MỞ RỘNG VÀ SÁNG TẠO CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN
6. Bài tập thực hành
Bài toán 1. Cho tam giác ABC, F là điểm Fermat, ba đường thẳng qua G và vuông góc với FA,FB,FC cắt ba cạnh tam giác tại A0,B0,C0 ta thấy A0,B0,C0 thẳng hàng. Hãy kiểm tra tính chất trên nếu thay điểm trọng tâm G bởi điểm Vecten, điểm Napoleon và sau đó hãy kiểm tra với các điểm nằm trên quỹ tích nào thì thỏa mãn tính chất này, và đi đến kết luận tổng quát hơn nữa.
Bài toán 2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, khi đó đường thẳng Euler của các tam giácOBC,OCA,OAB đồng quy. Hãy kiểm tra tính chất này nếu ta thay điểm O bởi điểm tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm, và tâm đường tròn chín điểm... Tìm quỹ tích các điểm thỏa mãn tính chất này.
Bài toán 3. Cho tam giác ABC, một đường thẳng Lcắt ba cạnh BC,CA,AB của tam giác lần lượt tại A0,B0,C0. S là điểm bất kỳ trên đường thẳng L. Gọi A1,B1,C1 là các điểm đối xứng của A0,B0,C0 quaSthìAA1,BB1,CC1 đồng quy. Hãy kiểm tra kết quả bài toán này nếu ta thaySbởi một đường tròn và phép đối xứng qua điểm bởi phép nghịch đảo qua đường tròn.
Bài toán 4. Cho hình vuông ABCD dựng ra ngoài cạnh AB và BC hai tam giác đều AMB, BNC khi đó tam giác DMN là một tam giác đều. Hãy kiểm tra tính chất này nếu thay hình vuông ABCD bởi một hình bình hành ABCD.
Bài toán 5. Dựng trên ba cạnh của tam giácABCcùng ra ngoài (hoặc vào trong) các tam giác đều BA0C, CB0A, AC0B ta thấy AA0,BB0,CC0 đồng quy, hãy kiểm tra tính chất này nếu thay ba tam giác đều bởi ba tam giác cân đồng dạng.
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
Bài toán 6. Định lý bảy đường tròn phát biểu rằng: Cho sáu đường tròn trong mặt phẳng sao cho mỗi đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn liền kề. Sáu đường tròn đó cùng tiếp xúc với đường tròn thứ bảy. Hãy thử tìm các tính chất của một bài toán được xây dựng từ giả thiết: Cho sáu đường tròn, mỗi đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn liền kề nhau sao cho các điểm tiếp xúc này cùng nằm trên một đường tròn.
Tài liệu tham khảo
[1] A. Bogomolny, Two Circles, Ellipse, and Parallel Lines, available at http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/
CircleCircleEllipse.shtml
[2] R. A. Johnson, A Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle, Houghton Mif- flin, Boston, 1929, pp.152–153.
[3] O. T. Dao, Advanced Plane Geometry, message 1283, May 9, 2014.
[4] H. Q. Tran, Advanced Plane Geometry, message 1736, September 19, 2014.
[5] Darij Grinberg, Math Forum, Synthetic Proofs of Jacobi and Lamoen Theorems, March 21, 2003.
[6] O. T. Dao, Advanced Plane Geometry, message 1765, September 19, 2014.
[7] R. Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Cen- tury Euclidean Geometry, MAA, 1995.
[8] O. T. Dao, Quadri-Figures-Group, message 241, September 23, 2013.
[9] Evelyn, C. J. A.; Money-Coutts, G. B.; and Tyrrell, J. A. The Seven Circles Theorem and Other New Theorems. London:
Stacey International, pp. 11-18, 1974.
[10] Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited.
Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 74-76, 1967.
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
[11] Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA:
Houghton Mifflin, pp. 237-238, 1929.
[12] Jiang Huanxin and David Goering, Problem 10358* and Solution, Equilateral cevian triangles, American Mathemati- cal Monthly 104 (1997) 567-570.
[13] O. T. Dao, Advanced Plane Geometry, message 2267, Jan- uary 25, 2015.
[14] Darij Grinberg, CTK Exchange, Synthetic proof of Christo- pher Bradley’s Conjecture, January 11, 2004.
[15] O. T. Dao, Quadri-Figures-Group, message 409, January 16, 2014.
[16] M. de Villiers, Some Adventures in Euclidean Geometry, Univ. of Durban-Westville, 1994 (revised 1996), pp. 192-193.
[17] Titanium, Tangential quadrilateral well known properties?
http://artofproblemsolving.com,January16,2014.
[18] Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited.
Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 60-65, 1967.
[19] van Aubel, H. H. Note concernant les centres de carrés con- struits sur les côtés d’un polygon quelconque.Nouv. Corresp.
Math. 4, 40-44, 1878.
[20] Casey, J.A Treatise on the Analytical Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, Containing an Account of Its Most Recent Extensions with Numerous Examples, 2nd rev.
enl. ed. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 442-448, 1893.
[21] Kimberling.C, Encyclopedia of Triangle Centers, http://
faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html.
[22] O. T. Dao, Advanced Plane Geometry, message 2261, Jan- uary 24, 2015.
[23] D. Grinberg, Hyacinthos message 10504, September 20, 2004.
[24] Kimberling, C, Hofstadter Points, available at http://
faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/hofstad.html.
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
T ạ p c h í online của cộng đồng
những n g ư ờ i y ê u T o á n
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán INEQUALITIES
A JOURNEY INTO