DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ TÌM CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC

Các bài toán cực trị trong hình học thường có dạng như sau:

Trong tất cả các hình có cùng một số tính chất, tình hình sao cho một đại lƣợng nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích…) có giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN).

Một trong các phương pháp giải toán cực trị hình học là sử dụng các bất đẳng thức, trong đó có bất đẳng thức Cauchy.

Ở cấp THCS, các bạn đã được làm quen với bất đẳng thức Cauchy dưới dạng

x y 2

2 xy

   

 

  hoặc

xy2 4xy . Ở các bài toán cực trị hình học, bất đẳng thức này được sử dụng dưới các dạng sau:

1. Tìm giá trị nhỏ nhất:

Dạng 1. xy2 4xy hoặc x2y22xy Dạng 2.

x y 2

xy 4

   

 

  .

Dạng 3. Nếu tích xy là hằng số thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

2. Tìm giá trị lớn nhất:

Dạng 4. 4xyxy2 hoặc 2xyx2y2 . Dạng 5.

 2

xy 1

x y  4

 .

Dạng 6. Nếu tổng x + y là hằng số thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

Trong các bất đẳng thức trên, điều kiện xảy ra dấu đẳng thức là x = y và trừ các dạng 1 và 4, các dạng khác đòi hỏi x và y là các số dương.

Dưới đây là một số bài tập tì cực trị hình học có sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Bài 1. Cho tam giác ABC. Qua một điểm M bất kì thuộc cạnh AC, kẻ các đường thẳng song song với hai cạnh kia, chúng tạo với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành ấy có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Gọi hình bình hành tạo thành là BEMF.

Đặt S'SBEMF;SABCS (không đổi).

Cần tìm GTLN của S. Kẻ AKBC , AK cắt EM ở H.

Ta có S' EM.HK,S 1BC.AK

 2 nên

S' EM HK

2 .

S  BC AK .

Đặt MA = x, MC = y, theo định lý Thales ta có

EM x HK y

BC x y AK,  x y

  nên

 2

S' 2y

S  x y

 .

Theo bất đẳng thức Cauchy dạng 5 thì

 2

S' 2y 1

S  x y  2

 . Do đó giá trị lớn nhất của S’ là

1S

2 . Khi đó x = y, tức là M là trung điểm của đoạn thẳng AC.

Khai thác bài toán 1, từ S' 1

S 2suy ra S 2

S' . Do đó S’ là hằng số còn S thay đổi thì giá trị nhỏ nhất của S

S 'là 2, ta có bài toán 2.

Bài 2. Cho hình bình hành BEMF. Dựng đường thẳng qua M cắt các cạnh của góc B tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

Bài toán này còn có thể điễn đạt dưới dạng khác: Cho góc B khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc. Dựng đường thẳng qua M cắt hai cạnh của góc B tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải: Xét S x y2

S' 2xy 2

   (sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 1).

Cách giải khác: Trước hết dựng đường thẳng qua M cắt các cạnh của góc B ở A và C sao cho M là trung điểm của AC. Xét đường thẳng bất kì đi qua M tạo với đường thẳng trước hai tam giác nhỏ, chứng minh rằng tam giác nằm trong tam giác ABC có diện tích nhỏ hơn.

Bài 3. Trong các hình thang ABCD (BC // AD) diện tích S không đổi. E là giao điểm các đường chéo. Ở hình thang nào thì tam giác ABE có diện tích lớn nhất ?

Lời giải:

Dễ thấy SABE SCDE , đặt các diện tích đó bằng S. Đặt SCEB S ,S1 AED S2. Trước hết ta chứng minh rằng

2

1 2

S' S .S . Thật vậy,

1 1 2

1 2

2 2

S EC S' EC S S'

, S' S S

S  EA S  EAS' S  

(1.1)

Đặt BC = x, AD = y, ta sẽ biểu thị các tỉ số S S1, 2,S'

S S S theo x và y. Qua C kẻ đường thẳng song với BD, cắt AD ở K.

Ta có DK = BC = x; SACK SABCD S . Ta có ACK ∽CEB∽AEDnên

   

2 2 2 2

1 2

2 2

S BC x S AD y

S AK x y , S AK x y

   

        (1.2)

Từ (1.3) và (1.4) suy ra

   

2 2 2

1 2

4 2

S S

S' x y S' xy

S S S. x y S x y

     

     .

Theo bất đẳng thức Cauchy dạng 5 thì

 2

S' xy 1

S  x y  4

 . Do đó giá trị lớn nhất của S’ là

1S

4 . Khi đó x = y tức là hình thang ABCD trở thành hình bình hành.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a. Các điểm D, E theo thứ tự thuộc cạnh AB, AC. Vẽ DH và EK vuông góc với BC (H, KBC). Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH khi D và E thay đổi vị trí trên các cạnh AB và AC.

Lời giải:

Đặt SDEKH S , ta có

   

2S DH EK .HK  BH KC .HK Ta thấy tổng BH KC .HK  không đổi (bằng a) nên tích BH KC .HK  lớn nhất khi và chỉ khi BH KC HK a

  2 (bất đẳng thức Cauchy dạng 6).

Vậy giá trị lớn nhất của S là

1 a a a2

2 2 2. .  8 , khi hình thang DEKH có đường cao HK a

2, có vô số hình thang nhƣ vậy.

Bài 5. Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng d song song với nhau. Tìm điểm M (M và d nằm khác phía đối với AB) sao cho các tia MA, MB tạo với đường thẳng d thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi C và D là các giao điểm của các tia MA và MB với đường thẳng d, SMCDS. MH và MK thứ tự là đường cao của tam giác MAB và tam giác MCD. Đặt MH = x, AB = a (không đổi). HK = h (không đổi).

Ta có AB MH x a x h

CD MK x h CD x

    

 .

Do đó 1 a x h2 a x2 2hx h2 a h2

S CD.MK . . x 2h .

2 2 x 2 x 2 x

    

       

 

Do a và h là hằng số nên S nhỏ nhất nếu

h2

x x nhỏ nhất. Ta lại thấy x và

h2

x là hai số dương có tích không đổi (bằng h2) nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi

h2

x x , tức là x = h (bất đẳng thức Cauchy dạng 3). Nhƣ vậy, có vô số điểm M thỏa mãn bài toán, tập hợp của chúng là đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua trục AB.

Bài 6. Cho điểm A nằm bên trong dải tạo bởi hai đường thẳng song song d và d’. Dựng điểm B thuộc d, điểm C thuộc d’ sao cho tam giác ABC vuông ở A và có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi H và K là các hình chiếu của A trên d và d’.

Đặt SABC S, HABACKa, AHa (không đổi), AK = b (không đổi). Ta có

a b

AB , AC

cos a sin a

  nên

S ab

2sin a cos a

 .

Do đó S nhỏ nhất khi và chỉ khi 2sin a cos a lớn nhất. Ta có 2sin a cos asin a2 cos a2 (bất đẳng thức Cauchy dạng 4) mà sin a2 cos a2 1 , do đó 2sin a cos a lớn nhất bằng 1. Nhƣ vậy S nhỏ nhất khi và chỉ khi sin acos a a 45 . Bài toán có hai nghiệm hình.

Cách giải khác. Không đặt biến số là góc  mà đặt HB = x, KC = y rồi áp dụng định lý Pythagore và bất đẳng thức 0 y 1 .

Các bài toán trên cho thấy khả năng vận dụng bất đẳng thức Cauchy để giải toán cực trị hình học khá phong phú. Nên lưu ý các kinh nghiệm sau:

1) Chú ý đến các đại lƣợng không đổi: SABC ở bài toán 1, SBEMF ở bài toán 2, SABCDở bài toán 3, độ dài BC ở bài toán 4, độ dài AB ở khoảng cách h ở bài toán 5, các độ dài a và b ở bài toán 6.

2) Biểu thị các đại lƣợng thay đổi bởi các biến: các độ dài x và y ở các bài toán 1, 2, 3; độ dài x ở bài toán 5; góc α và sin , cos  ở bài toán 6.

3) Ngoài cách biểu thị trực tiếp đại lƣợng phải tìm cực trị theo các biến (diện tích S ở các bài toán 4, 5, 6), còn có thể biểu thị gián tiếp thông qua các tỉ số trung gian (tỉ số S '

S ở các bài toán 1 và 3). Sau đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm cực trị của biểu thức đang xét.

BÀI TẬP

1. Hãy nêu cách căng một sợi dây có độ dài a thành ba đoạn sao cho chúng tạo thành với bức tường có sẵn thành một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

2. Cho tam giác ABC vuông cân ở A, các điểm E và F theo thứ tự thuộc các cạnh AB và AC sao cho AC = CF. Xác định vị trí của E và F để tứ giác BECF có diện tích nhỏ nhất.

3. Giải bài toán 4 nếu thay “tam giác vuông cân ở A” bởi “tam giác cân ở A”.

4. Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộc đường chéo BD, E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AD. Điểm M ở vị trí nào trên BD thì tam giác CEF có diện tích lớn nhất ?

5. Cho hình bình hành ABCD, điểm M cố định trên cạnh BC. Tìm điểm N trên cạnh AD sao cho tứ giác MENF có diện tích lớn nhất (E là giao của AM và BN, F là giao của DM và CN).