TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

HỒ QUANG VINH I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

Ta đã biết rằng một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180.

Đảo lại, nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180

Hình 8.72

E G

B

O O'

A

C

D F

Hình 8.73

x

D O

A

C B

thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.

Từ đó ta có thể rút ra các hệ quả sau

1 ) Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong tại đỉnh đối diện. Đảo lại, nếu góc ngoài ở một đỉnh

của tứ giác bằng góc trong ở đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội tiếp đƣợc trong một đường tròn.

2) Hình thang nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi nó là hình thang cân.

II – DẤU HIỆU NHẬN BIẾT MỘT TỨ GIÁC NỘI TIẾP Dấu hiệu 1. Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp.

Dấu hiệu 2. Tứ giác có hai góc đối bù nhau (hoặc tứ giác đó có một góc bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện).

Dấu hiệu 3. Dựa vào khái niệm cung chứa góc: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp được trong mọt đường tròn.

Dấu hiệu 4. Sử dụng kiến thức của tam giác đồng dạng ta thấy : Nếu hai cát tuyến AB và CD của một đường tròn cắt nhau tại điểm

M thì ta có hệ thức MA MB. MC MD. (h.8.74a, h.8.74b).

Đảo lại, ta cũng chứng minh được : Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm M sao cho

. .

MA MBMC MD thì bốn điểm , , , A B C D cùng nằm trên một đường tròn. Đây cũng là một cách để nhận biết một tứ giác nội tiếp.

III – MỘT SỐ THÍ DỤ MINH HỌA

 Thí dụ 1: Cho tam giác cân ABC ( ̂ ). Kẻ đường cao BD DAC. Gọi M, N và I theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC, BM và BD. Tia NI căt cạnh AC tại K. Chứng minh rằng

a ) Các tứ giác ABMD và ABNK nội tiếp.

b) 3BC24CA CK. . Lời giải.

(h.8.75)

a ) Do tam giác ABC cân tại A nên AM BM. Mặt khác BDAD, do đó tứ giác ABMD nội tiếp đường tròn tâm là trung điểmAB ,

Hình 8.74b Hình 8.74a

D A M O

O C B

C

A D

B

Hình 8.75

B M C

A

D

N I

K

bán kính bằng 2

AB (Theo dấu hiệu 1).

Lại có , từ giả thiết đề bài NI là đường trung bình của tam giácBMD , nên NI / / MD . Do

đó ̂ ̂

Hơn nữa ̂ ̂ (vì tứ giác ABMD nội tiếp) Suy ra ̂ ̂ (1)

Từ đó ta thấy tứ giác ABNK nội tiếp đƣợc trong một đường tròn ( Theo dấu hiệu 2).

b) theo trên, tứ giác ABNK nội tiếp, suy ra ̂ ̂ . Kết hợp với (1) ta có

∆ABC đồng dạng với ∆NKC BC CA

CK NC

  . Mặt

khác ta thấy 3 NC 4BC.

Do đó 2 4 4

. .

3 3

BC  BC NC  CA CK, hay 3BC2 4CA CK. (đpcm).

 Thí dụ 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  O với trực tâm H . Giả sử M là một điểm trên cung BC không chứa A ( M khác B M khác C ). Gọi N và P theo thứ tự là các điểm , đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC .

a ) Chứng minh rằng tứ giác AHCP nội tiếp.

b) Chứng minh rằng ba điểm N H P thẳng hàng. , , c) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn thẳng NP lớn nhất.

Lời giải.

(h.8.76)

a ) Gọi I là giao điểm cuả CH vàAB ; K là giao điểm của AH vàBC .

Ta thấy ̂ ̂ (1)

Mặt khác ̂ ̂ ̂ (vì M và P đối

xứng nhau quaAC ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ̂ ̂ . Do đó tứ giác AHCP nội tiếp (theo dấu hiệu 2).

b) Theo câu a) tứ giác AHCP nôi tiếp nên ̂ ̂ (cùng chắn cungAP ).

Lại có ̂ ̂ (vì M và P đối xứng nhau qua AC ). Suy ra ̂ ̂ (3)

Tương tự, ta cũng chứng minh được tứ giác AHBN B

H

Hình 8.76

O N

P A

C M

Y2

I

nội tiếp, nên ̂ ̂ (cùng chắn cungAN ).

Mặt khác ̂ ̂ (vì M và N đối xứng nhau qua N AB). Suy ra ̂ ̂ (4)

Ta thấy tứ giác ABMC nội tiếp, nên ̂ ̂ (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra ̂ ̂ . Do đó ba điểm ABMC N, H, P thẳng hàng.(đpcm) c) Từ giả thiết có ̂ ̂ ̂ ̂. Chú ý rằng tia AM nằm giữa hai tia AB và AC ta suy ra ̂ ( ̂ ̂ ) ̂ (không đổi).

Mặt khác NP2AP.sin ̂ = 2AM. ̂ (vì ANAM AP). Do đó NP lớn nhất khi và chỉ khi AM lớn nhất, lúc đó AM là một đường kính của đường tròn  O . Vậy độ dài đoạn NP lớn nhất khi và chỉ khi M là điểm đối xứng của A quaO .

 Thí dụ 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ABAC. Hai đường cao BD và của tam giác cắt nhau tại ( thuộc cạnh thuộc cạnh ). Gọi là trung điểm cạnh . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BEI và đường tròn ngọi tiếp tam giác cắt nhau tại ( khác ).

a ) Chứng minh rằng năm điểm cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi là giao điểm của và . Chứng mỉnh rằng ba điểm thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.

Lời giải.

(h.8.77)

a ) Vì ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ , mà

̂ ̂ ; ̂ ̂ , suy ra ̂ ̂ .

Do đó tứ giác AEKD nội tiếp ( Theo dấu hiệu 2).

Mặt khác tứ giác AEHD nội tiếp vì ̂ ̂ . Vậy năm điểm , , , , A E H K D cùng nằm trên đường tròn đường kính AH ( đpcm).

b) Do tứ giác BEDC nội tiếp nên ADE ABC .

Từ câu a) ta thấy AKEADE ( cùng chắn AE của đường tròn đường kínhAH), suy raAKEABC . Lại vì

1800

ABCEKI  nênAKEEKI 1800, nghĩa là ba điểm , ,A K I thẳng hàng.

Mặt khác IKCIDCICD IKC; KACACK ICD; ICKKCD suy raICKKADKED . Vậy tứ giác MEKCnội tiếp (theo dấu hiệu 2), từ đó MECMKC.

Vì ICK AEDMEB MEC; 900MEB ;

CE

H D AC E, AB I BC

CDI K K I

, , , , A E H K D

M DE BC M H K, ,

MBKD

Hình 8.87

H E

B I M

A

D K

C

, 90 .0

MKCMKIIKC nên MKI 

Do , ,A E H K D, , nằm trên đường tròn đường kínhAH, nênHKA900. Vậy ba điểm M H K, , thẳng hàng (đpcm).

c) Do tứ giác DEHK nội tiếp, nên HEK HDK (1) Tứ giác MEKCnội tiếp nênKECKMC (2)

Từ (1) và (2) suy ra KMBHDK , hay tứ giác MBKD nội tiếp (theo dấu hiệu 3)

 Thí dụ 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AD và CE là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại H

; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi M là điểm đối xứng của B qua O; I là giao điểm của BM và DE ;

K là giao điểm của AC và HM .

a) Chứng minh rằng các tứ giác AEDC và DIMC nội tiếp b) Chứng minh rằng OK AC

c) Chứng minh rằng nếu số đo góc AOK bằng 600 thì d) tam giác HBO cân.

Lời giải. (h.8.78)

a) VìAECADC900, nên tứ giác AEDCnội tiếp (dấu hiệu 3) , suy ra BACBDI (cùng bù vớiEDC ).

Mặt khác BAC  BMC ( cùng chắnBC ) suy raBDI BMC, dẫn đến tứ giác DIMC nội tiếp ( dấu hiệu 2) (đpcm)

b) Từ giả thiết BMlà đường kính của đường tròn

 O ta có MAAB , lại có CH AB, suy ra

 

/ / 1

AM CH . Tiếp theo , do ,

CM BC ADBC nên AH / /CM 2 .  Từ (1)

và (2) ta thấy tứ giác AMCH là hình bình hành.

Từ đó K là trung điểm của đoạnAC. Suy ra OK AC(đpcm)

c) Xét tam giác vuông AKO cóAOK 600, suy ra 300

OAK , dẫn đến

1 1

(3)

2 2

OK  OA OB

Lại do OKlà đường trung bình của tam giác BHM , nên 1 4 

OK 2BH

Từ (3) và (4) suy raBH OB, nghĩa là tam giác

K

I E H

O

C A

B

M

D

Hình 8.78

HBOcân tại B (đpcm)

 Thí dụ 5: Cho đường tròn  O và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ các tiếp tuyến AB AC với , đường tròn  O (B C là các tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OA và BC . Kẻ dây cung DE của , đường tròn  O qua I .

a) Chứng minh rằng bốn điểm A D O E cùng nằm trên một đường tròn , , , b) Chứng minh rằng BADCAE.

Lời giải :(h.8.79)

a) Dựa vào dấu hiệu 4, ta thấy 4 điểm , , , B D C E cùng nằm trên đường tròn  O nên

 

. . 2 1

ID IEIB ICIB Sử dụng hệ thức lƣợng cho

tam giác vuôngABO vớiBIlà đường cao, ta có:

 

2 . 2

IB IA IO

Từ (1) và (2) ta thu đƣợcID IE. IA IO. . Chứng tỏ bốn điểm , , ,A D O E cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).

c) Từ câu a) ta thấy ODEOAE (cùng chắn OE ); OEDOAD( cùng chắnOD).

Do tam giácODE cân tại O nênOEDODE. Do đó

 

3 OAEOAD

Chú ý: rằng AO là tia phân giác của gócBAC, từ (3) suy ra BAECAD 4 

Từ (4) dễ dàng suy ra BADCAE 4  (đpcm)

Lưu ý: Kết quả bài toán không đổi , nếu ta hoán đổi vị trí hai điểm Dvà E trên đường tròn  O .

 Thí dụ 6: Cho đường tròn  O và điểm A nằm ngoài O . Một cát tuyến qua A cắt  O tại B và C . Các tiếp tuyến với đường tròn  O tại B và C cắt nhau ở D . Đường thẳng qua D vuông góc với OA cắt đường tròn  O tại E và F ( E nằm giữaD và F ). Gọi M là trung điểm của đoạn BC .Chứng minh rằng:

I

A O

B

D C

E

Hình 8.79

a) Năm điểm A E M O F cùng nằm trên một đường tròn. , , , , b) AE AF là các tiếp tuyến của đường tròn ,  O .

Lời giải.(H.8.80)

a) Sử dụng hệ thức lƣợng trong tam giác vuông OBD vớiBMlà đường cao , ta có:

 

2 . 1

DB DM DO

Xét hai tam giác DEBvàDBF có DBEDFB ( cùng chắnBE) nênDEB∽DBF (g – g), suy ra DE DB

DB  DF , hay DB2 DE DF. 2 

Từ (1) và ( 2) ta thu đƣợcDM DO. DE DF. , suy ra tứ giác MEFO nội tiếp (theo dấu hiệu 4) Vì EMDOFE FMO; FEOOFE Nên

, EMDFMO

Mà EMDEMBFMOAMF 900 Suy ra EMA AMF 1

2EMF (3) Tam giác OEFcân tạiO mà EF AO

nên 1

(4) EOA AOF 2EOF

Do tứ giác MEFO nội tiếp suy ra EMF EOF 5  Từ (3), (4) và (5) ta thu đƣợcEMA EOA. Theo dấu hiệu 3 thì tứ giác AEMO nội tiếp (6) Từ (2) và (6) suy ra năm điểm , A E M O F, , cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).

b) Ta có AEOAMO900 và tứ giác AEOFnội tiếp nên AFO90 .0 Từ đó suy ra AE và AFlà các tiếp tuyến của đường tròn  O (đpcm).

BÀI TẬP

Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kínhAD. Hai đường chéo ACvà BD của tứ giác đó cắt nhau tạiE. Kẻ EFvuông góc vớiAD, gọi Mlà trung điểm củaDE.Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác ABEF và DCEF nội tiếp b) Tia CAlà tia phân giác của góc BCF.

c) Bốn điểm , ,B C M F, cùng nằm trên một đường tròn.

C

A O

F

E B

M

D Hình 8.80

Bài 2. Giả sử AD là đường phân giác trong của góc BAC của tam giác ABC (D thuộc đoạnBC). Trên đoạn ADlấy điểm M và Nsao choABNCBM . BMcắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACMtại điểm thứ haiE; CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tại điểm thứ haiF .

a) Chứng minh rằng tứ giác BCEF nội tiếp b) Chứng minh rằng ba điểm , , A E F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằngBCF ACM , Từ đó suy ra ACNBCM

Bài 3. Cho hai đường tròn  C1 và  C2 cắt nhau tại 2 điểm , .A B Trên tia đối của tia ABlấy điểm Mbất kì.

Qua M kẻ các tiếp tuyến MD MC, với đường tròn  C2 (D C, là các tiếp điểm, D nằm trong đường tròn C1 ). Đường thẳng CAcắt đường tròn  C1 tại điểm thứ hai là P; đường thẳng ADcắt đường tròn

 C1 tại điểm thứ hai là Q; tiếp tuyến của đường tròn  C2 tại A cắt đường tròn  C1 tại K. Gọi E là giao điểm của các đường thẳngCD và BP; F là giao điểm của các đường thẳng BK và AD. a) Chứng minh rằng bốn điểm , , ,B D E F cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh CP BC CA DQ BD  DA .

c) Chứng minh rằng đường thẳng CD đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.

Bài 4. Cho hình thang vuông ABCD (A D 900). Gọi E là trung điểm củaAD. Kẻ AH vuông góc với

;

BE DI vuông góc vớiCE ; Klà giao điểm của AH và DI. a) Chứng minh rằng tứ giác BHIC nội tiếp

b) Chứng minh rằng EKBC.

Bài 5. Cho đường tròn tâmO , đường kính ABlà dây cung CD vuông góc với ABtại điểmH . Gọi Ilà điểm đối xứng với HquaD ; K là trung điểm củaHD. Vẽ dây cung EFcủa đường tròn  O quaK .

Chứng minh rằng bốn điểm ,E H F I, , cùng nằm trên một đường tròn.