Về bất đẳng thức loại gruss và một số bài toán liên quan

19 2.2.1 Bất đẳng thức loại Gr¨uss đối với tích phân Stieltjes có hàm lấy tích phân bị chặn.. 19 2.2.2 Bất đẳng thức loại Gr¨uss đối với tích phân Stieltjes có hàm lấy tích phân là hàm L

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHẠM THÀNH CÔNG

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS

VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

PHẠM THÀNH CÔNG

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS

VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2019

Mở đầu 1 Chương 1 Về bất đẳng thức Gr¨ uss 3

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1.1 Hàm số, biến phân và biến phân toàn phần 3

1.1.2 Bất đẳng thức H¨older 5

1.2 Về bất đẳng thức Gr¨uss 6

1.3 Một số bất đẳng thức liên quan 10

1.3.1 Bất đẳng thức Karamata 10

1.3.2 Bất đẳng thức Steffensen 13

1.3.3 Bất đẳng thức Young 15

Chương 2 Về bất đẳng thức loại Gr¨ uss và một số kết quả liên quan 17 2.1 Bất đẳng thức Gr¨uss-Chebyshev 17

2.2 Bất đẳng thức loại Gr¨uss đối với tích phân Stieltjes 19

2.2.1 Bất đẳng thức loại Gr¨uss đối với tích phân Stieltjes có hàm lấy tích phân bị chặn 19

2.2.2 Bất đẳng thức loại Gr¨uss đối với tích phân Stieltjes có hàm lấy tích phân là hàm Lipschitz 27 2.3 Bất đẳng thức loại Gr¨uss đối với tích phân Riemann-Stieltjes 37

Mở đầu

Chủ để “bất đẳng thức” là chủ đề luôn được khai thác trong các kỳ thichọn học sinh giỏi, ở các lớp, các cấp phổ thông, không phải chỉ tính trựcquan của bài toán “so sánh” mà vấn đề nay thực sự có nhiều ứng dụng trongtoán học hiện đại Bài toán bất đẳng thức được nghiên cứu trong nhiều khíacạnh của toán học, từ toán học lý thuyết thuần túy đến toán học ứng dụng.Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin, thì các bài toán giải gầnđúng đang được sự quan tâm của nhiều nhà toán học ứng dụng, mà bêncạnh nó không thể thiếu các bài toán “so sánh”

Cùng với vai trò của các bất đẳng thức như bất đẳng thức AM – GM,Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz ., năm 1935 nhà toán học người Đức GGr¨uss đã chứng minh một bất đẳng thức tích phân cho sự liên hệ giữa tíchphân của một tích hai hàm số và tích phân của từng hàm số và được mangtên ông đó là bất đẳng thức Gr¨uss ứng dụng và áp dụng trong nhiều lĩnhvực khác nhau của Toán học Vì lý do đó chúng tôi đã chọn đề tài luận văn

là “Bất đẳng thức loại Gr¨uss và một số bài toán liên quan” Nội dung luậnvăn được chia thành hai chương được tham khảo từ tài liệu chính là [2] cáctài liệu liên quan được trình bày trong danh mục tài liệu tham khảo Nộidung luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, đượcchia làm hai chương:

Chương 1 Về bất đẳng thức Gr¨uss Chương này trình bày lại các kiếnthức cơ bản liên quan đến luận văn như: Trình bày lại một số khái niệmtrong hàm số như biến phân, biến phân toàn phân và tính chất Bất đẳngthức H¨older Bất đẳng thức Gr¨uss, chỉ ra điều kiện yếu hơn giả thiết Gr¨uss.Một số bất đẳng thức liên quan là Karamta, Steffensen, Young

Chương 2 Về bất đẳng thức loại Gr¨uss và một số kết quả liên quan

Chương này trình bày các biến thể của bất đẳng thức Gr¨uss, chẳng hạn như:Bất đẳng thức Gr¨uss-Chebyshev Bất đẳng thức kiểu Gr¨uss đối với tích phânStieltjes có hàm lấy tích phân bị chặn Bất đẳng thức kiểu Gr¨uss đối với tíchphân Stieltjes có hàm lấy tích phân là hàm Lipschitz Bất đẳng thức kiểuGr¨uss đối với tích phân Riemann-Stieltjes.

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học khoa học TháiNguyên, em luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy

cô trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán – Tin

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường THCS Tân Liên,Vĩnh Bảo, Hải Phòng cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo nhiềuđiều kiện tốt cho tác giả trong thời gian đi học cao học; cám ơn các anh chị

em học viên lớp cao học Toán K11 và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, độngviên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trườngĐại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên

Đặc biệt em xin được lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, TS.Trần Xuân Quý đã luôn quan tâm ân cần chỉ bảo, động viên khích lệ, giúp

đỡ tận tình và góp ý sâu sắc cho em trong suốt quá trình học tập cũng nhưthực hiện đề tài Chặng đường vừa qua sẽ là những kỉ niệm đáng nhớ và đầy

ý nghĩa đối với các anh chị em học viên lớp cao học Toán K11 nói chung vàvới bản thân em nói riêng Dấu ấn ấy hiển nhiên không thể thiếu sự hỗ trợ,

sẻ chia đầy yêu thương của cha mẹ, và các anh chị em trong gia đình Xinchân thành cám ơn tất cả những người thân yêu đã giúp đỡ, đồng hành cùng

em trên chặng đường vừa qua

Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 12 năm 2019

Học viên

Phạm Thành Công

Chương 1

Trong chương này, chúng tôi, trình bày một số kiến thức khái niệm vàtính chất về hàm số liên tục tuyệt đối, biến phân và biến phân toàn phầncủa hàm số Bất đẳng thức H¨older dạng đại số và dạng giải tích, Bất đẳngthức Gr¨uss Các kết quả này được sử dụng cho các chứng minh ở Chương 2

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Hàm số, biến phân và biến phân toàn phần

Định nghĩa 1.1.1 (a) Hàm số f : [a, b] → R được gọi là liên tục tuyệt đối

trên [a, b] nếu với mọi ε > 0 tồn tại số dương δ thỏa mãn

(c) Nếu hàm số f : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b], thì biến phân toàn phần của f trên [a, b] được xác định như sau

Nhận xét 1.1.2 Một hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b] thì liên tục đều và

có biến phân bị chặn trên [a, b].

Ví dụ 1.1.3 Nếu f : [a, b] → R là hàm đơn điệu tăng thì với mọi phân

hoạch P = {x0, x1, · · · , x n } của [a, b] ta có

|f0(x)| > M, thì với mọi phân hoạch P = {x0, x1, · · · , x n } của [a, b]

và theo định lý giá trị trung bình ta có

Định lý 1.1.5 (a) Nếu f, g : [a, b] → R là các hàm có biến phân bị chặn

và c, d ∈ R, thì cf + dg có biến phân bị chặn và có bất đẳng thức sau

(b) Nếu f : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b] và [c, d] ⊂ [a, b], thì f

có biến phân bị chặn trên [c, d] và

(c) Nếu f : [a, b] → R có biến phân bị chặn và c ∈ (a, b), thì

V (x) − f (x) đơn điệu tăng trên [a, b].

(e) Hàm f : [a, b] → R có biến phân bị chặn khi và chỉ khi nó là hiệu của hai hàm tăng.

Định nghĩa 1.1.6 Cho các hàm f : [a, b] → R Hàm f được gọi là hàm loại

r-H-H¨older trên [a, b] nếu |f (t) − f (s)| 6 H|t − s| r với mọi t, s ∈ [a, b],

Định lý 1.1.7 (Bất đẳng thức H¨older) Cho hai bộ số a1, a2, , a n và

Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức H¨older ở dạng giải tích, chúng tôi chỉtrình bày kết quả mà không chứng minh.

Định lý 1.1.8 (Bất đẳng thức H¨older dạng giải tích) Giả sử p, q > 1 thỏa

với mỗi x ∈ [a, b], trong đó ϕ, φ, γ, Γ là các số thực cho trước.

Năm 1935 G Gr¨uss đã đưa ra khẳng định sau:

|T (f, g)| 6 1

trong bài báo công bố năm 1935 Gr¨uss đã chứng minh bất đẳng thức này và

cũng chỉ ra 1/4 là xấp xỉ tốt nhất Hàm T (f, g) được gọi là hàm ˇCebyˇsev

Định lý 1.2.1 Cho f, g : [a, b] → R là các hàm khả tích trên [a, b] và thỏa

Z b a

Z b

a (g(x) − g(y))2dxdy

# 1 2

và tương tự ta có đẳng thức (1.12) đối với hàm g.

Theo giả thiết (1.7) ta có (f (x) − φ)(Φ − f (x)) > 0 với mọi x ∈ [a, b], vì

Nhận xét 1 (a) Điều kiện (1.7) có thể làm giảm với điều kiện yếu hơn như

4(b − a)

p+1 (M − m),

trong đó giả sử m 6 g(x) 6 M với x ∈ [a, b].

Bất đẳng thức (1.8) có thể thu được ước lượng tốt hơn nếu ta thêm điều

kiện hạn chế đối với các hàm f và g Thật vậy, xét ∆ n h f (x) là sai phân thứ

Hàm f xác định trên (a, b) được gọi là đơn điệu bậc p nếu ∆ n h f (x) > 0 hoặc

Nếu f đơn điệu bậc p trong (a, b) với mọi p = 1, 2, , thì ta nói rằng f đơn điệu tuyệt đối trên (a, b) Ta có khẳng định sau

Định lý 1.2.2 (Gr¨uss, 1935) Nếu các hàm f, g là đơn điệu tuyệt đối trên

E Landau đã đưa ra cách chứng minh đơn giản hơn, và năm 1936, E Landau

đã chứng minh hai bất đẳng thức (1.16) và (1.20) đúng nếu các hàm f, g

đơn điệu cấp 4 Đối với các hàm đơn điệu cấp k = 1, 2, 3 E Landau đã chứng

Năm 1936, G H Hardy đã đưa ra khẳng định sau

Định lý 1.2.3 (Hardy, 1936) Nếu hàm số f : R+ → R thỏa mãn f(x) >

Bất đẳng thức Gr¨uss chỉ ra cận trên và cận dưới cho sai phân D(f, g).

Một ước lượng tương tự cũng đã được J Karamata chứng minh đối với

Định lý 1.3.1 Cho f, g : [0, 1] → R là các hàm khả tích và thõa mãn điều

kiện 0 < a 6 f (t) ≤ A và 0 < b 6 g(t) 6 B với t ∈ [0, 1], khi đó ta có bất

khi đó θ(b) = θ(B) = 1 Hơn nữa

Nhận xét 2 (a) Bất đẳng thức (1.21) có thể mở rộng dễ dàng lên đối với

các hàm xác định trên [α, β] thu được bất đẳng thức sau

với 0 < a 6 f (t) 6 A và 0 < b 6 g(t) 6 B với t ∈ [a, b].

Lupa¸s1 đã mở rộng bất đẳng thức Karamata với hàm tuyến tính dương

Vế phải của bất đẳng thức (1.26) được chỉ ra bởi Schweitzer2 (1914) vàbất đẳng thức này có thể suy ra từ bất đẳng thức Gr¨uss (1.8) Áp dụngbất đẳng thức Karamata thì ta thu được cận dưới chặt hơn (cận dướinhỏ hơn không).

1.3.2 Bất đẳng thức Steffensen

Định lý 1.3.2 Cho f, g : [a, b] → R là các hàm khả tích trên [a, b] sao cho

f là hàm không tăng và 0 6 g(t) 6 1 với t ∈ [a, b] Khi đó ta có bất đẳng thức

hay ta thu được bất đẳng thức bên phải của (1.27)

Tiếp theo, trong (1.28) thay hàm g(t) bởi 1 − g(t) ta thu được

vì vế phải không âm nên ta thu được bất đẳng thức đầu tiên của (1.27)

Nhận xét 3 (a) Giả thiết 0 6 g(t) 6 1 có thể thay bằng giả thiết 0 6 g(t) 6

A trong bất đẳng thức (1.27),

thu được kết quả tương tự (xem Hayashi)

23 (1914), 257-261

Steffensen3 đã chỉ ra được kết quả tổng quát hơn bất đẳng thức (1.27),

và kết quả của Hayashi là một trường hợp đặc biệt Steffensen đã chỉ ra,

(b) Với m 6 h0(t) 6 M, năm 2000 Cerone và Dragomir công bố kết quả về

Chọn c1 = a và d2 = b thu được bất đẳng thức Steffensen (1.27).

1.3.3 Bất đẳng thức Young

Định lý 1.3.3 Cho f là hàm liên tục và đồng biến trên [0, c] với c > 0 Nếu

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b = f (a).

Chứng minh Xét hàm g(.) xác định như sau

(c) Năm 2006, Witkowski (xem [15]) đã đưa ra dạng ngược cho bất đẳng

thức Young như sau

Z b

0 f−1(x)dx 6 ab +f−1(b) − a(b − f (a)).

Chương 2

Về bất đẳng thức loại

liên quan

Có nhiều bất đẳng thức liên quan tới kết quả nổi tiểng của Gr¨uss về xấp

xỉ trung bình tích phân của tích hai hàm với tích của trung bình tích phânhai hàm tương ứng Trong chương này sẽ trình bày một số kết quả đó Cụthể, chương 2 sẽ trình bày về bất đẳng thức tích phân Gr¨uss-Chebyshev; một

số bất đẳng thức liên quan như Karamata, Steffensen và Young; bất đẳngthức loại Gr¨uss đối với tích phân Stieljes với hàm lấy tích phân bị chặn, hàmlấy tích phân là hàm Lipschitx và tích phân Riemann-Stieljes

2.1 Bất đẳng thức Gr¨ uss-Chebyshev

Định lý 2.1.1 Cho f, g : [a, b] → R là các ánh xạ L1, L2-Lipschitz trên [a, b], nghĩa là

|f (x) − f (y)| 6 L1|x − y|, |g(x) − g(y)| 6 L2|x − y| (2.1)

với mọi x, y ∈ [a, b] Khi đó ta có bất đẳng thức:

Z b a

Z b

a (f (x) − f (y))(g(x) − g(y))dxdy (2.3)

Từ điều kiện (2.1), ta có

|(f (x) − f (y))(g(x) − g(y))| 6 L1L2(x − y)2 với mọi x, y ∈ [a, b]. (2.4)

Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức (2.4) trên [a, b] × [a, b], ta được

Z b a

ta thu được dấu bằng trong bất đẳng thức (2.2)

Nhận xét 5 (a) Nếu giả sử các hàm f và g khả vi trên (a, b) và có đạo hàm

bị chặn trên (a, b), vì vậy kf0k∞ := supt∈(a,b) |f0(t)| < ∞, khi đó ta thu

được kết quả của Chebyshev, nghĩa là,

6 1

12kf0k∞kg0k∞(b − a)2. (2.5)Hằng số 1

12 là xấp xỉ tốt nhất.

(b) Bất đẳng thức (2.2) có thể mở rộng đối với ánh xạ loại H¨older Giả sử

f : [a, b] → R là ánh xạ loại s-H¨older, nghĩa là,

|f (x) − f (y)| 6 H1|x − y| s , H1 > 0 (2.6)

với mọi x, y ∈ [a, b], với s ∈ (0, 1] cho trước Ngoài ra, xét g : [a, b] → R

là hàm loại r-H¨ older, với r ∈ (0, 1] và hằng số H2 > 0 Khi đó, ta có bất

Z b

a |(f (x) − f (y))(g(x) − g(y))|dxdy

6 H1H2

Z b a

Z b

a |x − y| r+s dxdy

= H1H2

Z b a

Sử dụng đẳng thức (2.3) ta thu được (2.7)

2.2 Bất đẳng thức loại Gr¨ uss đối với tích

phân Stieltjes

2.2.1 Bất đẳng thức loại Gr¨ uss đối với tích phân

Stielt-jes có hàm lấy tích phân bị chặn

trong đó các hàm số f, g, w : [a, b] → R và w(t) > 0 hầu khắp nơi t ∈ [a, b]

là hàm đo được, sao cho tồn tại tích phân

với

−∞ < m 6 f(t) 6 M < ∞ với hầu hết t ∈ [a, b] (2.10)

và các tích phân tương ứng là hữu hạn Hằng số 1

2 là ước lượng tốt nhất(2.9)

Hơn nữa, nếu

−∞ < n 6 g(t) 6 N < ∞ với hầu hết t ∈ [a, b], (2.11)thì ta có

dt

Trong mục này, ta sẽ sẽ mở rộng các kết quả trên đối với tích phânRiemann-Stieltjes.

Trước tiên ta đưa ra khái niệm hàm hàm Chebyshev đối với tích phânStieltjes:

trong đó f, g ∈ C[a, b] và u ∈ BV [a, b] với u(b) 6= u(a).

Năm 2000 và 2001 Dragomir đã đưa ra một số kết quả về bất đẳng thứcđối tích phân Stieltjes, chẳng hạn như bất đẳng thức tích phân Ostrowskiđối với tích phân Rieman-Stieltjes Dưới đây là kết quả của Dragomir năm

2003 (xem [9]):

Định lý 2.2.1 Cho các hàm f, g : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và u :

[a, b] → R với u(a) 6= u(b) Giả sử rằng tồn tại các hằng số thực m, M sao cho

Nếu u có biến phân bị chặn trên [a, b], khi đó ta có bất đẳng thức sau

|T (f, g; u)| 6 1

2(M − m)

1

|u(b) − u(a)|

(u) ký hiệu cho biến phân toàn phần của u trên [a, b].

Chứng minh Từ (2.13) với tích phân Stieltjes ta có đẳng thức sau

u(b) − u(a)

Z b a

Z b

2

2 là ước lượng tốt nhất trong bất đẳng thức

(2.15), ta giả sử bất đẳng thức (2.15) thỏa mãn với hằng số C > 0, tức là,

|T (f, g; u)| 6 C(M − m) |u(b) − u(a)|1

Vậy, ta chọn f = g, f : [a, b] → R, f (t) = t, t ∈ [a, b], và u : [a, b] → R xác

2

2 ,và

24

Z b

2

×

như vậy ta chứng minh được bất đẳng thức (2.22)

Tiếp theo, giả sử bất đẳng thức (2.22) thỏa mãn với hằng số E > 0 thay

và u : [a, b] → R, u(t) = t Khi đó f và g khả tích Riemann trên [a, b] và u là hàm Lipschitzvới hằng số L = 1.

...

2 là ước lượng tốt bất đẳng thức< /sup>

(2.15), ta giả sử bất đẳng thức (2.15) thỏa mãn với số C > 0, tức là,

|T (f, g; u)| C(M −...

như ta chứng minh bất đẳng thức (2.22)

Tiếp theo, giả sử bất đẳng thức (2.22) thỏa mãn với số E > thay

(c) Nếu hàm f, g khả tích Riemann [a, b] hàm f thỉa mãn điều

kiện (2.26), hàm w liên tục [a, b], ta có bất đẳng thức< /i>

|T