm riêng bậc hai 37

2.2.2 Công thức Taylor 38

2.2.3 Định nghĩa vi phân 41

2.3 Úng dụng vào bài toán tìm cực trị 41

Nguyễn Thành Nhân ( nhannt@hcmue.edu.vn ) Giải tích hàm nhiều biến

2.3.1 Cực trị địa phương không điều kiện 41

2.3.2 Cực trị địa phương có điều kiện 47

2.3.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 49

Bài tập Chương 2 51

3 Tích phân bội 57 3.1 Định nghĩa tích phân bội 57

3.1.1 Tích phân Riemann trên hộp đóng 57

3.1.2 Tích phân trên miền bị chặn 60

3.2 Dùng tích phân lặp để tính tích phân bội 62

3.2.1 Định nghĩa tích phân lặp 62

3.2.2 Phương pháp tính tích phân bội cơ bản 63

3.3 Phép đổi biến trong tích phân bội 65

3.3.1 Phép đổi biến tổng quát 65

3.3.2 Đổi biến trong tọa độ cực 67

3.3.3 Đổi biến trong tọa độ trụ 67

3.3.4 Đổi biến trong tọa độ cầu 68

Bài tập Chương 3 69

4 Tích phân đường 73 4.1 Đường cong trong Rn 73

4.1.1 Định nghĩa 73

4.1.2 Độ dài đường cong 74

4.2 Tích phân đường loại I 75

4.2.1 Định nghĩa 75

4.2.2 Tính chất 75

4.3 Tích phân đường loại II 76

4.3.1 Định nghĩa và tính chất 76

4.3.2 Tích phân trên đường cong kín 78

4.3.3 Định lý bốn mệnh đề tương đương 80

Bài tập Chương 4 82

5 Tích phân mặt 85 5.1 Mặt cong trong R3 85

5.1.1 Định nghĩa 85

5.1.2 Mặt tiếp tuyến và pháp tuyến 86

5.1.3 Diện tích mặt cong 87

5.2 Tích phân mặt loại I 88

5.2.1 Định nghĩa 88

5.2.2 Công thức tính 88

5.3 Tích phân mặt loại II 89

5.3.1 Mặt cong định hướng 89

5.3.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II 89

5.3.3 Công thức tính 90

5.3.4 Định lý Gauss - Ostrogradski 91

5.3.5 Định lý Stokes 91

Bài tập Chương 5 92

Một số đề thi tham khảo 93 Đề thi năm 2017 93

Đề thi năm 2018 95

Đề thi năm 2019 97

Đề thi năm 2020 99

Đề thi năm 2021 101

Giới thiệu môn học

Học phần Giải tích hàm nhiều biến là một trong những học phần bắtbuộc trong hầu hết các chương trình đào tạo cử nhân Toán, dành cho sinhviên đã học xong các học phần Đại số tuyến tính và Giải tích hàm mộtbiến Nội dung của học phần là sự nối tiếp các kiến thức sinh viên đã đượchướng dẫn trong học phần Giải tích hàm một biến, cung cấp cho sinh viênngành Toán một số kiến thức nền tảng về phép tính vi phân và phép tínhtích phân cho các hàm nhiều biến

Trong quá trình xây dựng và chứng minh các kết quả đối với hàm nhiềubiến, một số kết quả quen thuộc trong giải tích hàm một biến sẽ được

kế thừa và áp dụng thường xuyên Do đó, để học tốt học phần này, sinhviên cần nắm vững các kiến thức về giải tích hàm một biến, bao gồm: cácphương pháp tính giới hạn hàm một biến, khảo sát tính liên tục và sự khả

vi của hàm một biến, các định lý giá trị trung bình (Định lý Lagrange),phương pháp tìm cực trị của hàm một biến, các phương pháp tính tíchphân của hàm một biến

Nội dung bài giảng này được thiết kế dành cho sinh viên Khoa Toán Tin học, bao gồm 5 chương

-• Chương 1 giới thiệu một số định nghĩa cơ bản trong không gian Rn

và định nghĩa về giới hạn của hàm nhiều biến Trọng tâm của chươngnày là các phương pháp để tính giới hạn và khảo sát sự liên tục củahàm nhiều biến Các phương pháp này sẽ được vận dụng liên tục ởchương tiếp theo, trong việc khảo sát sự khả vi của hàm nhiều biến

• Chương 2 đưa ra các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàmnhiều biến và ứng dụng vào bài toán cực trị địa phương Trọng tâm

của chương này là định nghĩa về sự khả vi và nội dung lý thuyết liênquan đến sự khả vi của hàm nhiều biến Các định lý ở chương nàyđược chứng minh một cách chi tiết, với mục tiêu mang đến cho sinhviên ý tưởng cơ bản trong việc chuyển từ lý thuyết phép tính vi phâncho hàm một biến sang phép tính vi phân cho hàm nhiều biến.

• Chương 3 trình bày định nghĩa tích phân Riemann của hàm nhiều biếntrên miền bị chặn, cùng với phương pháp tính tích phân và phép đổibiến trong trường hợp tổng quát Trọng tâm của chương này là cácphương pháp đổi biến thông dụng trong việc tính tích phân bội

• Hai chương cuối cùng của bài giảng trình bày các khái niệm tích phânmới ứng với hàm nhiều biến, lần lượt là tích phân đường và tích phânmặt Hai khái niệm tích phân này được phân thành hai loại, tươngứng với tích phân của hàm vô hướng (hàm có giá trị thực) và hàm

có hướng (hàm có giá trị vector) Trọng tâm ở hai chương này là cácphương pháp tính tích phân đặc biệt, sử dụng định lý Green, Định lýGauss-Ostrogradski và định lý Stokes

Bài giảng này là tài liệu tham khảo chính cho các sinh viên tham giahọc phần Giải tích hàm nhiều biến năm học 2021 - 2022 Bên cạnh bàigiảng này, sinh viên có thể lựa chọn tham khảo thêm một hoặc một vài tàiliệu được giới thiệu trong phần tài liệu tham khảo Bài giảng và bài tập sẽđược cập nhật ở mục “Teaching/Analysis of functions of several variables”trên website:

y = (y1, y2, , yn) và α ∈ R,

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn),α.x = (αx1, αx2, , αxn)

Khi đó (Rn, +, ) thỏa mãn 8 tính chất trong định nghĩa của không gianvector Cụ thể, với mọi x, y, z ∈ Rn và α, β ∈ R, ta có:

i) Phép cộng giao hoán: x + y = y + x

ii) Phép cộng kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z)

iii) Phép cộng có đơn vị: tồn tại 0 = (0, 0, , 0) ∈ Rn sao cho x+0 = 0+x.iv) Phép cộng có phần tử đối: tồn tại (−x) ∈ Rn sao cho x + (−x) = 0.v) Phép nhân kết hợp: α.(β.x) = (αβ).x

vi) Phép nhân phân phối với phép cộng: α.(x + y) = α.x + α.y

vii) Phép nhân phân phối với phép cộng vô hướng: (α + β).x = α.x + β.x.viii) Phép nhân có đơn vị: 1.x = x

Ta gọi Rn là một không gian vector và mỗi điểm trong Rn được gọi là mộtvector Lưu ý rằng trong trường hợp không có sự nhầm lẫn trong phépnhân, ta thường viết αx thay vì α.x.

1.1.2 Tích vô hướng và chuẩn Euclide

Định nghĩa 1.1.1 Cho x, y ∈ Rn, với x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn).Tích vô hướng của hai vector x và y, ký hiệu là hx, yi, là một số thực đượcxác định như sau:

iv) kxk − kyk ≤ kx − yk

Chứng minh Tính chất i) là hiển nhiên Tính chất iii) là hệ quả của tínhchất ii) và tính chất iv) là hệ quả của iii) Ta chỉ chứng minh tính chấtii)

Nguyễn Thành Nhân ( nhannt@hcmue.edu.vn ) Giải tích hàm nhiều biến

Với x = 0 bất đẳng thức trong ii) hiển nhiên đúng Với x 6= 0, ta luôncó:

htx + y, tx + yi ≥ 0, ∀t ∈ R

Sử dụng ii), iii) và iv) trong Tính chất 1.1.2, ta có thể khai triển bất đẳngthức này dưới dạng

hx, xit2 + 2hx, yit + hy, yi ≥ 0, ∀t ∈ R

Đây là tam thức bậc hai theo t, nhận giá trị không âm trên R nên có đạilượng ∆0 ≤ 0 Điều này dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh

Định nghĩa 1.1.5 Ta định nghĩa khoảng cách giữa hai vector x, y ∈ Rn

i) A(x + y) = A(x) + A(y), ∀x, y ∈ Rn

ii) A(αx) = αA(x), ∀x ∈ Rn, ∀α ∈ R

Chú ý 1.1.7 Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện sau:

A(αx + βy) = αA(x) + βA(y), ∀x, y ∈ Rn, ∀α, β ∈ R

Ta gọi e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1) là các vectorđơn vị của Rn Khi đó, với mọi x ∈ Rn, x = (x1, x2, , xn), ta có biểu diễnvector x dưới dạng

x = x1e1 + x2e2 + + xnen.Nếu A là ánh xạ tuyến tính thì

A(x) = x1A(e1) + x2A(e2) + + xnA(en)

Đặt ai = A(ei), ∀i = 1, 2, , n và ký hiệu vector a = (a1, a2, , an) Ta cóthể viết lại:

A(x) = a1x1 + a2x2 + + anxn = ha, xi

Do đó, người ta thường đồng nhất mỗi ánh xạ tuyến tính A : Rn −→ Rvới một vector a trong Rn, gọi là vector đại diện

1.2 Một số khái niệm tôpô cơ bản trong Rn

1.2.1 Quả cầu mở, quả cầu đóng

Định nghĩa 1.2.1 Cho x0 ∈ Rn và r > 0, ta định nghĩa:

• Quả cầu mở tâm x0 bán kính r trong không gian Rn là tập hợp đượcxác định bởi:

Ví dụ 1.2.2 Ta ví dụ một số trường hợp đặc biệt sau đây

• Trong R, khoảng mở (a, b) bất kỳ là một quả cầu mở tâm x0 = a + b

Nguyễn Thành Nhân ( nhannt@hcmue.edu.vn ) Giải tích hàm nhiều biến

Định lý 1.2.4 Các khẳng định sau là đúng:

i) Tập ∅ và Rn là hai tập mở trong Rn

ii) Quả cầu mở trong Rn là tập mở trong Rn

iii) Hợp của một họ bất kỳ các tập mở trong Rn là tập mở trong Rn Nghĩa

là, nếu Uα là các tập mở trong Rn với mọi α ∈ I (I là một tập chỉ

số nào đó, có thể đếm được hoặc không đếm được) thì ∪α∈IUα cũng làmột tập mở trong Rn

iv) Giao của một họ hữu hạn các tập mở trong Rn là tập mở trong Rn.Nghĩa là, nếu V1 và V2 là hai tập mở thì V1 ∩ V2 là tập mở trong Rn.Chứng minh Khẳng định i) là hiển nhiên Nói thêm rằng tập ∅ khôngchứa phần tử nào, do đó nó không thỏa mãn mệnh đề phủ định (1.2) củamệnh đề (1.1) Nói cách khác, tập ∅ thỏa mãn mệnh đề (1.1)

Chứng minh ii), lấy x0 ∈ Rn và δ ∈ R+ tùy ý, ta sẽ chứng minh quả cầu

mở B(x0, δ) là tập mở, tức là B(x0, δ) thỏa mãn mệnh đề (1.1) Thật vậy,với mọi x ∈ B(x0, δ), ta có kx − x0k < δ Đặt r = δ − kx − x0k > 0, vớimọi y ∈ B(x, r), ta có:

ky − x0k ≤ ky − xk + kx − x0k < r + kx − x0k = δ

Điều này chứng tỏ y ∈ B(x0, δ) Từ đó suy ra B(x, r) ⊂ B(x0, δ) Nhưvậy, ta đã chứng minh được

∀x ∈ B(x0, δ), ∃r = δ − kx − x0k > 0 : B(x, r) ⊂ B(x0, δ)

Chứng minh iii), giả sử (Uα)α∈I là họ bất kỳ các tập mở trong Rn Đặt

U = ∪α∈IUα, ta chứng minh U là tập mở trong Rn Với mọi x ∈ U , tồntại α0 ∈ I sao cho x ∈ Uα0 Do Uα0 là tập mở nên tồn tại r0 > 0 sao choB(x, r0) ⊂ Uα0 Mà Uα0 ⊂ U nên B(x, r0) ⊂ U Vậy U thỏa mãn mệnh

đề (1.1) nên U là tập mở trong Rn

Chứng minh iv), giả sử V1, V2 là hai tập mở trong Rn, ta chỉ cần chứngminh V = V1∩ V2 là tập mở trong Rn Với mọi x ∈ V , ta có x ∈ V1∩ V2 Do

V1, V2 là các tập mở trong Rn nên tồn tại r1, r2 > 0 sao cho B(x, r1) ⊂ V1

và B(x, r2) ⊂ V2 Khi đó, với r = min{r1, r2} > 0, ta thấy

B(x, r) ⊂ B(x, r1) ∩ B(x, r2) ⊂ V1 ∩ V2 = V

Vậy V là tập mở trong Rn

Định nghĩa 1.2.5 Tập Y ⊂ R được gọi là tập đóng trong Rn nếu phần

bù của nó (tức là tập hợp Rn\ Y ) là tập mở

Theo định nghĩa này, để chứng minh một tập hợp là tập đóng, ta sẽkiểm tra phần bù của nó là tập mở, tức là chứng minh phần bù thỏa mãnmệnh đề (1.1)

Cần lưu ý rằng phủ định của tập mở không phải là tập đóng và ngượclại Có những tập hợp vừa là tập mở, vừa là tập đóng Đồng thời cũng cónhiều tập hợp không phải tập mở, cũng không phải tập đóng

Định lý 1.2.6 Các khẳng định sau là đúng

i) Tập ∅ và Rn là hai tập đóng trong Rn

ii) Quả cầu đóng trong Rn là tập đóng trong Rn

iii) Hợp của một họ hữu hạn các tập đóng trong Rn là tập đóng trong Rn.iv) Giao của một họ bất kỳ các tập đóng trong Rn là tập đóng trong Rn.Chứng minh Định lý này được chứng minh như một hệ quả của Định

lý 1.2.4

Khi khảo sát tập hợp X không phải tập mở và không phải tập đóngtrong Rn, các tính chất của tập mở hoặc đóng không còn bảo đảm Đểthuận lợi hơn trong việc khảo sát, người ta xét các tập mở và tập đóng

“gần” với X nhất Các tập này được xem như phần trong và bao đóng củatập X

Định nghĩa 1.2.7 Cho X ⊂ Rn, ta định nghĩa:

i) Phần trong của X là tập mở lớn nhất chứa trong X, ký hiệu là

◦X.ii) Bao đóng của X là tập đóng nhỏ nhất chứa X, ký hiệu X

iii) Biên của X là hiệu giữa bao đóng và phần trong, ký hiệu ∂X

Ví dụ 1.2.8 Xét tập X = (0, 1] trong R Khi đó, ta có các nhận xét sau

• Tập X không phải tập mở vì X thỏa mãn mệnh đề (1.2) Thật vậy, với

x = 1 và với mọi r > 0, ta thấy B(x, r) = (1 − r, 1 + r) 6⊂ (0, 1] = X

• Tập X không phải tập đóng vì Rn \ X = (−∞, 0] ∩ (1, +∞) khôngphải tập mở Tương tự như trên, rõ ràng quả cầu B(0, r) 6⊂ X với mọi

r > 0

Nguyễn Thành Nhân ( nhannt@hcmue.edu.vn ) Giải tích hàm nhiều biến

• Tập mở lớn nhất chứa trong X là

◦

X = (0, 1) Thật vậy, ta biết (0, 1)

là một tập mở chứa trong X Giả sử Y cũng là tập mở chứa trong

X = (0, 1], theo suy luận đầu tiên thì x = 1 6∈ Y , do đó Y ⊂ (0, 1)

• Tập đóng nhỏ nhất chứa X là X = [0, 1] Thật vậy, [0, 1] là tập đóngchứa X Giả sử Z cũng là tập đóng chứa X, ta chứng minh [0, 1] ⊂ Z,tức là 0 ∈ Z Suy luận bằng phản chứng, nếu 0 6∈ Z thì 0 ∈ Rn \ Z

Mà Rn \ Z là tập mở nên tồn tại r > 0 sao cho

Định nghĩa 1.2.11 Cho X ⊂ Rn Tập X được gọi là liên thông đườngtrong Rn nếu với mọi x, y thuộc X đều tồn tại một đường gấp khúc nằmtrọn trong X nối hai điểm x, y

1.2.4 Dãy hội tụ

Định nghĩa 1.2.12 Cho dãy {xk}k∈N trong Rn Ta nói dãy {xk} hội tụ

về x ∈ Rn nếu

limk→∞kxk− xk = 0

Khi đó ta ký hiệu lim

k→∞xk = x hoặc đơn giản là lim xk = x,Chú ý rằng số tự nhiên k trong định nghĩa trên là chỉ số, không phải lũythừa Bởi vì trong không gian Rn, mỗi vector có n thành phần Để tránhtrùng lặp với n thành phần của mỗi vector, người ta ghi chỉ số k của dãy

ở trên

Trong trường hợp n = 2 hoặc n = 3, cách ký hiệu dãy vector trở nênđơn giản hơn Chẳng hạn trong R2, có thể ký hiệu dãy vector dạng quenthuộc {(xn, yn)}n∈N Hoặc trong R3, ta ký hiệu dãy dạng {(xn, yn, zn)}n∈N

Định lý 1.2.13 Các mệnh đề sau đúng

i) Giới hạn (nếu có) của một dãy trong Rn là duy nhất

ii) Giả sử xk = (xk1, xk2, , xkn) và x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn Khi đó:

lim xk = x ⇐⇒ lim xki = xi, ∀i = 1, 2, , n

Chứng minh Chứng minh i), giả sử dãy {xk}k∈N hội tụ về x và y trong

Rn, tức là

limk→∞kxk − xk = lim

kX

j=1

|xk

j − xj|2, ∀i = 1, n, ∀k ∈ N

Nguyễn Thành Nhân ( nhannt@hcmue.edu.vn ) Giải tích hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.3.2 (Giới hạn hàm số) Cho D là tập con khác rỗng của

Rn, một hàm số f : D −→ R và x0 ∈ D Ta nói giới hạn của f (x) khi

x tiến tới x0 là L nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < kx − x0k < δ, x ∈ D =⇒ |f (x) − L| < ε

Khi đó ta viết lim

x→x 0

f (x) = L

Định lý 1.3.3 (Giới hạn qua dãy) Cho D là tập con khác rỗng của

Rn, f : D −→ R và x0 ∈ D Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương:i) lim

x→x0f (x) = L

ii) Với mọi dãy {xk}k∈N ⊂ D\{x0}, nếu lim xk = x0 thì lim f (xk) = L

Chứng minh Định lý được chứng minh theo cách hoàn toàn tương tự nhưtrong giải tích hàm một biến

Hệ quả 1.3.4 Nếu tìm được hai dãy xk và yk trong D \ {x0} sao cho

(lim xk = lim yk = x0,lim f (xk) = L1 6= L2 = lim f (yk),

g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), ∀x ∈ D ∩ B(x0, r)

Khi đó lim

x→x 0

f (x) = L

Chứng minh Định lý được chứng minh dựa trên Định lý 1.3.3 và nguyên

lý kẹp trong giới hạn dãy số thực

Từ định lý trên, ta dễ dàng thu được hệ quả sau đây

Hệ quả 1.3.6 (Hệ quả của nguyên lý kẹp) Cho D là tập con khác rỗngcủa Rn, các hàm số f, g xác định trên D và x0 ∈ D Giả sử

Nguyễn Thành Nhân ( nhannt@hcmue.edu.vn ) Giải tích hàm nhiều biến

Ví dụ 1.3.7 Tìm các giới hạn sau đây, nếu có:

x2y

x2 + y2

... tục từ [0; 1] lên [0; 1] × [0; 1]?

22 Hãy tìm vài kết hàm số liên tục Giải tích hàmnhiều biến biến học để mở rộng cho hàm nhiều biến. Chứng minh kết

23 Chứng minh Định lý 1.3.12

24... Giải tích hàm nhiều biến< /small>

f (x + h) − f (x) − ah

Khi ta định nghĩa f0(x) := a đạo hàm f x

Định nghĩa khả vi hàm nhiều biến hoàn toàn tương tự trường hợphàm... giống hàm biến, đạo hàm riêng hàm ftại x theo biến thứ i đặc trưng cho tốc độ tăng trưởng (sự thay đổi) củahàm f x so với biến dọc theo trục tọa độ thứ i

Trong trường hợp hàm hai biến,