MỞ RỘNG VÀ SÁNG TẠO CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN
4. Phương pháp mở rộng các định lý trong hình học phẳng
4.1. Phương pháp mở rộng giả thiết
Phương pháp sáng tạo một vấn đề mới, hoặc mở rộng một định lý hình học dựa trên nền tảng một định lý đã có mà tác giả thường xuyên áp dụng như sau:
Cho đối tượngAvàB. Trong đóAcó đầy đủ thuộc tính củaB(hoặc thuộc tính củaBtương tự với A). Nếu một định lý nào đó đúng với các giả thiết được xây dựng từ đối tượngA thì hãy kiểm tra định lý đó với các giả thiết được xây dựng từ đối tượng B.
Để minh họa cho phương pháp trên chúng ta sẽ xem một số ví dụ sau đây:
4.1.1. Ví dụ một tính chất đúng cho tam giác trung bình mở rộng đúng cho mọi tam giác Cevian
Định lý đường thẳng Gauss-Newton là một định lý khá nổi tiếng nói về một tính chất của tứ giác toàn phần [2], định lý này phát biểu như sau :
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
Trung điểm của các đường chéo trong một tứ giác toàn phần nằm trên một đường thẳng.
Hình 12.2: Định lý đường thẳng Gauss-Newton
Trong hình vẽ trên, đường thẳng cắt ba cạnh tại các điểm A1,B1,C1 vàA2,B2,C2 là trung điểm của ba đoạn thẳngAA1,BB1,CC1
thì A2,B2,C2 thẳng hàng. Tuy nhiên, ta thấy ba điểmA2,B2,C2 ở trên đều nằm trên ba cạnh tương ứng của tam giác trung bình của tam giácABC ta có thể phát biểu lại định lý này như sau:
Cho đường thẳng (L) cắt ba cạnh của tam giác BC,CA,AB tại A1,B1,C1. ĐặtA2,B2,C2là giao điểm của đường thẳngAA1,BB1,CC1 lần lượt với ba cạnh tương ứng của tam giác trung bình của tam giácABC thìA2,B2,C2 thẳng hàng.
Ta có thể mở rộng định lý trên nếu thay tam giác trung bình bởi một tam giác mở rộng hơn của tam giác trung bình không? Tam giác Cevian là một tam giác tổng quát hơn tam giác trung bình.
Thật vậy tam giác A1B1C1 gọi là tam giác Cevian của tam giác ABC ứng với điểm P nếu AP,BP,CP lần lượt giao với ba cạnh BC,CA,AB tại các điểm A1,B1,C1. Khi tam giác Cevian ứng với trọng tâm tam giác thì chính là tam giác trung bình của tam giác ABC. Như vậy, rõ ràng tam giác Cevian là tổng quát của tam giác trung bình.
Từ cơ sở trên ta có thể đi đến một mở rộng của định lý Gass- Newton [3] như sau:
Vấn đề 1: Cho đường thẳng(L) cắt ba cạnh BC,CA,ABcủa tam giác tại A1,B1,C1. Đặt A2,B2,C2 là giao điểm của đường thẳng AA1,BB1,CC1 lần lượt với ba cạnh tương ứng của một tam giác Cevian bết kỳ của tam giác ABCthì A2,B2,C2 thẳng hàng.
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
Hình 12.3: Mở rộng định lý đường thẳng Gauss-Newton 4.1.2. Ví dụ một tính chất đúng cho tam giác Napoleon và
Morley mở rộng ra hai tam giác Jacobi bất kỳ.
Tam giác Napoleon và tam giác Morley là các tam giác đều nổi tiếng trong hình học sơ cấp, tại đây chúng ta không tìm hiểu lại khái niệm này. Chúng ta cùng nhau tìm hiểu khái niệm về tam giác Jacobi, khái niệm này như sau:
Cho tam giác ABC, dựng các tam giácBA0C,CB0A,AC0Bcùng ra ngoài (hoặc vào trong) ba cạnh tam giác ABC, sao cho =C0AB=
=B0AC,=C0BA==A0BC,=A0CB==B0CAkhi đó tam giácA0B0C0 gọi là một tam giác Jacobi của tam giác ABC.
Đối chiếu với khái niệm trên, ta thấy tam giác Napoleon và tam giác Morley đều là các trường hợp đặc biệt của tam giác Jacobi.
Thầy Trần Quang Hùng (giáo viên THPT chuyên Tổng Hợp - ĐHQGHN) phát hiện tính chất sau:
Cho tam giác ABC, và các tam giác Napoleon và tam giác Morley tương ứng làMAMBMC, NANBNC gọiA1 là giao điểm củaMANA và BC, định nghĩa B1,C1 tương tự khi đó AA1,BB1,CC1 đồng quy [4].
Trước đó, một nhà nghiên cứu người Phần Lan tên là van Lam- oen cũng đã tìm ra tính chất như sau:
Nếu gọi A1,B1,C1 là chân đường cao của ba đỉnh A0,B0,C0 trên ba cạnh tam giác thìAA1,BB1,CC1 đồng quy [5].
Ta thấy rằng đường cao kẻ từA1,B1,C1lần lượt xuốngBC,CA,AB chính là các đường thẳng nối đỉnhA1,B1,C1 lần lượt với các tam giác cân đấy là cạnh BC,CA,AB và có góc ở đáy bằng 90˝. Do
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
vậy, nếu ta ta quan sát kết quả của van Lamoen và Trần Quang Hùng thì chúng đều là những trường hợp đặc biệt của một vấn đề sau đây:
Vấn đề 2: Gọi JaJbJc và Ja1Jb1Jc1 là hai tam giác Jacobi của ABC;
gọiA0B0C0 là giao điểm của các đường thẳngJaJa1 vớiBC;JbJb1 với AC; JcJc1 vớiABkhi đó AA0,BB0,CC0 đồng quy [6].
Hình 12.4: Vấn đề hai tam giác Jacobi
4.1.3. Ví dụ định lý đúng cho giao điểm của một tứ giác có hai đường chéo vuông góc cũng đúng cho một điểm thỏa mãn tính chất đặc biệt trong tứ giác.
Mục này chúng ta cùng nhau tìm hiểu một mở rộng của định lý Brahmagupta nổi tiếng về tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc. Brahmagupta(598-670) một nhà toán học nổi tiếng của Ấn Độ. Nội dung định lý:
Cho một tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc, khi đó đường thẳng nối trung điểm của một cạnh với giao điểm của hai đường chéo sẽ vuông góc với cạnh đối diện [7].
Ta tìm hiểu một chút về giả thiết và kết luận của định lý này.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp gọiF là trung điểm của AB, Elà giao điểm của hai đường chéo, theo định lý Brahmagupta ta có FE vuông góc với CD, gọi điểm giao nhau giữa FEvới CD làG.
Ta nhận thấy định lý này có đặc điểm là góc =DEA = =BEG = 90˝. Các điểm B,E,D thẳng hàng và A,E,C thẳng hàng. Ngoài
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
Hình 12.5: Định lý Brahmagupta
ra, vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo tính chất phương tích ta có EB¨ED = EA¨EC. Từ các nhận xét này ta sẽ tìm cách mở rộng giả thiết của định lý Brahmagupta xem có giữ được các kết luận đúng, hoặc kết luận tương tự với kết luận của định lý Brahmagupta trên nền các giả thiết mới hay không?
Bây giờ chúng ta không đưa ra giả thiết về góc=DEA==BEC= 90˝ nữa nhưng vẫn giữ tổng hai góc này bằng 180˝, các điểm B,E,D không còn thẳng hàng và các điểm A,E,C không còn thẳng hàng, tứ giác ABCD không còn nội tiếp nữa nhưng vẫn giữ điều kiện EA¨EC= EB¨ED khi đó sẽ có một kết luận cũng tương tự như kết luận của định lý Brahmagupta. Tuy nhiên, việc xây dựng một điểm thỏa E thỏa mãn các tính chất của giả thiết này từ một tứ giác ABCDcho trước là rất khó khăn nên ta sẽ xây dựng bài toán từ các nhận xét trên xuất phát từ một bài toán tam giác sau đây.
Vấn đề 3: Dựng ra ngoài các cạnh AB, AC của tam giác ABC hai tam giác BAD và CAE, sao cho =DAB + =EAC = 180˝ và BA¨AE = CA¨AD. Gọi F,I lần lượt là trung điểm của DE, BC.
Gọi IA giao với DE tại G. Gọi K, M, P lần lượt là tâm của các đường tròn (BAD),(FGI),(CAE), khi đó =AGC = =CAE và M là trung điểm của KP [8].
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
Hình 12.6: Mở rộng định lý Brahmagupta
4.1.4. Một ví dụ về định lý đúng cho hai cặp đường thẳng thì cũng đúng cho một đường conic
Nhắc lại định lý Reim: ChoE,B,D thẳng hàng và F,C,G thẳng hàng và hai tứ giác EBCF, DBCG nội tiếp thì hai đường thẳng EF vàDGsong song. Như phần trên ta thấy rằng chỉ cầnE,B,E,G,C,F nằm trên một đường conic và hai tứ giác EBCF, DBCG nội tiếp thì hai đường thẳng EFvà DGsong song.
Như vậy ta thấy đối với cấu trúc định lý Reim thì khi thay hai đường thẳngEBD, vàECG bởi một đường conic đi qua sáu điểm E,B,D,G,C,F thì kết luận của định lý vẫn đúng [9].
Đối với định lý Pascal: Cho một lục giác có các đỉnh nằm trên một đường conic thì giao điểm của ba cặp cạnh đối diện thẳng hàng.
Hình 12.7: Định lý Pascal, định lý Pappus
Trong hình vẽ trên, các điểm A,B,C,D,E,F cùng nằm trên một đường conic và ba điểm G,H,I thẳng hàng. Ta thử thay đường
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
conic trong định lý Pascal bởi hai đường thẳng với ba điểm A,B,Cnằm trên đường thẳng thứ nhất vàD,E,Fbằm trên đường thẳng thứ hai và quan sát kết quả thấy G,H,I vẫn thẳng hàng [10][11], kết quả này là nội dung của định lý Pappus.
Qua hai ví dụ trên, ta thấy rằng nếu tính chất nào đó được phát biểu là đúng cho một cặp đường thẳng thì hãy kiểm tra tính chất đó nếu ta thay chúng bởi một đường conic.
Định lý con bướm cũng là một ví dụ minh họa trong trường hợp trên. Lời giải thích là vì một đường conic có thể suy biến thành một cặp đường thẳng.