TÍNH SỐ ĐO GÓC

HÀ ĐỨC VƯƠNG.

Trước hết ta để ý đến những tam giác chứa những góc có số đo đặc biệt.

 Tam giác cân : Hai góc đáy bằng nhau, nên nếu biết độ lớn một góc thì tính đƣợc các góc còn lại.

 Tam giác đều : Ba góc bằng nhau và bằng 60.

 Tam giác vuông cân : Hai góc bằng nhau và bằng 45, góc còn lại bằng 90 .

 Tam giác nửa đều : Tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông đó bằng 30.

Vậy nên chẳng khi gặp bài toán về tính số đo góc bạn hãy nghĩ đến mối liên hệ giữa các góc trong hình nêu trên.

Thông thường ta xét mối liên hệ bằng nhau của hai tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau.

Nhƣng nếu đề bài lại không có một hình nào là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì sao ? Bạn hãy tạo ra một trong các hình đó đƣợc không ? Suy nghĩ nhƣ vậy sẽ giúp bạn vẽ được những đường phụ thích hợp để bạn có thể tìm ra lời giải của bài toán.

Sau đây xin nêu ra một số thí dụ minh họa.

1. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền.

 Thí dụ 1 : Tính các góc của tam giác ABC. Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc bằng nhau.

Lời giải. (h7.1). Vẽ MKAC. Tam giác ABM cân ở đỉnh A (đường cao AH đồng thời là phân giác) nên H là trung điểm của BM.

1 1

2 4 .

HM  BM  BC

Từ AHM  AKM suy ra HMMK.

Vậy 1

MK 4BC hay 1

MK 2MC Hình 7.1

Ta có MKC là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền nên C30. Từ đó ta tính đƣợc A 90 ;B 60 . Tam giác ABC đã cho có ba góc A 90 ;B 60 ,C 30 .

 Thí dụ 2 :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác ABC ta vẽ các tam giác đều ABE và ACF. Gọi H là trực tâm tam giác ABE, N là trung điểm BC. Tính số đo góc của tam giác FNH.

Lời giải. (h7.2).Trên tia đối của tia NH ta lấy điểm K sao cho NH NK thì

NBH NCK

   (c.g.c)CKBHHA. Chú ý rằng FAK 60 30 A 180 . C3 HBN B 30 .

Suy ra FCK 360 C3 C2 C1 360 90 B C2 =90 A FAH

AF CF.

Hình 7.2

Do đó AHF  CKF c g c . . . Suy ra FHFK nên tam giác FHK cân ở đỉnh F. Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên AFH CFK, mà AFC 60 nên

60 .

HFK

Vậy tam giác FHK đều. Suy ra HNF 90 ,NFH 60 ,NFH 30 . 2. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông cân

 Thí dụ 3 : Cho tam giac ABC có ABC 45 ,ACB 120 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho 2 .

CD CB Tính số đo góc ADB.

Lời giải. (h7.3)

1, 2

C C là hai góc kề bù, mà C1 1200 nên C2 600. Vẽ DH AC ta đƣợc tam giác vuông HCD có C HD 300

nên 1

2 D

CH C ; mà 1

2 D

BC C nên tam giác CBH cân tại đỉnh C. Suy ra B2 300 . Vậy tam giác HBD cân tại đỉnh H.

Ta có B1 150 và A1 150 nên tam giác HBA cân tại đỉnh H. Vậy tam giác H AD vuông cân tại H. Từ đó ta tính đƣợc A BD 450 300 750

Hình 7.3

Thí dụ 4. Cho tam giác ABC có góc BAC tù, đường cao AH, đường phân giác BD thỏa mãn AHD450 . Tính số đo góc ADB.

Lời giải. ( H.7.4) Vẽ BK  AC. Xét tam giác ABH có BD là đường phân giác trong. HD là đường phân giác góc ngoài đỉnh H nên AD là đường phân giác góc ngoài đỉnh A. Suy ra

1 2

A  A .

Mà A1 KBH ( góc có cạnh tương ứng

vuông góc ) nên A1 KBDB1 (1)

Mặt khác: A2 D1B2 (2)

Vì A1  A2; B1 B2nên từ (1) và (2) suy ra KBDD1 . Do đó tam giác KBDvuông cân tại đỉnh K, suy ra KBD ADB450

Hình 7.4

3. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác đều.

 Thí dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A và ABC 75 .0 Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho

2 .

BH  AC Tìm số đo góc BHC. Lời giải. (h.7.5)

Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A, vẽ tam giác đều EBC thì điểm E ở miền trong của tam giác HBC. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BH. Ta có

0 0 0

75 60 15 ; ; ,

KBE     ACB KB AC EBBC suy ra ABC KEB

   nên EKBBAC900 . Vì K là trung điểm của đoạn thẳng BH nên tam giác EHBcân ở đỉnh E. Vì

150

EHBEBH  nên BEH 1500 . Ta có

 . . 

EHC EHB c g c

  

( EH chung:

150 ;0 )

BEH CEH  EBEC .Suy ra BHECHE150 . Hay BHC300 .

Hình 7.5

 Thí dụ 6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm E nằm trong tam giác sao cho EACECA15 .0 Tính số đo góc AEB .

Lời giải. (h.7.6)

Trong tam giác ABC lấy điểm K sao cho 150

KBAKAB thì KAB EAC c g c( . . ) .

AK AE

 

Lại có KAE 900 2.150 600

Vậy tam giác AKE đều. Suy ra AKB1500 EKB. Ta có BAK  BEK c g c( . . ) nên BEK BAK 150. Vậy BEA750 .

Hình 7.7 4. Tính số đo góc thông qua phát hiện ra trong tam giác có một góc đã biết số đo.

 Thí dụ 7. Cho tam giác ABC có BAC50 ;0 ABC 200 . Trên đường phân giác BE của tam giác lấy F sao cho FAB200 . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AF. EN cắt AB tại K. Tính số đo góc KCB. Lời giải. (h.7.7)

Giả sử CK cắt BE tại điểm M. Ta có: F2  A1B1 300 ( góc ngoài của tam giác FAB) Từ A2 300 F2  A2 . Suy ra tam giác EAF cân tại đỉnh E nên AEF 1200 .

Trung tuyến EN là đường phân giác của tam giác EAF nên E1 E2 600 và từ đó E3 600 .

 . . 

BEK BEC g c g

   ( BE cạnh chung, E2 E3 60 ;0 B1 B2 100). Suy ra tam giác BCK cân tại đỉnh B, mà CBK 200 . Vậy CKB800.

 Thí dụ 8. Cho tam giác ABC với ABC  ACB300 , N là điểm thuộc miền trong của tam giác thỏa mãn NBC 10 ,0 NCB200 . Tính số đo góc ANB .

Lời giải. (h.7.8)

Đường cao AH của tam giác ABC cắt BN tại O; vẽ AKBN và AK cắt CN tại J. 100

OBH HAK ( góc có cạnh tương ứng vuông góc)

0 0

40 30

HAC KAC , mà NCA300 nên tam giác JAC cân tại đỉnh J,

suy ra JA JC  1

Tam giác OBC cân tại O vì OH là đường trung trực, do đó OCBOBC100 suy ra OCAOAC 400 . Vậy tam giác OAC cân tại đỉnh O nên OAOC 2

Từ  1 và  2 ta suy ra OJ là đường trung trực của AC và cũng là phân giác góc AOC nên AOJ JOC 500

 3

Vì NOC là góc ngoài của tam giác OBC nên 200

NOC . Từ đó và  3 có NOJ 300 . Do đó

800

AON  . Mà BNJ là góc ngoài của tam giác NBC nên BNJ 300.

Vậy tam giác NOJ cân ở đỉnh J. Mà JK là đường cao nên JK là đường trung trực của ON. Do đó tam

giác AON cân ở đỉnh A và ANB AON 80 .0 Hình 7.8

BÀI TẬP

Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn, ở miền ngoài của tam giác ta vẽ các tam giác đều ABC’ và ACB’. Gọi K và L theo thứ tự là trung điểm của đoạn thẳng C'A và B'C . Điểm M thuộc cạnh BC sao cho

3

BM  MC . Tính số đo các góc của tam giác KLM.

Bài 2. Cho tam giác ABD và CBD, hai điểm A và C nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BD. Biết

0 0 0 0

50 , 60 , 20 , 30

BAC ABD CBD CDB . Tính sô đo các góc DAC và ADB .

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A, BAC 200 . Lấy các điểm M, N trên các cạnh AB, AC sao cho

0 0

50 , 60 .

BCM  CBN  Tính số đo góc MNA .