Giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM—————o0o————— NGUYỄN DOÃN MINH GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 20

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————o0o—————

NGUYỄN DOÃN MINH

GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————o0o—————

NGUYỄN DOÃN MINH

GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN

Thái Nguyên, năm 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Các tài liệu trong luận văn là trung thực Trong quá trình nghiên cứu,tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng

và biết ơn

Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến

GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn về sự hướng dẫn hiệu quả, tận tình chỉbảo và động viên tôi trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Banchủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm TháiNguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy

và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứukhoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường THCS Phú Lâm cùng các đồng nghiệp

đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoànthành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vìvậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạnhọc viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôitrong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019

Tác giả

NGUYỄN DOÃN MINH

2 Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân

2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 282.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trên ràng buộc điểm bất

động tách 292.3 Bài toán cân bằng hai cấp 312.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài

toán cân bằng 32

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Từ những năm 1950, Nikaido và Isoda đã đưa ra khái niệm cân bằngtrong toán học, sau đó năm 1958 John Nash đưa ra khái niệm cân bằngtrong trò chơi không hợp tác, năm 1972 Ky Fan đã chứng minh sự tồn tạinghiệm của một bất đẳng thức, người ta gọi là bài toán cân bằng kiểu KyFan Từ năm 1994 Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cáchngắn gọn như sau:

Cho C là tập hợp cân bằng trong H, f : C × C → H, f (u, u) = 0.Bài toán tìm u∗ ∈ C sao cho f (u∗, u) ≥ 0, ∀u ∈ C, bài toán này được gọi

là bài toán cân bằng, u∗ được gọi là điểm cân bằng, hàm f được gọi là songhàm Bài toán này bao gồm các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu nhưnhững trường hợp đặc biệt Sau đó các nhà toán học đã phát biểu bài toánnày cho trường hợp véctơ và trường hợp liên quan đến ánh xạ đa trị

Trong thực tế nhiều khi ta gặp trường hợp giải bài toán này trên tậpnghiệm của bài toán khác, những bài toán như vậy được gọi là bài toán cấphai Mục đích của luận văn này là viết một tổng quan về sự tồn tại nghiệmcủa bài toán bất đẳng thức biến phân cũng như bài toán cân bằng và xâydựng một số thuật toán để giải bài tài toán bất đẳng thức biến phân trêntập nghiệm bài toán cân bằng

Chính vì vậy với mong muốn tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề trên, cùngvới sự gợi ý giúp đỡ nhiệt tình của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, tôichọn đề tài: "Giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệmbài toán cân bằng" làm luận văn thạc sỹ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích mà đề tài đặt ra là nghiên cứu một số phương pháp giải bàitoán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng.(i) Đề tài nghiên cứu chỉ ra phương pháp đạo hàm tăng cường giải bàitoán BV I(F, G, C) với điểm mới là sử dụng tính chất co của ánh xạ

Tλ = I − λF với λ > 0, F là ánh xạ giá đơn điệu mạnh và liên tụcLipschitz, ánh xạ G đơn điệu mạnh ngược, theo P.N Anh

(ii) Kết hợp giữa phương pháp dưới đạo hàm kết hợp kỹ thuật điểm bấtđộng đưa ra thuật toán để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trêntập nghiệm của bài toán cân bằng V IEP (F, f, C) với ánh xạ giá F

đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, song hàm f giả đơn điệu thỏamãn điều kiện tiền đơn điệu chặt

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Với các mục đích đặt ra như trên, trong đề tài này chúng tôi nghiêncứu các nội dung sau về phương pháp giải bài toán V IEP (F, f, C):

(i) Nghiên cứu xây dựng phương pháp ánh xạ nghiệm để giải bài toán cânbằng trên giả thiết song hàm f là giả co chặt, đồng thời chứng minhđược tính tựa không giãn và tựa co của ánh xạ nghiệm:

4 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tài liệu và các kết quả liên quan tới các bài toán bất đẳngthức biến phân, bài toán cân bằng, các phương pháp giải các bài toán trên,

để chỉ ra được những điểm mạnh của những phương pháp mới giải bài toántìm nghiệm của bài toán V IEP (F, f, C), đưa ra các thuật toán mới đượctạo bởi các dãy lặp khá đơn giản với điều kiện của song hàm f đơn điệumạnh và ánh xạ giá F đơn điệu, đồng thời chứng minh sự hội tụ mạnh củacác dãy này về một nghiệm của bài toán V IEP (F, f, C).

5 Dự kiến kết quả nghiên cứu

Đề tài là một tổng quan về những kiến thức liên quan tới các kết quả

về phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bàitoán cân bằng

Đề tài được chia thành các chương

Chương 1 Viết về những kiến thức cơ bản của lý thuyết không gianHilbert Các tính chất liên tục, lồi của ánh xạ Một số định lý tồn tại nghiệmcủa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng

Chương 2 Viết về một số thuật toán giải bài toán bất đẳng thứcbiến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Khi phát biểu một bài toán, người ta phải quan tâm bài toán đượcđặt ra ở đâu Tức là phải quan tâm tới không gian của bài toán Vậy trướchết ta phải nhắc lại một số kiến thức liên quan tới không gian, sau đó tớimột số tính chất của chúng

Một không gian tuyến tính thực (phức) cùng với một hàm h·, ·i songtuyến tính thực (phức), đối xứng thỏa mãn điều kiện

hu, ui ≥ 0, ∀u ∈ H, hu, ui = 0 ⇔ u = 0,

được gọi là không gian tiền Hilbert thực (phức)

Trong không gian tiền Hilbert ta định nghĩa được chuẩn của u ∈ H

như sau: kuk = phu, ui, ta dễ dàng chứng minh được đây là một chuẩntrên H và từ chuẩn này ta định nghĩa được khoảng cách giữa hai điểm u, v

như sau: ρ(u, v) = ku − vk; khi ấy H, ρ trở thành không gian định chuẩn

Nếu H đầy đủ với chuẩn này thì không gian với tích vô hướng đượcgọi là không gian Hilbert Ta dễ dàng nhận thấy trong không gian Hilbert

H, cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số tương đương nhau, tức là các phép tínhđại số liên tục với tôpô sinh bởi metric

Tiếp theo ta đưa vào khái niệm ánh xạ trong không gian Hilbert.Cho H1, H2, H3 là không gian Hilbert, phép chuyển T chuyển mộtphân tử từ H1 vào H2 được gọi là một ánh xạ (hay một toán tử), ta có thểphân loại các ánh xạ đưa vào cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số

(i) T (αu + βv) = αT (u) + βT (v) với α, β ∈ R, u, v ∈ H1 thì T được gọi

là ánh xạ tuyến tính; ngược lại T được gọi là ánh xạ phi tuyến;

(ii) T được gọi là liên tục nếu u → u thì T (u) → T (u);

(iii) T có đồ thị đóng thì được gọi là ánh xạ đóng;

(iv) T chuyển từ tập giới nội thành tập compact tương đối (A ⊂ H1, T A

là compact) thì T được gọi là ánh xạ compact

Tiếp theo ta nêu một số tính chất của ánh xạ

(i) Cho T1, T2 liên tục (đóng, compact) thì T1 + T2 cũng liên tục (đóng,compact);

(ii) Cho T là liên tục (đóng, compact) và α ∈ R thì αT cũng là liên tục(đóng, compact);

(iii) Cho T1 : H1 → H2, T2 : H2 → H3; T1, T2 liên tục (đóng, compact) thì

T1.T2 cũng liên tục

1.1 Không gian Hilbert và một số tính chất

Trong phần này ta nhắc lại định nghĩa không gian Hilbert, một sốkhái niệm cơ bản thuộc không gian Hilbert như tính trực giao, hình chiếu,toán tử compact và toán tử bị chặn

Định nghĩa 1.1 Cho H là một không gian tuyến tính thực Tích vô hướngxác định trên H là một ánh xạ được xác định như sau:

h·, ·i : H × H → R,

(u, v) 7→ hu, vi ;

thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) hu, vi = hv, ui, ∀u, v ∈ H;

(b) hu + v, ti = hu, ti + hv, ti, ∀u, v, t ∈ H;

(c) hλu, vi = λhu, vi, ∀λ ∈ R, ∀u, v ∈ H;

(d) hu, ui ≥ 0, ∀u ∈ H, hu, ui = 0 ⇔ u = 0

hu, vi được gọi là tích vô hướng của hai véctơ u và v.

Nếu H là không gian tuyến tính định chuẩn với kuk = phu, ui vớimọi u ∈ H thì H được gọi là không gian tiền Hilbert

Nếu không gian tiền Hilbert là đầy đủ thì nó được gọi là không gianHilbert

Trong luận văn này ta thống nhất ký hiệuH là một không gian Hilbert

và ta chủ yếu làm việc trên không gian Hilbert thực H

Ta nói hai véctơ u và v của một không gian Hilbert H trực giao vớinhau, và ký hiệu u ⊥ v, nếu hu, vi = 0 Ta ký hiệu tích vô hướng h·, ·i vàchuẩn tương ứng được xác định bởi kuk = phu, ui với mọi u ∈ H Ta địnhnghĩa ánh xạ trong không gian Hilbert, cho H1, H2 là không gian Hilbert,phép chuyển một phần tử của H1 vào H2 được gọi là một ánh xạ, ta phânloại một số lớp ánh xạ như sau:

Định nghĩa 1.2 Ánh xạ T : H → H được gọi là ánh xạ compact nếu vớimọi dãy {un} bị chặn trong H, dãy {Aun} chứa dãy con hội tụ

Sau đây ta nêu một số phép tính của ánh xạ:

i) Cho T1 : H → H, T2 : H → H là ánh xạ compact trong không gianHilbert H thì T1 + T2 là ánh xạ compact

ii) Với α ∈ R, T là ánh xạ compact trong không gian Hilbert H thì αT làánh xạ compact

iii) Cho T là ánh xạ compact trong không gian Hilbert H và K là toán tử

bị chặn trên H Khi đó T K và KT là ánh xạ compact

Định nghĩa 1.3 Một dãy {uk} ∈ H được gọi là hội tụ mạnh đến u∗ ∈ H

nếu kuk − u∗k → 0 khi k → ∞, ký hiệu uk → u

Tương tự, một dãy {uk} ∈ H được gọi là hội tụ yếu đến u∗ ∈ H nếu

hu, uk − u∗i → 0 với mọi u ∈ H khi k → ∞, ký hiệu uk * u

Định lý 1.1 ([6]) Giả sử H là không gian Hilbert thực, cho dãy {uk} và

u∗ ∈ H Khi đó, ta có

i) Nếu uk → u, thì uk * u;

ii) Nếu uk * u∗ và kukk → ku∗k trong H, thì uk → u∗;

iii) Nếu không gian Hilbert thực H là hữu hạn chiều, thì sự hội tụ mạnh vàhội tụ yếu là tương đương;

iv) Mọi dãy con bị chặn trong không gian Hilbert H đều chứa dãy con hội

tụ yếu

Theo định nghĩa chuẩn, ta có tính chất quan trọng sau

Bổ đề 1.1 Với mỗi u, v ∈ H, ta có

(i) ku − vk2 = kuk2 − kvk2 − 2hu − v, vi;

(ii) kt(u) + (1 − t)vk2 = tkuk2+ (1 − t)kvk2− t(1 − t)ku − vk2, ∀t ∈ [0, 1].Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của H Hình chiếu củamột điểm u ∈ H trên C, ký hiệu P rC(u) là một điểm thuộc C và gần điểm

u nhất, được xác định bởi

P rC(u) = argmin{ku − vk : v ∈ C} (1.1)

Phép chiếu xác định bởi (1.1) có các tính chất sau:

Bổ đề 1.2 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H Khi đó,

(i) hu − P rC(u), v − P rC(u)i ≤ 0, ∀v ∈ C, u ∈ H;

(ii) hP rC(u) − P rC(v), u − vi ≥ kP rC(u) − P rC(v)k2, ∀u, v ∈ H;

(iii) ku − P rC(u)k2 ≤ ku − vk2 − kv − P rC(u)k2, ∀u ∈ H, v ∈ C;

(iv) kP rC(u) − P rC(v)k2 ≤ ku − vk2, ∀u, v ∈ H;

(v) kP rC(u) − P rC(v)k2 ≤ ku − vk2 − kP rC(u) − u + v − P rC(v)k2,

∀u, v ∈ H;

(vi) ku − P rC(u − v)k2 ≤ kvk, ∀u, v ∈ H;

(vii) kt − P rC(u − v)k2 ≤ ku − tk2 − 2hu − t, vi + 5kvk2, ∀u, t ∈ C, v ∈ H

Phép chiếu P rC trong không gian Hilbert đóng vai trò quan trọngtrong việc xây dựng Thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân

1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân

1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của một không gian Hilbertthực H và ánh xạ F : C → H Bài toán bất đẳng thức biến phân xác địnhbởi C và F, ký hiệu V I(F, C), là bài toán tìm u∗ ∈ C sao cho

Ngược lại, nếu u∗ ∈ C thỏa mãn (1.2) và F (u∗) ∈ C∗ = {v ∈ H :

hv, ui ≥ 0, ∀u ∈ C}, thì u∗ ∈ S(F, C) Như vậy, bài toán V I(F, C) đượcphát biểu dưới dạng bài toán tìm điểm u∗ thỏa mãn

Định nghĩa 1.4 Cho C là một tập con khác rỗng của H Một ánh xạ

F : C → H được gọi là

(a) đơn điệu mạnh với hằng số γ > 0 trên C, nếu

hF (u) − F (v), u − vi ≥ γku − vk2, ∀u, v ∈ C;

(b) đơn điệu trên C, nếu

hF (u) − F (v), u − vi ≥ 0, ∀u, v ∈ C;

(c) giả đơn điệu trên C, nếu

hF (v), u − vi ≥ 0 ⇒ hF (u), u − vi ≥ 0, ∀u, v ∈ C;

(d) đơn điệu mạnh ngược trên C với hằng số β > 0, nếu

hF (u) − F (v), u − vi ≥ βkF (u) − F (v)k2, ∀u, v ∈ C;

(e) liên tục Lipschitz với hằng số L > 0 trên C, nếu

kF (u) − F (v)k ≤ Lku − vk, ∀u, v ∈ C

Theo định nghĩa trên, nếu F đơn điệu mạnh ngược với hằng số β > 0

thì F liên tục Lipschitz với hằng số L = β1 và đơn điệu trên C, và quan hệ

(a) ⇒ (b) ⇒ (c) Nhưng chiều ngược lại là không đúng trong trường hợptổng quát Chẳng hạn như F : C → R xác định bởi F (u) = u2 là giả đơnđiệu nhưng không đơn điệu trên C = R, là đơn điệu, nhưng không đơn điệumạnh trên C = [0, 1]

Mệnh đề 1.1 Điểm u∗ ∈ C là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân V I(F, C) khi và chỉ khi

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Sau đây ta nêu một số định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán bấtđẳng thức biến phân

Định lý 1.2 Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng Khi đó v = PC(u) nếu và chỉnếu v ∈ C sao cho

FCnat(u) = u − PC(u − λF (u))

Ánh xạ FCnat thường được gọi là ánh xạ giá tự nhiên của F trên C Mốiquan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) vàánh xạ giá tự nhiên FCnat được trình bày trong kết quả dưới đây

Mệnh đề 1.2 Một điểm u∗ là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân V I(F, C) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của ánh xạ FCnat, hay

0 = FCnat(u∗)

Chứng minh Theo định nghĩa nghiệm của bài toán bất đẳng thứcbiến phân V I(F, C) và λ > 0, ta có

hλF (u∗), v − u∗i ≥ 0, ∀v ∈ C

hay hu∗ − [u∗ − λF (u∗)] , v − u∗i ≥ 0, ∀v ∈ C.

Mà hu − PC(u), v − PC(u)i ≤ 0, ∀v ∈ C, u ∈ H nên bất đẳng thứcnày tương đương với

u∗ = PC(u∗ − λF (u∗)),

hay u∗ là không điểm của ánh xạ giá tự nhiên FCnat

Định lý 1.3 Cho C là môt tập con, lồi, compact và khác rỗng của khônggian Hilbert thực H, và một ánh xạ liên tục F : C → H Khi đó bài toánbất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm

Chứng minh Ta có, với mỗi u ∈ H thì PC(u) tồn tại và duy nhất,ánh xạPC còn được gọi là ánh xạ không giãn trênC Do vậy, với mỗi λ > 0,phép chiếu PC(I − λF ) : C → C là một ánh xạ liên tục Từ C là một tậplồi, compact khác rỗng và PC(I − λF )liên tục, tồn tại duy nhất không điểm

u∗ ∈ C của ánh xạ giá tự nhiên FCnat sao cho 0 = FCnat(u∗)

Vậy u∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C)

Sol(F, C)là ký hiệu tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

V I(F, C) Thông qua các giả thiết đơn điệu của hàm giá F, việc giải bàitoán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) rất gần với việc giải bài toán sau(ký hiệu DV I(F, C)):

Tìm u∗ ∈ C sao cho hF (u), u − u∗i ≥ 0, ∀u ∈ C

Bài toán này thường được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán bất đẳngthức biến phân V I(F, C) Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán DV I(F, C)

là Sol(F, C)∗ Khi đó tính chất của tập nghiệm Sol(F, C) và mối quan hệcủa nó với tập nghiệm Sol(F, C)∗ như nhau.

Định lý 1.4 Cho C là một tập lồi, đóng, giới nội trong không gian Hilbert

H và F : C → H∗ là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên các không gian conhữu hạn chiều Khi ấy tập nghiệm của Bất đẳng thức biến phân (1.1) khácrỗng, lồi và đóng Nếu ngoài ra T là đơn điệu chặt thì (1.1) có tính duy nhấtnghiệm

Để chứng minh định lý 1.4 thì ta cần bổ đề sau về tính chất ánh xạđơn điệu và một bổ đề về tồn tại nghệm của bất đẳng thức trong khônggian hữu hạn chiều

Bổ đề 1.2 (Minty, 1962) Cho tập C, không gian H và ánh xạ F như ởĐịnh lý 1.4 Khi ấy u∗ ∈ C thỏa mãn hF (u∗), v − u∗i ≥ 0, ∀v ∈ C khi vàchỉ khi hF (v), v − u∗i ≥ 0, ∀v ∈ C

Bổ đề 1.3 (Hartman – Stampacchia) Cho D là một tập lồi, compacttrong không gian Rn và F : D → (Rn)∗ là một ánh xạ liên tục Khi ấy tồntại sao cho:

hF (u∗), v − u∗i ≥ 0, ∀v ∈ D

Chứng minh Do có thể đồng nhất (Rn)∗ với Rn , nghĩa là có thể đồng nhất

F (u) ∈ (Rn)∗ với ΠF (u) ∈ Rn nên việc chứng minh tương đương với việcchỉ ra sự tồn tại của u∗ ∈ D sao cho hΠF (u∗), v − u∗i ≥ 0, ∀v ∈ D, hay

Theo tính chất của hình chiếu trực giao ta có

hu∗, v − u∗i ≥ h(I − ΠF )(u∗), v − u∗i, ∀v ∈ D, hay

hu∗, v − u∗i ≥ h(u∗ − ΠF )(u∗), v − u∗i, ∀v ∈ D

Bổ đề được chứng minh.

Chứng minh định lý 1.4

Ở đây ta chỉ nêu ý chính của chứng minh (một số kết quả tổng quáthơn với cách chứng minh tương tự (đối với bất đẳng thức biến phân giả đơnđiệu) được chứng minh chi tiết ở phần sau)

Đặt S(v) = {u : hF u, v − ui ≥ 0}, ∀v ∈ C

Ta có S(v) đóng yếu trong tập compact yếu C và họ tập {S(v) : v ∈C} có tính chất giao hữu hạn Tính chất này được chỉ ra nhờ dùng Bổ đề1.3 để chứng minh bất đẳng thức biến phân sau có nghiệm:

1.3 Bài toán cân bằng

Cho C là tập con, lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H vàsong hàm f : C × C → R thỏa mãn f (u, u) = 0 với mọi u ∈ C Bài toáncân bằng, ký hiệu là EP (f, C), được phát biểu như sau:

Tìm u∗ ∈ C sao cho F (u∗, v) ≥ 0, ∀v ∈ C

Tập nghiệm của bài toán EP (f, C) ký hiệu là Sol(f, C)

Ta nhắc lại một số định nghĩa của song hàmf Song hàmf : C ×C →

(iii) đơn điệu trên C nếu

f (u, v) + f (v, u) ≤ 0, ∀u, v ∈ C;

(iv) γ - giả đơn điệu mạnh trên C nếu

f (u, v) ≥ 0 suy ra f (v, u) ≤ −γku − vk2, ∀u, v ∈ C;

(v) giả đơn điệu trên C nếu

f (u, v) ≥ 0 suy ra f (v, u) ≤ 0, ∀u, v ∈ C;

(vi) giả đơn điệu chặt trên C nếu bất kỳ u, v ∈ C và u 6= v

f (u, v) ≥ 0 suy ra f (v, u) < 0;

(vii) liên tục kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 > 0 và c2 > 0 nếu

f (u, v) + f (v, t) ≥ F (u, t) − c1ku − vk2− c2kv − tk2, ∀u, v, t ∈ C

Từ định nghĩa trên, dễ dàng ta có quan hệ sau:

(i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (v) ⇐ (iv)

Trong trường hợp tổng quát, các chiều ngược lại nói chung là không đúng.1.3.1 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Bài toán cân bằng có dạng đơn giản tuy nhiên nó bao hàm một lớpcác bài toán quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác Nó mang đến một cáchnhìn tương đối tổng quát về các bài toán khác nhau bắt nguồn từ nhiềulĩnh vực nghiên cứu khác nhau, hợp nhất chúng trong một thể thống nhất.Sau đây ta xét mối quan hệ giữa bài toán EP (f, C) với các bài toán thườnggặp

Bài toán tối ưu

Cho C là tập con, lồi, đóng và khác rỗng của H và F : C → R làhàm lồi và nửa liên tục dưới Bài toán tối ưu, ký hiệu (OP ), là bài toán:

Tìm u∗ ∈ C sao cho F (u∗) ≤ F (v), ∀v ∈ C

Bằng cách đặt f (u, v) = F (v) − F (u) với mọi u, v ∈ C Theo định nghĩa,

u∗ là nghiệm của bài toán (OP ) nếu và chỉ nếu u∗ là nghiệm của bài toán

Tìm u∗ ∈ C sao cho S(u∗) ∈ C∗ và hS(u∗), u∗i = 0

Với mọi u, v ∈ C, đặt f (u, v) = hS(u), v − ui Khi đó, bài toán (C, P ) sẽtương đương với bài toán EP (f, C)

Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và T : C → 2H là mộtánh xạ đa trị, nửa liên tục trên sao cho T (u) là tập compact khác rỗng vớimọi u ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị, ký hiệu M V I(T, C),

là bài toán : Tìm điểm u∗ ∈ C và w∗ ∈ T (u∗) sao cho

hw∗, u − u∗i ≥ 0, ∀u ∈ C

Với mỗi u, v ∈ C, bằng cách đặt

f (u, v) = max{hw, v − ui : w ∈ T (u)}

Khi đó, u∗ là nghiệm của bài toán M V I(T, C) khi và chỉ khi u∗ là nghiệmcủa bài toán EP (f, C)

Trong trường hợp ánh xạ giá T của bài toán M V I(T, C) là đơn trị,bài toán này sẽ trở về bài toán bất đẳng thức biến phân thông thường

Bài toán điểm bất động

Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và T : C → 2H là mộtánh xạ đa trị, nửa liên tục trên sao cho T (u) là tập con, lồi, compact khácrỗng của C với mọi u ∈ C Bài toán điểm bất động, ký hiệu F ix(T ), là bàitoán:

Tìm điểm u∗ ∈ C sao cho u∗ ∈ T (u∗)

Đặt f (u, v) = max

w∈T (u)

hu − w, v − ui với mọi u, v ∈ C Khi đó u∗ là nghiệmcủa bài toán F ix(T ) khi và chỉ khi u∗ là nghiệm của bài toán EP (f, C).Bài toán điểm yên ngựa

Cho C1, C2 ⊆ H là các tập con, lồi, đóng, khác rỗng vàf : C1× C2 →

R Một điểm (u∗1, u∗2) được gọi là điểm yên ngựa của f nếu (u∗1, u∗2) ∈ C =

Như vậy, u∗ là nghiệm của bài toán EP (f, C)

Chú ý: Giả sử song hàm f : C × C → R xác định bởi f (u, v) =

hF (u), v − ui với mọi u, v ∈ C Bằng định nghĩa, ta dễ chỉ ra rằng các kháiniệm về tính đơn điệu của f và các khái niệm về tính đơn điệu tương ứngcủa F (ví dụ song hàm f đơn điệu mạnh tương ứng với ánh xạ F là đơnđiệu mạnh) là tương đương

1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Trong mục này, tôi trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại, tínhduy nhất nghiệm và tính chất nghiệm của bài toán cân bằng Trước hết tanhắc lại một số định nghĩa cơ bản sau

Cho tập C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbertthực H và một ánh xạ F : C → R Ánh xạ F được gọi là

• Nửa liên tục dưới tại u ∈ C nếu với mọi dãy {uk} ∈ C hội tụ mạnhđến u thì

(A2) f (u, ·) tựa lồi với mỗi u ∈ C,

(A3) f (·, v) nửa liên tục trên với mỗi v ∈ C

Trong [5] Blum và Oettli đã chứng minh sự tồn tại nghiệm cho bàitoán cân bằng, trong đó f = g + h , g thỏa mãn điều kiện đơn điệu và tínhnửa liên tục trên theo biến thứ nhất, h không cần đơn điệu nhưng phải thỏamãn điều kiện mạnh hơn theo tính liên tục trên

Khi g = 0 ta suy ra được kết quả của Ky Fan,

Khi h = 0 ta suy ra được kết quả của Browder Minty

Trước hết ta nêu lại một số khái niệm sau:

Cho C, H là hai tập lồi, C ⊂ H, nhân của tập C đối với tập H, kýhiệu CoreHC, được định nghĩa:

u ∈ CoreHC ⇔ u ∈ C, C ∩ (u, v] 6=∅ ∀v ∈ H \ C,

hiển nhiên CoreHH = H

Định lý 1.5 ([5]) Giả thiết các điều kiện i → iv dưới đây được thỏa mãn.(i) H là không gian Hilbert, C là tập lồi, đóng, khác rỗng;

(ii) g : H × H → R có các tính chất:

g(u, u) = 0, ∀u ∈ H;

g(u, v) + g(v, u) ≤ 0, ∀u, v ∈ H;

∀u, v ∈ H : t ∈ [0, 1] 7→ g(tv + (1 − t)u, v) là nửa liên tục trên tại

t = 0 và nửa liên tục dưới đối với biến thứ 2

(iii) h : H × H → R có các tính chất sau:

h(u, u) = 0, ∀u ∈ H;

h là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất;

h là lồi theo biến thứ hai

(iv) ∃ C ⊂ K là lồi, compact, khác rỗng sao cho ∀u ∈ C \ CoreHC,

∃v ∈ CoreHC sao cho g(u, v) + h(u, v) ≤ 0

Khi ấy ∃ u ∈ C : g(u, v) + h(u, v) ≥ 0 ∀v ∈ K