2.1. Tập hợp thứ tự bán phần (Poset)
Poset đại khái là một tập hợp mà ta có thể so sánh lớn nhỏ giữa một số cặp phần tử nhưng không nhất thiết là so được tất cả các cặp. Thứ tự lớn nhỏ này có tính bắc cầu (transitive) và không tạo ra thứ tự luẩn quẩn.
Cụ thể hơn, một poset (tập thứ tự bán phần) là một cặp (P,ĺ) trong đó P là một tập hợp và ĺ là một quan hệ nhị phân (hay quan hệ hai ngôi) giữa các phần tử của P thỏa mãn 3 tính chất 1. x ĺy và yĺz suy rax ĺz, với mọi x,y,z P P (tính bắc cầu
– transitive)
2. xĺx,@xPP (tính phản xạ – reflexive)
3. x ĺyvà yĺx suy ra x=y(tính phản xứng – antisymmet- ric)
Ví dụ 2.1. P = Bn là tập tất cả các tập con của [n] và quan hệ nhị phân là Ď, nghĩa là X ĺ Y nếu và chỉ nếu X Ď Y. Cái poset này gọi là đại số Bool (Boolean algebra). Xem ví dụ trên Hình 5.1.
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
H t2u
t1u t3u
t1, 3u
t1, 2u t2, 3u
t1, 2, 3u
Hình 5.1: Đại số Bool B3
Ví dụ 2.2. P =Dn là tập tất cả các ước số dương của n, quan hệ nhị phân là quan hệ “chia hết”, nghĩa là iĺjnếu và chỉ nếu i|j. Ký hiệu i|j nghĩa là j chia hết cho i (hay i chia hết j). Xem ví dụ trên Hình 5.2.
1
2 3 5
4 6 10 15
12 20 30
60
Hình 5.2: Poset các ước số của60
Ví dụ 2.3. P là tập tất cả các “mặt” (faces) của một đa điện (polytope) trong không gian n chiều; và x ĺ y nếu mặt x chứa trong mặt y. Mặt rỗng cũng là một mặt với chiều ´1, và toàn
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
bộ đa diện là một mặt với số chiều bằngn. Poset này còn gọi là face lattice của polytope. Xem ví dụ trên Hình5.2.
a
b e
c d
H c e
a d b
eb ab
ea ad ec ed cb cd
ecb
eab ead ecd abcd
abcde
Hình 5.3: Face lattice của hình Pyramid
2.2. Hàm M¨ obius của poset
Những điều ta viết sau đây đúng cho một trườngKtùy hỉ và các posets vô hạn (miễn là nó hữu hạn địa phương1). Để cho đơn giản, ta phát biểu các kết quả với K=C và các posets hữu hạn thôi.
Gọi(P,ĺ)là một poset hữu hạn. Ta xét các ma trậnαkích thước
|P| ˆ |P| sao cho α(x,y) = 0 nếu x ł y. Khi x ĺ y thì α(x,y) P C tùy hỉ. Tập các ma trận này gọi là đại số kề (incidence algebra) của P, ký hiệu làI(P). Trong đại số kề thì ma trận δ định nghĩa bằng
δ(x,y) =
#1 x =y 0 x ‰y là ma trận đơn vị.
Định lý 2.4. Cho trước poset (P,ĺ) trong đó P hữu hạn. Xét một ma trận α P I(P) tùy ý thì α khả nghịch nếu và chỉ nếu α(x,x) ‰ 0,@xPP.
1Nghĩa là số các thành viên nằm giữa một cặpxvà ylà hữu hạn với mọi cặpx,y.
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
Chứng minh. Nếu ta vẽ “đồ thị" củaP bằng cách xem P như tập các đỉnh và vẽ một mũi tên từ x đến y nếu x ĺ y (như trong Hình 5.1 và 5.2) thì ta có một đồ thị có hướng nhưng không có vòng tròn (directed acyclic graph). Do đó, tồn tại một cách liệt kê tất cả các phần tử củaP từ trái sang phải sao cho tất cả các mũi tên đều trỏ sang phải hoặc trỏ vào chính nó (loop trong đồ thị). Thứ tự này gọi là trật tự tô-pô (topological ordering) của đồ thị, là một bài tập cơ bản khi học các thuật toán duyệt đồ thị.
Nếu ta viết các ma trận α P I(P) mà các hàng và cột đánh chỉ số theo thứ tự này thì ta có các ma trận tam giác trên (upper- triangular). Do đó α khả nghịch nếu và chỉ nếu α(x,x) ‰ 0,@x, nghĩa là các phần tử trên đường chéo khác không. Lưu ý rằng ma trận nghịch đảo cũng là ma trận tam giác trên, và do đó cũng thuộc về đại số kề.
Một thành viên quan trọng của đại số kề I(P) là ma trận ζ, gọi là hàm zetacủa P, định nghĩa bằng
ζ(x,y) =
#1 x ĺy 0 x ły
Định nghĩa 2.5 (Hàm M¨obius của một poset). Hàm M¨obius của poset (P,ĺ), ký hiệu là à, chớnh là ma trận nghịch đảo của hàm zeta ζ. (Theo Định lý 2.4 thì ζ khả nghịch.)
Kế đến ta mô tả một công thức đệ quy để tính hàm M¨obius của một poset. Từ định nghĩa của phép nhân ma trận, vớiα,βPI(P) bất kỳ ta có
(αβ)(x,y) = ÿ
zPP
α(x,z)β(z,y) = ÿ
xĺzĺy
α(x,z)β(z,y),
tại vì nếu x ł z thì α(x,z) =0, còn nếu z ł y thì β(z,y) =0. Do đú, từàζ =δ ta suy ra
δ(x,y) = ÿ
xĺzĺy
à(x,z)ζ(z,y) = ÿ
xĺzĺy
à(x,z).
Hay viết cụ thể hơn thì với mọi x,yPP ta có ÿ
xĺzĺy
à(x,y) =
#
1 nếu x=y
0 nếu x‰y. (5.1)
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
Đẳng thức (5.1) suy ra cụng thức quy nạp để tớnhà(x,y):
à(x,y) =
$
’&
’%
1 x=y
´ř
xĺzăyà(x,z) xăy
0 xły
Từ công thức này ta suy ra giá trị hàm M¨obius cho ba posets ở trên. Hai đẳng thức đầu thì dễ (làm bài tập), cái thứ ba thì khó.
1. Nếu P =Bn là tập tất cả các tập con của [n] (đại số Bool), thì
à(A,B) =
#
(´1)|B|´|A| AĎB
0 AĘB
2. Nếu P =Dn là tập tất cả các ước số của n, thì à(x,y) =
#
(´1)r nếu y/x là tích của rsố nguyên tố khác nhau 0 nếu không phải thế.
3. Nếu P là face-lattice của một đa điện nchiều thì à(A,B) =
#
(´1)dim(B)´dim(A) if AĎB
0 nếu không. (5.2)
2.3. Nghịch đảo M¨ obius
Xột hai hàm số f,g:P ẹCbất kỳ. Ta cú thể xem chỳng như hai vectors trong không gian C|P|. Công thức nghịch đảo M¨obius trên poset nói hai điều rất đơn giản:
f=ζgụg=àf, (5.3)
và, xoay ngang các vectors ra thì
f=gζụg=fà. (5.4)
Để hiểu ý nghĩa tổ hợp của sự tương đương này, ta viết rõ ràng hơn một chỳt vỡ ta biếtζ(x,y) vàà(x,y) bằng 0nếu x ły. Quan hệ (5.3) nói rằng:
f(x) = ÿ
xĺy
g(y),@xPP ô g(x) = ÿ
xĺy
à(x,y)f(y),@yPP. (5.5)
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
Đẳng thức này ta hiểu như sau. Giả sử ta có hàm g gán một con số g(y) vào mỗi thành viên yPP, và fgán vào mỗi xPP một con số là tổng của các g(y) sao cho x ĺ y, thì vế phải của (5.3) cho ta cách tính g dựa trên f.
Đối ngẫu lại, quan hệ (5.4) nói rằng:
f(x) = ÿ
xľy
g(y),@xPP ô g(x) = ÿ
xľy
à(y,x)f(y),@yPP. (5.6) Ví dụ 2.6. Để có công thức Euler-Poincaré, ta áp dụng (5.5) trong đó g(y) =1 với y=P và g(y) =0 với mọiy còn lại trongP.
Khi đó, rõ ràng là tất cả các f(x)đều bằng 1. Dùng (5.2), ta có 0=g(H) = ÿ
mặtB
(´1)dim(B)´dim(H)
f(B) = ÿ
mặtB
(´1)dim(B)+1 =´
n
ÿ
i=´1
(´1)iFi. Ví dụ 2.7. Áp dụng (5.6) cho posetP =Dn, ta có ngay công thức nghịch đảo M¨obius cổ điển trong lý thuyết số ở trên.
Ví dụ 2.8. Còn công thức inclusion-exclusion thì sao? Cách hiểu sau đây sẽ hữu dụng trong nhiều trường hợp. Giả sử ta có một tập “bi ve" U=A1Y ¨ ¨ ¨ YAn. Mỗi viên bi có nhiều màu. Các màu được đánh số từ 1 đến n. Gọi Ai là tập các viên bi có màu i. Với XĎ[n] tùy ý, gọi g(X) là tập tất cả các viên bi chỉ có đúng các màu trong X mà thôi. Khi đó,
f(X) = ÿ
XĎY
g(Y)
chính là số các viên bi mà mỗi viên có ít nhất các màu trongX, và f(H) =|U|. Do đó,
f(X) = ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
č
iPX
Ai ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ . Áp dụng (5.5) cho poset P =Bn ta kết luận
0=g(H) = ÿ
YĎ[n]
(´1)|Y|
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
č
iPY
Ai ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ .
Chuyển f(H) = |U| sang một vế là ta có công thức inclusion- exclusion.
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán