CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1.3. Tổng quan về khả năng ứng dụng phương pháp xấp xỉ sóng nhỏ
1.3.1. Tổng quan về phương pháp xấp xỉ sóng nhỏ [22],[33]
Lý thuyết và ứng dụng của sóng nhỏ được phát triển để khắc phục nhược điểm thiếu định vị thời gian của phân tích Fourier. Một trong những nhược điểm lớn của biến đổi Fourier thời gian ngắn là độ phân giải thời gian giống nhau cho tất cả các tần số. Để khắc phục nhược điểm này, người ta đã sử dụng một xung dao động (Wavelet - dịch theo từ gốc là một sóng nhỏ) và thay đổi kích thước của nó rồi so sánh với tín hiệu ở từng đoạn riêng biệt.
Kỹ thuật này bắt đầu với sóng nhỏ gốc chứa các dao động tần số khá thấp.
Sóng nhỏ này được so sánh với tín hiệu phân tích để có một bức tranh toàn cục của tín hiệu ở độ phân giải thô. Sau đó, sóng nhỏ được nén lại để nâng cao dần dần tần số dao động. Quá trình này gọi là làm thay đổi quy mô (scale) phân tích rồi tiến hành so sánh tín hiệu chi tiết ở các độ phân giải cao hơn. Từ đó phát hiện được các thành phần biến thiên nhanh còn ẩn bên trong tín hiệu. Đó chính là mục đích của phương pháp xấp xỉ sóng nhỏ hay còn gọi là phép xấp xỉ sóng nhỏ.
Quá trình thực hiện xấp xỉ sóng nhỏ thường được thực hiện theo ba dạng như sau:
a. Xấp xỉ sóng nhỏ liên tục
Sóng nhỏ được sử dụng là hàm cơ bản đại diện cho các hàm tín hiệu số được biểu diễn theo quan hệ như sau:
(1.24) trong đó:
- là hàm tín hiệu số, - là hằng số,
- là hàm sóng nhỏ được thực hiện bằng cách lấy quy mô (scale) đồng thời cho chuyển dịch hàm sóng nhỏ gốc theo thời gian (t) ở dạng:
(1.25) - là thông số của quy mô chỉ sự co giãn của sóng nhỏ; b là thông số chuyển dịch vị trí theo thời gian của sóng nhỏ.
Xấp xỉ sóng nhỏ liên tục (CWT: Continuos Wavelet Transform) của một hàm f(t) được định nghĩa là một dãy tín hiệu của hàm f(t) với sự biến đổi của hàm sóng nhỏ như sau:
(1.26)
với R là không gian số thực,
Xấp xỉ sóng nhỏ diễn tả sự tương quan giữa hàm f(t) và sóng nhỏ . Xấp xỉ sóng nhỏ liên tục là giải pháp phân tích sự giống nhau giữa hàm sóng nhỏ gốc và các tín hiệu riêng của chúng. Việc xác định các hệ số sóng nhỏ liên tục (CWT) của tín hiệu bắt đầu bằng cách sử dụng các sóng nhỏ có thể phát hiện các tần số cao nhất hiện có trong tín hiệu đó.
b. Xấp xỉ sóng nhỏ rời rạc
Xấp xỉ sóng nhỏ liên tục chứa nhiều giá trị trùng lặp và đòi hỏi tính toán công phu nên ít được dùng. Vào năm 1976, người ta đã sử dụng kỹ thuật biến đổi tín hiệu theo thời gian rời rạc ở dạng mã hóa hình tháp để xử lý tín hiệu số.
Phương pháp này được gọi là xấp xỉ sóng nhỏ rời rạc (DWT, Discrete Wavelet Transform). Phương pháp xấp xỉ sóng nhỏ rời rạc đã khắc phục được những
nhược điểm của phương pháp xấp xỉ sóng nhỏ liên tục bằng cách rời rạc hóa thông số a, b như sau:
(1.27) trong đó m, n là số nguyên.
Khi đó hàm sóng nhỏ sẽ được viết thành:
(1.28) Trong thực tế, thông số thường được chọn bằng 2 và được chọn bằng 1, như vậy hàm sóng nhỏ được viết lại là:
(1.29) Với sự chọn lựa thông số a, b như trên, xấp xỉ sóng nhỏ rời rạc (DWT) cho hàm tín hiệu theo thời gian như sau:
(1.30) Phương pháp xấp xỉ sóng nhỏ rời rạc thường được áp dụng rộng rãi trong việc lọc nhiễu và phân tích dữ liệu.
Trong quá trình lọc nhiễu người ta thường sử dụng phương pháp đặt ngưỡng. Ứng với mỗi tầng trong miền biến đổi, chọn một ngưỡng cắt (cutoff threshold) thích hợp, nếu các hệ số chi tiết nhỏ hay bằng giá trị ngưỡng thì giá trị này được coi là bằng không và chỉ có các giá trị lớn hơn giá trị ngưỡng được giữ lại để có các hệ số chi tiết cải tiến cho tầng đó. Sau khi đặt ngưỡng cho tất cả các tầng, dùng các hệ số cải tiến này để phục hồi lại tín hiệu, lúc đó sẽ có tín hiệu loại nhiễu. Tuy nhiên, điều quan trọng là phải chọn được một ngưỡng cắt thích hợp cho mỗi tầng để có thể lọc bỏ nhiễu mà vẫn không làm mất các thông tin có ích trong tín hiệu.
c. Phân tích đa phân giải
Phân tích đa phân giải (multiresolution analysis - MRA) là giải pháp kỹ thuật được thực hiện trên cơ sở sóng nhỏ trực giao, bằng cách cho phân tách
nhanh tín hiệu f từ một không gian hẹp nhất định thành hai dải tần số khác nhau gồm tần số thấp và tần số cao. Phần tần số thấp thu được bằng
phép chiếu trực giao vào không gian hẹp nhỏ hơn , ở đó chỉ chứa các phương trình làm trơn của . Phần bổ sung trực giao của trong sẽ được ký hiệu là . Hình chiếu của tín hiệu f vào sẽ được ký hiệu là , khi đó có công thức:
(1.31) và
(1.32) Khi tiếp tục phân tích bằng cách biểu diễn là tổng trực giao của , nó bao gồm phần mịn hơn của và phần thô hơn của . Các phần tương ứng được gọi là và . Như vậy, tín hiệu f sẽ được phân tích như sau:
(1.33) Khi phân tích tín hiệu f trong n trạng thái ta có:
(1.34) Cùng với việc phân tích trạng thái ta có chuỗi lồng nhau của không gian V dạng:
(1.35) Phân tích đa phân giải dùng hai hàm bổ trợ là hàm quy mô (scale function) và hàm sóng nhỏ liên kết lần lượt với các kỹ thuật lọc thông thấp và lọc thông cao (low- pass filter, high-pass filter). Từ các hệ số sóng nhỏ nhận được sau phân tích, có thể phục hồi lại tín hiệu f nguyên thủy, kỹ thuật này được gọi là phân tích đa phân giải.
Xấp xỉ sóng nhỏ được sử dụng để nén dữ liệu và hình ảnh; giải phương trình vi phân riêng phần; phát hiện trạng thái bất thường; nhận dạng mẫu; phân tích kết cấu dữ liệu; giảm nhiễu và thực hiện nhiều công việc khác. Ưu điểm chính của phương pháp xấp xỉ sóng nhỏ so với các phương pháp Fourier truyền thống là sử dụng các hàm cơ bản cục bộ và tốc độ tính toán nhanh hơn.