2. Nhân một hàng bất kỳ với sế hàng khác Ô
3. Thay giỏ trị hàng # bằng tổng của hàng và ô lần của hàng š( #/ và ứ là số hàng vô hướng )
Ví dụ õ- 4
Một mạch điện cố ma trận Á như sau:
E\ C, C;
1 1 | 1 0
2 0 - 1
3 0 | 0 0
4 L7 -1
5 0 | 0 0
Hãy tìm cây của mạch này sao cho các nhánh cây thuộc về các càng tốt.
Giải
Ly Lạ ly L,
0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 -1 1
0 0 0
-1 -1 -1
cột càng ở phía trái
Để đưa A về dạng bậc thang, ta thực hiện các biến đổi sau:
- Cộng hàng I và hàng 4 - Nhân hàng 2 với (- l)
- Cộng hàng 2 được nhân với (- 1) vào hàng 4
- Đổi chỗ hàng 3 và hàng 4 - Nhân hàng 4 với (- l).
Kết quả A,„, là
#ì C, C;
q; 1 0
0 lLú 1
Ẩn = 0 TT Ta 1
0 0 0
Tho Ap các nhánh cây sẽ là các nhánh È\, C,, Ca; bà.
dạng phân hoạch thành Á „ và Á,, như sau:
tì éC C
:4, 1 |
A=l0 q. 0
0 0 1
0 0 0
“ 0
HỘ by Ủy bạ
0 0 0 0
10 1Ó
1 1 0
ô 0) 1 +1
2 Thì h¿ hạ
0 0 0 0
1 + 0 0
I 0
0 0
157.
A =(A, A,)
Dau khi đã tìm được cây, dựa theo biểu thức (5-15):
A =[AÁ, A,l B=(B, 1]
Q=[1, 9,)
để tính B và Q, ta chỉ cần tính BÀ và QỊ, theo (5-14) AR'= 0, ta có
: n/|
ABTI=[A.AjI| °
lnị
từ đơ BỊ =-AC LAI (5-60)
=A,BJ+A,=0
Theo (5-19) Q, = - BỂ, do đó với (5-60)ta có thể viết
Q =[1,/1=AC TỊA, AjI=A TA (6-61)
với (5-61) B có thể viết dưới đạng
B =[B, 1,1 = [-Q7 1,} (5-62)
Q = [LL Q.)
Biểu thức (5-61)là chìa khóa để thành lập ma trận tô pô B và Q. Theo (ð-61)đầu tiên từ cây chúng ta tỉm Â.., rồi nhân nó với A, kết quả sẽ là Q. Sau đơ ta tìm được 5B. = -QJ
5-6. Phân tích mạch điện tuyến tính bằng phương pháp đòng diện vòng, và phương pháp vết cắt
Trên quan điểm sử dụng máy tính, phương pháp đòng điện vòng, và phương pháp vết cát dùng để phân tích mạch tuyến tính không phải là các phương pháp hiệu lực (so với phương pháp điện nút), nhưng để có tính chất bao quát về các phương pháp phân tích mạch điện, chúng tôi sẽ nêu một cách vắn tát algorithm phân tích mạch điện bằng các phương pháp này. Phương pháp dòng điện vòng đã được trình bày cụ thể trong chương 3.
5.6.1 Phuong pháp dòng điện vòng
Hãy xét mạch điện trong trường hợp các nhánh của mạch , Z ke ụ được biểu diễn một cách tổng quát theo hình 5-15, hoặc cớ thể đưa nn
về dạng đó một. cách tương đương. . lề
Mỗi nhánh hình 5-15 được đặc trưng bằng phương trình đặc tính tổng quát sau:
N Ú bu,
&=12...NỎ (5-63) Hình 5.15,
158
Dạng phương trình ma trận của hệ phương trình (5-63):
I t (5-64)
nh - “nh ni, =Z nh
trong đố Zạ là ma trận vuông [Nạy x Nạn, có St; là trở kháng hỗ cảm giữa nhánh È và
nhánh È, .
Phương pháp dòng điện vòng được xây dựng trên cơ sở định luật Kirchhoff I, Vậy theo (5-6) ta có:
2 B Đị, =0
và theo (5-2Ô) ta cổ
lạ =BỨ Íu
Nếu ta chọn các vòng mạch chính là các vòng cơ bản (tức lã vòng được tạo ta từ một bù cây với các nhánh cây )lúc ấy ta có
IL=L (5-65)
(5-64), (5-20), (ð-6)sẽ là hệ phương trình mạch điện làm cơ sở cho thuật toán Ung = an lận - Ẩnh nh nh ˆ
Ính = Bì đ (5-67)
B Uạn =0
Thay thế (5-64), {5-66) vào (5-67) ta có
B nh Bì Ẳ T B đnh = 0 (5-68)
Chúng ta hãy đặt:
Z,=BZ4,B` (5-69)
và E,=B đạn (5-70)
thì phương trình (5-68) được viết dưới đạng:
Ư Ry (5-7
(5-71) chính là phương trỉnh dòng điện vòng của mạch điện viết dưới dạng nìa trận, trong đó Z2 được gọi là ma trận trở kháng vòng LÝ, x N,] với các phần tử Z¡¡ trên đường chéo chính là tổng các trở kháng trong vòng ¿ (gọi là trở kháng vòng ¿) và các phần tử nằm hai bên đường chéo Z4 là trở kháng chung giữa vòng í vào vòng j.
Dễ dàng có thể nhận thấy Tụ = Tị nếu mạch điện là tương hỗ, Vậy nếu mạch điện là tương hỗ thì ma trận 2, sẼ là ma trân vuông, đối xứng qua đường chéo. Phương trình (5-71) là hệ phương trình tuyến tính, để cho việc giải bằng máy tính có hiệu suất cao, ta có thể giải bàng phương pháp khử Gauss (giống trường hợp giải phương trình điện áp nút ).
Từ (5-71)ta nhận được dòng điện trên các nhánh.
Tớm lại, thuật toán phân tích mạch điện bằng phương pháp mạch điện vòng được thực hiện với các bước sau:
1. Tìm cây của mạch
2. Từ cây đơ thành lập ma trận B theo (5-60) 3. Thành lập Z„ theo (3-69) Z„ theo (5-79)
159
4. Giải phương trình (5-71) để tìm ¿, ở, Theo (5-66), ta nhận được lận:
5-6.2 Phương pháp vết cắt
Hãy xét mạch điện trong trường hợp các nhánh của mạch điện - không cần biến đổi hoặc sau khỉ biến đổi - là các nhánh dẫn nạp, tức là phương trình nhánh được viết:
nh `
1= Š Y Ứ, + Tạ ÿ =1,9, Ma) tB - 79)
Dạng phương trình ma trận của hệ phương trình (2 - 72)
Tạ, = YuUnn + nh + LÊ (5 - 78)
trong đó Ÿ¡, là ma trận vuông [N,„ xX W,n], có Ty, là dẫn nạp nhánh è
Phương pháp vết cắt được xây dựng trên cơ sở định luật RKirehhoff I phát triển trên vết cất, theo (5 - B) ta cơ:
Q Tnn =0, và theo (5 - 21):
Ứnh = ợ Úc,
trong đó Ứ, là điện áp trên các nhánh cây, được coi là điện áp vết cất (nên nhớ rằng, mỗi vết cát cơ bản đi qua một nhánh cáy). Biểu thức trên được minh họa trong hình ố - 16.
Theo hỉnh 5 -16 các nhánh 1, 2, 3 là các nhánh cây với với các điện áp My tạ, úy. Các vết cắt cơ bản V¡, V., Vị lần lượt đi qua các nhánh cây 1, 2,
ọ (với cỏc chiờu qui ước dương như vẽ trờn hỡnh.
Trong trường hợp cụ thể này điện áp trên nhánh ¿¡
được tính:
U,= UI - Uy,
các phương trình ma trận (ỗ - 73), (5 - 21), (5 - 5) sẽ là hệ phương trình mạch điện làm sơ sở cho
thuật toán phân tích mạch điện bằng phương pháp Hình 9-16 này:
nh = Fh Ứng — Ínn (5 -74a)
m ~ ẹ' Ũ, (5 - 74b}
Q1, = 0 (õ - 74c)
Thay thế các phương trình õ - 74 a, b vào 5-T4c ta có:
QY,Q 0, ~ Q1 =0 (5 - 7ð)
Nếu đặt:
Yu=Qy,q! (5 - 76)
và 160
Tng = Q Ty (5 - 77)
thỡ phương trỡnh ( - 7ử) được viết ngắn gọn:
Yo Ũ, = đạu (5- 78)
lo
(5 - T8) chính là phương trình ma trận điện áp vết cắt của mạch điện, trong đó ŸQ là 'ma trận dẫn nạp vết cát.Các phần tử Y„ là tổng các đẫn nạp thuộc vết cắt ¿ (tính cả dẫn nạp riêng của bản thân nhánh và dẫn nạp tương hỗ giữa nhánh đó và nhánh khác thuộc vết cất ¿, cùng với dấu đại số tính theo chiêu qui ước của vết cất), được gọi là dẫn nạp vết cắt ¿. Còn các phần tử Tụ là dẫn nạp chung giữa vết cất ¡ và vết cát j (tính cả dẫn nạp riêng, và dẫn nạp tương hỗ của nhánh đơ). Nếu giữa các nhánh không có quan hệ tương hỗ thì Y¡, là tổng các dẫn nạp thuộc vết cát ¡ và Ÿ, là tổng dẫn nạp chung giữa vết cất ¡ và vết cắt /. Diện áp vết cất, hay nơi cách khác điện áp trên các nhánh cây được xác định từ
phương trình (ð - 78), và sau đó điện áp trên các nhánh khác của mạch điện được xác định theo (5 - 746) vì (5 - 78) hoàn toàn đồng dạng với phương trỉnh (5 - 71) nên thuật toán giải phương trình này giống hệt như thuật toán giải phương trình (5 - 71) đã được trình bày trong phương pháp dòng điện vòng. Phương pháp dòng điện vòng và phương pháp vết cắt có ưu điểm:
- Chỉ cần biết các ra trận tô pô Q hoặc B
- Ma trận Z¿ trong (5 - 71) và ma trận Y,, trong (B5 - 76) cớ số hàng và cột Ít hơn sơ với ma trận ””,.
Tuy vậy hai phương pháp này đều có nhược điểm là cần phải tìm cây, nên chúng trở thành phức tạp hơn so với phương pháp điện áp nút. Phương pháp điện áp nút chẳng qua là trường hợp đặc biệt của phương pháp vết cắt khi cúng ta chọn các vết cắt theo các nhánh nối vào các nút. Ví dụ trên hình 5 -16, nếu giữ nguyên VÌ, Ÿ. còn V¿; được lấy theo vết cắt các nhánh 2, ¡ và 3 thì Q= A.
Thuật toán đưa ma trận về dạng bậc thang
Bắt đầu với một ma trận [m x n], thuật toán thực hiện những thay đổi các hàng và cột trong ma trận phụ của Á. Cuối cùng phương trình cho ra ma trận Á dạng bậc thang.
Các bước của algorithm.
1. Cho A, là ma trận phụ của Á. Dầu tiên A.=A.