Cùng với chứng minh bốn điểm thuộc một đường tròn( hay tứ giác nội tiếp ), chứng minh năm điểm cùng thuộc một đường tròn là một nội dung thường gặp trong Toán hình học 9.
Để chứng minh năm điểm cùng thuộc một đường tròn ta thường sử dụng một trong các phương pháp sau:
1. Phương pháp 1 : Chứng minh năm điểm đó cách đều một điểm
Thí dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A cóAB 6cm AC , 8cm . Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm D sao cho AD/ /BC và AD2,8 cm. Ở ngoài tam giác ABC lấy điểm E sao cho EAEB 10cm . Chứng minh rằng năm điểm A B C D E cùng thuộc một , , , , đường tròn
Lời giải . (h.8.81).Gọi O là trung điểm củaBC .Kẻ AHBC OK; AD khi đó
2 2
10 BC AB AC cm.
. 4,8 4,8
AB AC
AH cm OK cm
BC .
2 2 2
1,96 1, 4
AK OA OK AK cm. 1, 4
KD cm AK AOD
cân
5
OD OA cm
.
Gọi
2 2 2
, 16 4
I OEAB OI OA IA OI cm.
2 2 2
1 1 5
IE EA IA IE cmOE cm. Do đó: OA OB OCODOE5cm. Suy ra đpcm.
2. Phương pháp 2. Chứng minh hai tứ giác nội tiếp với bốn đỉnh của mỗi tứ giác là bốn trong năm điểm đó.
Thí dụ 2: Cho tam giác đều ABC có tâm O . trên hai cạnh AB và AC lần lƣợt lấy hai điểm M và N sao cho AM CN . Gọi I là giao điểm của BN và CM . Chứng minh rằng năm điểm A M I, , O N, cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải.(h.8.82).
Ta có: ANB BMC c g c . . ANBBMC
Suy ra tứ giác AMIN nội tiếp (1).
Kẻ OD AB OE, AC thì ODOE MD, NE (vì BDAEvà BM AN).
Do đó: OMD ONEOMDONE Nên tứ giác MANO nội tiếp (2).
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
3. Phương pháp 3. Chứng minh tứ giác nội tiếp với bốn đỉnh là bốn trong năm điểm đó và chứng minh điểm còn lại thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
Thí dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HEAB HF AC. Trên đoạn HA lấy 5 1
HM 2 HA. Chứng minh rằng năm điểmB E M F C, , , , cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải.(h.8.83).
Ta có: AEF EAH ACB nên tứ giác BEFC nội tiếp O
(1).
Gọi M' và N là giao điểm của tia AH với O .
Từ hệ thức lƣợng trong tam giác vuông ABC và '
BHM NHC
ta có:AH2HB HC. HM HN'. (1).
Từ hệ thức lƣợng trong tam giác vuông AHB và '
AM B AEN
ta có:
2 . '. '
AH AE ABAM AN AHHM AHHN . Kết hợp với (1) suy ra: AH HNHM' .
Giải hệ (1) và (2) tính theo AH ta đƣợc:
5 1
' . '
HM 2 AH HM M M M O
(đpcm).
4. Phương pháp 4. Chứng minh hai trong năm điểm đó cùng thuộc đường tròn đi qua ba điểm còn lại.
Thí dụ 4. Xét lại thí dụ 3 nhưng giải theo phương pháp 4 như sau:
Tia AM cắt đường tròn O' đi qua B M C, , tại N . Ta có:
2 2 5 1 5 1
. . :
2 2
HM HN HB HC AH HN AH AH AH
.
Gọi E'AB O' ,F' AC O' . Khi đó:
'. .
AE ABAM AN AHHM AHHN
5 1 5 1 2
2 2 .
AH AH AH AH AH AE AB
.
' '
AE AE E E
.
Tương tự F'F. Do đó: E F, O' . Suy ra đpcm.
5. Phương pháp 5. Chứng minh ba trong năm điểm đó cùng ở một phía đối với hai điểm còn lại và nhìn hai điểm còn lại dưới các góc bằng nhau (hoặc chứng minh ba trong năm điểm đó cùng nhìn hai điểm còn lại dưới một góc vuông).
Thí dụ 5. Cho tam giác nhọn ABC có ABC 60 . Gọi H O I, , lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh A H I O C, , , , cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải.(h.8.84).
Ta có: 180 120 ; 90 120 2
AHC B AIC B .
2. 120 120
AOC B AHCAIC AOC . Từ đó suy ra đpcm.
Thí dụ 6. Cho tam giác ABC có AB13cm BC, 14cm CA, 15cm. Hai đường cao BE và CFcắt nhau tại H. Trên tia AH lấy đoạn AD12 3 5 cm. Chứng minh rằng năm điểm B C D E F, , , , cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải.(h.8.85).
Đường thẳng AH cắt BC tại K thì AKBC . Ta có:
2 2 2 2 2 2
BK AB AK AB AC KC
169 225 14BK2 140 28. BKBK2
BK5cm KC, 9cm
2 2 2
144 12
AK AB BK AK cm . 3 5
DK AD AK cm
. Do đó:
2 45 .
DK KC BK suy ra tam giác BDC vuông tại D. Do đó BDCBECBFC 90 . Từ đó suy ra đpcm.
BÀI TẬP
Bài 1. Cho tamg giác ABC tại A có I là trung điểm của BC. Lấy điểm D bất kì trên cạnh BC D B D, C.
Gọi E và F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và tam giác ACD. Chứng minh rằng năm điểm , , , ,
A E D I F cùng thuộc một đường tròn.
Bài 2. Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại A và B (O và O' khác phía đối với AB). OB cắt O' tại
E EB . O B' cắt O tại F F B. Chứng minh rằng các điểm A O F E O, , , , ' cùng thuộc một đường tròn.
Bài 3. Trên cạnh BC của hình vuông ABCD lấy đoạn
3
BE BC . Trên tia đối của tia CD lấy ddaonj
2 CF BC. Gọi I là giao điểm của AE và BF. Chứng minh rằng các điểm A B C D I, , , , cùng thuộc một đường tròn.
Bài 4. Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh BC. Các đường trung trực của BM và CM cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua EF. Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt
H A
B C
D E F
K
đường CO tại D (O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ). Chứng minh rằng các điểm , , , ,
A B C D N cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Đường phân giác của BAD cắt cạnh BC và đường thẳng CD lần lượt tại M và N . Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác CMN. Vẽ dây cung CK của O sao cho CK/ /BD. Chứng
minh rằng các điểm B K O C D, , , , cùng thuộc một đường tròn .
Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp O . Đường tròn O1 qua B và C cắt AB AC, tại D E, . Đường tròn O2
qua A D E, , cắt O tại K K A. Gọi M N, lần lƣợt là trung điểm của BD CE, . Chứng minh rằng các điểm A K N O M, , , 1, cùng thuộc một đường tròn.
Bài 7. Cho tam giác ABC có đường cao CH . Đường tròn I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc AB AC, lần lượt tại E và F. Các tia BI CI, cắt EF tại M N, . Chứng minh rằng các điểm B C M N H, , , , cùng thuộc một đường tròn.
Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH. Gọi M là điểm đối xứng của D qua AB,N là điểm đối xứng của D qua AC. F E, là giao điểm của MN với AB và AC tương ứng. Chứng minh rằng các điểm A F,
, ,
D C N cùng thuộc một đường tròn và A E D B M, , , , cùng thuộc một đường tròn.
Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD. I là trung điểm của CD. Điểm E thuộc cạnh AB. Kẻ IM DE cắt AD ở H. Kẻ IN CE cắt BC ở K. Gọi G là giao điểm của EI và HK. Chứng minh rằng các điểm E G N, , ,
,
K B cùng thuộc một đường tròn và E G M H A, , , , cùng thuộc một đường tròn.