CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XẤP XỈ SÓNG NHỎ TRONG NGHIÊN CỨU BIẾN DẠNG VỎ TRÁI ĐẤT
2.1. Cơ sở lý thuyết của hàm sóng nhỏ DOG trên mặt cầu
Như đã giới thiệu ở phần tổng quan, phương pháp xấp xỉ sóng nhỏ được sử dụng với nhiều kỹ thuật biến đổi khác nhau và ta cũng nhận được những kết quả tương ứng khác nhau. Để nghiên cứu biến dạng vỏ Trái Đất, Tape, C [41] đã lựa chọn hàm sóng nhỏ cầu DOG xác định trong không gian các hàm bình phương khả tích T2(S)2 để phân tích trường vận tốc chuyển dịch cho khu vực.
Sự phân tích trường vận tốc trên mặt cầu đối với một tập hợp rời rạc của sóng nhỏ phải chiếm toàn bộ không gian T2(S)2, nhưng không cần phải là một tập hợp độc lập tuyến tính, được thực hiện bằng cách lấy mẫu thích hợp từ cách thiết lập sóng nhỏ mặt cầu DOG theo vị trí XYZ và tỷ lệ rời rạc hóa , thông qua việc rời rạc hóa số lượng vị trí điểm đo để xác định một tập hợp các lưới G trên mặt cầu theo bậc q.
Theo Tape, C [41], khi điểm lưới cắt mặt cầu với quy mô q (q = 0, 1, 2,
…, qmax) được chọn làm cực trung tâm thì ở các quy mô khác nhau ta sẽ nhận được tập hợp Fqmax hàm sóng nhỏ trên mặt cầu tương ứng theo công thức:
(2.1) Trong công thức trên, x(q, j) là cực trung tâm sóng nhỏ trên mặt cầu. Thông thường, Bắc cực được lấy làm cực trung tâm; tỷ lệ rời rạc hóa , q là bậc được chọn; j là số thứ tự điểm lưới; G là tập hợp của điểm đỉnh của lưới tam giác đều (TIN) trên mặt cầu.
Gọi Ψ là hàm sóng nhỏ cầu DOG cho cực trung tâm x và tỷ lệ a, hàm Ψ được biểu diễn bằng công thức:
(2.2)
trong đó:
là hằng số và được chọn lớn hơn 1 ( ;
là góc giữa điểm lưới (θ, ) và điểm đang xét (θ’, ’) trên mặt cầu (góc ở tâm hình cầu);
là hàm tham số được tính theo công thức:
(2.3)
trong đó a là tỷ lệ rời rạc hóa được tính theo công thức: aq = 2-q với q = 0, 1, 2,…, qmax.
Tập hợp các điểm lưới trên mặt cầu (G) được xác định bằng cách phân chia liên tiếp một khối tam giác ban đầu G0 có 20 mặt (20 = 20 x 4q với bậc q = 0). Theo đó, mỗi tam giác được chia thành bốn tam giác đều với các đỉnh mới dựa vào mặt cầu. Tổng số điểm lưới tam giác (đỉnh của tam giác cầu) được tính theo Tape, C [41] như sau:
(2.4) Với bậc q = 1, 2, …12.
Như vậy các điểm lưới trên mặt cầu được thể hiện trong Hình 2.1 dưới đây:
Hình 2.1. Tập hợp các điểm lưới tam giác ở các quy mô khác nhau [41]
Khi đó, khoảng cách giữa các điểm lưới (chiều dài cung) trên mặt cầu (G) tương ứng với bậc q = 0, 1, 2,…, qmax được thể hiện trong bảng dưới đây:
Bảng 2.1. Khoảng cách giữa các điểm lưới trên mặt cầu tương ứng với q [41]
Chiều dài cung trên Khoảng cách giữa
TT Bậc q mặt cầu các điểm lưới G
(độ) (km)
1 0 82.442 9167.1
2 1 47.310 5260.7
3 2 24.708 2747.3
4 3 12.500 1389.9
5 4 6.268 697.0
6 5 3.136 348.8
7 6 1.569 174.4
8 7 0.784 87.2
9 8 0.392 43.6
10 9 0.196 21.8
11 10 0.103 11.4
12 11 0.052 5.8
13 12 0.026 2.9
Sự rời rạc của các bậc tham số phụ thuộc vào tập hợp các lời giải đã chọn cho lưới mặt cầu và α. Khi q không đổi, biên độ của hàm sóng nhỏ trên mặt cầu tăng tỷ lệ thuận với α. Với q = 3, thì sự thay đổi biên độ tăng được mô tả như Hình 2.2 dưới đây:
Hình 2.2. Sóng nhỏ trên cầu tương ứng với các khác nhau khi q =3 [41]
Sự biến đổi biên độ theo đường kinh tuyến của hàm sóng nhỏ cầu DOG thể hiện ở Hình 2.3 dưới đây.
Hình 2.3. Sự thay đổi biên độ dọc đường kinh tuyến theo khi q = 3 [41]
Từ phân tích ở trên, có thể thấy rằng số điểm lưới mặt cầu tăng khi chỉ số q tăng, điều này sẽ ảnh hưởng tới tốc độ tính toán, do đó để giảm khối lượng tính toán cần phải lựa chọn số lượng điểm lưới cầu cho phù hợp. Theo Cheng pengfei [24], để xác định số lượng điểm lưới trên mặt cầu cần phải căn cứ vào sự phân bố điểm đo trong khu vực nghiên cứu và được thực hiện theo các nguyên tắc sau đây:
a) Căn cứ vào phạm vi khu vực phân bố điểm đo để tính bán kính cho khu vực nghiên cứu theo công thức:
(2.5) trong đó:
- S là diện tích mặt cầu của khu vực phân tích, được xác địch dựa vào tọa độ của 4 góc ranh giới khu đo như mô tả trong Hình 2.4 dưới đây:
Hình 2.4. Phạm vi điểm đo khu vực Miền Bắc được chọn để phân tích Như vậy, với diện tích S của khu vực lưới quan trắc Miền Bắc được chọn là 1.7358 x1011 m2, có thể xác định được = 4.7012x105 m
Trên cơ sở diện tích mặt cầu của khu vực phân tích, ta xác định được bậc nhỏ nhất qmin khả thi để làm không gian hỗ trợ cho sóng nhỏ cầu theo điều kiện qmin nhỏ hơn 2 . Như vậy, phạm vi phân bố điểm đo càng lớn thì qmin càng nhỏ, mật độ điểm đo càng lớn thì qmax càng lớn. Tương ứng, ta sẽ nhận được tập hợp các điểm lưới trên mặt cầu (G) trong khu vực nghiên cứu như mô tả ở Hình 2.5 dưới đây:
b) Với mỗi bậc q được xét (từ qmin đến qmax), việc lựa chọn các điểm lưới G được căn cứ vào số lượng điểm đo trong mỗi tam giác cầu. Nếu trong tam giác cầu có ít hơn 3 điểm đo thì các điểm lưới G trên đỉnh của tam giác cầu đó sẽ bị loại và trong tam giác cầu có từ 3 điểm đo trở lên thì các điểm lưới G trên tam giác cầu đó được chọn để sử dụng trong tính toán. Cụ thể việc lựa chọn số điểm lưới cầu để tham gia tính toán trên khu vực miền Bắc Việt Nam được mô tả trong Hình 2.6 dưới đây:
Hình 2.6. Tập hợp các điểm lưới và bậc được chọn để phân tích biến dạng khu vực Miền Bắc
Trong Hình 2.6, màu xanh tím là khu vực có điểm lưới cầu (G) tương ứng với q = 7, màu lam tương ứng với q = 8 và màu vàng tương ứng với q = 9.
Từ công thức tính hàm sóng nhỏ trên mặt cầu DOG; nguyên tắc lựa chọn tập hợp điểm lưới cầu G và số bậc để phân tích biến dạng khu vực, nghiên cứu sinh đã xây dựng phần mềm để tính toán các điểm lưới cầu G theo hằng số (sự biến đổi biên độ theo đường kinh tuyến của hàm sóng nhỏ cầu DOG là nhỏ nhất).