MỞ RỘNG VÀ SÁNG TẠO CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN
4. Phương pháp mở rộng các định lý trong hình học phẳng
4.2. Tìm kết luận tương tự các định lý
4.2.1. Tìm một cấu trúc để tạo ra một tam giác đều-vấn đề Dual của mở rộng định lý Napoleon
Với điều kiện nào thì tam giác Hofstadter là tam giác đều, câu trả lời cho câu hỏi này thông qua định lý góc chia ba của Morley.
Với điều kiện nào thì tam giác Kiepert là tam giác đều? Câu trả lời được hiểu thông qua định lý Napoleon.
Ta biết rằng, cho tam giác ABC và một điểm P, tam giác bàn đạp của điểm P là tam giác tạo bởi các điểm là hình chiếu củaP trên ba cạnh của ABC. Tam giác Cevian của điểm P là tam giác tạo bởi các điểm là giao điểm của đường thẳng từ đỉnh qua P với cạnh đối diện. Tại thời điểm mới bắt đầu nghiên cứu hình học phẳng, tác giả đã có các câu hỏi như tìm một điểm sao cho tam giác bàn đạp của nó là một tam giác đều, hoặc tam giác Cevian của nó là một tam giác đều.
Người ta tìm được hai điểm thỏa mãn tính chất tam giác bàn đạp của điểm đó là một tam giác đều, hai điểm đó được biết đến với tên điểm Isodynamic thứ nhất và thứ hai, các điểm này là điểm liên hợp đẳng giác của điểm Fermat.
Tam giác bàn đạp của điểm Isodynamic là một tam giác đều, điều này khá phổ biến. Nhưng tam giác Cevian của một điểm là tam giác đều thì lại ít người biết đến, việc dựng được điểm như vậy là rất khó khăn, sau khi trao đổi với một số người nghiên cứu chuyên nghiệp tác giả nhận được câu trả lời điểm thỏa mãn tính chất đó đã được đề xuất bởiJiang Huanxin vàDavid Goering [12].
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
Như vậy câu hỏi tìm điều kiện để tam giác bạn đạp là một tam giác đều, hay tìm điều kiện để một tam giác Cevian là một tam giác đều đã được quan tâm và làm rõ. Tác giả lại đặt câu hỏi tìm một điểm sao cho đối xứng của điểm đó qua ba cạnh tam giác ABC cho trước là một tam giác đều, tác giả tìm được điểm đó lại chính là hai điểm Isodynamic, việc chứng minh điều này thật sự rất dễ dàng vì tam giác này là vị tự của tam giác đều bàn đạp của hai điểm đó.
Nếu như dừng lại ở đây thì kết quả trở nên hết sức bình thường không có gì đáng nói và hoàn toàn chính là vấn đề tìm một điểm sao cho tam giác bàn đạp của nó là một tam giác đều.
Nhưng điều đặc biệt là các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của tam giác đều này với tam giác ABC lại đồng quy tại điểm Fermat. Do các đỉnh của tam giác đều này được xác định là đối xứng của điểm Isodynamic với ba cạnh của tam giác điều đó có suy ra rằng các đường thẳng nối điểm Isodynamic với ba đỉnh tam giác đều đó vuông góc với ba cạnh tương ứng của tam giác ABC.
Sau khi nghiên cứu đưa ra mở rộng định lý Napoleon tác giả nhớ lại kết quả nghiên cứu được đánh dấu in nghiêng ở đoạn trên tác giả phát hiện một vấn đề mở rộng của vấn đề đối xứng của một điểm qua ba cạnh tam giác tạo thành một tam giác đều như sau.
Vấn đề 4:Cho tam giácABC,Flà điểm Fermat thứ nhất hoặc thứ hai,Ilà điểm liên hợp đẳng giác củaF,P là điểm nằm trên đường thẳngFI.A0 là giao điểm của đường thẳng quaP và vuông góc với cạnh BC và đường thẳng AF. Định nghĩa B0,C0 tương tự. Chứng minhA0B0C0 là tam giác đều [13].
Trường hợp đặc biệt xảy ra khiP là điểm Symmedian. Với trường hợp này ta có hai tam giác Dual với tam giác đều Napeleon. Hai tam giác đều mới đó có nhiều tính chất rất thú vị. Một trong các tính chất này là:
Vấn đề 5: Bốn điểm gồm hai điểm Fermat và trọng tâm hai tam giác đều vừa đề cập ở trên nằm trên một đường tròn
4.2.2. Tìm một cấu trúc tương tự định lý Christopher Bradley Định lý Christopher Bradley được phát biểu như sau:
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
Hình 12.8: Vấn đề dual của định lý của Napoleon
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn, gọiE là giao điểm của hai đường chéo. Khi đó tâm của bốn đường tròn nội tiếp các tứ giácEAB,EBC, ECD, EDAnằm trên một đường tròn [14].
Hình 12.9: Định lý Christopher Bradley
Câu hỏi tương tự: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn, tìm một điểm P trên mặt phẳng sao cho tâm nội tiếp của các tam giác PAB, PBC, PCD, PDA nằm trên một đường tròn. Từ câu hỏi trên tác giả tìm đươc một số vấn đề [15] sau đây:
Vấn đề 6: Tứ giácABCD vừa nội ngoại tiếp,O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABC, khi đó tâm của bốn đường tròn nội tiếp các tam giácOAB, OBC, OCD,ODA nằm trên một đường tròn.
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
Hình 12.10: Vấn đề 6
Tác giả tìm được hai điểm nữa nữa thỏa mãn tính chất bốn tâm nội tiếp nằm trên một đường tròn. Hai vẫn đề này được hiểu thông qua khái niệm về tứ giác trung trực của tứ giác ngoại tiếpsau đây.
Cho tứ giác lồiABCDngoại tiếp một đường tròn, bốn đường trung trực của bốn cạnh tứ giác hợp với nhau thành tạo thành một tứ giác ngoại tiếp.
Tính chất trên được biết đến trong quyển sách của Mike de Villiers, chứng minh đưa ra bởi Jordan Tabov [16]. Nhưng trước đó đã được xuất hiện tại tài liệu bên Nga [17]. Hiện nay chưa thống nhất được tên gọi riêng cho tứ giác trên nên chúng ta sẽ tạm gọi tứ giác trên với tên là tứ giác trung trực của tứ giác ngoại tiếp.
Vấn đề 7:Gọi Olà tâm đường tròn nội tiếp tứ giác trung trực của tứ giác ngoại tiếp ABCD khi đó tâm bốn đường tròn nội tiếp các tam giácOAB, OBC, OCD, ODAnằm trên một đường tròn.
Vấn đề 8: Gọi L giao điểm của hai đường chéo của tứ giác trung trực của tứ giác ngoại tiếp ABCD khi đó tâm bốn đường tròn nội tiếp các tam giácLAB, LBC,LCD,LDAnằm trên một đường tròn.
Các định lý hình học luôn có xu hướng được mở rộng ra. Trong mục tiếp theo, tác giả trình bày một số ví dụ về các hướng mở rộng định lý Napoleon.
Tạp chí onl ine của cộng đồng những người yêu T oán
Hình 12.11: Tứ giác trung trực của một tứ giác ngoại tiếp
Hình 12.12: Vấn đề 7
Hình 12.13: Vấn đề 8