CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XẤP XỈ SÓNG NHỎ TRONG NGHIÊN CỨU BIẾN DẠNG VỎ TRÁI ĐẤT
2.3. Nội suy trường vận tốc chuyển dịch địa phương bằng phương pháp xấp xỉ sóng nhỏ
Tại mỗi điểm đo trong mạng lưới quan trắc, ta nhận được 03 thành phần biểu diễn véc tơ vận tốc chuyển dịch địa phương của một điểm, đó là (vận tốc dịch chuyển theo hướng bán kính hay còn gọi là chuyển dịch đứng), (vận tốc dịch chuyển theo hướng Bắc), (vận tốc dịch chuyển theo hướng Đông). Đây chính là yếu tố thể hiện sự biến dạng trên khu vực nghiên cứu và chính là dữ liệu đầu vào được sử dụng trong nội suy vận tốc chuyển dịch cho khu vực.
Để tính toán trường vận tốc của điểm trong hệ tọa độ cầu, ta coi ,
θ và . Theo Tape, C [41], vận tốc của một điểm trên hệ tọa độ cầu được biểu diễn dưới dạng sau:
θ θ (2.27)
chỉ hướng thẳng đứng, là véc tơ đơn vị dọc theo bán kính cầu đến điểm đang xét, được tính theo công thức sau:
θ θ θ (2.28)
chỉ hướng Bắc là véc tơ đơn vị theo vĩ độ cầu đến điểm đang xét, được tính theo công thức sau:
θ θ θ (2.29)
chỉ hướng Đông là véc tơ đơn vị theo hướng kinh độ cầu đến điểm đang xét, được tính theo công thức sau:
(2.30)
Trong 3 công thức trên, , , là các véc tơ đơn vị thành phần trong hệ tọa độ không gian Trái Đất X, Y, Z.
Theo lý thuyết xấp xỉ sóng nhỏ, nếu có một hàm vô hướng
với bậc xác định không vượt quá bậc nhỏ nhất qmin thì hàm được biểu diễn dưới dạng hàm sóng nhỏ rời rạc trên mặt cầu. Ta có thể tính được vận tốc chuyển dịch (gọi là vận tốc nội suy) của điểm theo công thức (2.27), cụ thể như sau:
θ θ θ θ (2.31)
trong đó:
M là số điểm hàm khung trên mặt cầu (tổng số điểm lưới cầu trong khu vực nghiên cứu được xác định theo số bậc từ qmin đến qmax).
ak, bk, ck lần lượt là các hệ số cần xác định theo hướng bán kính véc tơ, hướng vĩ độ cầu và hướng kinh độ cầu tại điểm lưới cầu thứ k;
θ là hàm số sóng nhỏ tại điểm lưới cầu thứ k và được tính theo công thức (2.2).
Công thức (2.31) được sử dụng để ước tính vận tốc chuyển dịch của điểm trên mặt cầu theo hàm sóng nhỏ và có các thành phần vận tốc chuyển dịch ước tính theo các hướng như sau:
θ θ
θ θ θ (2.32)
θ θ
Trong đó:
θ là vận tốc chuyển dịch nội suy của điểm đang xét theo hướng bán kính r (hướng đứng);
θ θ là vận tốc chuyển dịch nội suy của điểm đang xét theo hướng vĩ độ cầu θ (hướng Bắc);
θ là vận tốc chuyển dịch nội suy của điểm đang xét theo hướng kinh độ cầu (hướng Đông).
Tại một điểm đo ta có thể lập được mối quan hệ giữa vận tốc chuyển dịch địa phương theo công thức (2.21) và vận tốc chuyển dịch nội suy theo phương pháp xấp xỉ sóng nhỏ trên cầu từ công thức (2.32) như sau:
(2.33)
trong đó: ; θ; là số cải chính của các thành phần vận tốc tương ứng.
Công thức (2.33) cũng có thể được viết dưới dạng:
(2.34)
Chuyển vế, ta có hệ phương trình sai số các thành phần vận tốc cho N điểm đo ở dạng sau:
(2.35 )
trong đó:
(2.36)
trong đó , j=1,2,..., N là số thứ tự của N điểm đo, các phần tử của véc tơ vj là vế trái của công thức (2.34);
m là véc tơ tham số có dạng:
(2.37)
trong đó với các phần tử ak, bk, ck trong công thức (2.34), k=1,2, .... , M là số thứ tự của M điểm hàm khung trên mặt cầu;
(2.38) là ma trận hệ số có các phần tử của ma trận theo hàng là hàm
trong công thức (2.34) và hàng thứ j ứng với giá trị hàm tính tại điểm đo thứ j;
(2.39)
trong đó với các phần tử , trong công thức
(2.34), j=1,2,..., N là số thứ tự của N điểm đo.
Có thể viết gọn lại hệ phương trình sai số (2.35) như sau:
(2.40) Áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất đối với số cải chính vận tốc ,ta có hệ phương trình chuẩn như sau:
(2.41) trong đó:
- P là ma trận trọng số tính theo phương sai các thành phần vận tốc
chuyển dịch tương ứng :
(2.42) Do hàm sóng nhỏ được tính dựa trên việc phân tích tín hiệu ban đầu thành tín hiệu tần số thấp và tần số cao nên hàm sóng nhỏ trên cầu có thể tồn tại dư thừa và khi đó sử dụng hàm này để ước tính trường vận tốc sẽ dẫn đến lời
giải không duy nhất. Ngoài ra, sai lệch trị quan trắc và sự phân bố số liệu không theo quy tắc sẽ dễ nảy sinh sai sót. Để giải quyết những hạn chế, tồn tại trên, Tape, C [41] đã bổ sung thêm điều kiện đối với mô hình sóng nhỏ trên cầu bằng phương pháp chính quy hóa. Phương pháp này cũng giải quyết được vấn đề không trực giao hoàn toàn giữa các hàm số sóng nhỏ trên mặt cầu. Phương pháp của Tape sử dụng là bổ sung ma trận dạng cộng thêm vào ma trận hệ số của phương trình chuẩn (2.41). Đây chính là giải pháp giải các phương trình chuẩn không xác định của các lưới trắc địa tự do. Khi đó hệ phương trình (2.42) có dạng sau:
(2.43) trong đó:
R là ma trận chính tắc được tính theo tiêu chí của mô hình gradient hoặc Laplacian của mô hình như sau:
(2.44) Với S là diện tích mặt cầu của khu vực phân tích, được xác định dựa vào tọa độ theo 4 góc ranh giới khu đo.
bậc từ
R là ma trận vuông có kích thước (MxM) và được tính dựa vào tổng số đến như sau:
(2.45) là tham số chính tắc.
Để tính trước tiên ta bỏ số liệu của một điểm quan trắc và tiến hành tính toán tham số của mô hình, sau đó tính chênh lệch giữa giá trị quan trắc và giá trị ước tính mô hình của các giá trị ). Tiếp theo, cần chọn ra tham số chính quy hóa tốt nhất khi phương trình đường cong đặc trưng đạt giá trị cực
tiểu. Công thức hàm số của tham số chính quy hóa mà phương pháp của Tape chọn lựa (OCV - Ordinary Cross Validation) được thể hiện bằng công thức sau:
(2.46) trong đó:
N là số điểm đo trong lưới;
là giá trị vận tốc chuyển dịch của điểm đo thứ i;
là giá trị vận tốc chuyển dịch của điểm thứ i từ mô hình ước tính của N- 1 điểm đo;
là phần tử của ma trận trong giải phương trình chính tắc hóa được tính theo công thức:
(2.47) Tham số chính tắc hóa của mô hình nhận được khi phương trình đường cong đặc trưng H( ) đạt cực tiểu.
Giải hệ phương trình chuẩn (2.38), ta nhận được các tham số của mô hình như sau:
(2.48) Sau khi xác định được các tham số của mô hình m, thay vào công thức (2.32) ta sẽ nhận được vận tốc dịch chuyển ước tính của các điểm trong mạng lưới.
Từ các giá trị vận tốc dịch chuyển đo và ước tính, ta sẽ tính được sai số trung phương trọng số đơn vị của các tham số m tương ứng các hệ số (a, b, c) theo công thức:
(2.49) Trong đó:
N là số điểm tham gia ước tính;
là véc tơ giá trị chênh lệch giữa trường vận tốc trước và sau ước tính, các phần tử của véc tơ được xác định theo công thức (2.35) ở trên.
P là ma trận trọng số tính theo phương sai các thành phần vận tốc chuyển dịch được xác định theo công thức (2.42) ở trên;
Sai số trung phương xác định tham số được tính theo công thức:
Trong đó:
m tương ứng các hệ số (a, b, c)
(2.50)
là số hạng trên đường chéo chính của ma trận Q là nghịch đảo của hệ phương trình chuẩn xác định tham số m dạng:
(2.51) Sai số trung phương xác định vận tốc nội suy tại các điểm được xác định theo công thức sau:
(2.52)
Sau khi tính được các tham số , , của mô hình m tại các điểm lưới thứ k trên mặt cầu ( theo tổng số bậc từ đến , ta tiến hành tính trường vận tốc chuyển dịch của khu vực (lưới ô vuông GRID với các điểm đặc trưng kích thước 0,1ox0,1o). Quy trình tính trường vận tốc chuyển dịch của khu vực như sau:
Bước 1: Xác định giá trị kinh độ và vĩ độ nhỏ nhất của khu vực.
Bước 2: Xác định tổng số điểm lưới GRID và giá trị tọa độ cầu tại điểm lưới GRID bằng cách lấy giá trị kinh độ và vĩ độ nhỏ nhất tịnh tiến đến giá trị kinh độ và vĩ độ lớn nhất của khu vực theo số gia là 0,1 độ.
Bước 3: Tính ma trận thiết kế (ma trận hệ số) của điểm lưới GRID theo công thức (2.2) với số điểm hàm khung M trên mặt cầu được chọn để tính tham số m ở trên (từ qmin đến qmax).
Bước 4: Tính vận tốc chuyển dịch nội suy cho điểm lưới GRID theo công thức (2.32).