Bất đẳng thức tích phân và 1 số bài toán liên quan

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN... Vậy có 13 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cho các hàm số y f x  và yg x  có đạo hàm liên tục trên a b Khi đó:; 

 Nếu f x g x  với mọi xa b;  thì    

f x dx g x dx

 Nếu f x  với mọi   0 xa b;  thì   0

b

a

f x dx 

b

a

f x dx  f x 

 Bất đẳng thức Holder (Cauchy – Schwarz):        

2

f x g x dx f x dx g x dx



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f x kg x  với k  

B BÀI TẬP

Câu 1: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên 0; 2 đồng thời thỏa mãn điều kiện  f 2  ,2

  2

0

0

xf x dx 

2

2 0

f x dx 

2 2 0

I x f x dx?

Lời giải

2

0

2 f x dx 2x f x 2 x f x dx x f x dx

Cách 1: Kết hợp  

2

2 0

f x dx 

2 2 0

x f x dx 

2 4 0

32 5

x dx 

2

2

2

32

5

'

f x kx

Khi đó:  

3

12 3

x

f x   vì f  1 2 Khi đó thay vào tích phân  

2

9

I x f x dx

CHUYÊN ĐỀ

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 2: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f  1 2,

  1

0

1 3

f x dx 

1

2 0

25 '

3

f x dx 

1

0

I xf x dx?

Lời giải

1

0

3 f x dxxf x xf x dx xf x dx xf x dx3

Cách 1: Kết hợp  

1

2 0

25 '

3

f x dx 

1

0

5 '

3

xf x dx 

1 2 0

1 3

x dx 

 ta được:

25 50 25

2

2 2

    Đẳng thức xảy ra khi: f ' x kx

2

3xf x dxk x dx 3kk  f x  x

f x   I xf x dx  dx

Câu 3: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên 0;

2

π

  đồng thời thỏa mãn  

2 2 0

3

π

f x dx π

0

2

π

x

xx f  dx π

 

2

π

f  

  Hãy tính tích phân  

2

3 0

π

I  f x  dx?

Lời giải

π

π xx f      d  x x f x dx x x df x

   

3

4 0

π

π

Cách 1: Kết hợp  

2 2 0

3

π

f x dx π

2 2 0

3 sin

4

π

π

xf x dx 

2 4 0

3 sin

16

π

π xdx 

2

f x  xf x  x dx  f x  x dx  f x  x

2

Đẳng thức xảy ra   2

sin

Thay vào ta được:  

512 cos 2 0

I f x  dx  xdx

Câu 4: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên 0; 2 đồng thời thỏa mãn điều kiện  f  2  ,1

 

2

2

0

8 15

x f x dx 

2

4 0

32 '

5

f x dx 

2

0

I  f x dx?

Lời giải

2

0

Cách 1: Như vậy:  

2

4 0

32 '

5

f x dx 

2 3 0

32 5

x f x dx

2 4 0

32 5

x dx 

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:   4 4 4 4 3  

f x x x x  x f x

f x dx x dx x f x dx

Như vậy tồn tại dấu bằng xảy ra tức là:    

2 1 '

2 2

x

f x x f x   do đó  

2

0

7 3

I  f x dx

Cách 2: Ta áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder:



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: f ' x kx

Câu 5: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên 1; 2 đồng thời thỏa mãn  

2 3 1

31

x f x dx 

Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân  

2 4 1

?

I  f x dx

Lời giải

Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta được:

31  x f x dx  x dx   x f x dx  x dx f x dx f x dx3875

Đẳng thức xảy ra khi f x kx nên  

2

k x dx  k  f x  x

Câu 6: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:

   

1

2 0

f x f x dx 

 ; f  0 1; f  1  3 Tính giá trị của 1 ?

2

f   

 

Lời giải

Ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:

   

1

0

Như vậy đẳng thức phải xảy ra tức là: f x f  ' x  1  f x f  ' x dx1dx f x  2x2C

Mà f  0 1; f  1  3 nên ta suy ra f x  2x1 Vậy 1 2

2

f   

 

Câu 7: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên 1; 2 đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:

 

 

2 2

2 4 1

'

21

f x

dx

x f x

8

f  f  Tính giá trị của 3 ?

2

f   

 

Lời giải

Ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:

 

 

 

2

2

Như vậy đẳng thức phải xảy ra tức là:  

 

 

Mà  1 1;  2 1

8

f  f  nên ta suy ra   1 3

9

f x

x



 Vậy

2 45

f   

 

Câu 8: Cho hàm số y f x  Đồ thị của hàm số y f x như hình

vẽ bên Đặt g x  2f x   x 12 Mệnh đề nào dưới đây

đúng sao cho sao cho tồn tại số thực m thỏa mãn

  3

3

0 3

m

g x dx



A. 6g 1 mg  3 B. 6g 1 m 6g  3

C. 3g 1 m 3g  3 D  3g 1 m 3g  3

Lời giải

3

3

x

g x f x x g x f x x x

x

 





 

 Lập BBT của hàm số yg x  như hình vẽ bên

Dựa vào bảng biến thiên g 1 nhỏ nhất trong các giá trị g  3 , g 1 , g 3

Ta có:

1 2

             

 3  1  3  1  3  3

         min, max của g x  trên 3;3 lần lượt là g 1 ,

 3

3

3

6g 1 g x dx 6g 3



3

m

 Để phương trình đã cho có nghiệm  3g 1 m3g 3

Câu 9: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:

 

  1

0

'

1

xf x dx

0 1; 1

f  f e Tính giá trị của 1 ?

2

f   

 

Lời giải

Cách 1: Áp dụng Holder:  

 

 

 

 

 

2

Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:  

 

'

f x

kx

f x  Thay vào

 

  1

0

'

1

xf x dx

 ta được k 4

Vì  

2 '

f x

0 1; 1

f  f e nên C 0 vậy   2 2 1

2

x

f x e  f    e

 

 

 

 

 

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  

2 '

f x

0 1; 1

f  f e nên C 0 vậy

2

x

f x e  f    e

Câu 10: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên 0; 2 đồng thời thỏa mãn điều kiện  f  2 16,

  2

0

64 5

xf x dx 

2

2 0

1152 5

f x dx

2

0

I  f x dx

Lời giải

Cách 1:          

32

 

Kết hợp  

2

2 0

1152 5

f x dx

2 2 0

192 5

x f x dx

2 4 0

32 5

x dx 

2

2

2

Dấu "" xảy ra   2

f x kx

5 x f x dxk x dx  5 kk   f x  x

Câu 11: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f  1 1,

 

1

5

0

11 78

x f x dx 

1

0

4 13

f x d f x 

 Hãy tính f  2 ?

Lời giải

1

 

Lại có:        

2

f x d f x   f x  dx

1 12 0

1 13

x dx 

2

2

2

Dấu "" xảy ra   6

f x kx

13x f x dxk x dx 13k   f x  x

Câu 12: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên

0; 2 và có bảng biến thiên như hình bên Hỏi

có bao nhiêu giá trị nguyên của m để thỏa mãn

điều kiện  

2

0

0

f x m dx

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

 

 

 

 

0;2

0;2

x

x

f x

f x



















2

0

10 f x dx 14

f x m dx  m f x dx

Như vậy để phương trình có nghiệm  102m14  5 m7 Vậy có 13 giá trị m nguyên thỏa

mãn yêu cầu đề bài

Câu 13: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f  1 2,

 

1

4

0

3 11

x f x dx 

1

2 0

49 '

11

f x dx 

1

0

I  f x dx?

Lời giải

1

0

115 f x dx 5x f x 5x f x dx5x f x dx55 x f x dx11

Cách 1: Kết hợp  

1

2 0

49 '

11

f x dx 

1 5 0

7 '

11

x f x dx 

1 10 0

1 11

x dx 

2

49 98 49

11 11 11

2

2

121 x f x dx x dx f x dx 11 11 121

Đẳng thức xảy ra khi:   5

'

11x f x dxk x dx 11k k  f x  x

Khi đó:  

6

x

f x   vì f  1 2 Khi đó thay vào tích phân  

1

x

I  f x dx  dx

Câu 14: Tính giới hạn:

1 1

0

1

x n x

ne

dx e









Lời giải

Ta có với x  0;1 thì

1



Do đó:

 

1

1 1

n



Vậy

1 1

0

lim

x n x

ne

dx e





 cho nên ta suy ra

1 1

0

1 lim

x n x

ne

dx e







Câu 15: Tính giới hạn:  2 

b

n

a

Lời giải

n



Mà

1 1

1

n

x





1

b

b





Câu 16: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên 1; 2 đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:

 

 

2 2

1

'

24

f x

dx

xf x

 ; f  1 1; f  2 16 Tính giá trị của f  2 ?

Lời giải

Ta áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:

 

 

 

2

1

Như vậy đẳng thức phải xảy ra tức là:

 

 

 

2

Mà f  1 1; f  2 16 nên ta suy ra   4

f x x Vậy f  2  4

Câu 17: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên 1;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện 2 

1

f x 

với mọi x   1;1 và  

1

1

0

f x dx





 Tìm giá trị nhỏ nhất của  

1 2 1

x f x dx

A 1

2

4

3

Lời giải

Do đó ta suy ra

1 2 1

min

a





    Đến đây ta chia bài toán thành 3 trường hợp như sau:

Trường hợp 3: Nếu a  0;1 thì

0;1





 

2

0;1 1

1

a

a a









 

1

2

0;1 1

a a





4

a 

Kết luận: Như vậy

1 2 1

1 min

2







I   I  

Câu 18: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn f x     8;8 với

mọi x  0;1 và  

1

3

xf x dx 

 Tìm giá trị lớn nhất của  

1 3

?

x f x dx



A. 2 B. 31

4

17 8

Lời giải

1 3 0

3

I a   x ax f x dx  x ax f x dx

a







Trường hợp 3: Nếu a  0;1 khi đó ta có đánh giá sau:

31

16

a

a



Kết luận: Vậy

1 3 0

min 3 8



a I   a

Câu 19: Cho hàm số y f x  liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:

    0;1

max f x 6

và  

1 2 0

0

x f x dx 

 Giá trị lớn nhất của tích phân  

1 3 0

x f x dx

 bằng bao nhiêu?

A. 1

 3 

3 2 4 4



C.

3

16



D 1

24

Lời giải

Ta có với mọi số thực a   thì  

1 2 0

0

ax f x dx 

6

x f x dx  x ax f x dx  x ax f x dx x ax dx  a

Trường hợp 1: Nếu a 0 thì 3 2 2   

x ax x x a   x Khi đó:

0

a



Trường hợp 2: Nếu a 1 thì 3 2 2   

x ax x x a   x Khi đó:

1

a



Trường hợp 3: Nếu a  0;1 thì  

2

a

a

f a   x ax dx ax x dxx ax dx  

Ta tìm được

   

 

 3 

4

3 2 4

g a



3 2 4 min

4







Do vậy:        

0;1

a



Câu 20: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn     2018

3f x xf ' x x với mọi x  0;1 Giá trị nhỏ nhất của tích phân  

1

0

f x dx

2021 2022 B.

1

2018 2021 C.

1

2018 2019 D.

1

2019 2021

Lời giải

Ta có:     2018

3f x x f ' x x 2   3   2020

3x f x x f ' x x

2018

0;1

2021

t

Khi đó  

1

2021 2019.2021

x

   Giá trị nhỏ nhất của tích phân  

1

0

f x dx

2019.2021

Câu 21: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên    0;1 thỏa mãn    

1

2 0

1

1 0,

11



   

 

1

4

0

1 55

 

x f x dx Tích phân  

1

0

f x dx bằng

A 1

7



B 1

1 55



D 1 11

Lời giải

1

4



x f x dx x f x x f x dx Suy ra  

1 5 0

1 11

x f x dx Hơn nữa ta dễ dàng tính được

 

1

2

5

0

1

11



 x dx Do đó 1   2 1 5   1 5 2

1

2 5 0

0



f x x  dx

Suy ra   5

f x x , do đó   1 6

6

f x x C Vì f  1 0 nên 1

6

 

C Vậy  

 f x dx x dx

Câu 22: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên    0;1 thỏa mãn    

1

2 0

3

2



    

và  

 

1

2 0

3 2ln 2

2



 f x dx

1

0

f x dx bằng

A 1 2 ln 2

2



B 3 2 ln 2

2



C 3 4ln 2

2



D 1 ln 2 2



Lời giải

Ta có:  

1

2

1

1





   

2

2

2

Suy ra   1 1

1



f x

x , do đó f x  x lnx1C Vì f  1 0 nên Cln 2 1

1

2

        

Câu 23: Cho hàm số y f x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt

0 1

x

g x   f t dt Biết g x  f x  với mọi x  0;1 Tích phân

  1

0

1

dx

g x

 có giá trị lớn nhất bằng:

A. 1

2

1 2

Lời giải

 

0

1

x

F x

F x







 

0

1

1 1

t

F x

F t

F x

 là hàm số đồng biến trên  0;1 do vậy ta có đánh giá:

  1

0

Câu 24: Cho hàm số y f x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt

0

1 3

x

g x    f t dt Biết   2 

g x  f x với mọi x  0;1 Tích phân  

1

0

g x dx

 có giá trị lớn nhất bằng:

A. 5

4

7

9 5

Lời giải

2 0

x

F x

F x







0

t

F x

F x

 là hàm số nghịch biến trên  0;1 do vậy ta có:

1

0

h x h  x  F x   t   F x   x  x   g x dx

Câu 25: Cho hàm số y f x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt

2

0 1

x

g x    f t dt Biết    2

2

g x  xf x với mọi x  0;1 Tích phân  

1

0

g x dx

 có giá trị lớn nhất bằng:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

Lời giải

2 0

2

1

F x





2 2 0

2

1

F x

 là hàm số nghịch biến trên  0;1 do vậy ta có:

1

0

h x h  x  F x  x   F x e  x  g x dx

Câu 26: Cho hàm số y f x  nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời ta đặt

0

1 2

x

g x    f t dt Biết g x  f x  với mọi 3 x  0;1 Tích phân  

1

2 3

0

g x dx

trị lớn nhất bằng:

A. 5

4

Lời giải

Ta đặt    

0

x

F x  f t dt khi đó g x  1 2F x f x 3  x  0;1

Do vậy  



Xét hàm số:    

3 0

1 2

t

F x

F x

 0;1 cho nên       33   2 3 3   2 4  

3

g x  x  x  g x  dx  x dx g x  dx

Câu 27: Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên  1;8 đồng thời thỏa mãn điều kiện:

2

3

Tính tích phân  

2

3 1

f x dx

A. 8 ln 2

ln 2

4

5 4

Lời giải

Đặt tx3dt3x dx2 Khi đó:        

2

3

3

 

3 2

3

3 2 3

27

t



Câu 28: Cho hàm số f x có đạo hàm dương, liên tục trên    0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện

 0 1

2

1

9

1 3 0

f x dx

A. 3

5

5

7 6

Lời giải

Theo bất đẳng thức Holder ta có:        

2

2

1

f x f x dx f x f x dx dx

1

0

1

f x f x   f x  x   f x dx

Câu 29: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên    0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện  1 3

2

f  ;

  1

0

5 6

f x dx 

1

2 0

1

1 1

x



1 2 0

?

f x dx 



A. 7

8

53

203 60

Lời giải

Sử dụng tích phân từng phần ta có:        

1

f x dx  f  xf x dx xf x dx

Mặt khác:      2  2    2

2 2

2

4

Do vậy    

1

2 0

2

x

f x dx

x 



1 2

2 0

53

x

Câu 30: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện f  0 2

21 x 1 12 x1 12xf x  f ' x    x 0;1 Tính  

1

0

?

f x dx 



A. 3

4

5 4



Lời giải

21 x 1 12 x1 12xf x   f ' x 

   2    2

36

24

1

2

0

Câu 31: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 thỏa mãn

 

2

2

1

4

1

0

?

f x dx 



Lời giải

1

4

e



1

0

'x

 

 

2

1

4

 

0

1

0

2

   Chọn đáp án B

Câu 32: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn điều kiện

 0 0,  1 1

0

1

x

dx



1

0

?

I  f x dx

A. 2

1

e e



1 2

e e



1

Lời giải

Theo bất đẳng thức Holder ta có:  

1

x x

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:  

 

'

x

e

1

0

1

1

e





Vậy  

1

x

f x

e





 Mà f  0 0, f  1 1 và   1

1

x

e

f x

e





 Vậy

2 1

e I e





 Chọn đáp án A

Câu 33: Cho hàm số y f x  dương và liên tục trên  1;3 thỏa mãn

1;3 1;3

1

2

biểu thức  

 

1

f x

  đạt giá trị lớn nhất Khi đó tính  

3

1

f x dx

A. 7

5

7

3 5

Lời giải

Ta có: 1   2

2 f x  2f x 1 f x 20  

 

2

f x

f x

   

2 f x

f x

5 2

S f x dx f x dx

4

S  khi  

1

5 2

f x dx 

Câu 34: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời f  0 0, f  1 1 và

 

1

0

1

ln 1 2



2

0 1

f x dx x



A. 1 2 

2





C. 1ln 1 2

Lời giải

2

2

1

1

x

2 0

1 1

0 1

x





Vậy đẳng thức xảy ra khi   4 2  

4

Vì  

1

0

1

ln 1 2

k 



Vậy  

ln 1 2



Vì  

 

f

f









nên C 0 Do đó  

1

2 0

1

ln 1 2 2

1

f x dx x



Câu 35: Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 2 0

 

S x ax dx với a 0 1,

6



3



3



6



Lời giải

Phá dấu trị tuyệt đối ta có

1

a a

S x ax dx  x ax dx x ax dx        

6 2



  

min

Câu 36: Cho hàm số y f x  nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0 1; và thỏa mãn

 

2 1

0

1  0    1



'

f x

f x Tìm mệnh đề đung

2

 



 

 

2

 



 

 

2

 



 

 

 



 

 

f

e

Lời giải